6.1 Bruchzahlen Drei Standardaufgaben mit Bruchteilen Brüche und die Menge der rationalen Zahlen Erweitern und Kürzen

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1 Gymnasium bei St. Anna, Augsburg Seite Grundwissen 6. Klasse 6. Bruchzahlen 6.. Brüche und die Menge der rationalen Zahlen Def.:. Zeichen der Art,,, 6,..., n z nennt man Brüche. Teilt man eine Größe in n gleiche Teile und setzt danach z solcher Teile zu einer neuen Größe zusammen, so ist n z das Verhältnis des Bruchteils zur ganzen Größe.. z heißt Zähler, n heißt Nenner.. Ist der Zähler z, dann heisst n der Kehrbruch von n. Solche Brüche werden auch Stammbrüche genannt. Veranschaulichung der Brüche am Zahlenstrahl: 6.. Drei Standardaufgaben mit Bruchteilen Zwei der drei folgenden Angaben sind gegeben, die restliche ist gesucht: das Ganze G ein Teil T (vom Ganzen) der Bruchteil b a, den der Teil bezüglich des Ganzen darstellt. Typ : Gesucht ist der Teil T: von 6 6 (6 : ) Typ : Gesucht ist der Bruchteil a b : Welcher Bruchteil von 60 ist? Lösung: Der Bruchteil a b 60 0 Typ : Gesucht ist das Ganze G: Lösung: von G ist 0 von G 0 : von G G Wichtig: Bruchteil von etwas ist Bruchteil mal etwas. Für jede Bruchzahl gibt es mehrere Schreibweisen z.b.: 6 0 Der Quotient z : n und der Bruch z n sind gleichwertig (z Z; n N). Def.: Die Menge der Bruchzahlen fassen wir in der Menge Q zusammen. Sie heißen auch rationale Zahlen. Es gilt: N Z Q Q + { q Q q > 0 } Menge aller positiven Bruchzahlen Q + 0 { q Q q 0 } Menge aller positiven Bruchzahlen einschließl. 0 Q { q Q q < 0 } Menge aller negativen Bruchzahlen -- Q 0 { q Q q 0 } Menge aller negativen Bruchzahlen einschließl Erweitern und Kürzen Def.:. Erweitern heißt, Zähler und Nenner mit derselben Zahl multiplizieren.. Kürzen heißt, Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl dividieren, am besten durch den größten gemeinsamen Teiler. Beim Erweitern und Kürzen ändert sich nur die Form, nicht der Wert des Bruches! 6 ; ; 6 9

2 Gymnasium bei St. Anna, Augsburg Seite Grundwissen 6. Klasse 6. Rechengesetze für Bruchzahlen 6.. Addition und Subtraktion von Brüchen Brüche mit verschiedenen Nennern werden erst auf den gleichen Nenner (Hauptnenner kgv) gebracht, dann wird addiert bzw. subtrahiert, indem man die Zähler addiert bzw. subtrahiert und den Nenner beibehält; das Ergebnis wird ggfs. gekürzt. Def.: Zahlen, die aus natürlichen Zahlen und Brüchen bestehen, heißen gemischte Zahlen.. Ist der Zähler größer als der Nenner, so heißt der Bruch unecht Multiplikation und Division von Brüchen Multiplikation: Bruch Bruch 6 Division: Bruch Zahl Zähler Nenner Zähler Nenner Zähler Zahl Nenner 9 9 (vor dem Multiplizieren kürzen!) 6 0 Durch einen Bruch n z wird dividiert, indem man mit seinem Kehrbruch n z multipliziert. Insbesondere: Bruch : Zahl Zähler Nenner Zahl 6 : 6 0 Vereinfachung von Doppelbrüchen: ZZ NZ ZN NN ZZ NZ : NN ZN ZZ NZ ZZ Zähler des Zählers, NZ Nenner des Zählers, ZN Zähler des Nenners und NN Nenner des Nenners. Nach der Vereinfachung stehen im Zähler ZZ mal NN, die gemischten Teile befinden sich im Nenner. 6.. K-, A-, D Gesetz Diese fünf Gesetze (zwei Kommutativgesetze, zwei Assoziativgesetze und ein Distributivgesetz) aus der. Klasse gelten unverändert auch in der Menge aller rationalen Zahlen Q (siehe also dort). 6. Dezimalzahlen 6.. Dezimalschreibweise 0, 0 0,0 00 NN ZN 0, Die Anzahl der Nullen im Nenner bestimmt die Anzahl der Dezimalen. Wichtige Dezimalbrüche: Beachte: Der Wert eines Dezimalbruchs bleibt unverändert, wenn man Endnullen anhängt (erweitert) oder Endnullen weglässt (kürzt). Die Endnullen müssen natürlich hinter dem Komma stehen!

