Einführung in die Physik

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1 Einführung in die Physik für Pharmazeuten und Biologen (PPh) Mechanik, Elektrizitätslehre, Optik Übung : Vorlesung: Tutorials: Montags 13:15 bis 14 Uhr, Liebig-HS Montags 14:15 bis 15:45, Liebig HS Montags 16:00 bis 17:30, B00.019, C3003, D0001 Web-Seite zur Vorlesung :

2 Vorlesung Physik für Pharmazeuten PPh - 07 Schwingungen Mechanische Wellen Akustik

3 Freier harmonischer Oszillator

4 Beispiel: Das mathematische Pendel Bewegungsgleichung : mg sinϕ = m d s dt Näherung für kleine ϕ : sinϕ ϕ = s l g l s( t) = d s( t) dt ω = g l Die Eigenfrequenz des Pendels ist unabhängig von der Masse! Versuch: 1:4 Pendel

5 [Versuch: Federpendel] Die Bewegungsgleichung des Federpendels Differentialgleichung d x m dt Rücktreibende Kraft = Dx Ansatz für die Lösung x( t) = A sin ( ω t +ϕ0) F D = Dx d x F = m dt Trägheitskraft mit fester Eigenfrequenz ω und frei wählbaren Konstanten A, ϕ ω = D m Bei der harmonischen Schwingung hängen Frequenz und Schwingungsdauer nicht von der Amplitude ab.

6 Harmonische Schwingung des Federpendels Auslenkung x(t) ϕ A 0 π A π 3π π 5π 3π ϕ Phase x( t) = A sin ( ω t +ϕ0) A : Amplitude ω : Kreisfrequenz ϕ 0 : Phase f = ω π : Frequenz

7 Energiebilanz bei harmonischen Schwingungen E + E = kin pot E ges 1 m sin ( ω x ) cos ( ω t) + Dx ( ω t) D verwende ω = und cos ϑ + sin ϑ = 1 m 1 Dx 0 = E ges Die Gesamtenergie einer harmonischen Schwingung ist dem Quadrat der Amplitude proportional

8 Gedämpfter harmonischer Oszillator

9 Gedämpfte Schwingungen m d x( t) dx( t) = D x( t) γ BGL dt dt Ansatz für Lösung : gedämpfter Oszillator Einhüllende x δ = () δ t t = A e sin( ' t) γ m 0 ω Abklingkoeffizient Zeit τ A = 1/ δ = m γ Abklingzeit der Amplitude

10 Gedämpfte Schwingungen Weitere Eigenschaften des gedämpften Oszillators 1.) Die Kreisfrequenz ist etwas kleiner als die Kreisfrequenz im ungedämpften Fall ω = ω 0 1 γ mω0.) Die Energie nimmt exponentiell ab mit der Abklingzeit. τ E = m γ E ( ) t τ E t E e = 0 3.) Die Dämpfung wird durch den Gütefaktor (Q-Faktor) gekennzeichnet, welcher umgekehrt zum relativen Energieverlust pro Periode ist. Q = π E E

11 Getriebener gedämpfter Oszillator

12 Erzwungene Schwingungen m d x dt = γ dx dt D x + F 0 cos( ω t) Stationäre Lösung Bewegungsgleichung x( t) = A cos( ωt + ϕ) mit Amplitude A = F 0 m ( ω 0 ω ) + 4δ ω und relative Phase Versuche: Resonanz tan ϕ = ω δω 0 ω

13 Resonanz Amplitude Phase Α Resonanzkurve π π/ ω 0 ω 0 ω 0 ω ω R = ω 0 δ ω 0 ="Eigenfrequenz des Systems" ω R = Resonanzfrequenz des Systems" Versuche: Resonanzkatastrophe

14 Tacoma Bridge ähnlich: kein Gleichschritt auf Brücken

15 Versuch: Doppelpendel Das gekoppelte Pendel hat Frequenzen Kugel 1 Kugel Die Normalschwingungen (Fundamentalmoden) des Doppelpendels Ω1 = ω0 = g l Ω == ω0 + D 1 m

