Bestimmtes (Riemannsches) Integral / Integral als Grenzwert einer Summe : Bedeutung: Fläche unter einer Funktion innerhalb bestimmter Grenzen
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- Monika Fried
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1 III. Integrlrechnung : Bestimmtes (Riemnnsches Integrl / Integrl ls Grenzwert einer Summe : Bedeutung: Fläche unter einer Funktion innerhl estimmter Grenzen yf( y n y n ( Δ Berechnung der Fläche A unter der Funktion f( zwischen den Grenzen und. Die Fläche knn durch eine Summe von Rechtecken pproimiert werden. Dzu wird ds Intervll [,] in n gleiche Suintervlle unterteilt:,,,... n Der Astnd zwischen zwei -Werten ist: ( i i Δ (i,,...,n n Die dzugehörigen Funktionswerte sind: y, y,y,...,y n Die Fläche A knn pproimiert werden durch eine Summe von Rechtecken oerhl der Kurve f( und eine Summe von Rechtecken unterhl der Kurve f(. Oerhl f(: Unterhl f(: A u y Δ + y Δ y n Δ A o y Δ + y Δ y n- Δ A u A A o Der Fehler der Anpssung ist: A o A u y o. Δ - y n. Δ (f(-f(. Δ Mthemtische Üungen Kp. 8/8 Hofmnn / Lettner
2 Der Fehler entspricht der Gesmtfläche der usgefüllten Rechtecke in oiger Aildung. Wird die Unterteilung nun sukzessive verfeinert, dnn wird diese Fläche eenflls sukzessive kleiner. Für n geht Δ, dher konvergieren die Flächen A u und A o gegen A. lim Au lim Ao n n A Die Schreiweise für diesen Grenzwert ist ds Integrlzeichen in der Form: A f ( lim f ( i Δ Δ n i Wie hängen Differentition und Integrtion zusmmen? h F( ΔF +h Die oere Grenze wird durch die Vrile ersetzt. Die Aszisse nimmt elieige Werte im Definitionsereich von yf( n. Sei A die Fläche unterhl der Kurve f( im Intervll [,]. Für ist ds Intervll uf einen Punkt reduziert und die dzugehörige Fläche A A. Ist ungleich, dnn ist uch die Fläche ungleich. Die Fläche A hängt von, sie wird deshl ls Flächenfunktion von ezeichnet. A F( Differenziere F( nch : sei A +Δ F(+Δ ΔF F(+Δ - F( Mthemtische Üungen Kp. 8/8 Hofmnn / Lettner
3 ΔF knn durch eine Rechteckfläche ngenähert werden (schrffiert in Aildung. Betrchten wir dzu zwei Rechteckflächen, eine mit den Seite Δ und f(, die ndere mit den Seiten Δ und f(+δ. Nchdem f( monoton steigend ist, gilt: Δ f( < ΔF < Δ f(+δ, Die Änderungsrte ΔF/Δ ist dher f( < ΔF/Δ < f(+δ, Nchdem f( stetig ist, konvergiert f(+δ gegen f( mit Δ. Der Grenzwert des Differenzenquotienten ΔF/Δ, die Aleitung df/ F eistiert dher, und df F ( f ( Die Aleitung der Flächenfunktion F( ist die gegeene Funktion f(, zw. nders herum: die Flächenfunktion F( ist ds estimmte Integrl von f(. Durch die Festlegung der Grenzen wird die Flächenfunktion vom unestimmten Integrl zum estimmten Integrl. Bemerkung: Von einer Funktion g( git es unendlich viele Stmmfunktionen G(+c, g ( G( + c, mit G( dem unestimmten Integrl (ntiderivtive und der Integrtionskonstnten c, weil c R elieige Werte nnehmen knn. Erst durch die Rndedingungen wird c fiiert und die Lösung uf eine, oder wenige Stmmfunktionen eingeschränkt. Wie wird die Konstnte c estimmt? Sei I( ein elieiges unestimmtes Integrl von f(, so unterscheidet sich F( von I( nur durch eine estimmte Konstnte c: F( I( +c Für den estimmten Wert erhlten wir: F( I( + c, und c -I(, dher ist F( I( - I(. Im Intervll [,] wird durch Ersetzen der oeren Grenze durch : F( A I(-I(. Schreiweise: F( f( I(-I(, untere Grenze; oere Grenze f( Integrnd Integrtionsvrile, Integrtionsgrenzen Mthemtische Üungen Kp. 8/8 Hofmnn / Lettner
