Digitale Signalverarbeitung auf FPGAs

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1 Digitale Signalverarbeitung auf FPGAs INP: Interpolation Upsampling und D/A-Wandlung Teil 1 Upsampling 2016 Dr. Christian Münker

2 INP: Überblick Upsampling D/A-Wandlung Interpolation Oversampling DACs Dr. Christian Münker Digitale Signalverarbeitung auf FPGAs INP-2 von 28

3 Rekonstruktion und Interpolation Thema: Erhöhung der Abtastrate und die Unterdrückung von Images f g < f s1 / 2 x(t) f S1 x[n] f S1 < f S2 f S2 f g < f s2 / 2 DSP DAC mit ZOH* Sensor Anti-Aliasing- Filter H AA (f) Sampler Quantizer ADC ZOH- Kompensation* Analoges Nachfilter* H RK (f) * Komponenten des Rekonstruktionsfilters Aktor Zeitdiskretes Signal mit f S2 wird im DAC in zeitkontinuierliches Signal (f S ) umgewandelt ( Rekonstruktion ) In der digitalen Signalverarbeitung wird Abtastrate auf f S2 > f S1 erhöht ( Upsampling ) Dr. Christian Münker Digitale Signalverarbeitung auf FPGAs INP-3 von 28

4 2 Erhöhung der Abtastrate ( Upsampling ) X(e j2πft S1 ) 0 f S1 2f S1 3f S1 f X(e j2πft S2 ) f S1 / 2 Ausbügeln jeder 2. Faltung 3f S1 / 2 5f S1 / 2 Image(s) durch Erhöhung der Abtast rate von fs1 auf fs2 = 2 fs1 0 f S2 Wiederholspektren Wiederholspektren Images (= Kopien ) bis f S2 / 2 werden real! f S2 / 2 = f S1 Kopien des alten Basisbands > f S1 / 2 müssen unterdrückt werden (warum?) f 3f S2 / 2 Dr. Christian Münker Digitale Signalverarbeitung auf FPGAs INP-4 von 28

5 Wiederholspektren vs. Images Wiederholspektren sind Folge der zeitdiskreten Natur eines Signals: Ein mit f S abgetastetes Signal repräsentiert eindeutig nur eine Bandbreite von f S. Der Spektralbereich zwischen kf S (k + 1)f S ist identisch für verschiedene Werte von k und kann nicht einzeln verändert werden! Images sind ehemalige Wiederholspektren, die nach Erhöhung von f S unterschiedliche Informationen repräsentieren können und daher einzeln verändert werden können. Images sind i.a. unerwünscht und müssen unterdrückt werden! Dr. Christian Münker Digitale Signalverarbeitung auf FPGAs INP-5 von 28

6 Rekonstruktion zeitkontinuierlicher Signale X(e j2πft S1 ) f 0 f S1 2f S1 Analoge Rekonstruktion entspricht Neuabtastung mit f S2 alle Wiederholspektren werden zu Images und müssen nach Rekonstruktion eliminiert werden! X(f) f S1 / 2 3f S1 / 2 Rekonstruktionsfilter f 0 f S1 / 2 f S1 2f S1 Dr. Christian Münker Digitale Signalverarbeitung auf FPGAs INP-6 von 28

7 Digitale Signalverarbeitung auf FPGAs INP: Interpolation Upsampling und D/A-Wandlung Teil 2 D/A-Wandlung 2016 Dr. Christian Münker

8 Rekonstruktion mit idealem DAC Ziel der Rekonstruktion: Setze zeitdiskrete Folge x[n] in ein äquivalentes analoges Signal x(t) um: Erzeuge analoge Diracschar, d.h. mit dem Wert Null überall außer bei t = nt S y [n] n = t / T S id. DAC y (t) t Das Gewicht der Diracstöße entspricht x[n] (aber Amplitude ) Durch anschließende Filterung wird Signal geglättet Technisch nicht realisierbar! Dr. Christian Münker Digitale Signalverarbeitung auf FPGAs INP-8 von 28

9 Idealer Rekonstruktions-Tiefpass H(f) rect-funktion im Frequenzbereich: X(f), H(f) si-funktion im Zeitbereich: nicht kausal! -1-1/2 0 1/2 1 f / f s h(t) unendlich ausgedehnt! h(t ) = f S sinπ f S t πf S t = f S si π f S t t / T s Dr. Christian Münker Digitale Signalverarbeitung auf FPGAs INP-9 von 28

10 Ideale Rekonstruktion durch si-impulse ideal abgetastetes Signal x s [n] x s (nt S ) Idealer DAC x (t ) = n= idealer TP f g = f s / 2 x S [n]δ(t nt S ) si(πf S t ) ideal rekonstruiertes Signal x(t) Impulsantwort = Interpolationsfunktionen x(t) rekonstruiert für n = -3,, +3 x(t), ursprüngliches Signal Dr. Christian Münker Digitale Signalverarbeitung auf FPGAs INP-10 von 28

