Mathematik-Lexikon. Abszisse Die x-koordinate eines Punktes -> Ordinate

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Til Siegel
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1 Mathematik-Lexikon HM00 Abszisse Die x-koordinate eines Punktes -> Ordinate Aufstellen von Funktionstermen Gesucht: Ganzrationale Funktion n-ten Grades: ƒ(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + a n- x n a 1 x + a 0 Zur Festlegung dieses Terms sind n+1 voneinander unabhängige Gleichungen notwendig. Im folgenden werden einige Aussagen angegeben und in einer mathematischen Gleichung formuliert: 1. "Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-achse" => die Koeffizienten aller ungeraden Potenzen von x sind Null "Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung" => die Koeffizienten aller geraden Potenzen von x sind Null. "Der Graph besitzt an der Stelle x 0 die Steigung m" => f'(x 0 ) = m "Der Graph besitzt an der Stelle x 0 eine waagrechte Tangente" => m = 0 => f'(x 0 ) = 0 "Der Graph schließt mit der x-achse einen Winkel π ein" => m = tanπ => f'(x 0 ) = tan π 3. "Die Tangente an den Graphen an der Stelle x 0 ist parallel zur Tangente an den Graphen der Funktion g an der Stelle x 0. " => f'(x 0 ) = g'(x 0 ) 4. "Der Graph der Funktion f berührt an der Stelle x 0 den Graphen der Funktion g " => f(x 0 ) = g(x 0 ) und f'(x 0) = g'(x 0 ) 5. "Der Graph der Funktion f berührt an der Stelle x 0 die x-achse" oder "... hat an der Stelle x 0 eine doppelte Nullstelle" => f(x 0 ) = 0 und f'(x 0 ) = 0 6. "Der Graph besitzt im Punkt E(x 0 ;y 0 ) einen Extrempunkt" => f(x 0 ) = y 0 und f'(x 0 ) = 0 7. "Der Graph besitzt im Punkt W(x 0 ;y 0 ) einen Wendepunkt" => f(x 0 ) = y 0 und f''(x 0 ) = 0 8. "Der Graph besitzt im Punkt T(x 0 ;y 0 ) einen Terassenpunkt" => f(x 0 ) = y 0 und f'(x 0 ) = 0 und f''(x 0 ) = 0 9. "Der Graph der Funktion f schließt mit der x-achse und den Geraden x=a und x=b eine Fläche mit dem Inhalt z FE ein" (In (a;b) sei keine Nullstelle und Graph oberhalb der x-achse)

2 b f( x) dx = z a Berührpunkt Gemeinsamer Punkt der Graphen zweier Funktionen f und g; zusätzlich dort gleiche Steigung der Tangenten: f(x 0 ) = g(x 0 ) und f '(x 0 ) = g'(x 0 ) oder: Die Gleichung f(x 0 ) = g(x 0 ) hat zwei zusammenfallende Lösungen. -> Schnittpunkt Differenzierbarkeit Eine Funktion f heißt differenzierbar an der Stelle x 0, wenn 1. f in einer Umgebung von x 0 definiert ist. der Differentialquotient f x f x0 lim ( ) ( ) x x x x 0 0 existiert. Extrempunkte (vgl. FS S.63) Flächeninhalt (vgl. FS S.68) Dreieck: A = 1/ Grundlinie Höhe Viereck: A = Länge Breite Kreis : A = (Radius) π Umfang Rechteck: U = (Länge + Breite) Umfang Kreis : U = Radius π Ganzrationale Funktion Eine Funktion der Form ƒ(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + a n- x n a 1 x + a 0 mit a i R und a n 0 heißt ganzrationale Funktion vom Grade n. Bsp: f(x) = 4 x 5 + 1/ x 4 + 3x - π Gerade Der Graph einer Funktion der Form f(x) = m x + t ist eine Gerade mit der Steigung m und dem y-achsenabschnitt t.

3 Sonderfälle: x = a Gerade parallel zur y-achse im Abstand a y = a Gerade parallel zur x-achse im Abstand a

4 Gleichungen 1) ax + b = 0 => x = -b/a ) ax + bx + c = 0 ; D = b - 4ac D > 0 : Es existieren genau zwei Lösungen b D x1, = ± a D = 0 : Es existiert genau eine Lösung b x1 = a D < 0 : Es existiert keine reelle Lösung 3a) ax 3 x( ax + bx + cx = 0 + bx + c) = 0 x 1 = 0 x,3 = ( siehe ) 3 3b) ax + bx + cx + d = 0 durch probieren x 1 dann Polynomdivision mit (x - x 1 ) weiter bei ) 4) ax 4 Lösen + bx mit + c = 0 ) liefert z Substitution : x 1, = z az + bz + c = 0 Ist z i 0 x = ± z i Koordinaten -> Abszisse, -> Ordinate Krümmungsverhalten (vgl. FS S.63/64) Monotonieverhalten (vgl. FS S.63 'Steigen und Fallen') Normale Eine Gerade n, die in einem Punkt senkrecht zu einer gegebenen Geraden g liegt. Für die Steigungen gilt: m n m g = -1 1 Normalengleichung: y = f ( x0 ) ( x x0 ) f '( x0 ) -> Tangente

5 Nullstellen Bedingung: f(x 0 ) = 0 (Lösung: -> Gleichungen) 1) Nullstelle 1. Ordnung: Graph schneidet die x-achse ) Nullstelle. Ordnung: Graph berührt die x-achse (Extrempunkt) 3) Nullstelle 3. Ordnung: Graph durchdringt die x-achse mit horizontaler Tangente (Terassenpunkt) Ordinate die y-koordinate eines Punktes Parabel Graph der ganzrationalen Funktion. Grades: f(x) = ax + bx + c Scheitelform: f(x) = a (x - x s ) + y S b mit x S = x-scheitelkoordinate a y s = f(x S ) y-scheitelkoordinate Der Parameter a bestimmt die Form: a>0 => Graph nach oben geöffnet a<0 => Graph nach unten geöffnet a = 1 => Normalparabel a > 1 => Graph gestreckt a < 1 => Graph gestaucht Parameter Formvariable in einem Funktionsterm, etwa f(x) = ax 3 + bx mit a,b als Parameter Quadranten II. I. III. IV. Scheitelpunkt -> Parabel Schnittpunkt Gemeinsamer Punkt zweier Graphen von Funktionen. Bedingung: f(x 0 ) = g(x 0 ) (Lösung: -> Gleichungen) -> Berührpunkt Stammfunktion Jede Funktion F, die die Bedingung F'(x) = f(x) erfüllt, heißt Stammfunktion von f. (vgl. FS S.65)

6 Stetigkeit (vgl. FS S.56) Symmetrie Achsensymmetrie zur y-achse: für alle x D gilt: f(-x) = f(x) oder: alle Exponenten von x sind gerade Punktsymmetrie zum Ursprung: für alle x D gilt: f(-x) = - f(x) oder: alle Exponenten von x sind ungerade Merke: Jede ganzrationale Funktion 3. Grades ist punktsymmetrisch zu ihrem Wendepunkt. Steigung (vgl. FS S.40,47,58) -> Gerade Tangente Berührgerade eines Graphen im Punkt ( x 0 ; f(x 0 ) ) Gleichung: y = f(x 0 ) + f'(x 0 ) (x - x 0 ) -> Normale Terassenpunkt Ein Wendepunkt mit horizontaler Tangente. Bedingungen: f'(x 0 ) = 0 und f''(x 0 ) = 0 und f'''(x 0 ) <> 0 Wendepunkt (vgl. FS S.64) Wendetangente Tangente in einem Wendepunkt Notizen

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