4 f ( F( F( F( F ( Integrl Die Differentition der Stmmfunktion F( ergit f(. Differentition und Integrtion sind inverse Opertionen. Huptstz der Integrlrechnung: d f ( t dt f (, F ( t dt F( oder Bemerkung: Mitunter findet mn uch folgende Schreiweise: f ( F( F( üernimmt hier eine Doppelrolle ls Integrtionsvrile und ls oere Grenze. Diese Schreiweise ist verwirrend und sollte dher unterleien, für die oere Grenze und Integrtionsvrile sollten verschiedene Buchsten verwendet werden, wie etw: Unestimmtes Integrl: f ( F( + C ht keine Integrtionsgrenzen f ( t dt F( t F( F( C Integrtionskonstnte; knn jeden elieigen Wert (uch nnehmen. Knn für ein spezifisches Prolem erechnet werden (siehe Anfngs- zw. Rndedingungen ei Differentilgleichungen Rechenregeln: c f ( f ( ( f ( + f f ( c Mthemtische Üungen Kp. 8/8 Hofmnn / Lettner
5 ( + g( f ( + f g( +c (c kommt üerll vor, wird er ei den nchstehenden Regeln weggelssen kf ( k f ( n+ n + C n + l n + C d ln + C e d e l{ ne e + C cos sin + C sin cos + C tn l ncos + C cot l nsin + C Achtung: nicht jedes Integrl knn uf eindeutige Weise gelöst werden. Integrtionsmethoden ( Integrtion durch Sustitution z.b. sin( + dt Setzen: t + dt dt Mthemtische Üungen Kp. 8/8 Hofmnn / Lettner
6 sin t dt t dt t + c sin cos ( Prtielle Integrtion g( f ( g( f ( g f ( ( (Differentition eines Produktes z.b. cos setzen: f(, g ( cos f (, g( sin cos sin sin sin + cos ( + c Es git noch eine Reihe weiterer Integrtionsmethoden und Tellen (wenn keine geschlossene Lösung möglich: numerische Integrtion und Näherungsmethoden Wenn innere Aleitung ei Integrtion Division! (Differentition : Multipliktion k k e z.b. e ( + c k Beispiele: ( cos sin sin( sin( ( { 3 ( Mthemtische Üungen Kp. 8/8 Hofmnn / Lettner
7 Uneigentliche Integrle Sind Integrle, ei denen eine oder eide Integrtionsgrenzen keine festen Zhlen sind, sondern plus oder minus unendlich sind. Flls der Grenzwert Anlog: lim f ( eistiert, so ist f ( lim f ( f ( lim f ( c f ( lim f ( + lim f ( c Für ein elieiges c R, vorusgesetzt, die hier vorkommenden Grenzwerte eistieren. Wenn die Funktion f( n einer der Integrtionsgrenzen oder nicht definiert ist, dnn knn die Funktion wie folgt erweitert werden. Für ist F( nicht definiert: f ( lim + f ( vorusgesetzt, dss der Grenzwert uf der rechten Seite der Gleichung eistiert. Anlog für den Fll, dß F( für den Wert nicht definiert ist, ds Integrl f ( lim f (, wenn der Grenzwert uf der rechten Seite der Gleichung eistiert. Bsp: ln( lim ln( lim ( ln lim ( ln( + Zu zeigen ist noch, dss.ln( ist, in geeigneter Weise unter Verwendung der Regeln von de l Hospitl: lim ln( Mthemtische Üungen Kp. 8/8 Hofmnn / Lettner
8 Mthemtische Üungen Kp. 8/8 Hofmnn / Lettner Nch Umformung: ( ( lim ( ( lim ln( lim ln( lim g f g f
5.5. Integralrechnung
.. Integrlrechnung... Berechnung von Integrlen mit der Streifenmethode Definition: Gegeen seien, R mit < und eine uf [; ] stetige Funktion f. Der orientierte Inhlt der Fläche, die durch die -Achse, ds
Beispiele: cos(x) dx = sin(x) + c (1) e t dt = e t + c (2)
. Stmmfunktion Definition Stmmfunktion: Gegeen sei eine Funktion f(). Gesucht ist eine Funktion F (), so dss d = f(). Die Funktion F() heisst Stmmfunktion. Schreiweise: F () = f()d. Mn spricht uch vom
= f (x). Anmerkung: Stammfunktionen finden ist also die Umkehrung der Ableitung, es wird daher auch manchmal als Aufleiten bezeichnet.
