15. Elektromagnetische Schwingungen

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1 5. Elektromagnetische Schwingungen Elektromagnetischer Schwingkreis Ein Beispiel für eine mechanische harmonische Schwingung wäre eine schwingende Feder, die im Normalfall durch den uftwiderstand gedämpft wird. Entladung eines Kondensators über einen Widerstand Ein Kondensator wird über einen Widerstand R entladen. Wenn man dabei den zeitlichen Verlauf der Spannung Uc am Kondensator mit der Kapazität mit einem Schreiber festhält, erhält man ein t-uc-diagramm, in dem die Spannung am Kondensator immer mehr abnimmt. Mit zunehmender Zeit kann man beobachten, dass sich der Kondensator fast vollständig entlädt. Dies ist darauf zurückzuführen, dass sich die ursprünglich im Kondensator gespeicherte elektrische Energie im Widerstand in innere Energie umwandelt. Schalterstellung lädt den Kondensator auf; Schalterstellung entlädt den Kondensator; Entladung eines Kondensators über einer Spule Anstatt eines Widerstandes, wie im vorherigen Versuch, wird nun eine Spule der Induktivität verwendet, über die der Kondensator entladen wird. Mit einem Schreiber wird wieder der zeitliche Verlauf der Kondensatorspannung Uc festgehalten. Man stellt schnell fest, dass sich der Spannungsverlauf sehr stark verändert, indem nun eine Schwingung mit einer rasch abnehmenden Amplitude zu sehen ist. Die Ursache für die Dämpfung ist die Abnahme der Schwingungsenergie, die gleich der Zunahme der inneren Energie ist, welche sich in der Erwärmung der Drähte zeigt. Wenn in den Kreis ein zusätzlicher Ohm scher Widerstand in Reihe geschalten wird, rhält man eine noch größere Dämpfung. Eine Schaltung, in der ein Kondensator und eine Spule parallel geschaltet sind, heißt elektromagnetischer Schwingkreis. Bei einem Vergleich der beiden t-uc-diagramme stellt man fest, dass bei der Entladung

2 des Kondensators über einen Widerstand die Kondensatorspannung monoton von Uo auf abnimmt, während bei der Entladung über eine Spule der Kondensator einige Male umgeladen wird. Diese Umladung kommt dadurch zustande, dass nach dem Erreichen der maximalen Stromstärke diese abnimmt und damit das magnetische Feld der Spule zusammenbricht. Als Folge davon liefert die zeitliche Flussänderung eine Induktionsspannung Ui an den Enden der Spule, die nach enz ihrer Ursache entgegenwirkt. Dies ist der Fall, wenn Ui so gerichtet ist wie Uc,die zu dem Entladungsstrom geführt hat. Ui bewirkt nun, dass ein Induktionsstrom in gleicher Richtung wie der Entladungsstrom fließt, was zur Umladung des Kondensators führt. Gedämpfte elektromagnetische Schwingungen erhält man mit einem elektromagnetischen Schwingkreis, der aus Kondensator und Spule besteht. Die Dämpfung ist eine Folge des unvermeidlichen Ohm schen Widerstandes. Spannungs- und Stromverlauf bei einer Schwingung Experimentelle Aufnahme des Spannungs- und Stromverlaufs In einem elektromagnetischen Schwingkreis wird der zeitliche Verlauf der Kondensatorspannung Uc und der Stromstärke I mit einem Schreiber, der zwei Größen gleichzeitig aufzeichnen kann, aufgenommen. Dazu verwendet man einen omputer mit Interface. Da mit Interface nur Spannungen gemessen werden können, muss die Stromstärke im Schwingkreis in eine dazu direkt proportionale Spannung umgewandelt werden. Dazu verwendet man den Widerstand R.

3 Diskussion der Vorgänge in einem elektromagnetischen Schwingkreis; Vergleich mit dem Federpendel Wenn man den Spannungsverlauf beobachtet, stellt man fest, dass sich der Kondensator entlädt, entgegengesetzt aufgeladen wird, sich wieder entlädt und schließlich die ursprüngliche Aufladespannung nicht mehr ganz erreicht. In dieser Zeit erfolgt eine Periode der Spannung. Betrachtet man den zeitlichen Verlauf der Stromstärke I, dann erkennt man, dass immer dann, wenn der Kondensator aufgeladen ist, die Stromstärke null ist. Die Extremwerte der Stromstärke liegen bei den Nulldurchgängen der Spannung. Bei den Extrema der Spannung hat sich das elektrische Feld voll ausgebildet, bei den Extrema der Stromstärke das magnetische Feld. Die Spannung am Kondensator eines elektromagnetischen Schwingkreises ist genauso wie die Elongation des Pendelkörpers eine harmonische Schwingung. Außerdem entsprechen sich die Stromstärke im Schwingkreis, sowie die Geschwindigkeit des Pendelkörpers.

4 Thomson-Gleichung a) Differenzialgleichung der ungedämpften elektromagnetischen Schwingung Bei einem idealisierten elektromagnetischen Schwingkreis wird keine elektromagnetische Energie in innere Energie verwandelt. Daraus folgt, dass dieser ungedämpft schwingt. Um die Differenzialgleichung der ungedämpften elektromagnetischen Schwingung zu erhalten, geht man davon aus, dass die Summe der Spannung in der Spule und in dem Kondensator gleich null ist. U U + Mit U I& undu Q I & * Q Aus I Q& folgt: I & & Q& Daraus folgt: Q & + Q Differenzialgleichung der ungedämpften elektromagnetischen Schwingung b) Thomson-Gleichung Vergleicht man nun die Differenzialgleichung der ungedämpften elektromagnetischen Schwingung mit der Differenzialgleichung der ungedämpften mechanischen Schwingung, so lassen sich darin vorkommenden Variabeln, wie in der folgenden Tabelle gegenüberstellen: Mechanische Schwingung Masse m Richtgröße D Elektromagnetische Schwingung Induktivität Reziproke Kapazität Elongation x adung des Kondensators Q Geschwindigkeit v x& Stromstärke I Q& Beschleunigung a & x Zeitliche Änderung I & Q& der Stromstärke Da wir bereits die Gleichung für die Periodendauer T eines mechanischen Oszillators wissen können wir nun mithilfe der obigen Tabelle folgende Formel herleiten: T π Thomson-Gleichung Aus der nun errechneten Periodendauer lässt sich nun noch die Eigenfrequenz f berechnen. Mit f T f Eigenfrequenz des elektromagnetischen Schwingkreises π

5 Aufgaben: S. /,,3 ) geg. mh; pf;,5 mh ges. ; T pf mh sg. pf, nf,5mh T π π pf mh, µ s ) geg., 5mH ; f 8kHz ges. sg. f π πf f 6kHz π π,583nf, 6nF,5mH 3) geg. 5 pf ; f 8kHz ges. sg. f π πf f 6kHz π π,795mh, 8mH 5 pf