Einführung in die Mathematik (Vorkurs 1 )

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1 Einführung in die Mathematik (Vorkurs 1 ) Wintersemester 2008/09 Dr. J. Jordan Institut für Mathematik Universität Würzburg Germany 1 Modulbezeichnung 10-M-VKM 1

2 Inhaltsverzeichnis 1 Aussagen und Beweise Aussagenlogik Beweistechniken Quantoren Aufgabentypen Mengen und Abbildungen Mengen Abbildungen Vollständige Induktion Natürliche Zahlen Das Prinzip der vollständigen Induktion Zahlenbereiche 27 2

3 1.1 Aussagenlogik Die formale Logik stellt die Regeln bereit, nach denen mathematische Aussagen schlüssig und eindeutig formuliert und begründet (bewiesen) werden können. Aussagen Mathematische Aussagen sind immer genau eines von beiden, wahr oder falsch. Jede mathematische Aussage hat also einen eindeutig bestimmten Wahrheitswert, w (für wahr) oder f (für falsch) 1. Aussagen werden oft auch mit Groÿbuchstaben A, B, C... bezeichnet. Um ein paar Beispiele diskutieren zu können, benutzen wir jetzt schon ein paar Begrie nämlich natürliche Zahlen, gerade Zahlen und Primzahlen 2 die aus der Schule bekannt sein sollten, aber später nochmal exakt mathematisch eingeführt werden. Beispiel 1.1 Hier nun ein paar Beispiele zu Aussagen: A: 9 ist eine Primzahl B: Jede Primzahl ist ungerade C: 2 ist eine Primzahl D: Es gibt unendlich viele Primzahlzwillinge Aussage A ist oenbar falsch (denn 3 3 = 9). In der Tat ist 2 eine Primzahl. Also ist Aussage B falsch und Aussage C richtig. Ein Primzahlzwilling ist ein Paar aus Primzahlen p, q,so dass p q = 2 ist. Ob es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt oder eben nur endlich viele ist unbekannt 3. Trotzdem, D ist entweder wahr oder falsch und damit eine Aussage. Der SatzWie ist das Wetter heute ist keine mathematische Aussage, weil sein Wahrheitsgehalt weder richtig noch falsch ist. 1 Die Logik der Mathematik ist somit zweiwertig. Es gibt auch mehrwertige oder sogar unscharfe (Fuzzy-)Logik, die in der Technik eine gewisse Rolle spielt (Fuzzy-Regelung... ); diese ist aber zur Grundlegung der Mathematik eher ungeeignet (... obwohl es inzwischen schon Gebiete wie Fuzzy-Topologie, Fuzzy-Analysis, Fuzzy-Wahrscheinlichkeitstheorie usw. gibt!). 2 Der Vollständihgkeit halber: Gerade Zahlen denieren wir als die natürlichen Zahlen, welche durch zwei Teilbar sind. Primzahlen denieren wir als diejenigen natürlichen Zahlen welche ungleich eins sind und nur durch 1 und durch sich selbst teilbar sind. 3 das ist übrigens ein seit langem ungelöstes Problem 3

