Am Dienstag, den 16. Dezember, ist Eulenfest. 1/48

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1 Am Dienstag, den 16. Dezember, ist Eulenfest. 1/48

2 Grundbegriffe der Informatik Einheit 12: Erste Algorithmen in Graphen Thomas Worsch Universität Karlsruhe, Fakultät für Informatik Wintersemester 2008/2009 2/48

3 Überblick Java-Arrays und Matrizen Eindimensionale Vektoren Addition von Vektoren Zweidimensionale Matrizen Addition von Matrizen Multiplikation von Matrizen Repräsentation von Graphen im Rechner Einfache Berechnung der Erreichbarkeitsrelation Potenzen der Adjazenzmatrix Erste Möglichkeit für die Berechnung der Wegematrix Zählen durchzuführender arithmetischer Operationen Weitere Möglichkeiten für die Berechnung der Wegematrix Algorithmus von Warshall Überblick 3/48

4 Überblick Java-Arrays und Matrizen Eindimensionale Vektoren Addition von Vektoren Zweidimensionale Matrizen Addition von Matrizen Multiplikation von Matrizen Repräsentation von Graphen im Rechner Einfache Berechnung der Erreichbarkeitsrelation Potenzen der Adjazenzmatrix Erste Möglichkeit für die Berechnung der Wegematrix Zählen durchzuführender arithmetischer Operationen Weitere Möglichkeiten für die Berechnung der Wegematrix Algorithmus von Warshall Java-Arrays und Matrizen 4/48

5 Eindimensionales Array waagerecht hingemalt: senkrecht hingemalt: alle Komponenten vom gleichen Typ Java-Arrays und Matrizen Eindimensionale Vektoren 5/48

6 Vektoren so eine rechteckige Anordnung von Elementen heißt auch Vektor, genauer Zeilenvektor opder Spaltenvektor. Die Anzahl der Elemente heißt Größe eines Vektors. Komponenten oder Einträge des Vektors in Java V [i] hier meist auch V [i] (gelegentlich Vi ) mathematische Notation oft mit großen (runden) Klammern außen herum wie bei Zeilenvektor V = ( ) oder 1 Spaltenvektor V = Java-Arrays und Matrizen Eindimensionale Vektoren 6/48

7 Addition von Vektoren: mathematisch Wenn V 1 und V 2 zwei Vektoren gleicher Größe sind, ist ihre Summe definiert als der Vektor, bei der für alle Komponentennummern i gilt: (V 1 + V 2 )[i] = V 1 [i] + V 2 [i] Beispiel: ( ) + ( ) = ( ) Java-Arrays und Matrizen Addition von Vektoren 7/48

8 Addition von Vektoren: algorithmisch for i 0 to n 1 do S[i] V 1 [i] + V 2 [i] od Java-Arrays und Matrizen Addition von Vektoren 8/48

9 Zweidimensionales Array eindimensionales Array (senkrecht hingemalt), dessen Komponenten wieder eindimensionale Arrays (waagerecht hingemalt) sind Java-Arrays und Matrizen Zweidimensionale Matrizen 9/48

10 Zweidimensionales Array eindimensionales Array (senkrecht hingemalt), dessen Komponenten wieder eindimensionale Arrays (waagerecht hingemalt) sind Java-Arrays und Matrizen Zweidimensionale Matrizen 9/48

11 Zweidimensionales Array eindimensionales Array (senkrecht hingemalt), dessen Komponenten wieder eindimensionale Arrays (waagerecht hingemalt) sind Java-Arrays und Matrizen Zweidimensionale Matrizen 9/48

12 Zweidimensionales Array eindimensionales Array (senkrecht hingemalt), dessen Komponenten wieder eindimensionale Arrays (waagerecht hingemalt) sind M[0][0] M[0][1] M[0][2] M[0][3] M[0][4] M[1][0] M[1][1] M[1][2] M[1][3] M[1][4] M[2][0] M[2][1] M[2][2] M[2][3] M[2][4] M[3][0] M[3][1] M[3][2] M[3][3] M[3][4] M[4][0] M[4][1] M[4][2] M[4][3] M[4][4] Java-Arrays und Matrizen Zweidimensionale Matrizen 9/48

13 Matrizen so eine rechteckige Anordnung von Elementen heißt auch Matrix. Ihre Größe ist das Paar (m, n), bei dem m die Zeilenzahl ist und n die Spaltenzahl manchmal auch Schreibweise m n für die Größe Komponenten oder Einträge der Matrix in Java M[i][j] hier lieber M[i, j] oder M ij mathematische Notation oft mit großen (runden) Klammern außen herum wie in M = Java-Arrays und Matrizen Zweidimensionale Matrizen 10/48

