Teil I.2 Lösen von Bestimmungsgleichungen

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1 Brückenkurs Mathematik Teil I.2 Lösen von Bestimmungsgleichungen Staatliche Studienakademie Leipzig Studienrichtung Informatik Dr. Susanne Schneider 12. September 2011 Bestimmungsgleichungen 1 Reelle Zahlen 1.1 Die Zahlbereiche 1.2 Die vier Grundrechenarten 1.3 Potenz- und Wurzelrechnung 1.4 Logarithmen 2 Bestimmungsgleichungen 2.1 Das Auflösen algebraischer Gleichungen 2.2 Exponentialgleichungen und logarithmische Gleichungen 2.3 Goniometrie Bestimmungsgleichungen Eine Bestimmungsgleichung ist eine Gleichung, in der unbekannte Größen auftreten, die bestimmt werden sollen. Folgende Fälle sind möglich: 1. Die Gleichung besitzt überhaupt keine Lösung. 2. Die Gleichung besitzt genau eine Lösung. (d.h. eine eindeutig bestimmte) 3. Die Gleichung besitzt mehrere voneinander verschiedene Lösungen (möglicherweise unendlich viele). Lösungsmenge L = {x Bedingung(en) für x} Lösung durch formales Umformen Sind die Lösungsmengen von zwei Gleichungen (etwa vor und nach der Umformung) gleich, so sind diese Gleichungen einander äquivalent., T 2 und T 3 sind Terme, es gelten folgende Umformungsregeln: Vor der Umformung Nach der Umformung wenn T 3 0 wenn T 3 0 log a log a T 2 wenn a 0, a 1 a a T 2 wenn a 0, a 1

2 2 Klassen Bestimmungsgleichungen 1. Algebraische Gleichungen: Mit der (oder den) Unbekannten werden nur algebraische Rechenoperationen ausgeführt: addiert oder subtrahiert Multipliziert oder dividiert potenziert radiziert 2. Transzendente Gleichungen: Alle nichtalgebraischen Bestimmungsgleichungen Wichtige Spezialfälle sind: Exponentialgleichungen Logarithmische Gleichungen Goniometrische Gleichungen Auflösen algebraischer Gleichungen Auflösen Algebraischer Gleichungen des Typs: a n x n a n 1 x n 1... a 1 x a 0 0 Der Ausdruck P n (x) wird auch Polynom vom Grad n genannt: P n x a n x n a n 1 x n 1... a 1 x a 0 0 Quadratische Gleichung: a 2 x a 1 x a 0 0 Quadratische Gleichungen Überführung in Normalform durch Division beider Seiten der Gleichung durch a 2 : a x px q 0; mit 1 p ; a 2 Lösungsformel: x 1,2 p p 2 q a 0 a 2 q 1) p 2 q 0 zwei Nullstellen x 1 x 2 2) p 2 q 0 eine Nullstellen x 1 x 2 3) p 2 q 0 keine Nullstellen Biquadratische und symmetrische Gleichungen Spezielle Gleichungen 4. Grades Lassen sich durch geeignete Substitution auf Gleichungen 2. Grades zurückführen Biquadratische Gleichung: a 4 x 4 a 2 x a 0 0 Symmetrische Gleichung: ax 4 bx 3 cx bx a 0

3 Biquadratische Gleichung a 4 x 4 a 2 x a 0 0 Substitition: z x 2 Damit ergibt sich: a 4 z a 2 z a 0 0 Berechnung aller nichtnegativen Lösungen z 1,z 2 nach der Lösungsformel für quadratische Gleichungen. Danach ergeben sich die Lösungen aus: x 1,2 z 1 x 3,4 z 2 Anmerkung: Für z i 0 gibt es keine Lösung(en), da die Quadratwurzel einer negativen Zahl in nicht existiert. Symmetrische Gleichung ax 4 bx 3 cx bx a 0 Division durch x 2 : a x 1 2 x b x 1 x c 0 Substitution: z x 1 ( umgestellt: x zx 1 0) x Es folgt: az bz c 2a 0 Nach Bestimmung der Nullstellen z 1,2 Einsetzen in die umgestellte Substitutionsgleichung: x z 1,2 x 1 0 Daraus ergeben sich die Lösungen x 1,x 2,x 3,x 4 der Ausgangsgleichung. Algebraische Gleichungen dritten oder höheren Grades Für die Grade n=3 und n=4 existieren Lösungen, die sogenannten Cardanischen Formeln Wegen der Unhandlichkeit der Lösungsformeln verwenden wir die Methode der Reduktion (Erniedrigung) des Grades Wenn wir eine Lösung x 1 der algebraischen Gleichung kennen, dann kann auf der linken Seite der Gleichung der lineare Faktor (x-x 1 ) abgespalten werden und damit der Grad der Gleichung auf Grad n-1 reduziert werden. Wurzelgleichungen Algebraische Gleichungen, in denen die Unbekannte mindestens einmal im Radikanten einer Wurzel auftritt Lösung: Wurzel isolieren (d.h. auf eine Seite der Gleichung bringen) und Gleichung potenzieren Es können zusätzliche Scheinlösungen entstehen, am Ende muss eine Probe gemacht werden