4 Operationen mit Aussagen Aus einfachen Aussagen gewinnt man durch logische Verknüpfungen kompliziertere Aussagen 4. (a) Konjunktion (und). Wir schreiben A B. Beispiel: Seien A und C die Aussagen aus Beispiel 1.1. Dann bedeutet die Aussage A C : 9 ist eine Primzahl und 2 ist eine Primzahl Das ist eine neue Aussage (und zwar eine falsche). Der Wahrheitswert der neuen Aussage A B ist durch folgende Tabelle (eine sogenannte Wahrheitstafel) deniert: A B A B w w w w f f f w f f f f Durch die folgende Wahrheitstafel werden weitere logische Verknüpfungen deniert. A B A A B A B A B A B w w f w w w w w f f f w f f f w w f w w f f f w f f w w (b) Disjunktion A B (oder) Bemerkung: Das logische oder,, ist nicht, wie meist in der Umgangssprache, als entweder-oder gemeint 5, sondern als einschlieÿendes Oder. 4 Die Aussagenlogik ist kein reines Konstrukt der Mathematik; sie existiert in der Natur! In der Schaltungstechnik werden logische Operationen durch geeignete Schaltkreise realisiert. Dabei bedeutet A wahr bzw. A falsch: A wahr: Der A-Schalter ist geschlossen, d.h. Strom kann ieÿen. A falsch: Der A-Schalter ist oen, d.h. Strom kann nicht ieÿen. Durch eine Reihenschaltung von mehreren Schaltern lassen sich damit Und-Verknüpfungen realisieren, durch eine Parallelschaltung Oder-Verknüpfungen. Die Und, Oder und Nicht- Elemente können mittels Halbleitertechnik realisiert werden; damit können binäre logische Aussagen im Prinzip auch experimentell überprüft (besser: erfahren) werden. 5 Ein ausschlieÿendes Oder (entweder oder) kann durch denieren. A B := (A B) ( A B). 4

5 Beispiel: Betrachte die Aussagen C 1 : Die Zahl 2 ist gerade und die Aussage C 2 : Die Zahl 2 ist eine Primzahl. Die Aussage C 1 C 2 : Die Zahl 2 ist gerade oder eine Primzahl ist auch wahr, da mindestens eine der beiden Aussagen C 1, C 2 wahr ist. Tatsächlich ist sowohl C 1 wie C 2 wahr. (c) Negation (nicht A): A. Beispiel: Die Negation von C ist C : 2 ist keine Primzahl. Die Negation von Alle Studenten wissen das es unendliche Primzahlen gibt ist Es gibt mindestens einen Studenten, welcher nicht weiÿ, das es unendlich viele Primzahlen gibt. Die Aussage B ist Nicht jede Primzahl ist ungerade. Achtung: ein typischer Anfängerfehler wäre B mit Jede Primzahl ist gerade gleichzusetzen. Das kann schon deshalb nicht richtig sein, da ja entweder B oder B richtig sein muss. (d) Implikation (A impliziert B, ausa, folgt B): A B Bemerkung: Eine Implikation A B ist stets wahr, wenn A falsch ist! Aus einer falschen Aussage kann man alles folgern! Beispiel: Die verknüpfte Aussage A D : Ist 9 eine Primzahl dann gibt es unendlich viele Primzahlzwillinge ist also wahr, obwohl wir nicht wissen, ob die Aussage D wahr ist. (e) Äquivalenz (A ist äquivalent zu B, A genau dann, wenn B): A B Beispiel: Sei q eine natürliche Zahl. Die Aussage q ist eine gerade Primzahl und die Aussage q ist 2 sind äquivalent. Sie sind entweder beide wahr (nämlich wenn q tatsächlich 2 ist) oder beide falsch. Mit Hilfe der Wahrheitstafel kann man nun Regeln verizieren. Z.B. stellt man fast, dass die Aussage A B genau dann wahr ist, wenn B A wahr ist. Die sogenannte Kommutativität von ist also durch die Tabelle A B A B B A w w w w w f f f f w f f f f f f gezeigt. Analog geht man bei der Verikation weiterer Regeln vor. Regel 1.2 (a) Kommutativität: A B B A A B B A. 5

6 (b) Assoziativität: A (B C) (A B) C A (B C) (A B) C. (c) Distributivität: A (B C) (A B) (A C) A (B C) (A B) (A C). (d) Doppelte Negation: ( A) A. (e) de Morgansche Regeln: (A B) A B (A B) A B. (f) Kontraposition: (g) Syllogismus: (A B) ( B A). ((A B) (B C)) (A C). 1.2 Beweistechniken Gegeben seien zwei Aussagen A und B. Man will nun beweisen, dass aus der Aussage A die Aussage B folgt. Wir müssen also zeigen, dass die Aussage B wahr ist falls A wahr ist. Beispiel: Sei q eine natürliche Zahl. Die Aussage A sei q ist eine gerade Primzahl und B sei q ist kleiner als 5. Wir wollen zeigen, dass die Aussage A B : Ist q eine gerade Primzahl, so ist sie kleiner als 5 wahr ist. Man kann nun auf drei Weisen vorgehen: Direkter Beweis: Man nehme an dass A wahr ist und folgere durch eine Kette logischer Schlüsse, dass B wahr ist. Beispiel: Aus A folgt zunächst die Aussage C : q ist 2, denn 2 ist eine Primzahl und jede andere gerade Zahl ist durch zwei teilbar und daher keine Primzahl. Aus C widerum folgt B, denn 2 ist kleiner als 5. 6

