Vorlesungsfolien Mathematik 3 WS 2010/11 UMIT. Einleitung

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1 Vorlesungsfolien Mathematik 3 WS 2010/11 Dr. Leonhard Wieser UMIT Einleitung Begriff Vektoranalysis: Kombination aus Linearer Algebra/Vektorrechnung mit Differential- und Integralrechnung Inhaltsangabe: - Einführung (Wiederholung, Grundbegriffe) - Differentialrechnung (Partielle Ableitung, Differentialoperatoren) - Integralrechnung (Mehrdimensionale Integrale)

2 Raumkurven Beispiele: Bewegung eines Planeten im Schwerefeld Beispiele: Gleichförmige Bewegung, Wurfparabel Tangente, Tangentenvektor Beispiele: - r(t) = (t², t³, 0) (s. Bild) - Wurfparabel

3 Bogenlänge von Kurven Herleitung: Summe über Längen der Abschnitte, Grenzwertbildung S = Bogenlänge unabhängig von Parametrisierung Beispiele: - Kreisbogen - Spirale r(t) = (cos t, sin t, t) Skalare Funktion, Vektorfelder Skalare Funktion: Beispiel (2D): f(x,y) = x e (-x²-y²)

4 Skalare Funktion, Vektorfelder Vektorfeld: Gravitationsfeld Geschwindigkeitsfeld rotierende Scheibe Partielle Differentiale, Kettenregel Partielle Ableitung: Jacobi-Matrix: Darstellung aller partiellen Ableitungen als Matrix Kettenregel:

5 Gradient Gegeben eine skalare Funktion f Bemerkung: Der Gradient ist ein Vektorfeld. Beispiele: Gradienten bilden von: - - f(x,y) = 1 x 2 y Richtungsableitung Idee: Änderungsrate einer skalaren Funktion in einer vorgegebenen Richtung Zusammenhang: Beispiel: Gradient von f(x,y) = 1 x 2 y 4 im Punkt (1, 0) mit mit verschiedenen Richtungen

6 Gradient als Flächennormale Fläche mit f als definierender Funktion grad f steht normal auf Fläche Beispiel: - Sphäre: f(x,y,z) = x 2 + y 2 + z 2 R 2 Potential Potential ist die skalare Funktion f zu einem Vektorfeld v so, dass grad f = v ist. Das Vektorfeld v heißt dann konservativ. Beispiele: - Konstantes Vektorfeld - Coulombsches Kraftfeld - Elektrisches Feld Elektrisches Potential - v(x,y,z) = (3x², 2yz, y²)

7 Beispiel Bildverarbeitung Bild aus Magnetresonanztomographie als Grauwertbild (links) und der Gradient davon ebenfalls als Grauwertbild (rechts) Kanten werden betont Divergenz Gegeben ein Vektorfeld v Beispiele: - Divergenz von v(x,y,z) = (x-y, xy, z²) - Divergenz des Elektrischen Feldes (Coulomb-Gesetz)

8 Kontinuitätsgleichung Gegeben: Vektorfeld v (Geschwindigkeitsfeld), gewichtet mit Dichte u=ρv Betrachte kleines Flächenstück und betrachte Flüsse durch die Kanten = Grenzübergang: Δt, Δx, Δy 0 Divergenz, geometrische Deutung Kontinuitätsgleichung: Beispiele: Nettoflüsse durch infinitesimal kleine Flächenelemente (in 3D: Volumselemente) y Gradientenfeld von f(x,y) = x e(-x²-y²) : v = grad f = e(-x²-y²) (1-2x 2, -2xy) div v in den Punkten (1,0), (-1,0), (0,-1)? x Geschwindigkeitsfeld einer rotierenden Kreisscheibe: v = ω (-y, x, 0) div v =?

9 Rotation Gegeben ein Vektorfeld v, die Rotation ist definiert als das Vektorfeld Definiert in 3D, in 2D entartet die Rotation zu einer skalaren Funktion. Geometrische Deutung: Kleine Kreisscheiben, die im gegebenen Vektorfeld rotieren Rotation Beispiele: Rotation von - v = ω (-y, x, 0) Eigenschaften: - div (rot v) = 0 - rot (grad f) = 0 Satz: Gegeben ein stetig partiell differenzierbares Vektorfeld v auf einem einfach zusammenhängenden Gebiet. Es gibt ein Potential f mit grad f = v genau dann, wenn rot v = 0. Beispiele: - v = (3x 2, 2yz, y 2 ) - v = (ye x, e x, 2z) - Elektrisches Potential

10 Doppelintegral (Flächenintegral) Integral einer Funktion über eine Fläche --> Volumen unter dem Funktionsgraphen Unterteilung in Rechtecke und Summation der Einzelvolumina Doppelintegral über zwei Einzelintegrale Volumen unter einer Fläche: Doppelintegral Beispiele R aufgespannt durch die Funktionen y = x und y = x² Funktion: f(x,y) = 1-xy Schwerpunkt eines Halbkreises:

11 Volumsintegral Integral einer Funktion f(x,y,z) über ein Gebiet im 3 aufeinanderfolgende Integrationen Beispiel: Dichtefunktion f(x,y,z) = x²y²z² Masse des Würfels 0 < x, y, z < 1? z x y Linienintegral Motivation: Verschiebungsarbeit an einem Körper in einem Kraftfeld Beispiel: - Wurfparabel im Schwerefeld

12 Linienintegral, konservative Vektorfelder Gegeben: Vektorfeld F und zugehöriges Potential f Linienintegral vom Weg unabhängig Linienintegral verschwindet über geschlossene Kurven Beispiel: f = x 3 +y 2 z, F = grad f =? C 1 : r(t) = (t, t 2, 0) C 2 : r(t) = (t, 0, 0) C 3 : r(t) = (1, t, 0) Integration von F über C 1 und Integration über C 2, C 3 Parametrisierung Flächen Parametrisierung der Oberfläche Beschreibung der Tangentenebene Beispiel: Sphäre mit Radius R

13 Oberflächenintegral, skalare Funktion Betrachte kleines Flächenelement in der parametrisierten Fläche Oberflächenintegral: Beispiel: Oberfläche einer Sphäre mit Radius R Oberflächenintegral, Vektorfelder Fluss durch ein kleines Flächenelement Flussintegral: Orientierung von Flächen beachten Möbius-Band: Beispiel für nicht orientierbare Fläche Beispiele: Fluss durch die Sphäre mit Radius R - F(x,y,z) = (x,y,z) = r - F(x,y,z) = = r/ r ³

14 Satz von Gauß Elektrisches Feld (Coulomb-Gesetz) Anwendungsbeispiele - Elektrischer Kraftfluss durch eine beliebige geschlossene Oberfläche hängt nur von der Ladung im Inneren ab, nicht von der Beschaffenheit der Oberfläche - Anwendung des Satzes von Gauß liefert die Beziehung mit der Ladungsdichte ρ ( Ladungen sind die Quellen des elektrischen Feldes ) Wärmeleitungsgleichung - Gleichung zwischen Wärmefluss durch geschlossene Oberfläche und Energieabnahme bzw. zunahme im Inneren. - Anwendung des Satzes von Gauß liefert die Wärmeleitungsgleichung T Temperatur Materialabhängige Größen: λ Wärmeleitfähigkeit, κ Spez. Wärmekapazität, ρ Dichte