x A, x / A x ist (nicht) Element von A. A B, A B A ist (nicht) Teilmenge von B. A B, A B A ist (nicht) echte Teilmenge von B.

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1 SBP Mathe Grundkurs 1 # 0 by Clifford Wolf # 0 Antwort Diese Lernkarten sind sorgfältig erstellt worden, erheben aber weder Anspruch auf Richtigkeit noch auf Vollständigkeit. Das Lernen mit Lernkarten funktioniert nur wenn die Inhalte bereits einmal verstanden worden sind. Ich warne davor diese Lernkarten nur stur auswendig zu lernen. SBP Mathe Grundkurs 1 Diese und andere Lernkarten können von heruntergeladen werden. Viel Erfolg bei der SBP Mathe Grundkurs 1 Prüfung! Clifford Wolf <clifford@clifford.at> Diese Lernkarten stehen unter der CC BY-NC-SA Lizenz. SBP Mathe Grundkurs 1 # 1 by Clifford Wolf Mengenoperationen # 1 Antwort x A, x / A x ist (nicht) Element von A. A B, A B A ist (nicht) Teilmenge von B. A B, A B A ist (nicht) echte Teilmenge von B. A B = {x x A x B} = Schnittmenge A B = {x x A x B} = Vereinigungsmenge A \ B = {x x A x / B} = Differenzmenge A B = {(x, y) x A y B} = Produktmenge SBP Mathe Grundkurs 1 # 2 by Clifford Wolf Logische Operationen # 2 Antwort A B Äquivalenz (gleichbedeutind mit) A B Implikation (daraus folgt) A B Konjunktion (und) A B Disjunktion (oder) A B Antivalenz (ungleich, entweder-oder) A Negation (nicht) A : B Allquantor (fuer alle A gilt B) A : B Existenz (es gibt ein A fuer das B gilt) SBP Mathe Grundkurs 1 # 3 by Clifford Wolf # 3 Antwort natürliche Zahlen N = {0, 1, 2, 3,...} (N = {1, 2, 3,...})

2 SBP Mathe Grundkurs 1 # 4 by Clifford Wolf # 4 Antwort ganze Zahlen Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} (Z = {..., 3, 2, 1}) SBP Mathe Grundkurs 1 # 5 by Clifford Wolf # 5 Antwort rationale Zahlen Q = { z z Z, n N } n Q + = {q q Q, q > 0} Q = {q q Q, q < 0} SBP Mathe Grundkurs 1 # 6 by Clifford Wolf # 6 Antwort reelle Zahlen R = alle Zahlen auf der Zahlengerade Untermengen: R +, R, R + 0, R 0 SBP Mathe Grundkurs 1 # 7 by Clifford Wolf # 7 Antwort Assoziativgesetze (Addition und Multiplikation) a + (b + c) = (a + b) + c a (b c) = (a b) c

3 SBP Mathe Grundkurs 1 # 8 by Clifford Wolf # 8 Antwort Kommutativgesetze (Addition und Multiplikation) a + b = b + a a b = b a SBP Mathe Grundkurs 1 # 9 by Clifford Wolf # 9 Antwort Distributivgesetz der Multiplikation a (b + c) = a b + a c SBP Mathe Grundkurs 1 # 10 by Clifford Wolf # 10 Antwort Äquivialenzumformungen der Multiplikation a b = c a = c b b = c a SBP Mathe Grundkurs 1 # 11 by Clifford Wolf # 11 Antwort Äquivialenzumformungen der Addition a + b = c a = c b b = c a

4 SBP Mathe Grundkurs 1 # 12 by Clifford Wolf # 12 Antwort eine lineare Gleichung ist eine Gleichung mit den Variablen x n der Gestalt Definition: lineare Gleichung ax 1 + bx = k. Die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems ist die Schnittmenge der Lösungsmengen der einzelnen Gleichungen. SBP Mathe Grundkurs 1 # 13 by Clifford Wolf # 13 Antwort Gauss sches Eliminationsverfahren ax 1 + bx 2 = c d dx 1 + ex 2 = f a adx 1 + bdx 2 = dc adx 1 aex 2 = af = (ad ad)x 1 +(bx ae)x 2 = dc af (bx ae)x 2 = dc af SBP Mathe Grundkurs 1 # 14 by Clifford Wolf # 14 Antwort Definition: Betrag a = { a a 0 a a < 0 SBP Mathe Grundkurs 1 # 15 by Clifford Wolf # 15 Antwort Definition: lineare Funktion f(x) = kx + d f(0) = d, f(x + 1) f(x) = k der Graph von f ist eine Gerade mit der Steigung k.