7 Beweis durch Kontraposition: Hier nutzt man, die Kontrapositionsregel, d.h. die Tatsache, dass A B genau dann wahr ist, wenn B A wahr ist. Wir nehmen also an dass B falsch ist und versuche, wieder durch eine Kette logischer Schlüsse, zu zeigen, dass dann auchafalsch ist. Beispiel: Ist q gröÿer oder gleich 5 (Es gelte also B), dann ist q auch ungleich 2. Da alle Primzahlen auÿer zwei ungerade sind, ist q ungerade oder keine Primzahl. Es gilt also A. Indirekter Beweis: Hier nutzt man, dass A B äquivalent zu A B ist. Die Negation dazu ist wiederum A B. Um nun zu zeigen, dass A B wahr ist, zeigt man nun, dass A B falsch ist. Sei q eine gerade Primzahl gröÿer oder gleich 5. Als gerade Zahl ist q ein Vielfaches von 2 und damit keine Primzahl. Ein Widerspruch. Eine weitere wichtige Beweistechnik ist die Vollständige Induktion. Dazu kommen wir aber erst in der kommenden Woche. 1.3 Quantoren Mathematische Aussagen hängen oft von Variablen ab. Zum Beispiel hängt die Aussage A(n) : n ist gröÿer als 2n von der Variable n ab. Dabei sind die Variablen meist durch Annahme eines gewissen Denitionsbereiches eingeschränkt. In obigem Beispiel etwa, sein eine beliebige natürliche Zahl. Wir nehmen hier schon mal die Bezeichnung n N für n aus den natürlichen Zahlen vorweg. Wir schreiben n N : A(n) statt Für alle n gilt die Aussage A(n). Wir schreiben n N : A(n) statt Es existiert ein n, so dass die Aussage A(n) gilt. Die Symbole bzw. ist der sogenannte Allquantor bzw. Existenzquantor. Beispiel 1.3 Die folgenden Aussagen seien für ganze Zahlenn bzw. m erklärt. In obigem Beispiel ist A(n) für alle natürlichen Zahlen n falsch. Wir könnten also schreiben n N : A(n). 7

8 Sei nun B(n) die Aussage n 2 > n. Für gewisse n ist diese Aussage wahr (etwa für n = 3). Wir können also schreiben n N : B(n). Beachten Sie, dass bei einer Negation einer Aussage die Quantoren und ihre Rollen vertauschen, d.h. es gilt ( n N : A(n)) n N : A(n). Oder in Worten ausgedrückt: Ist A(n) nicht für alle n richtig, dann gibt es mindestens ein n, so dass A(n) falsch ist. Analog gilt ( n N : A(n)) n N : A(n). Beispiel 1.4 Die Aussage C(n, m) n ist gröÿer als m hängt von den natürlichen Zahlen n und m ab. Die Aussage D : Für jede natürliche Zahl m gibt es eine natürliche Zahl n so dass n >m kann man abkürzend schreiben D : m N n N : C(m, n). Wir stellen zunächst fest, dass D etwas völlig anderes ist wie E : n N m N : C(m, n). In Worten: Es gibt eine natürliche Zahl m so dass für jede natürliche Zahl n die Ungleichung n > m gilt. Man kann also Existenzquantor und Allquantor nicht einfach vertauschen. Aussage D ist wahr, Aussage E ist falsch. E ist aber auch nicht die Negierung von D. Die ergibt sich durch D : m N n N C(m, n). In Worten: Es existiert eine natürliche Zahl m so dass für jede natürliche Zahl n die Ungleichung n m gilt. Warnung: Die Symbole,,,,, und sind oft sehr nützlich, etwa wenn man verschachtelte logische Ausdrücke negieren will. Keinesfalls sollten sie aber im Sinne stenographischer Abkürzungen in einem mathematischen Text (z.b. bei der Bearbeitung von Übungsblättern, Klausuraufgaben oder Bachelorarbeiten) verwendet werden. Ein mathematischer Text sollte immer aus vollständigen Sätzen bestehen. 8