14 Addition von Matrizen: mathematisch Wenn M 1 und M 2 zwei Matrizen gleicher Größe sind, ist ihre Summe definiert als die Matrix, bei der für alle Zeilennummern i und alle Spaltennummern j gilt: (M 1 + M 2 )[i, j] = M 1 [i, j] + M 2 [i, j] Beispiel: = Java-Arrays und Matrizen Addition von Matrizen 11/48

15 Addition von Matrizen: algorithmisch for i 0 to m 1 do for j 0 to n 1 do S[i, j] M 1 [i, j] + M 2 [i, j] od od so viel zur Addition, und nun zur Multiplikation... Java-Arrays und Matrizen Addition von Matrizen 12/48

16 Addition von Matrizen: algorithmisch for i 0 to m 1 do for j 0 to n 1 do S[i, j] M 1 [i, j] + M 2 [i, j] od od so viel zur Addition, und nun zur Multiplikation... Java-Arrays und Matrizen Addition von Matrizen 12/48

17 Multiplikation von Matrizen: mathematisch Wenn M 1 und M 2 zwei Matrizen mit Größen m 1 n 1 bzw. m 2 n 2 sind und wenn n 1 = m 2 ist, ist ihr Produkt definiert als die Matrix M 1 M 2 der Größe m 1 n 2, bei der für alle Zeilennummern i und alle Spaltennummern j gilt: (M 1 M 2 )[i, j] = n 1 1 k=0 M 1 [i, k] M 2 [k, j] Beispiel: = M ( )( ) M 1 = = M M 2 für iterierte Multiplikation M M wieder Potenzschreibweise Java-Arrays und Matrizen Multiplikation von Matrizen 13/48

18 Multiplikation von Matrizen: mathematisch Wenn M 1 und M 2 zwei Matrizen mit Größen m 1 n 1 bzw. m 2 n 2 sind und wenn n 1 = m 2 ist, ist ihr Produkt definiert als die Matrix M 1 M 2 der Größe m 1 n 2, bei der für alle Zeilennummern i und alle Spaltennummern j gilt: (M 1 M 2 )[i, j] = n 1 1 k=0 M 1 [i, k] M 2 [k, j] Beispiel: = M ( )( ) M 1 = = M M 2 für iterierte Multiplikation M M wieder Potenzschreibweise Java-Arrays und Matrizen Multiplikation von Matrizen 13/48

19 Multiplikation von Matrizen: mathematisch Wenn M 1 und M 2 zwei Matrizen mit Größen m 1 n 1 bzw. m 2 n 2 sind und wenn n 1 = m 2 ist, ist ihr Produkt definiert als die Matrix M 1 M 2 der Größe m 1 n 2, bei der für alle Zeilennummern i und alle Spaltennummern j gilt: (M 1 M 2 )[i, j] = n 1 1 k=0 M 1 [i, k] M 2 [k, j] Beispiel: = M ( )( ) M 1 = = M M 2 für iterierte Multiplikation M M wieder Potenzschreibweise Java-Arrays und Matrizen Multiplikation von Matrizen 13/48

20 Multiplikation von Matrizen: mathematisch Wenn M 1 und M 2 zwei Matrizen mit Größen m 1 n 1 bzw. m 2 n 2 sind und wenn n 1 = m 2 ist, ist ihr Produkt definiert als die Matrix M 1 M 2 der Größe m 1 n 2, bei der für alle Zeilennummern i und alle Spaltennummern j gilt: (M 1 M 2 )[i, j] = n 1 1 k=0 M 1 [i, k] M 2 [k, j] Beispiel: = M ( )( ) M 1 = = M M 2 für iterierte Multiplikation M M wieder Potenzschreibweise Java-Arrays und Matrizen Multiplikation von Matrizen 13/48

21 Multiplikation von Matrizen: mathematisch Wenn M 1 und M 2 zwei Matrizen mit Größen m 1 n 1 bzw. m 2 n 2 sind und wenn n 1 = m 2 ist, ist ihr Produkt definiert als die Matrix M 1 M 2 der Größe m 1 n 2, bei der für alle Zeilennummern i und alle Spaltennummern j gilt: (M 1 M 2 )[i, j] = n 1 1 k=0 M 1 [i, k] M 2 [k, j] Beispiel: = M ( )( ) M 1 = = M M 2 für iterierte Multiplikation M M wieder Potenzschreibweise Java-Arrays und Matrizen Multiplikation von Matrizen 13/48