5 SBP Mathe Grundkurs 1 # 16 by Clifford Wolf # 16 Antwort f(x) = k x + d 2-Punkt Formel für lineare Funktion k = f(x 2) f(x 1 ) x 2 x 1 d = f(x) k x SBP Mathe Grundkurs 1 # 17 by Clifford Wolf # 17 Antwort Definition: direkte und indirekte Proportionalität direkte Proportionalität: f(x) = k x indirekte Proportionalität: f(x) = k x SBP Mathe Grundkurs 1 # 18 by Clifford Wolf # 18 Antwort Konstante Faktoren bei direkter und indirekter Proportionalität bei direkter Proportionalität: f(x) = k x f(a x) = a f(x) bei indirekter Proportionalität: f(x) = k x f(a x) = f(x) a SBP Mathe Grundkurs 1 # 19 by Clifford Wolf # 19 Antwort streng monoton steigend (wachsend): x 2 > x 1 f(x 2 ) > f(x 1 ) Definition: (streng) monoton steigend/fallend streng monoton fallend (abnehmend): x 2 > x 1 f(x 2 ) < f(x 1 ) monoton steigend (wachsend): x 2 > x 1 f(x 2 ) f(x 1 ) monoton fallend (abnehmend): x 2 > x 1 f(x 2 ) f(x 1 )

6 SBP Mathe Grundkurs 1 # 20 by Clifford Wolf # 20 Antwort f : A R, A R Definition: Graph einer reellen Funktion G = {(x; y) x A, y = f(x)} G = Graph der reellen Funktion f SBP Mathe Grundkurs 1 # 21 by Clifford Wolf # 21 Antwort Potenzieren von Ungleichungen a < b a n < b n wenn a, b R + 0 und n R+. SBP Mathe Grundkurs 1 # 22 by Clifford Wolf # 22 Antwort Mon+: Monotoniegesetz der Addition a < b a + c < b + c (a, b, c R) SBP Mathe Grundkurs 1 # 23 by Clifford Wolf # 23 Antwort Mon pos: Monotoniegesetze der Multiplikation Mon neg: a < b a c < b c c > 0 a < b a c > b c c < 0 (a, b, c R)

7 SBP Mathe Grundkurs 1 # 24 by Clifford Wolf # 24 Antwort Kehrwert und Negation bei Ungleichungen mit 0 0 < a 0 < 1 a 0 < a 0 > a 0 < a < b 0 < 1 b < 1 a (a, b R) SBP Mathe Grundkurs 1 # 25 by Clifford Wolf # 25 Antwort a < b c < d a + c < b + d Addition und Multiplikation von Ungleichungen (a, b, c, d R) a < b c < d a c < b d (a R b, c, d R + ) SBP Mathe Grundkurs 1 # 26 by Clifford Wolf # 26 Antwort Transitivgesetz der Ordnungsrelation a < b b < c a < c SBP Mathe Grundkurs 1 # 27 by Clifford Wolf # 27 Antwort (a + b = a 2 + 2ab + b 2 Formeln für Quadrat-Binome (a b = a 2 2ab + b 2 (a + b) (a b) = a 2 b 2

8 SBP Mathe Grundkurs 1 # 28 by Clifford Wolf # 28 Antwort x 2 + px + q = 0 Lösungsformel und Strategie fuer x 2 + px + q = 0 x 2 + px = q x 2 + px + ( p 2 = ( p 2 q ( x + p 2 = ( p 2 q x = p 2 ± ( p 2 q SBP Mathe Grundkurs 1 # 29 by Clifford Wolf # 29 Antwort x 2 + px + q = 0 x = p 2 ± ( p 2 q Wie viele Lösungen hat x 2 + px + q = 0? 2 Lösungen in R wenn 1 Lösung in R wenn keine Lösung in R wenn ( p 2 q > 0 ( p 2 q = 0 ( p 2 q < 0 D = ( p 2 q = Diskriminante SBP Mathe Grundkurs 1 # 30 by Clifford Wolf # 30 Antwort Seien α 1 und α 2 Lösungen von Satz von VIETA dann gilt fuer alle x R: x 2 + px + q = 0 x 2 + px + q = (x α 1 ) (x α 2 ) mit α 1 + α 2 = p und α 1 α 2 = q. SBP Mathe Grundkurs 1 # 31 by Clifford Wolf # 31 Antwort ax 2 + bx + c = 0 Lösungsformel für ax 2 + bx + c = 0 x = b± b 2 4ac 2a

