Seiten 6 / 7 Gleichungen und Ungleichungen. Lösungen Mathematik 3 Dossier 7 Gleichungen. 1 a) x a) (x + 5) ( x 12) = 0 HN (12)

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1 Seiten / 7 Gleichungen und Ungleichungen Lösungen Mathematik Dossier 7 Gleichungen 1 a) x x = 4 x 1 2 2x = 48 x 1 = 48 x = x = 7 b) x c) x 18 = x x 114 x = 9x 108 1x = 9x x = x = 4 x = x - 7 2x x = 2x 14 12x x = 14x 14 0 = 1x 0 1 = x d) 2x - < x x - 10 < 9x -7 < x 7 < x e) x x f) < x x 49 4x 1 < x 28 x - < x 8-2 < x 2 < x x - 4 x x x 1 12x x 2-1 x 2-18 x - x 2 a) (x ) ( x 12) = 0 Fall 1: x = 0 x = - Fall 2: x 12 = 0 x = 12 b) x 2 x 28 = 0 (x 4) (x 7) = 0 Fall 1: x - 4 = 0 x = 4 Fall 2: x 7 = 0 x = -7 c) x 2 20x = -7 x 2 20x 7 = 0 (x ) (x 1) = 0 Fall 1: x = 0 x = - Fall 2: x 1 = 0 x = -1 HN (12) --1(x isolieren, da lineare Gleichung) : x = 7 HN (90) - 9x 114 (x isolieren, da lineare Gleichung) : 4 x = 2 oder x = 1. HN () x 14 (x isolieren, da lineare Gleichung) : 1 x = 10 oder x =. HN () -4x (x isolieren, da lineare Ungleichung) : 1 x > 7 HN (28) -x 8 (x isolieren, da lineare Ungleichung) : x > 2 HN (12) - 2 (x isolieren, da lineare Ungleichung) : 1 x x1 = - x2 = 12 quadr. Gleichung in Produkt von Binomen verwandeln x1 = 4 x2 = -7 quadr. Gleichung Alles auf eine Seite (7) Trinom in Produkt von Binomen verwandeln x1 = - x2 = -1 Loesungen Mathematik-Dossier -7 Gleichungen.docx A. Räz / Seite 1

2 Seiten 8 / 9 Gleichungen und Ungleichungen Lösungen Mathematik Dossier 7 Gleichungen 2 d) x 2-4(x 1) = 4(1 x) x 2-4x - 0 = 4-4x x 2-4 = 0 (x 8) ( x 8) = 0 Fall 1: x 8 = 0 x = 8 Fall 2: x 8 = 0 x = - 8 e) (x 7) 2 (x ) = (x ) 2 7(x 1) x 2 x 2 14x 49 x 1 = x 2 x 9 7x 7 x 2 x 2 11x 4 = x 2 x 2 12x 2 = 0 (x 8) ( x 4) = 0 Fall 1: x 8 = 0 x = 8 Fall 2: x - 4 = 0 x = 4 a) Punkte der Verlierer : x Punkte der Sieger : x x = 7x Veränderte Punkte Verlierer : 4 x = 4x Punkte der Sieger (nicht geändert) : 7x Neue Punktedifferenz : Gleichung 7x = 4x x = 24x x = 990 x = 90 Also haben die Verlierer 90 Punkte erzielt. Die Sieger haben x x = 7x = 90 1 = 10 Punkte erzielt. b) Einerziffer = x Zehnerziffer : = Einzerziffer = x Zahl selber = 10 Zehnerziffer Einerziffer = 10(x ) x Quersumme = Zehner- Einerziffer = x x = 2x- Gleichung : 2x = 2 [10(x ) x)] 4x - 9 = [10(x ) x)] 4x - 9 = [10x 0 x] 4x - 9 = 0x 10 x 4x - 9 = x = 9x 9 = x Die Einerziffer ist also die 9, somit ist die Zehnerziffer eine (x = 9- = ) Vereinfachen quadr. Gleichung Alles auf eine Seite (4x - 4). Binomische Formel auflösen x1 = 8 x2 = -8 Vereinfachen Vereinfachen quadr. Gleichung Alles auf eine Seite (-x - 2) Trinom in Produkt von Binomen verwandeln x1 = 8 x2 = 4 IST - Zustand Veränderter Zustand (Hätten die Verlierer nur vier Fünftel ihrer Punkte erzielt )) Gleichung aufstellen: (Verlierer hätten Punkte weniger als Sieger) HN 0-24x (lineare Gleichung, also x isolieren) : 11 Probe (ist Lösung in D?) L = { 90 } Das Resultat lautet 10 : 90 Punkte. Ziffern untereinander vergleichen und Variablen festlegen. Stellenwerte beachten! Gleichung aufstellen: Quersumme = 2 der Zahl selber HN (2) - 4x 10 (x isolieren, weil lineare Gleichung) : 9 L = {9} Die Zahl heisst 9. Loesungen Mathematik-Dossier -7 Gleichungen.docx A. Räz / Seite 2