22 Multiplikation von Matrizen: mathematisch Wenn M 1 und M 2 zwei Matrizen mit Größen m 1 n 1 bzw. m 2 n 2 sind und wenn n 1 = m 2 ist, ist ihr Produkt definiert als die Matrix M 1 M 2 der Größe m 1 n 2, bei der für alle Zeilennummern i und alle Spaltennummern j gilt: (M 1 M 2 )[i, j] = n 1 1 k=0 M 1 [i, k] M 2 [k, j] Beispiel: = M ( )( ) M 1 = = M M 2 für iterierte Multiplikation M M wieder Potenzschreibweise Java-Arrays und Matrizen Multiplikation von Matrizen 13/48

23 Multiplikation mit der Einheitsmatrix Einheitsmatrix I der Größe n n { 1 falls i = j I [i, j] = 0 falls i j Beispiel Es ist immer I = I M = M = M I Java-Arrays und Matrizen Multiplikation von Matrizen 14/48

24 Multiplikation von Matrizen: algorithmisch P[i, j] = n 1 1 k=0 M 1 [i, k] M 2 [k, j] for i 0 to m 1 1 do for j 0 to n 2 1 do P[i, j] 0 for k 0 to n 1 1 do P[i, j] P[i, j] + M 1 [i, k] M 2 [k, j] od od od Java-Arrays und Matrizen Multiplikation von Matrizen 15/48

25 Was ist wichtig Das sollten Sie mitnehmen: zweidimensionale Arrays als algorithmische Objekte Matrizen als mathematische Objekte Das sollten Sie üben: Matrizen addieren und multiplizieren Java-Arrays und Matrizen was ist wichtig 16/48

26 Überblick Java-Arrays und Matrizen Eindimensionale Vektoren Addition von Vektoren Zweidimensionale Matrizen Addition von Matrizen Multiplikation von Matrizen Repräsentation von Graphen im Rechner Einfache Berechnung der Erreichbarkeitsrelation Potenzen der Adjazenzmatrix Erste Möglichkeit für die Berechnung der Wegematrix Zählen durchzuführender arithmetischer Operationen Weitere Möglichkeiten für die Berechnung der Wegematrix Algorithmus von Warshall Repräsentation von Graphen im Rechner 17/48

27 Knoten, Kanten und Graphen als Objekte class Vertex { String name; } class Edge { Vertex start; Vertex end; } class Graph { Vertex[] vertices; Edge[] edges; } // oder was auch immer Repräsentation von Graphen im Rechner 18/48

28 Knoten, Kanten und Graphen als Objekte class Vertex { String name; } class Edge { Vertex start; Vertex end; } class Graph { Vertex[] vertices; Edge[] edges; } // oder was auch immer Repräsentation von Graphen im Rechner 18/48

29 Knoten, Kanten und Graphen als Objekte class Vertex { String name; } class Edge { Vertex start; Vertex end; } class Graph { Vertex[] vertices; Edge[] edges; } // oder was auch immer Repräsentation von Graphen im Rechner 18/48

30 Adjazenzlisten class Vertex { String name; Vertex[] neighbors; } // oder was auch immer class Edge { Vertex start; Vertex end; } class Graph { Vertex[] vertices; Edge[] edges; } Repräsentation von Graphen im Rechner 19/48

31 Inzidenzlisten class Vertex { String name; Edge[] incoming; Edge[] outgoing; } // oder was auch immer class Edge { Vertex start; Vertex end; } class Graph { Vertex[] vertices; Edge[] edges; } Repräsentation von Graphen im Rechner 20/48

32 Adjazenzmatrix Adjazenzmatrix eines gerichteten Graphen G = (V, E) mit V = n ist eine n n-matrix A mit der Eigenschaft: { 1 falls (i, j) E A[i, j] = 0 falls (i, j) / E Beispiel: Adjazenzmatrix eines ungerichteten Graphen U = (V, E) ist die Adjazenzmatrix von G = (V, E g ) Repräsentation von Graphen im Rechner 21/48

33 Adjazenzmatrix Adjazenzmatrix eines gerichteten Graphen G = (V, E) mit V = n ist eine n n-matrix A mit der Eigenschaft: { 1 falls (i, j) E A[i, j] = 0 falls (i, j) / E Beispiel: Adjazenzmatrix eines ungerichteten Graphen U = (V, E) ist die Adjazenzmatrix von G = (V, E g ) Repräsentation von Graphen im Rechner 21/48

34 Wegematrix eines Graphen jede Relation als Matrix repräsentierbar z. B. auch die Erreichbarkeitsrelation E die zugehörigen Matrix heißt die Wegematrix W des Graphen,also { 1 falls (i, j) E W [i, j] = 0 falls (i, j) / E { 1 falls es in G einen Pfad von i nach j gibt = 0 falls es in G keinen Pfad von i nach j gibt algorithmisches Problem: gegebene Probleminstanz: Adjazenzmatrix eines Graphen gesucht: zugehörige Wegematrix des Graphen Repräsentation von Graphen im Rechner 22/48