9 1.4 Aufgabentypen Fast alle Übungsaufgaben lassen sich mit einer der drei folgenden Fragetypen formulieren. Beweisen Sie: aus A folgt B: Dies ist die Standardsitutaion, wie sie in Abschnitt beschrieben ist. Beweisen Sie, dass A und B äquivalent sind: Um eine Äquivalenz zu zeigen, muÿ man beide ImplikationenA B und B A zeigen. Beispiel 1.5 Wir beweisen, dass die Aussagen A:n ist gerade und die Aussage B:n 2 ist gerade äquivalent sind. Zunächst zeigen wir A B: Ist n gerade, so gibt es eine natürliche Zahl k so dass n = 2k. Damit ist auch n 2 = 2 2k 2 gerade. Nun zeigen wir B A. Hier probiern wir einen indirekten Beweis: Wir nehmen an n ist nicht gerade, also ungerade. Dann gibt es eine natürliche Zahl k so dass n = 2k 1. Dann ist n 2 = 4k(k 1)+1 und das ist ungerade. Eigentlich haben wir also A B gezeigt. Wir wissen aber schon, dass das Äquivalent zu B A ist (Kontraposition). Beispiel 1.6 Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind: G: Auÿer der 2 läÿt sich jede gerade natürliche Zahl als die Summe zweier Primzahlen schreiben H: Alle natürlichen Zahlen, welche gröÿer als 5 sind, lassen sich als Summe dreier Primzahlen schreiben Bemerkung: Aussage G ist mal wieder eine sehr alte unbewiesene Vermutung 6. Trotzdem können Sie zeigen, dass Aussage G und Aussage H äquivalent sind (Versuchen Sie es). Beweisen oder Widerlegen Sie Aussage A: in Übungsblättern und Klausuren werden Sie heug mit einer Aussage konfrontiert, von der Sie zunächst nicht wissen ob sie wahr oder falsch ist 7. Zunächst sollten Sie schauen ob Sie die Aussage schnell mit einem einfachen Gegenbeispiel widerlegen können. Falls ja, dann ist die Aufgabe gelöst, denn ein Gegenbeispiel ist ein Beweis, nämlich dafür, dass eine Aussage falsch ist. Beispiel: Beweisen oder widerlegen Sie die folgende Aussage: Für jede natürliche Zahl m gibt es eine natürliche Zahl n so dass n + m = nm 6 Die sogenannte Goldbachsche Vermutung. Seit 1742 haben Mathematiker vergeblich versucht sie zu bewiesen. 7 Im Beruf und in der Forschung ist das der Normalfall. Wenn man schon weiÿ ob die Aussage falsch oder wahr ist, würde man Sie nicht fragen 9

10 Wer es probiert wird schnell ein Gegenbeispiel nden. Die richtige Antwort ist also: Die Aussage ist falsch. Z.B. für m = 1 gibt es kein solches n, denn für jede natürliche Zahl n gilt n + 1 > n 1. Achtung: Ein Beispiel ist kein Beweis! Für gewisse natürliche Zahlen m gibt es ein n so dass n + m = nm. Z.B. für m = 2 wähle man n = 2. Dieses Beispiel liefert aber keinerlei Erkentnis darüber, ob obige Aussage wahr oder falsch ist. 10