3 Seite 1 Seite 9 Gleichungen und Ungleichungen Lösungen Mathematik Dossier 7 Gleichungen c) x Teil 1 : Teil 2 : = Teil : x - 8 Einzelteile der Aufgabenstellung: Dividiert man eine Zahl durch erhält man gleich viel wie wenn man : eine Zahl, die um kleiner ist als die Unbekannte, durch 8 dividiert. Gleichung : x = x - 8 8x = (x ) 8x = x 0 x = - 0 x = = x HN 40 -x (x isolieren, da lineare Gleichung) : x = - 10 Die Zahl heisst a) Gerade zeichnen: 1. Achsenabschnitt (-) Schnittpunkt mit y-achse eintragen (0/(-)) Danach die Steigung abtragen: in y-richtung in x-richtung y b) Schnittpunkt mit der 4 -Gerade (deren Gleichung lautet x y = x Es entsteht ein Gleichungssystem: y = x y = x (-) Anwenden des Gleichsetzungsverfahrens (z.b.): x = x (-) x = x (-1) -x 2x = (-1) : 2 x = (-7.) Dieses x eingesetzt in die Gleichung 1 ergibt den Schnittpunkt Koordinaten des Schnittpunktes: P S ( (-7.) / (-7.) ) c) Schnittpunkt mit der x-achse (deren Gleichung lautet x y = 0. Es entsteht ein Gleichungssystem: 1 P (0/(-)) 1 x y = 0 y = x (-) Anwenden des Gleichsetzungsverfahrens (z.b.): x = Schnittpunkt 0 = x (-) 0 = x (-1) -x (-x) = (-1) : (-) Dieses x eingesetzt in die Gleichung 1 ergibt den Koordinaten des Schnittpunktes: P S ( / 0 ) Loesungen Mathematik-Dossier -7 Gleichungen.docx A. Räz / Seite

4 Seiten 1 / 17 Lösungen Mathematik Dossier 7 Gleichungen d) Schnittpunkt mit der gegebenen Gerade mit der Gleichung lautet x y = x 1.4. Wieder entsteht ein Gleichungssystem: y = x 1.4 y = x (-) Anwenden des Gleichsetzungsverfahrens (z.b.): x 1.4 = x (-) HN () 2x 7 = x (-1) -x 22x 7 = (-1) x = (-22) : 22 x = (-1) Dieses x eingesetzt in die Gleichung 1 ergibt für den Schnittpunkt: y = (-1) 1.4 v y = (-) 1.4 v y = (-.) Lösung: x = -1, y = -. 2 a) x 2y = 7 8x 2y = 0 Die Koordinaten des Schnittpunktes sind also: P S ( (-1) / (-.) ) Koeffizienten von y sind gleich (2y), Vorzeichen verschieden Addition 1x = 117 : 1 x = 9 Einsetzen in Gleichung z.b. 1: 9 2y = 7 4 2y = 7 2y = 12 y = Lösung: x = 9 ; y = P S = ( 9 / ) b) 4x y = 4 20x 1y = 20 x 2y = x 8y =204 - Gleiche Koeffizienten schaffen (Multiplikation) Danach Subtraktion (weil gleiche Vorzeichen) Einsetzen in Gleichung z.b. 1: 4x (-8) = 4 4x - 24 = 4 4x = 28 x = 7 2y = (-184) : 2 Achtung: 1y-(-8y)!!! y = (-8) 2 c) Lösung x = 7 ; y = (-8) P S = ( 7 / (-8) ) 4x y = 0 4x y = 0 y = x - 1 4, umstellen (-4x) 12y = (-4) Gleiche Koeffizienten schaffen (Multiplikation) Danach Addition (weil verschiedene VZ) 1y = 2 : 1 y = 2 Einsetzen in Gleichung z.b. 2: 2 = x - 1 = x 1 7 = x x = 7 ; y = 2 L = { 7 / 2 } d) (-4x) y = 4 (-12x) 18y = 12 y x = 2 4, umstellen (-12x) 4y = 8 Einsetzen in Gleichung z.b. 2: Lösung x = ( 4 7 ) ; y = 2 7 PS = ( ( 4 7 ) / 2 7 ) 14y = 4 : 14 y = 4 14 = 2 7 Gleiche Koeffizienten schaffen (Multiplikation) Danach Subtraktion (weil gleiche VZ) 2 7 x = x = 14 (-21x) = 12 x = ( )=( 4 7 ) Loesungen Mathematik-Dossier -7 Gleichungen.docx A. Räz / Seite 4