35 Was ist wichtig Das sollten Sie mitnehmen: Repräsentation von Relationen als Matrizen z. B. Kantenrelation eines Graphen: Adjazenzmatrix Das sollten Sie üben: zu gegebenem Graphen die Adjazenzmatrix hinschreiben zu gegebener Adjazenzmatrix den Graphen hinmalen z. B. für irgendwelche speziellen Graphen und Matrizen Repräsentation von Graphen im Rechner was ist wichtig 23/48

36 Überblick Java-Arrays und Matrizen Eindimensionale Vektoren Addition von Vektoren Zweidimensionale Matrizen Addition von Matrizen Multiplikation von Matrizen Repräsentation von Graphen im Rechner Einfache Berechnung der Erreichbarkeitsrelation Potenzen der Adjazenzmatrix Erste Möglichkeit für die Berechnung der Wegematrix Zählen durchzuführender arithmetischer Operationen Weitere Möglichkeiten für die Berechnung der Wegematrix Algorithmus von Warshall Einfache Berechnung der Erreichbarkeitsrelation 24/48

37 Die naheliegende Idee Benutze E = i=0 um die Wegematrix zu berechnen. Probleme: Woher kommen die Matrizen für die Relationen E i? Welcher Matrizen-Operation entspricht die Vereinigung? Was kann man gegen das unendlich tun? E i Einfache Berechnung der Erreichbarkeitsrelation 25/48

38 Die naheliegende Idee Benutze E = i=0 um die Wegematrix zu berechnen. Probleme: Woher kommen die Matrizen für die Relationen E i? Welcher Matrizen-Operation entspricht die Vereinigung? Was kann man gegen das unendlich tun? E i Einfache Berechnung der Erreichbarkeitsrelation 25/48

39 Die naheliegende Idee Benutze E = i=0 um die Wegematrix zu berechnen. Probleme: Woher kommen die Matrizen für die Relationen E i? Welcher Matrizen-Operation entspricht die Vereinigung? Was kann man gegen das unendlich tun? E i Einfache Berechnung der Erreichbarkeitsrelation 25/48

40 Die naheliegende Idee Benutze E = i=0 um die Wegematrix zu berechnen. Probleme: Woher kommen die Matrizen für die Relationen E i? Welcher Matrizen-Operation entspricht die Vereinigung? Was kann man gegen das unendlich tun? E i Einfache Berechnung der Erreichbarkeitsrelation 25/48

41 Beseitigung der unendlichen Vereinigung bei Graphen spezieller: nur endlich viele Knoten Frage: Existiert ein Pfad in G von Knoten i nach Knoten j? Sei G = (V, E) mit V = n Knoten. p = (i0, i 1,..., i k ) ein Pfad mit i 0 = i und i k = j. Wenn k n, dann kommen in der Liste p also k + 1 n + 1 Knotennamen vor. aber G hat nur n verschiedene Knoten. Also muss ein Knoten x doppelt in der Liste p vorkommen. p enthält Zyklus von x nach x Weglassen des Zyklus ergibt kürzeren Pfad, der immer noch von i nach j führt. wiederhole, solange Pfad mindestens n + 1 Knoten enthält Ergebnis: Pfad, in dem höchstens noch n Knoten, also höchstens n 1 Kanten, vorkommen, und der auch immer noch von i nach j führt. Einfache Berechnung der Erreichbarkeitsrelation 26/48

42 Beseitigung der unendlichen Vereinigung bei Graphen spezieller: nur endlich viele Knoten Frage: Existiert ein Pfad in G von Knoten i nach Knoten j? Sei G = (V, E) mit V = n Knoten. p = (i0, i 1,..., i k ) ein Pfad mit i 0 = i und i k = j. Wenn k n, dann kommen in der Liste p also k + 1 n + 1 Knotennamen vor. aber G hat nur n verschiedene Knoten. Also muss ein Knoten x doppelt in der Liste p vorkommen. p enthält Zyklus von x nach x Weglassen des Zyklus ergibt kürzeren Pfad, der immer noch von i nach j führt. wiederhole, solange Pfad mindestens n + 1 Knoten enthält Ergebnis: Pfad, in dem höchstens noch n Knoten, also höchstens n 1 Kanten, vorkommen, und der auch immer noch von i nach j führt. Einfache Berechnung der Erreichbarkeitsrelation 26/48

