3.3. Aufgaben zur Normalverteilung und Hypothesentests

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1 3.3. Aufgaben zur Normalverteilung und Hypothesentests Aufgabe : Näherung der Binomialverteilung durch die Normalverteilung a) Die Zufallsvariable X sei B,,5 ()-verteilt. Sizziere das Histogramm von X mit Hilfe des GTR in das untenstehende Koordinatensystem. b) Berechne Erwartungswert µ und die Standardabweichung für X. c) Sizziere mit Hilfe des GTR das Schaubild der Normalverteilung Φ() ebenfalls in das untenstehende Koordinatensystem. e π für [; ] d) Sizziere die Schaubilder von Φ( µ), Φ( µ ) und Φ( µ ) ebenfalls in das untenstehende Koordinatensystem. e) Gib bei den drei Funtionen aus d) an, durch welche Verschiebungen bzw. Strecungen in x- oder y- Richtung ihre Schaubilder aus der Normalverteilung entstanden sind. Aufgabe : Näherung der Binomialverteilung durch die Normalverteilung Eine Maschine stellt Transistoren her, von denen durchschnittlich 5 % fehlerhaft sind. Pro Tag werden Transistoren geprüft. Mit welcher Wahrscheinlicheit sind a) weniger als 5 b) mehr als 5 c) nicht weniger als 5 und nicht mehr als 5 geprüfte Transistoren defet? Berechne die Wahrscheinlicheiten sowohl mit der Binomialverteilung als auch mit der Normalverteilung. Zeichne die Wahrscheinlicheit aus c) als Flächen in die Schaubilder von B,,5 () und Φ( µ ) ein. P(X),5,4,3,,, Aufgabe 3: Näherung der Binomialverteilung durch die Normalverteilung Berechne die folgenden Wahrscheinlicheiten mit Hilfe der Normalverteilung: a) B,3 (X 7) d) B,3 (X 65) g) B,3 (X 9) b) B 5, (X 95) e) B 5,5 (X ) h) B,5 (X ) c) B,4 (39 X 4) f) B 8,6 (475 X 485) i) B,3 (55 X 65)

2 Aufgabe 4: Näherung der Binomialverteilung durch die Normalverteilung Eine Fertigungsmaschine produziert % Ausschuss. a) Mit welcher Wahrscheinlicheit enthält eine Charge von Stüc nicht mehr als Stüc Ausschuss? b) Mit welcher Wahrscheinlicheit weicht die Ausschußrate einer Charge von Stüc um nicht mehr als die Standardabweichung vom Erwartungswert ab? Aufgabe 5: Näherung der Binomialverteilung durch die Normalverteilung Eine Grippeepidemie wird nach Einschätzung der Statistier bei 8 % der Bevölerung eine ärztliche Behandlung notwendig werden lassen. Ein Großhandel möcht für die Apotheen einer Kreisstadt mit Einwohnern Behandlungsmaterialien im voraus bestellen. a) Mit welcher Wahrscheinlicheit werden maximal 7 Patienten anfallen? b) Mit welcher Wahrscheinlicheit werden mindestens 5 Patienten anfallen? c) Mit welcher Wahrscheinlicheit weicht die Zahl der Patienten um nicht mehr als die Standardabweichung vom Erwartungswert ab? Aufgabe 6: Hypothesentest mit Fehler. und. Art Die bisherigen Mittel zur Blutdrucsenung wiren nur in 6 % aller Fälle; das neue Mediament der Firma Starhealth soll dagegen bei 8 % der Patienten helfen. Um diese Hypothese zu überprüfen, wird das Mittel an Patienten getestet. a) Zeichne die Stabdiagramme für die Hypothese (8 % Wirsameit) und die Gegenhypothese (6 % Wirsameit wie bisher) in ein gemeinsames Koordinatensystem. b) Die Hypothese soll angenommen werden, wenn mindestens Patienten Besserung verspüren. Dabei soll die Wahrscheinlicheit für den Fall, dass die Hypothese stimmt, aber trotzdem abgelehnt wird (Risio. Art) leiner als 5 % sein. Wo muss die Entscheidungsgrenze dann liegen? c) Bestimme die Wahrscheinlicheit für den Fall, dass die Gegenhypothese stimmt, aber trotzdem abgelehnt wird (Risio. Art) d) Betrachte nun umgeehrt den Fall 6 % iger Wirsameit als Hypothese. Diese Hypothese wird angenommen, wenn höchstns Patienten Besserung verspüren. Setze wieder so fest, dass das Risio. Art leiner als 5 % ist und berechne das entsprechende Risio. Art Aufgabe 7: Hypothesentest mit Fehler. und. Art Bei Kreuzungsversuchen mit Pflanzen tritt die Blütenfarbe weiß entweder rezessiv (p 5 %) oder dominant (p 75 %) auf. Wenn weniger als die Hälfte von 5 Pflanzen weiß blühen, geht man von rezessiver Vererbung aus. Umgeehrt schließt man bei mehr als 5 % auf dominante Vererbung. Bestimme das Risio. und. Art. Aufgabe 8: Hypothesentest mit Fehler. und. Art Saatgut für Erbsen wird in zwei Gütelassen mit unterschiedlicher Keimgarantie angeboten: Von den Erbsen. Wahl eimen 9 % und von denen. Wahl nur 75 %. Ein Großhändler erhält Erbsen-Saatgut, von dem er allerdings nicht weiß, ob es sich um Saatgut. oder. Wahl handelt. Er will dies mithilfe von zufällig entnommenen Erbsen testen. Bestimmen Sie für beide mögliche Hypothesen eine Entscheidungsregel für α 5 % und geben sie jeweils das entsprechende Risio. Art an. Aufgabe 9: Hypothesentest mit Fehler. und. Art Der Beanntheitsgrad eines Schooriegels unter Jugendlichen beträgt nach Einschätzung der Leitung der Herstellerfirma 5 %, nach Meinung der Werbeabteilung nur 3 %. Durch eine Stichprobe vom Umfang will man herausfinden, ob eine Werbeampagne notwendig ist. Geben Sie Entscheidungsregeln für beide Hypothesen an (α < %). Bestimmen Sie jeweils β. Aufgabe : Hypothesentest mit Fehler. Art Eine Fertigungsmaschine soll höchstens % Ausschuss produzieren. Gib eine Entscheidungsregel an, wenn diese Behauptung anhand einer Stichprobe von Stüc mit einem Signifianzniveau von 5 % getestet werden soll. Aufgabe : Hypothesen test mit Normalverteilung und Fehler. Art Beim Lotto 6 aus 49 ist der Verdacht aufgetreten, dass die 3 zu häufig gezogen wird. Deshalb ordnet ein Notar eine Stichprobe mit 49 einfachen Ziehungen an. Wie oft muss die 3 mindestens erscheinen, damit die Behauptung p mit einer Irrtumswahrscheinlicheit von 5 % abgelehnt werden ann? 49