9 SBP Mathe Grundkurs 1 # 32 by Clifford Wolf # 32 Antwort Definition von Polynomfunktion f(x) = a n x n + a n 1 x n a 2 x 2 + a 1 x + a 0 n = Grad der Polynomfunktion SBP Mathe Grundkurs 1 # 33 by Clifford Wolf # 33 Antwort Sei f eine Polynomfunktion n-ten Grades und α R eine Nullstelle von f, dann gibt es eine Polynomfunktion g (n 1)-ten Grades, so dass für alle x R gilt: f(x) = (x α) g(x) Abspalten eines Linearfaktors Methoden zur Ermittlung der Koeffizienten von g: Koeffizientenvergleich Polynomdivision SBP Mathe Grundkurs 1 # 34 by Clifford Wolf # 34 Antwort Beispiel - allgemeines Polynom dritter Ordnung: a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = (x α) (b 2 x 2 + b 1 x + b 0 ) = Methode des Koeffizientenvergleichs = b 2 x 3 +b z x 2 +b 0 x αb 2 x 2 αb 1 x αb 0 = = b }{{} 2 x 3 + (b 1 αb 2 ) x 2 + (b 0 αb 1 ) x + ( αb 0 ) }{{}}{{}}{{} a 3 a 2 a 1 a 0 b 2 = a 3, b 1 = a 2 + αb 2, b 0 = a 1 + αb 1, αb 0 = a 0 }{{} Kontrolle SBP Mathe Grundkurs 1 # 35 by Clifford Wolf # 35 Antwort Satz von Horner a n b n = (a b) (a n 1 + a n 2 b + + ab n 2 + b n 1 ) Beweis durch Ausmultiplizieren: alle Terme in der Mitte fallen weg.

10 SBP Mathe Grundkurs 1 # 36 by Clifford Wolf # 36 Antwort Potenz-Funktion = wiederholtes multiplizieren: Definition der Potenz-Funktion x n = } x x x {{ x x } n mal x = Basis, n = Exponent SBP Mathe Grundkurs 1 # 37 by Clifford Wolf # 37 Antwort Wurzel-Funktion = Umkehrung der Potenz-Funktion: Definition der Wurzel-Funktion x n = a x = n a SBP Mathe Grundkurs 1 # 38 by Clifford Wolf # 38 Antwort n a k = ( n a ) k Wurzeln von Potenzen SBP Mathe Grundkurs 1 # 39 by Clifford Wolf # 39 Antwort Potenzen mit Exponenten kleiner 1 a 1 n = n a a 0 = 1 a n = 1 a n

11 SBP Mathe Grundkurs 1 # 40 by Clifford Wolf # 40 Antwort Exponenten aus Q a k n = n a k = ( n a ) k SBP Mathe Grundkurs 1 # 41 by Clifford Wolf # 41 Antwort Potenzieren von Potenzen ( a k ) n = a k n SBP Mathe Grundkurs 1 # 42 by Clifford Wolf # 42 Antwort Potenzieren von Produkten (a b) n = a n b n SBP Mathe Grundkurs 1 # 43 by Clifford Wolf # 43 Antwort Multiplikation von Potenzen gleicher Basis a k a n = a k+n