3 Gymnasium bei St. Anna, Augsburg Seite Grundwissen 6. Klasse 6.. Zahlenstrahl und Intervalle mit Dezimalzahlen Im Folgenden steht zuerst die Mengenschreibweise, dann die Intervallschreibweise: abgeschlossenes Intervall: I { x 0, x 0, } [0, ; 0,] 0,,,66, weil 66 ist.,,,00,0, weil 00 ist. Beim Dividieren durch einen Dezimalbruch formen wir zunächst durch gleichsinnige Kommaverschiebung beim Dividenden und Divisor so um, dass der Divisor eine natürliche Zahl wird; danach führen wir die Division durch (Komma beachten!). 0,06 : 0,0,6 : (Zunächst Kommaverschiebung um jeweils nach rechts!) 6.. Zusätzliche Rundungsregeln bei Dezimalzahlen halboffenes Intervall: I { x 0, x < 0, } [ 0, ; 0, [ offenes Intervall: I { x 0, < x < 0, } ] 0,, 0, [ 6.. Rechnen mit Dezimalbrüchen Beim Addieren bzw. Subtrahieren von Dezimalbrüchen erweitern wir auf gleich viele Ziffern nach dem Komma, dann addieren bzw. subtrahieren wir stellenweise.,0 + 0,9,0 + 0,900,0,6,00,6 Dezimalbrüche werden multipliziert, indem man zunächst ohne Rücksicht auf das Komma die Zahlen multipliziert. Danach erhält das Ergebnis so viele Nachkommastellen, wie die Faktoren zusammen besitzen. Regel:. Gültige Ziffern werden bei Dezimalzahlen immer erst ab der ersten Ziffer 0 von links her berücksichtigt.. Bei Produkten und Quotienten mit Größen wird immer auf so viele gültige Ziffern gerundet wie die ungenaueste Angabe.. Bei Additionen und Subtraktionen mit Größen ist beim Runden nicht die Anzahl gültiger Ziffern entscheidend, sondern der tatsächliche Genauigkeitswert. Beispiel zu : Runden auf gültige Ziffern: 0,00 0,006 Beispiel zu +: Zwei Längen wurden mit m und mm gemessen. Die Messgröße m liegt im Interval [,m ;, m[, entsprechend gilt mm [,mm;,mm[. Die Genauigkeit bei der. Größe bringt für das Ergebnis keine Vorteile. Das ungenaue erste Messergebnis schlägt immer durch: Produktbeispiel: Untergrenze:,mm,m, m, m Obergrenze:,mm,dm,, dm,906 m daher mm m, m, m ( gültige Ziffern!) Additionsbeispiel: Untergrenze:,mm +,m, dm + dm 6,dm Obergrenze:,mm +,m, dm + dm,dm Ergebnis: mm + m,dm + 0 dm,dm m (auf m gerundet, da das die Genauigkeit der ungenaueren Größe ist!)