3 3.3. Lösungen zu den Aufgaben zur Normalverteilung und Hypothesentests Aufgabe : Näherung der Binomialverteilung durch die Normalverteilung P(X),5,4,3,,, Aufgabe : Näherung der Binomialverteilung durch die Normalverteilung Mit µ und V(X) 9,5 ist a),64 % B,5 (X 4) b) 9,9 % B,5 (5 X 5) c) 4,3 % B,5 (X 6) 4,5 x µ e dx 5,5 x 4,5 4,5 (x ) dx,94 % π µ e dx x 5,5 µ e dx 5,5 (x ) 4,5 dx 98,9 % π (x ) dx,95 % π Aufgabe 3: Näherung der Binomialverteilung durch die Normalverteilung a) B,3 (X 7) b) B 5, (X 95) (x 6) 84 69,5 c) B,4 (39 X 4) d) B,3 (X 65) e) B 5,5 (X ) 5,5 dx 7,3 % 84π 95,5 (x ) 6 dx 3,7 % 6π 4,5 (x 4) ,5 dx 5, % 48π 7 (x 6) 84 dx 7,85 % 84π 649,5,5 (x 5) 475 dx,66 % 475π 5 f) B 8,6 (475 X 485) g) B,3 (X 9) h) B,5 (X ) 485,5 (x 48) ,5 dx 3,86 % 384π 9,5 (x 3) 57 dx 8,53 % 57π 5 5 (x ) 9 dx 6,48 % 9π 9,5 i) B,3 (595 X 65) 65,5 (x 6) ,5 dx 56,4 % 84π 3

4 Aufgabe 4: Näherung der Binomialverteilung durch die Normalverteilung a) B 6 /6 (X 5) b) B, (µ + X µ ) (x ) dx 49,9 % π 3,8 (x ) 9 3,8 + dx 68, % 9π Aufgabe 5: Näherung der Binomialverteilung durch die Normalverteilung a) B,8 (X 7) b) B,8 (X 5) 7 (x 6) 944 dx 79,6 % 944π (x 6) 944 dx 79,6 % 944π 5 c) B,8 (µ + X µ ) Aufgabe 6: Hypothesentest a) Stabdiagramme,3,5, P(X) 6 38,37 (x 6) ,37 + dx 5,4 % (!) 944π,5,,5 5 5 Annahme p,6 obwohl p,8 Annahme p,8 obwohl p,6 Fehler. Art α 3, % Fehler. Art β 4,6 % b) α P(Risio. Art) B,8 (X < ) <,5 3 mit B,8 (X < 3) B,8 (X ),3 β P(Risio. Art) B,6 (X 3),46 4,6 % c) α P(Risio. Art) B,6 (X > ) <,5 6 mit B,6 (X > 6) B,6 (X 7),36 β P(Risio. Art) B,8 (X 6),588 58,8 % Aufgabe 7: Hypothesentest α P(Fehler. Art) B 5,5 (X 5) B 5;,5 (X 4),3 % B 5,75 (X 4) P(Fehler. Art) β Aufgabe 8: Hypothesentest mit Fehler. und. Art Hypothese p 9 % α B,9 (X ),5 Wähle 84 mit B,9 (X 84) 4, % Annahme der Hypothese bei mehr als 84 eimenden Pflanzen β B,75 (X 85), %. Hypothese p 75 % α B,75 (X ),5 Wähle 83 mit B,75 (X 83) 3,8 % Annahme der Hypothese bei weniger als 83 eimenden Pflanzen β B,9 (X 8), %. Aufgabe 9: Hypothesentest mit Fehler. und. Art Hypothese p 5 % α B,5 (X ), Wähle 43 mit B,5 (X 43) 9,7 % Annahme der Hypothese, wenn mehr als 43 Personen den Schooriegel ennen β B,3 (X 44), %. Hypothese p 3 % α B,3 (X ), Wähle 4 mit B,3 (X 4) 8, % Annahme der Hypothese wenn weniger als 4 Personen den Schooriegel ennen β B,5 (X 4),8 %. 4

5 Aufgabe : Hypothesentest mit Fehler. Art Hypothese p % α B, (X ),5 Wähle 6 mit B, (X 6) 4, % Annahme der Hypothese, wenn mehr als 5 Stüc Ausschuss produziert wurden. Aufgabe : Hypothesen test mit Normalverteilung und Fehler. Art Hypothese p /49 α B 49 /49 (X 7) 5 x 7 µ e dx 5 % Ablehnung der Hypothese, wenn mehr als 7 mal die 3 erscheint (x ) 96 dx 4,9 % 96π 7 5