43 Beseitigung der unendlichen Vereinigung bei Graphen spezieller: nur endlich viele Knoten Frage: Existiert ein Pfad in G von Knoten i nach Knoten j? Sei G = (V, E) mit V = n Knoten. p = (i0, i 1,..., i k ) ein Pfad mit i 0 = i und i k = j. Wenn k n, dann kommen in der Liste p also k + 1 n + 1 Knotennamen vor. aber G hat nur n verschiedene Knoten. Also muss ein Knoten x doppelt in der Liste p vorkommen. p enthält Zyklus von x nach x Weglassen des Zyklus ergibt kürzeren Pfad, der immer noch von i nach j führt. wiederhole, solange Pfad mindestens n + 1 Knoten enthält Ergebnis: Pfad, in dem höchstens noch n Knoten, also höchstens n 1 Kanten, vorkommen, und der auch immer noch von i nach j führt. Einfache Berechnung der Erreichbarkeitsrelation 26/48

44 Beseitigung der unendlichen Vereinigung bei Graphen spezieller: nur endlich viele Knoten Frage: Existiert ein Pfad in G von Knoten i nach Knoten j? Sei G = (V, E) mit V = n Knoten. p = (i0, i 1,..., i k ) ein Pfad mit i 0 = i und i k = j. Wenn k n, dann kommen in der Liste p also k + 1 n + 1 Knotennamen vor. aber G hat nur n verschiedene Knoten. Also muss ein Knoten x doppelt in der Liste p vorkommen. p enthält Zyklus von x nach x Weglassen des Zyklus ergibt kürzeren Pfad, der immer noch von i nach j führt. wiederhole, solange Pfad mindestens n + 1 Knoten enthält Ergebnis: Pfad, in dem höchstens noch n Knoten, also höchstens n 1 Kanten, vorkommen, und der auch immer noch von i nach j führt. Einfache Berechnung der Erreichbarkeitsrelation 26/48

45 Beseitigung der unendlichen Vereinigung bei Graphen spezieller: nur endlich viele Knoten Frage: Existiert ein Pfad in G von Knoten i nach Knoten j? Sei G = (V, E) mit V = n Knoten. p = (i0, i 1,..., i k ) ein Pfad mit i 0 = i und i k = j. Wenn k n, dann kommen in der Liste p also k + 1 n + 1 Knotennamen vor. aber G hat nur n verschiedene Knoten. Also muss ein Knoten x doppelt in der Liste p vorkommen. p enthält Zyklus von x nach x Weglassen des Zyklus ergibt kürzeren Pfad, der immer noch von i nach j führt. wiederhole, solange Pfad mindestens n + 1 Knoten enthält Ergebnis: Pfad, in dem höchstens noch n Knoten, also höchstens n 1 Kanten, vorkommen, und der auch immer noch von i nach j führt. Einfache Berechnung der Erreichbarkeitsrelation 26/48

46 Beseitigung der unendlichen Vereinigung (2) Für Erreichbarkeit in einem endlichen Graphen mit n Knoten angeht, gilt: E = n 1 Betrachtung höherer Potenzen (längerer Pfade) schadet nicht: Lemma Für jeden gerichteten Graphen G = (V, E) mit n Knoten gilt: i=0 E i k n 1 : E = k i=0 E i Einfache Berechnung der Erreichbarkeitsrelation 27/48

47 Beseitigung der unendlichen Vereinigung (2) Für Erreichbarkeit in einem endlichen Graphen mit n Knoten angeht, gilt: E = n 1 Betrachtung höherer Potenzen (längerer Pfade) schadet nicht: Lemma Für jeden gerichteten Graphen G = (V, E) mit n Knoten gilt: i=0 E i k n 1 : E = k i=0 E i Einfache Berechnung der Erreichbarkeitsrelation 27/48

48 Quadrierte Adjazenzmatrix: Beispiel Einfache Berechnung der Erreichbarkeitsrelation Potenzen der Adjazenzmatrix 28/48

49 Quadrierte Adjazenzmatrix: Beispiel Einfache Berechnung der Erreichbarkeitsrelation Potenzen der Adjazenzmatrix 29/48

50 Quadrierte Adjazenzmatrix Quadrat der Adjazenzmatrix A enthält nach Definition der Matrixmultiplikation als Eintrag in Zeile i und Spalte j n 1 (A 2 ) ij = A ik A kj. k=0 Jeder Summand A ik A kj ist 1 gdw. A ik = A kj = 1 ist, also gdw. Kanten von i nach k und von k nach j existieren, also gdw. (i, k, j) ein Pfad der Länge 2 von i nach j ist. und 0 sonst. Für k 1 k 2 sind (i, k 1, j) und (i, k 2, j) verschiedene Pfade. Also ist n 1 (A 2 ) ij = A ik A kj k=0 gleich der Anzahl der Pfade der Länge 2 von i nach j. Einfache Berechnung der Erreichbarkeitsrelation Potenzen der Adjazenzmatrix 30/48