4 Gymnasium bei St. Anna, Augsburg Seite Grundwissen 6. Klasse 6.. Periodische Dezimalzahlen Def.: Dezimalzahlen, deren Nachkommastellen bis ins Unendliche gehen, heißen unendliche Dezimalzahlen, die bisherigen Zahlen heißen endliche Dezimalzahlen. :..., Regeln:. Zahlen, die durch eine immer wiederkehrende Zifferngruppe ( Periode) zusammengesetzt sind, heißen periodische Dezimalzahlen.. Periodische Dezimalzahlen, deren Periode unmittelhar hinter dem Komma beginnt, heißen reinperiodisch, die anderen gemischt periodisch.. Die Ziffern zwischen dem Komma und der ersten Periode heißt Vorperiode. Jeder Bruch n z mit z Z und n N lässt sich in eine periodische Dezimalzahl verwandeln und umkehrt ist jede periodische Dezimalzahl ein Bruch. Endliche Brüche sind Brüche, bei denen die Primfaktorenzerlegung des Nenners nur aus er- und er-potenzen bestehen. Die Anzahl der Dezimalstellen nach dem Komma entspricht dem größten Exponenten dieser er- und er-potenzen. 0, , 0 : 0 : Bemerkungen für besonders interessierte Schüler: 90 Die Vorperiodenlänge hängt nur von der Primfaktorenzerlegung des Nenners ab. Sie entspricht dem größten Exponenten der er- und er- Potenzen. Ist der Nenner eines Bruches eine Primzahl p ungleich und, so ist die Periodenlänge ein Teiler von p Prozentrechnung 6.. Grundlagen Prozent % 00 0 n n Prozent n% 00 Promille %o m² von 00 : m % 00m 00 Merke: kg von t: kg 000kg %o,% Prozentwert Prozentsatz vom Grundwert PW PS GW Prozentwert berechnen: % von Grundwert berechnen: % von x 0 0,x 0 0 x 0, 0 Prozentsatz berechnen: x von 600 ist x 600 x, % Prozentrechnung in der Wirtschaft Skonto, Rabatt Skonto erhält man bei Bestellungen auf Rechnung, wenn man in sehr kurzer Zeit bezahlt. Der Kaufpreis ist zunächst 00%, von dem der Skontobetrag abgezogen wird. Rabatt (Preisnachlass) erhält man wegen Sonderaktionen oder wegen Qualitätsminderung. Die Berechnung ist gleichartig zum Skonto. Mehrwertsteuer

5 Gymnasium bei St. Anna, Augsburg Seite Grundwissen 6. Klasse Wenn man in einem Geschäft Ware kauft, zahlt man automatisch Mehrwertsteuer (MWSt), die der Händler an den Staat abführen muss. Sie beträgt z.b. 6%, allerdings nicht vom Verkaufswert. Der Verkaufswert ist 6% 00% + 6%. Bei einem Betrag ohne MWSt spricht man vom Nettobetrag, bei dem mit MWSt vom Bruttobetrag. Welcher Steueranteil wird von einem Käufer bezahlt, wenn er eine Ware von (Euro) erwirbt. Lösung: 6% entsprechen % sind : 6,0 6% entsprechen,0 6. Der Händler kauft ein Gerät um 69,60 (einschließlich Mehrwertsteuer). Er verkauft die Ware um (ohne Mehrwertsteuer) und bezahlt die Einkaufsrechnung nach Tagen mit % Skonto. a) Einkaufspreis abzgl. Skonto Skonto % Einkaufs preis (EK) ursprüngl. Aufschlag Verkaufs -preis Nettobetrag,0,0 60,00,00,00 6% MWSt 9, 0,9 9,60,, Bruttobetrag 6,,09 69,60, 9, b) Wieviel Prozent beträgt der tatsächliche Aufschlag des Händlers? Lösung: Der Händler hat zunächst 60, also 0 0% 60 auf seinen EK aufgeschlagen. Da sein Rohgewinn,00,0,0 beträgt, ist der tatsächliche Aufschlag sogar, 0, 0 