.Stmmfunktionen Integrlrechnung Im folgenden sei I R ein Intervll ds mit mindestens 2 verschiedene Punkte enthält.. Stmmfunktionen Definition: Eine differenzierre Funktion F : I R heißt Stmmfunktion einer
Die Geschwindigkeit v ist die lokale Änderungsrate des Ortes x d.h. v = lim. Zeit 3s 7s Entfernung vom Bezugspunkt. 3s 2 m = 6 m 6 m + 1 Bezugspunkt s
6 Integrlrechnung ================================================================== 6.1 Lokle Änderungsrte und Gesmtänderung ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Mathematik Rechenfertigkeiten
2 Mthemtik Rechenfertigkeiten Skript Freitg Dominik Tsndy, Mthemtik Institut, Universität Zürich Winterthurerstrsse 9, 857 Zürich Irmgrd Bühler (Überrbeitung: Dominik Tsndy) 9.August 2 Inhltsverzeichnis
4. Integration. Wozu Integralrechnung?
MA 4- Wozu? Flächeninhlt eines von einer Kurve egrenzten Bereiches Volumen elieiger Körper Oerflächeninhlt elieiger Körper Wozu Integrlrechnung? MA 4- Mit vriler Geschwindigkeit zurückgelegter Weg Geometrischer
Berechnung von Flächen unter Kurven
Berechnung von Flächen unter Kurven Es soll die Fläche unter einer elieigen (stetigen) Kurve erechnet werden. Dzu etrchten wir die (sog.) Flächenfunktion, mit der die zu erechnende Fläche qusi ngenähert
( ) ( ) 4. Der Hauptsatz der Infinitesimalrechnung. Hauptsatz (1. Form) I. Newton ( ), G.F. Leibniz ( )
4. Der Huptstz der Infinitesimlrechnung Huptstz (. orm) I. Newton (64-77), G.. Leiniz (646-76) ür jede im Intervll [,] stetige unktion f sei ( ) = f ( t) dt sogennnte Integrlfunktion dnn gilt: Die Integrlfunktion
13-1 Funktionen
3- Funktionen 3 Integrle: Flächeninhlte Seien < reelle Zhlen, sei I = [, ] = { R } ds Intervll der Zhlen zwischen und Wir etrchten eine stetige Funktion f : I R und ds zugehörige Integrl f() d (dies ist
(21) Berechnen Sie die uneigentlichen Rieman-Integrale. ln t dt = t ln t t. = x 1 x ln x. ln t dt = 1. ) xe. ( x 2 x) x + 1 (x + 1)
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f(x) = x F(x) = f(x) dx b n x dx = x a b ( ) n 1 b a +
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Flächenberechnung. Aufgabe 1:
Flächenerechnung Aufge : Berechnen Sie den Flächeninhlt zwischen dem Funktionsgrphen und der -Achse in den Grenzen von is von: ) f() = ) f() = - Skizzieren Sie die Funktionsgrphen und schrffieren Sie die
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Uneigentliche iemnn-integrle Zweck dieses Abschnitts ist es, die Vorussetzungen zu lockern, die wir n die Funktion f : [, b] bei der Einführung des iemnn-integrls gestellt hben. Diese Vorussetzungen wren:
9.5. Uneigentliche Integrale
9.5. Uneigentliche Integrle Bestimmte und unestimmte Integrle hängen zwr eng zusmmen, er die Existenz des einen grntiert nicht immer die des nderen: Eine integrierre Funktion muß keine Stmmfunktion esitzen,
