Grundlagen Algebra. Betragsgleichungen. Anschaulich kann man unter a die Maßzahl des Abstandes der Zahl a vom Nullpunkt der Zahlengeraden verstehen.

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1 GS h_betragsgl.mcd Betragsgleichungen Definition: Betrag einer Zahl: a = a if a> if a = a if a< Betrag eines Terms: a b = ( a b) if a> b if a = b ( b a) if a< b Anschaulich kann man unter a die Maßzahl des Abstandes der Zahl a vom Nullpunkt der Zahlengeraden verstehen. Anschaulich kann man unter a b den Abstand zwischen den Zahlen a und b verstehen. Kommen in einer Gleichung oder Ungleichung Betragsterme vor, so müssen diese mit Hilfe einer Fallunterscheidung erst aufgelöst werden, bevor die endgültige Gleichung oder Ungleichung gelöst werden kann. Beispiele dazu siehe auf den nächsten Seiten. / 9

2 Aufgabe : a) Bestimmen Sie die smenge folgender Gleichung in der Grundmenge IR. b) Veranschaulichen Sie die Ermittlung der smenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von Gleichung: sweg: : = ID = IR Auflösen des Betrags. Lösen der linearen Gleichung.. Fall: > auflösen, < = auflösen, IL = { }. Fall: < auflösen, < ( ) = auflösen, IL = { } IL = IL IL = { ; } l( ) := ( ) if > r( ) := if = ( ) if < Differenzfunktionen: d( ) := r( ) d( ) := ( r( ) ) Graphische der Gleichung: Differenzfunktionen -Achse Graph von l() Graph von r() Fkt.wert: l() = r() Projektion auf die -Achse Projektion auf die -Achse -Achse Graph d() Graph d() / 9

3 Aufgabe : a) Bestimmen Sie die smenge folgender Gleichung in der Grundmenge IR. b) Veranschaulichen Sie die Ermittlung der smenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von Gleichung: = ID = IR sweg: : Auflösen des Betrags. Lösen der linearen Gleichung.. Fall: > auflösen, < = auflösen, IL = { }. Fall: < auflösen, < ( ) = auflösen, 7 IL = { 7 } IL = IL IL = { ; 7 } l( ) := ( ) if < r( ) := if = ( ) if > Differenzfunktionen: d( ) := r( ) d( ) := r( ) 7 Graphische der Gleichung: Differenzfunktionen -Achse Graph von l() Graph von r() Fkt.wert: l() = r() Projektion auf die -Achse Projektion auf die -Achse -Achse Graph d() Graph d() / 9

4 Aufgabe : a) Bestimmen Sie die smenge folgender Gleichung in der Grundmenge IR. b) Veranschaulichen Sie die Ermittlung der smenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von Gleichung: + = ID = IR sweg: Auflösen der beiden Beträge. Lösen der lin. Gleichung mit Fallunterscheidung. :. Fall: und auflösen, + ( ) = auflösen, IL = { }. Fall: und < auflösen, < ( ) = auflösen, IL = { }. Fall: > und < auflösen, < < < ( ) = = IL = { }. Fall: < und > auflösen, < Widerspruch IL = IL IL IL = { ; } l( ) := ( ) if ( + ) if if < < r( ) := / 9

5 Graphische der Gleichung: -Achse Graph von l() Graph von r() Fkt.wert: l() = r() Projektion auf die -Achse Projektion auf die -Achse 5 / 9

6 Aufgabe : a) Bestimmen Sie die smenge folgender Gleichung in der Grundmenge IR. b) Veranschaulichen Sie die Ermittlung der smenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von Gleichung: + = ID = IR \ { } sweg: Auflösen des Betrags. Lösen der Bruchgleichung mit Fallunterscheidung. :. Fall: + auflösen, < < + = auflösen, =.7 IL = { }. Fall: + auflösen, < < + = auflösen, IL = { } IL = IL IL = { ; } l( ) := + if < + if < r( ) := / 9

7 Graphische der Gleichung: Graph von l() Graph von r() Fkt.wert: l() = r() Projektion auf die -Achse Projektion auf die -Achse Definitionslücke -Achse 7 / 9

8 Aufgabe 5: a) Bestimmen Sie die smenge folgender Gleichung in der Grundmenge IR. b) Veranschaulichen Sie die Ermittlung der smenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von Gleichung: = ( ) ( + ) = ID = IR sweg: Auflösen des Betrags mit Fallunterscheidung. Lösen der quadratischen Gleichungen. :. Fall: ( ) ( + ) auflösen, = auflösen, IL = { + ; } + =.7.7. Fall: ( ) ( + ) auflösen, + + = auflösen, IL = { ; } IL = IL IL = { ; ; ; + } l( ) := if + + if r( ) := / 9

9 Graphische der Gleichung: Graph von l() Graph von r() Fkt.wert: l() = r() Projektion auf die -Achse Projektion auf die -Achse Projektion auf die - achse Projektion auf die - Achse -Achse 9 / 9