0,, %. Zinssatz und Zins Wenn man Geld leiht, hat man dafür eine Gebühr ( Zins) zu zahlen. Die Angabe wird in Prozent (Zinssatz) gemacht. Jeder Monat wird mit 0 Tagen, das ganze Jahr also mit 60 Tagen gerechnet. Jahreszins Kapital Zinssatz und Tageszins Jahreszins : 60 Ein Kaufmann erhält von einer Bank am. Februar ein Darlehen von.000. und muss dafür % Zins zahlen. Die Rückzahlung erfolgt am. Dezember des gleichen Jahres. Lösung: Zins 000 0,0 : 60 ( 0 + (0 + )) 60 : 60 0,. 6. Relative Häufigkeit 6.. Zufallsexperimente Experimente wie z.b. das Werfen eines Spielwürfels oder einer Münze, das Drehen eines Glücksrades usw., deren Ergebnis vom Zufall abhängt, nennt man Zufallsexperimente. 6.. Relative Häufigkeit Bsp.: Wirft man einen Würfel 00 mal und tritt dabei die Augenzahl fünf mal ein, so sagt man die absolute Häufigkeit der Augenzahl fünf ist, die relative Häufigkeit ist 00. Re lative Häufigkeit absolute Häufigkeit Gesamtzahl Empirisches Gesetz der großen Zahlen: Wird ein Zufallsexperiment sehr oft ausgeführt, dann stabilisiert sich die relative Häufigkeit eines einzelnen Ergebnisses um eine bestimmte Bruchzahl. 6.6 Zuordnungen 6.6. Direkte Proportionalität Direkte Proportionalität bedeutet, dass zum -, -, -,..., n-fachen der einen Größe x der -, -, -,..., n-fache Wert der anderen Größe y gehört. Stück einer Ware kosten,60. Wieviel kosten 9 Stück derselben Ware? Stückzahl Preis in :,60 : 9, ,0

6 Gymnasium bei St. Anna, Augsburg Seite 6 Grundwissen 6. Klasse 6.6. Indirekte Proportionalität Indirekte Proportionalität bedeutet, dass zum -, -, -,..., n-fachen Wert der einen Größe x die Hälfte, der. Teil, der. Teil,..., n-te Teil der anderen Größe y gehört. Schreibweise: x ~ y Sprechweise: x indirekt proportional zu y Pumpen brauchen zum Füllen eines Beckens 9 Stunden, wie lange brauchen Pumpen? Pumpenanzahl Dauer in h 9 : :,6 Beachte: Rechne über die Einheit oder über den größten gemeinsamen Teiler! 6. Geometrische Grundbegriffe 6.. Flächeninhalt von Parallelogramm, Dreieck und Trapez Folgerung: Dreiecke und Parallelogramme, die in einer Seite und der zugehörigen Höhe übereinstimmen, sind flächengleich. Flächeninhalt eines Trapezes: A a + c h m, wobei h der Abstand der parallelen Seiten a und c ist. ( ) h Bei komplizierteren Flächen muss man versuchen, die Fläche möglichst in Dreiecke, Parallelogramme und/oder Trapeze zu zerlegen. 6.. Volumen Rauminhalte werden in Kubikmeter, Kubikdezimeter, usw. gemessen. Die Umrechnungszahl ist 000, d.h. das 000-fache einer Volumeneinheit ergibt jeweils die nächst größere Volumeneinheit: m³.000 dm³ cm³ mm³ dm³.000 cm³ mm³ ( dm³ l) cm³ 000 mm³ Weitere a) hl 00 l 00 dm³ (Hektoliter) b) ml cm (Milliliter) c) km m³ 0 9 m 0 cm Der Rauminhalt von Quader und Würfel Quader mit Länge l, Breite b, Höhe h: V l b h Würfel mit Kantenlänge a: V a a a a Umrechnungszahl für Längen: 0 Umrechnungszahl für Flächen: 00 Umrechnungszahl für Rauminhalte: 000 Flächeninhalt eines Parallelogramms: A a h b a h b Flächeninhalt eines Dreiecks: A a h b h c a b h c