16 Molekülschwingungen Normalmoden von CO Normalmoden von H O Absorption Infrarotspektrum von CO Wellenzahl : π/λ

17 Absorption und Transmission von infrarotem Licht bei Einstrahlung einer el.-magn. Welle werden die positiven Na + und negativen Cl - ausgelenkt und schwingen im Takt des elektr. Feldes kubische Struktur eines Kochsalz-Kristalls

18 Wellenausbreitung

19 Wellen : Ausbreitung von Störungen A( x = 0, t) = A0 sin(π f t) Am Ort x=0 führt das Seil eine harmonische Schwingung aus. Wenn die Schwingung am Ort x=0 einmal durchlaufen ist, hat sich die Störung gerade um eine Wellenlänge λ fortbewegt. Man erhält eine Ausbreitung der Schwingungsphase mit der Geschwindigkeit, c : λ / T = λ f = c Wellenlänge λ Versuch

20 Die harmonische Welle Eine eindimensionale, ungedämpfte harmonische Welle wird durch folgende Wellenfunktion beschrieben : A A ( x, t) = = = A A A π sin t τ sin sin π λ ( ω t k x) [ ω ( t x c) ] x τ: Schwingungsdauer; f=1/τ: Frequenz; ω=π/τ: Kreisfrequenz λ: Wellenlänge; k=π/λ: Wellenzahl c= λ f=ω/k : Phasengeschwindigkeit A : Amplitude

21 Wellen - Eine Schwingung, die sich räumlich ausbreitet ist eine Welle. - Eine klassische Welle transportiert Energie aber keine Masse. Jedes Teilchen schwingt an seinem Ort aber bleibt dort gebunden. Transversale Wellen: Longitudinale Wellen:

22 Die Phasengeschwindigkeit : Beispiele c = λ f Schall (Gas) Schall (FK) Radio (UKW) IR Flachwasserwelle (h=cm) cm-0cm 3m 1µm-mm 4cm λ f c Hz 100MHz 10Hz 331 m/s 3000m/s m/sm 40cm/s c Festk =. E ρ c Wasser = g h 1 c Licht = = konst. ε µ 0 0

23 Wellen in und 3 Dimensionen - Ebene Wellen A(x,t) = A 0 sin(ω t kx) Welle breitet sich nach rechts aus A(x,t) = A 0 sin(ω t + kx) Welle breitet sich nach links aus A(x,t) = A 0 sin(ω t π λ x) Wellenfront : Linien gleicher Phase k: Wellenzahl k: Wellenvektor (Wellenstrahl), steht senkrecht auf den Wellenfronten und Zeigt in die Ausbreitungsrichtung. Sein Betrag ist die Wellenzahl. r v (, ) 0 sin( k x r A x t = A ω t ) k Versuch Wellenwanne v k

24 Überlagerung von Wellen : Superpositionsprinzip Die resultierende Amplitude ist die Summe der Einzelamplituden A(x,t) = A 1 (x,t) + A (x,t) Wellen überlagern sich ungestört! Linearer Bereich Verstärkung (Konstruktive Interferenz ): A( x, t) = A sin( ωt kx) + A sin( ωt kx) = A sin( ωt kx) Versuch Interferenz Auslöschung (destruktive Interferenz): A(x,t) = A sin(ωt kx) + A sin(ωt kx + π ) = A sin(ωt kx) A sin(ωt kx) = 0

25 Huygens-Fresnel'sches Prinzip Jeder von einer Welle erregte Punkt wird selbst zum Ausgangspunkt einer neuen Kreis-/Kugelwelle. Viele Anwendungen! Gitter, Doppelspalt, Beugung an Kristallen,... Versuch Wellenwanne

26 Dopplereffekt Die wahrgenommene Frequenz einer Schallwelle hängt von der Relativgeschwindigkeit, v der Quelle und des Empfängers ab. Man unterscheidet: 1. Bewegter Sender Die Wellenlänge ändert sich und damit die Frequenz λ ' ' λ = λ 1m v c f ' = f 0 1 m v c 1. Bewegter Empfänger Die Schallgeschwindigkeit ändert sich c ' = c m v f = f 1 m v 0 c Versuch Dopplereffekt

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