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Integrlrechnung. Stmmfunktionen In der Differentilrechnung hen wir gelernt, durch Aleiten einer Funktion f eine neue Funktion f zu finden, die uns hilft, Eigenschften von f zu estimmen (z.b. Hoch- oder
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8.4 Integrtionsmethoden 33 8.4 Integrtionsmethoden Die Integrtion von Funktionen erweist sich in prktischen Fällen oftmls schwieriger ls die Differenzition. Während sich ds Differenzieren durch Anwendung
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Musterlösungen zum 6 Üungsltt Anlysis ei Dr Rolf Busm WS 6/7 Aufge 6 (Tois Hessenuer) ) 3 ep()d, setze u = ep(), v = 3 dnn gilt: 3 ep()d = ep() 3 = e (3 ep() ) 3 ep() d = e 3e + 6 ep() = 6e 3e + 6e 6e
Stammfunktionen, Hauptsätze, unbestimmtes Integral
Stmmfunktionen, Huptsätze, unbestimmtes Integrl Sei I ein Intervll, f beschränkt uf I und R-integrierbr für jedes [, b] I, und I. Dnn heißt die Funktion F mit D(F ) = I und F () = f(t)dt Integrl von f
kann man das Riemannsche Unter- bzw. Oberintegral auch wie folgt definieren: xk+1 x k
Integrlrechnung Definition 1 (Treppenfunktion, Zerlegung eines Intervlls): Sei [, b] R ein Intervll. Eine Funktion g : [, b] R heißt Treppenfunktion, flls es eine Zerlegung := { =: 0 < 1
Kapitel 9 Integralrechnung
Kpitel 9 Integrlrechnung Kpitel 9 Integrlrechnung Mthemtischer Vorkurs TU Dortmund Seite 1 / 18 Kpitel 9 Integrlrechnung Definition 9.1 (Stmmfunktion) Es seien f, F : I R Funktionen. F heißt Stmmfunktion
Kapitel 7. Integralrechnung für Funktionen einer Variablen
Kpitel 7. Integrlrechnung für Funktionen einer Vriblen In diesem Kpitel sei stets D R, und I R ein Intervll. 7. Ds unbestimmte Integrl (Stmmfunktion) Es sei f : I R eine Funktion. Eine differenzierbre
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Der Begriff der Stammfunktion
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Differenzial- und Integralrechnung III
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Hier ist noch ein Beispiel, bei dem sowohl die Substitutionsregel als auch die partielle Integration zur Anwendung kommt.
64 Kpitel. Integrlrechnung Hier ist noch ein Beispiel, bei dem sowohl die Substitutionsregel ls uch die prtielle Integrtion zur Anwendung kommt..4.6 Beispiel Um eine Stmmfunktion für rctn zu finden, beginnen
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Folgen von Funktionen Wir etrchten Folgen von reell-wertigen Funktionen f n U R mit Definitionsereicht U R und interessieren uns für ntürliche Konvergenzegriffe. Genuer setzen wir uns mit folgenden Frgen
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![Satz 6.5 (Mittelwertsatz der Integralrechnung) Sei f : [a, b] R stetig. Dann gibt es ein ξ [a, b], so dass. b a. f dx = (b a)f(ξ) f dx (b a)m.](/thumbs/74/70413961.jpg "Satz 6.5 (Mittelwertsatz der Integralrechnung) Sei f : [a, b] R stetig. Dann gibt es ein ξ [a, b], so dass. b a. f dx = (b a)f(ξ) f dx (b a)m.")