51 Potenzierte Adjazenzmatrix Lemma Es sei G ein gerichteter Graph mit Adjazenzmatrix A. Für alle k N0 gilt: (A k ) ij ist die Anzahl der Pfade der Länge k in G von i nach j. Beweis durch vollständige Induktion. Induktionsschritt fast wie im Fall k = 2. Einfache Berechnung der Erreichbarkeitsrelation Potenzen der Adjazenzmatrix 31/48

52 Die Signum-Funktion Signum-Funktion 1 falls x > 0 sgn : R R : sgn(x) = 0 falls x = 0 1 falls x < 0 Erweiterung auf Matrizen durch komponentenweise Anwendung sgn : R m n R m n : (sgn(m)) ij = sgn(m ij ) Einfache Berechnung der Erreichbarkeitsrelation Potenzen der Adjazenzmatrix 32/48

53 Matrizen für die Relationen E k Korollar Es sei G ein gerichteter Graph mit Adjazenzmatrix A. Für alle k N0 gilt: 1. 1 falls in G ein Pfad der Länge k sgn((a k von i nach j existiert ) ij ) = 0 falls in G kein Pfad der Länge k von i nach j existiert 2. Matrix sgn(a k ) repräsentiert die Relation E k. (A 0 sei die Einheitsmatrix.) Einfache Berechnung der Erreichbarkeitsrelation Potenzen der Adjazenzmatrix 33/48

54 Formel für die Wegematrix Lemma Es sei G ein gerichteter Graph mit Adjazenzmatrix A. Dann gilt für alle k n 1: Die Matrix sgn( k i=0 Ai ) repräsentiert die Relation E. Mit anderen Worten: ( k ) W = sgn A i i=0 ist die Wegematrix des Graphen G. Einfache Berechnung der Erreichbarkeitsrelation Erste Möglichkeit für die Berechnung der Wegematrix 34/48

55 Beweis Man muss sich noch überlegen: n 1 i=0 E i wird durch Matrix sgn( k i=0 sgn(ai )) repräsentiert. In dieser Formel darf man die inneren Anwendungen von sgn weglassen. Das sieht man so: allgemein: Relationen R und R, durch Matrizen M und M dargestellt. Dann sgn(m + M ) ij = 1 (M + M ) ij 1 M ij = 1 M ij = 1 (i, j) R (i, j) R (i, j) R R Wenn alle Matrixeinträge 0 sind, gilt: sgn(sgn(m) + sgn(m )) ij = sgn(m + M ) ij Einfache Berechnung der Erreichbarkeitsrelation Erste Möglichkeit für die Berechnung der Wegematrix 35/48

56 Einfachster Algorithmus für die Wegematrix / Matrix A sei die Adjazenzmatrix / Matrix W wird am Ende die Wegematrix enthalten / Matrix M wird benutzt um A i zu berechnen W 0 / Nullmatrix for i 0 to n 1 do M Id / Einheitsmatrix for j 1 to i do M M A / Matrixmultiplikation od W W + M / Matrixaddition od W sgn(w ) Einfache Berechnung der Erreichbarkeitsrelation Erste Möglichkeit für die Berechnung der Wegematrix 36/48

57 Was ist der Aufwand eines Algorithmus? Anzahl Codezeilen? Entwicklungszeit? Anzahl Schritte? nicht immer gleich benötigter Speicherplatz? nicht immer gleich vorläufig(!): Anzahl arithmetischer Operationen Einfache Berechnung der Erreichbarkeitsrelation Zählen durchzuführender arithmetischer Operationen 37/48

58 Wieviele elementare Operationen für Matrixaddition? Matrixaddition: for i 0 to m 1 do for j 0 to n 1 do S[i, j] M 1 [i, j] + M 2 [i, j] od od m n Additionen für n n-matrizen: n 2 Einfache Berechnung der Erreichbarkeitsrelation Zählen durchzuführender arithmetischer Operationen 38/48

59 Wieviele elementare Operationen für Matrixmultiplikation? Matrixmultiplikation for i 0 to m 1 1 do for j 0 to n 2 1 do P[i, j] 0 for k 0 to n 1 1 do P[i, j] P[i, j] + M 1 [i, k] M 2 [k, j] od od od m 1 n 2 n 1 Additionen und m 1 n 2 n 1 Multiplikationen kleine Variante: m 1 n 2 (n 1 1) Additionen insgesamt für n n-matrizen: 2n 3 bzw. 2n 3 n 2 Achtung: Niemand sagt, dass das die einzige oder gar beste Methode ist. Sie ist es nicht! Einfache Berechnung der Erreichbarkeitsrelation Zählen durchzuführender arithmetischer Operationen 39/48