5 Seite 18 Lösungen Mathematik Dossier 7 Gleichungen a) b) 4x y = 2 1 (Nenner weg) 12x y = (-0) x 0y = (-00) y x = 0 (Nenner weg) 10 0y -9x = 990 umstellen (-9x) 0y = x = (-1290) :129 x =(-10) Einsetzen in (nennerfreie) Gleichung z.b. Gl.1: 12 (-10) y = (-0) (-120) y = (-0) y = 90 y = 18 Lösung x = (-10) ; y = 18 PS = ( (-10) / 18 ) 4x y = ( 2 ) (Nenner weg) 24x - y = (-4) 72x - 1y = (-12) - 2x y = 2 (Nenner weg) 2x 1y = 10 2x 1y = 10 74x = 148 :74 x = 2 Einsetzen in (nennerfreie) Gleichung z.b. Gl.2: 2 2 1y = y = 10 1y = 1 y = 1 1 =2 x = 2 ; y = 2 PS = ( 2 / 10.4 ) c) x - 2 = y x - 2 = y 4 12x - 8 = 20y 2y = 4x - 1 Umstellen (-4x) 1 = (-2y) (-12x) = (-y) (-) = 14y :14 (- 14 )= y Einsetzen in (nennerfreie) Gleichung z.b. Gl.1: x 2 = (- 14 ) 42x 28 = (-2) Lösung x = 1 14 ; y = (- 14 ) PS = ( 1 14 / (- 14 ) ) d) 2.4x = y x = y y = x y = x x = x = 42 = 1 14 Hier verwende ich für einmal das Einsetzungsverfahren (also für y schreiben wir x 2) die 1. Gleichung heisst also neu: 2.4x = x-2 2 v 2.4x = x x = 0x x (-x) = (- 40) : (-) x = 40 = 10 9 Einsetzen in (nennerfreie) Gleichung z.b. Gl.2: y = y =0 9 Lösung x = 10 9 ; y = 14 9 PS = { 10 9 / 14 9 } y = y = 42 y = = 14 9 Loesungen Mathematik-Dossier -7 Gleichungen.docx A. Räz / Seite

6 Seiten 19 / 20 Lösungen Mathematik Dossier 7 Gleichungen 4 a) 1. Gleichung erstellen: Zwei Zahlen unterscheiden sich um (-4) x y = (-4) 2. Gleichung erstellen: ergeben die Summe von (-12) x y = (-12) Gleichungen addieren (versch. Vorzeichen bei y) 2x = (-1) : 2 x = (-8) In eine Gleichung einsetzen: (-8) y = (-12) y = (-4) Die beiden Zahlen heissen (-4) und (-8) b) 1. Gleichung erstellen: Erste Zahl ist 2. mal die Zweite x = 2.y 2. Gleichung erstellen: Zusammen ergeben sie x y = umstellen der ersten Gleichung: x 2.y = 0 x y = Gleichungen subtrahieren (gleiche Vorzeichen bei x) (-.y) = (-) : (-.) y = 18 In eine Gleichung einsetzen: x = x = 4 Die beiden Zahlen heissen 4 und 18 c) 1. Gleichung erstellen: Doppelte Summe ist 2(x y) = 2. Gleichung erstellen: Neunfache Differenz ist 9(x y) = vereinfachen der Gleichungen: 2x 2y = 9x 9y = Gleiche Koeffizienten schaffen (z.b. vor x): 1. Gleichung mit 9 multiplizieren 18x 18y = Gleichung mit 2 multiplizieren 18x 18y = 72 Gleichungen z.b. subtrahieren (gleiche Vorzeichen bei x) y = 22 y = 7 In eine Gleichung einsetzen: 2x 2 7 = 2x 14 = 2x = 22 x = 11 Die beiden Zahlen heissen 7 und 11 d) 1. Gleichung:..zum Sechsfachen der einen das Dreifache der zweiten = 4 x y = 4 2. Gleichung: Dreifaches der zweiten minus gleich erste Zahl y = x Einsetzungsverfahren verwenden: ( x = y ) In eine Gleichung einsetzen: x = 4 - = x = 12 - x = 7 Die beiden Zahlen heissen 7 und 4 (y-) y = 4 v 18y 0 y = 4 v 21y 0 = y = 84 : 21 y = 4 Hinweis: Jedes Gleichungssystem kann mit jedem der drei Verfahren (Gleichsetzung, Einsetzung, Addition) aufgelöst werden. Man kann sich also auf eines konzentrieren, wenn man will. Ich habe hier versucht, alle Verfahren anzuwenden, um etwas geistige Abwechslung zu haben. Auch das schadet nicht. Die Ergebnisse sind aber nach allen Verfahren die Gleichen. Somit ist die Überprüfbarkeit gegeben. Loesungen Mathematik-Dossier -7 Gleichungen.docx A. Räz / Seite