4 Exponentialgleichungen Exponentialgleichungen sind transzendente Gleichungen, bei denen die Unbekannte nur als Exponent auftritt Sind i.a. nicht geschlossen lösbar, nur wenige Sonderformen können auf algebraische Gleichungen zurückgeführt werden Lösung möglich, wenn in folgende Form umwandelbar: a P 1 x b P 2 x a,b, a,b 0, P i x sind Polynome a P 1 x Exponentialgleichungen (2) b P 2 x a,b, a,b 0, P i x sind Polynome 1) a b P 1 x P 2 x 2) a b (algebraische Gleichung) Logarithmieren (beliebige Basis) und log u a a log u anwenden: P 1 x log a P 2 x log b (algebraische Gleichung) Logarithmische Gleichungen Transzendente Gleichungen, Variable ausschließlich im Argument von Logarithmusfunktionen Lösungen sind unbedingt zu prüfen, ob sie im Definitionsbereich der Ausgangsgleichung liegen, oder ob es Scheinlösungen sind Sind in der Regel nicht geschlossen lösbar, nur Sonderfälle sind auf algebraische Gleichungen zurückzuführen Logarithmische Gleichungen (2) 1) Ausgangsgleichung in eine der folgenden Formen bringen: log a P 1 x b mit a 0, a 1 a oder log a P 1 x log a P x mit a 0, a 1 b 2) Lösen der Gleichungen: (a) in Potenzform P 1 x a b umwandeln, diese kann häufig gelöst werden. (b) Durch gleichsetzen der Argumente erhalten wir: P 1 x P x (algebraische Gleichung) 3) Scheinlösungen aussortieren (Probe).

5 Goniometrie Trigonometrische Funktionen Goniometrie beschäftigt sich mit dem Rechnen mit Winkelfunktionen Winkel α ist gegeben durch einen Punkt S (Scheitel) und zwei von ihm ausgehende Strahlen p, q (Schenkel) q S α p Grad Neugrad (Gon) Bogenmaß Vollwinkel g 2 Gestreckter Winkel g Rechter Winkel g 2 II. Quadrant I. Quadrant y s P(u, v) α v 0 u Q x III. Quadrant IV. Quadrant sin v r cos u r cos sin 1 1 tan 1 cos tan v u cot u v tan sin cos tan cot 1 Periodizität und Quadrantenbeziehungen der Winkelfunktionen Periodizität und Quadrantenbeziehungen der Winkelfunktionen Periode = 360 sin n 360 sin cos n 360 cos Periode = 180 tan n 180 tan cot n 180 cot

6 Additionstheoreme sin sin cos cos sin cos cos cos sin sin tan cot tan tan 1 tan tan cot cot 1 cot cot Goniometrische Beziehungsgleichungen transzendente Gleichungen, in denen die Unbekannte ausschließlich im Argument von Winkelfunktionen auftritt Lösungsschema: 1) goniometrische Gleichung so umformen, daß alle Winkelfunktionen das gleiche Argument haben (Additionstheoreme nutzen) 2) umformen, bis nur noch eine Winkelfunktion auftritt 3) Substitution dieser Winkelfunktion (z.b. z = sin(3x) ), wir erhalten algebraische Gleichung P n (z)=0 4) Lösung der algebraischen Gleichung 5) Rücksubstitution und Aussondern von Scheinlösungen (Probe)