12 SBP Mathe Grundkurs 1 # 44 by Clifford Wolf # 44 Antwort Brüche von Potenzen gleicher Basis a k a k n k > n a n = 1 k < n a n k 1 k = n SBP Mathe Grundkurs 1 # 45 by Clifford Wolf # 45 Antwort Beispiel mit 5,5% Verzinsung im Jahr: k 0 = ursprünglich eingezahler Betrag k 1, k 2, k 3,... = Betrag nach 1, 2, 3,... Jahren Verzinsung k 1 = k 0 + 0,055 k 0 = 1,055 k 0 k 2 = k 1 + 0,055 k 1 = 1,055 2 k 0 k n = 1,055 n k 0 SBP Mathe Grundkurs 1 # 46 by Clifford Wolf # 46 Antwort n a b = n a n b Wurzeln von Produkten und Brüchen n a b = n a n b SBP Mathe Grundkurs 1 # 47 by Clifford Wolf # 47 Antwort Wurzeln von Wurzeln n m a = m n a = n m a

13 SBP Mathe Grundkurs 1 # 48 by Clifford Wolf # 48 Antwort Definition der Exponentialfunktion f(x) = c a x (c, x R, a R + ) SBP Mathe Grundkurs 1 # 49 by Clifford Wolf # 49 Antwort Definition der Logarithmusfunktion a x = y x = log a (y) log a = Logarithmus zur Basis a SBP Mathe Grundkurs 1 # 50 by Clifford Wolf # 50 Antwort Definition des natürlichen Logarithmus und der natürlichen Exponentialfunktion natürliche Exponentialfunktion: exp(x) = e x natürlicher Logarithmus: ln(x) = log e (x) e = die Eulersche Zahl SBP Mathe Grundkurs 1 # 51 by Clifford Wolf # 51 Antwort Logarithmen beliebiger Basis mit dem natürlichen Logarithmus log a = ln(x) ln(a)

14 SBP Mathe Grundkurs 1 # 52 by Clifford Wolf # 52 Antwort Potenzen belibiger Basis mit der natürlichen Exponentialfunktion a x = e λ x λ = ln(a) SBP Mathe Grundkurs 1 # 53 by Clifford Wolf # 53 Antwort Monotonie von Exponentialfunktionen a x ist { streng monoton steigend a > 1 streng monoton fallend a < 1 SBP Mathe Grundkurs 1 # 54 by Clifford Wolf # 54 Antwort Logarithmen von Potenzen log a (b x ) = x log a (b) SBP Mathe Grundkurs 1 # 55 by Clifford Wolf # 55 Antwort Logarithmen von Produkten log a (x y) = log a x + log a y (Prinzip des Rechenschiebers)

15 SBP Mathe Grundkurs 1 # 56 by Clifford Wolf # 56 Antwort Unbeschränktes exponentielles Wachstum N(t) = N 0 a t = N 0 e λt mit λ = ln a λ > 0, a > 1 = exponentielles Wachstum λ < 0, a < 1 = exponentielle Abnahme SBP Mathe Grundkurs 1 # 57 by Clifford Wolf # 57 Antwort Beweis von 2 Q durch Widerspruch: 2 Q = a, b N : 2 = a b a, b teilerfremd ( ) a 2 = 2 a2 = 2 a 2 = 2b 2 b b 2 Warum kann 2 keine rationale Zahl sein? a 2 ist gerade a ist gerade (denn 2 ist eine Primzahl und muss daher bereits in a als Primfaktor enthalten sein) p N : a = 2p a 2 = (2p = 4p 2 = 2b 2 2p 2 = b 2 b 2 ist gerade b ist gerade = Widerspruch zu a, b teilerfremd = 2 Q SBP Mathe Grundkurs 1 # 58 by Clifford Wolf # 58 Antwort f(x) f(x) = k x + d Graph einer lineraen Funktion f(a + 1) f(a) 1 k d d k a a + 1 x SBP Mathe Grundkurs 1 # 59 by Clifford Wolf # 59 Antwort f(x) 1/3; 3 Symmetrisch an beiden Medianen 1/2; 2 Graph von 1/x 1; 1 f(x) = 1 x 2; 1 /2 3; 1 /3 Bei x = 0 nicht definiert! x -1; - 1 /2-1; -1

16 SBP Mathe Grundkurs 1 # 60 by Clifford Wolf # 60 Antwort f(x) f(x) = 2 x Graph der Exponentialfunktion (Am Beispiel von 2 x ) / x SBP Mathe Grundkurs 1 # 61 by Clifford Wolf # 61 Antwort f(x) f(x) = exp x Graph der Exponential- und Logarithmusfunktion Gespiegelt an der 1. Mediane 1 1 f(x) = ln x x