60 Wieviele elementare Operationen für Wegematrix? Algorithmus: W 0 for i 0 to n 1 do M Id for j 1 to i do M M A od W W + M od W sgn(w ) Aufwand: ( n 1 ) i (2n 3 n 2 ) + n n 2 + n 2 = n n n3 + n 2 i=0 Einfache Berechnung der Erreichbarkeitsrelation Zählen durchzuführender arithmetischer Operationen 40/48

61 Wieviele elementare Operationen für Wegematrix? Algorithmus: W 0 for i 0 to n 1 do M Id for j 1 to i do M M A od W W + M od W sgn(w ) Aufwand: ( n 1 ) i (2n 3 n 2 ) + n n 2 + n 2 = n n n3 + n 2 i=0 Einfache Berechnung der Erreichbarkeitsrelation Zählen durchzuführender arithmetischer Operationen 40/48

62 Wieviele elementare Operationen für Wegematrix? Algorithmus: W 0 for i 0 to n 1 do M Id for j 1 to i do M M A od W W + M od W sgn(w ) Aufwand: ( n 1 ) i (2n 3 n 2 ) + n n 2 + n 2 = n n n3 + n 2 i=0 Einfache Berechnung der Erreichbarkeitsrelation Zählen durchzuführender arithmetischer Operationen 40/48

63 Wieviele elementare Operationen für Wegematrix? Algorithmus: W 0 for i 0 to n 1 do M Id for j 1 to i do M M A od W W + M od W sgn(w ) Aufwand: ( n 1 ) i (2n 3 n 2 ) + n n 2 + n 2 = n n n3 + n 2 i=0 Einfache Berechnung der Erreichbarkeitsrelation Zählen durchzuführender arithmetischer Operationen 40/48

64 Wieviele elementare Operationen für Wegematrix? Algorithmus: W 0 for i 0 to n 1 do M Id for j 1 to i do M M A od W W + M od W sgn(w ) Aufwand: ( n 1 ) i (2n 3 n 2 ) + n n 2 + n 2 = n n n3 + n 2 i=0 Einfache Berechnung der Erreichbarkeitsrelation Zählen durchzuführender arithmetischer Operationen 40/48

65 Wieviele elementare Operationen für Wegematrix? Algorithmus: W 0 for i 0 to n 1 do M Id for j 1 to i do M M A od W W + M od W sgn(w ) Aufwand: ( n 1 ) i (2n 3 n 2 ) + n n 2 + n 2 = n n n3 + n 2 i=0 Einfache Berechnung der Erreichbarkeitsrelation Zählen durchzuführender arithmetischer Operationen 40/48

66 Da kann man etwas besser machen! haben so getan, als wären für A i immer i 1 Matrixmultiplikationen nötig es werden aber ohnehin alle Potenzen A i benötigt also besser immer das alte A i 1 merken und wiederverwenden Algorithmus: W 0 M Id for i 0 to n 1 do W W + M M M A od W sgn(w ) Aufwand: n (n 2 + (2n 3 n 2 )) + n 2 = 2n 4 + n 2 Einfache Berechnung der Erreichbarkeitsrelation Weitere Möglichkeiten für die Berechnung der Wegematrix41/48

67 Es geht noch besser! Schon vergessen? k n 1 : E = k i=0 Alle k n 1 sind in Ordnung. Aber warum kann das helfen? wählen statt n 1 kleinste Zweierpotenz k = 2 m n, also m = log 2 n finden eine Matrix F mit W = F 2 m = ( ((F 2 ) 2 ) ) 2 Das sind nur noch m = log2 n Matrixmultiplikationen! Preisfrage: Wie sieht F aus? Antwort: Wähle F = E 0 E 1 = Id V E. E i Einfache Berechnung der Erreichbarkeitsrelation Weitere Möglichkeiten für die Berechnung der Wegematrix42/48

68 Es geht noch besser! Schon vergessen? k n 1 : E = k i=0 Alle k n 1 sind in Ordnung. Aber warum kann das helfen? wählen statt n 1 kleinste Zweierpotenz k = 2 m n, also m = log 2 n finden eine Matrix F mit W = F 2 m = ( ((F 2 ) 2 ) ) 2 Das sind nur noch m = log2 n Matrixmultiplikationen! Preisfrage: Wie sieht F aus? Antwort: Wähle F = E 0 E 1 = Id V E. E i Einfache Berechnung der Erreichbarkeitsrelation Weitere Möglichkeiten für die Berechnung der Wegematrix42/48