Stz 6.5 (Mittelwertstz der Integrlrechnung) Sei f : [, b] R stetig. Dnn gibt es ein ξ [, b], so dss 9:08.06.2015 gilt. f dx = (b )f(ξ) Lemm 6.6 Sei f : [, b] R stetig und m f(x) M für lle x [, b]. Dnn
5 Integralrechnung. Einführung: y = f '( x) Integration y = f(x) Aus y = f(x) erhält man durch Differentiation y = f '( x)
- - 5 Integrlrechnung. Einführung: Aus y = f() erhält mn durch Differentition y = f '( ) y = f() Differentition y = f '( ) Es esteht er in den nturwissenschftlich-technischen Anwendungen häufig die Aufge
9 Das Riemannsche Integral
1 9 Ds Riemnnsche Integrl 9.1 Definition und Beispiele Sei I = [, ] R mit
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12. STAMMFUNKTIONEN UND DAS UNBESTIMMTE INTEGRAL
98 Dieses Skript ist ein Auszug mit Lücken us Einführung in die mthemtische Behndlung der Nturwissenschften I von Hns Heiner Storrer, Birkhäuser Skripten. Als StudentIn sollten Sie ds Buch uch kufen und
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Wir wollen den Inhalt A der Fläche bestimmen, den der Graph von f mit der x-achse und den zu a und b gehörendenden Ordinaten einschließt.
I. Integrlrechnung 1 ================================================================= 1.1 Oer- und Untersumme -------------------------------------------------------------------------------------------------------------
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12. STAMMFUNKTIONEN UND DAS UNBESTIMMTE INTEGRAL
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Einführung in die Integrlrechnung Einführung in die Integrlrechnung Einführung in die Integrlrechnung In der Differentilrechung estnd die ufge u drin, zu einer gegeenen Funktion f deren leitungsfunktion
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6.4 Uneigentliche Integrle 3 Beispiele : d + + d ( + ) t + d t t d t ( t + t + t ) + t + t t ln ( + t) + c + ln ( + + ) + c + t rctn + c 6.4 Uneigentliche Integrle bisher : beschränkte Funktionen uf endlichen
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![nennt man eine Zerlegung (Partition, Unterteilung) des Intervalls [a, b]. Die Feinheit der Zerlegung ist dabei](/thumbs/64/52033315.jpg "nennt man eine Zerlegung (Partition, Unterteilung) des Intervalls [a, b]. Die Feinheit der Zerlegung ist dabei")
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Kpitel 9 Integrtion Josef Leydold Auffrischungskurs Mthemtik WS 27/8 9 Integrtion / 36 Stmmfunktion Eine Funktion F() heißt Stmmfunktion einer Funktion f (), flls F () = f () Berechnung: Vermuten und Verifizieren
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Lernkrten Anlysis Seiten Zum Ausdrucken muss mn jeweils eine Vorderseite drucken, dnn ds Bltt wenden, nochmls einlegen und die Rückseite drucken. Am esten druckt mn die Krten uf festem Ppier oder uf Visitenkrten-
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Simultion von Störungen mit zeitlichen Schrnken Die geräuchlichen sttistischen Verteilungen können elieig große Werte hervorringen, ws ei der Simultion von Störungen oft nicht erwünscht ist. Verwendet
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6.4 Etrem ohne Neenedingungen Reltive lokle Etrem Sei f : D R, D R n, eine Funktion. Wir sgen, dss f in D o ein reltives Mimum zw. reltives Minimum ht, wenn es eine Umgeung U von git, so dss f f gilt.
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Wir substituieren x x(t) r sin(t), t [ π, π ]. Dnn ist x (t) r cos(t), lso r x dx π π r π r r sin (t)r cos(t) dt π cos (t) cos(t) dt r π π cos (t) dt Wir integrieren cos mittels prtieller Integrtion: Sei
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