69 Es geht noch besser! Schon vergessen? k n 1 : E = k i=0 Alle k n 1 sind in Ordnung. Aber warum kann das helfen? wählen statt n 1 kleinste Zweierpotenz k = 2 m n, also m = log 2 n finden eine Matrix F mit W = F 2 m = ( ((F 2 ) 2 ) ) 2 Das sind nur noch m = log2 n Matrixmultiplikationen! Preisfrage: Wie sieht F aus? Antwort: Wähle F = E 0 E 1 = Id V E. E i Einfache Berechnung der Erreichbarkeitsrelation Weitere Möglichkeiten für die Berechnung der Wegematrix42/48

70 Es geht noch besser! Schon vergessen? k n 1 : E = k i=0 Alle k n 1 sind in Ordnung. Aber warum kann das helfen? wählen statt n 1 kleinste Zweierpotenz k = 2 m n, also m = log 2 n finden eine Matrix F mit W = F 2 m = ( ((F 2 ) 2 ) ) 2 Das sind nur noch m = log2 n Matrixmultiplikationen! Preisfrage: Wie sieht F aus? Antwort: Wähle F = E 0 E 1 = Id V E. E i Einfache Berechnung der Erreichbarkeitsrelation Weitere Möglichkeiten für die Berechnung der Wegematrix42/48

71 Es geht noch besser! (2) Sei F = E 0 E 1 dann F 2 = (E 0 E 1 ) (E 0 E 1 ) = E 0 E 1 E 1 E 2 = E 0 E 1 E 2 und F 4 = (F 2 ) 2 = (E 0 E 1 E 2 ) (E 0 E 1 E 2 ) =... = E 0 E 1 E 2 E 3 E 4 per Induktion: Für alle m N0 gilt: F 2m = 2 m E i i=0 Einfache Berechnung der Erreichbarkeitsrelation Weitere Möglichkeiten für die Berechnung der Wegematrix43/48

72 Es geht noch besser! (3) Algorithmus: W A + Id m log 2 n for i 1 to m do W W W od W sgn(w ) Aufwand: n 2 + log 2 n + log 2 n (2n 3 n 2 ) + n 2 Beachte: Für die Berechnung des Wertes log 2 n aus n sind höchstens log 2 n Operationen nötig. Einfache Berechnung der Erreichbarkeitsrelation Weitere Möglichkeiten für die Berechnung der Wegematrix44/48

73 Was ist wichtig Das sollten Sie mitnehmen: Manchmal ist der naheliegende Algorithmus nicht der einzige oder gar der schnellste. Denken/Mathematik/Kreativität/Einfach-mal-drüber-schlafen helfen Das sollten Sie üben: Aufwandsabschätzungen bei (ineinander geschachtelten) Schleifen auch mal verrückte Ideen ausprobieren Einfache Berechnung der Erreichbarkeitsrelation was ist wichtig 45/48

74 Überblick Java-Arrays und Matrizen Eindimensionale Vektoren Addition von Vektoren Zweidimensionale Matrizen Addition von Matrizen Multiplikation von Matrizen Repräsentation von Graphen im Rechner Einfache Berechnung der Erreichbarkeitsrelation Potenzen der Adjazenzmatrix Erste Möglichkeit für die Berechnung der Wegematrix Zählen durchzuführender arithmetischer Operationen Weitere Möglichkeiten für die Berechnung der Wegematrix Algorithmus von Warshall Algorithmus von Warshall 46/48

75 Der Algorithmus von Warshall for i 0 to n 1 do for j 0 to { n 1 do 1 falls i = j W [i, j] A[i, j] falls i j od od for k 0 to n 1 do for i 0 to n 1 do for j 0 to n 1 do W [i, j] max( W [i, j], min(w [i, k], W [k, j]) ) od od od Algorithmus von Warshall 47/48

76 Zur Funktionsweise des Algorithmus von Warshall algorithmische Idee geht auf eine fundamentale Arbeit von Stephen Kleene zurück Redeweise bei einem Pfad p = (v 0, v 1,..., v m 1, v m ) der Länge m 2 die Knoten v1,..., v m 1 nennen wir Zwischenknoten des Pfades. Pfade der Längen 0 und 1 besitzen keine Zwischenknoten. Invariante für die äußere Schleife for k 0 to n 1 do... od lautet: Für alle i, j Gn: Nach k Durchläufen der äußeren Schleife ist W [i, j] genau dann 1, wenn es einen wiederholungsfreien Pfad von i nach j gibt, bei dem alle Zwischenknoten Nummern in Gk (also < k) haben. Algorithmus von Warshall 48/48