11 Rekonstruktion mit realem ZOH-DAC Analoge Dirac-Stöße mit Gewicht x[n] sind technisch nicht realisierbar Erzeuge statt dessen analoge Treppenfunktion ( Zero-Order Hold, ZOH), Fläche einer Stufe entspricht x[n] y [n] y(t) n = t / T S realer DAC 0 3T S 6T S t Technisch realisierbar, aber Verfälschung des Signals: Faltung mit rect im Zeitbereich entspricht Multiplikation mit si-fkt. im Frequenzbereich! h ZOH (t) 1 T s t H ZOH (f ) = sin(π f T S) πf T S e j π f T S Dr. Christian Münker Digitale Signalverarbeitung auf FPGAs INP-11 von 28

12 Frequenzgang Zero-Order-Hold h ZOH (t) 1 T s t H ZOH (f ) = sin(π f T S) πf T S e j π f T S Dämpfung im Nutzband (max. 3.9 db) muss kompensiert werden Images müssen unterdrückt werden Dr. Christian Münker Digitale Signalverarbeitung auf FPGAs INP-12 von 28

13 Rekonstruktionsfilter bei realer D/A Wandlung Anti-Aliasing- Filter H(f) f S f g < f s / 2 f g < f s / 2 Sampler ADC f S Quantizer f S DSP ZOH- Kompensation* f S DAC mit ZOH* Nach-Filter* * Komponenten des Rekonstruktionsfilters Ziel: Flacher Frequenzgang von 0... f S / 2, darüber perfekte Imageunterdrückung: analoges Nach-Filter (dig.) ZOH- Kompensation ZOH-Frequenzgang Dr. Christian Münker Digitale Signalverarbeitung auf FPGAs INP-13 von 28

14 Digitale Signalverarbeitung auf FPGAs INP: Interpolation Upsampling und D/A-Wandlung Teil 3 Interpolation 2016 Dr. Christian Münker

15 Interpolation um ganzzahligen Faktor I Bei Interpolation wird zunächst die Abtastrate um den Faktor I erhöht ( Upsampling, hier I = 3) durch Einfügen von I - 1 Nullen zwischen Samples ( zerostuffing ) x (nt 1 ) v (mt 2 ) y (mt 2 ) I dig. TP Eigentliche Interpolation zwischen Samples erfolgt anschließend durch digitales TP-Filter Achtung: Zerostuffing reduziert Amplituden der Spektralkomponenten um den Faktor I Verstärkung um I nötig (meist schon im Filter) x[n] v [m] y [m] n = t / T 1 m = t / T 2 m = t / T 2 Dr. Christian Münker Digitale Signalverarbeitung auf FPGAs INP-15 von 28

16 Interpolation Rekonstruktion Imageunterdrückung Interpolation ist in der Mathematik eine Art der Approximation: Eine Funktion wird durch die Interpolationsfunktion in den Stützstellen exakt wiedergegeben und dazwischen zumindest näherungsweise. In der DSV kann Interpolation auch heißen, dass zwischen Stützstellen zusätzliche diskrete Werte bestimmt werden Rekonstruktion geht davon aus, dass die ursprüngliche (analoge) Funktion rekonstruiert werden kann bei D/A-Wandlung verwendet Image-Unterdrückung betrachtet die Problematik im Frequenzbereich: Frequenzkomponenten außerhalb des (alten) Basisbands sind immer Störkomponenten und müssen unterdrückt werden Perfekte Interpolation : Alle Images werden unterdrückt, das (alte) Basisband bleibt unverändert Dr. Christian Münker Digitale Signalverarbeitung auf FPGAs INP-16 von 28

17 Interpolation um ganzzahligen Faktor I (1) x [n] v [m] n = t / T S1 m = t / T S2 X (ej2πf ) ¼ Wdh.- spekt. ½ 1 V (ej2πf ) Image 1/12 1/6 1/3 ½ Wdh.- spekt. Upsampling um I und Einfügen von I - 1 Nullen zwischen Samples ( zerostuffing ), dadurch Amplitudenreduktion des Spektrums um Faktor I 2 Wdh.- spekt. Interpolation / Imageunterdrückung und Verstärkung in digitalem TP-Filter y [m] Y (ej2πf ) 2/3 F = f / f S1 F = f / f S m = t / T S2 1/12 1/6 1/3 ½ 2/3 F = f / f S2 x (nt S1 ) I v (mt S2 ) I dig. TP y (mt S2 ) Dr. Christian Münker Digitale Signalverarbeitung auf FPGAs INP-17 von 28

18 Interpolation um ganzzahligen Faktor I (2) x [n] X (ej2πf ) n = t / T S1 F = f / f S ¼ ½ 1 2 Alternativ: Upsampling um I mit I - 1 Wiederholungen des letzten Wertes entspricht zerostuffing mit nachfolgender Faltung mit rect [m / I ] Funktion Gewichtung des Spektrums mit si(π F I ) y [m] Y (ej2πf ) Vorteil: Nachteil: m = t / T S2 Image 1/12 1/6 1/3 ½ Dämpfung der Images durch si-charakteristik si-dämpfung im Basisband muss im Interpolationsfilter kompensiert werden (rechenintensiv!) 2/3 F = f / f S2 x (nt S1 ) I v (mt S2 ) dig. TP y (mt S2 ) H avg,i Dr. Christian Münker Digitale Signalverarbeitung auf FPGAs INP-18 von 28

19 Vergleich Dezimation / Interpolation Dezimation: Verringerung der Abtastrate kann Spektralkomponenten ins Basisband zurückfalten (Aliasing ) digitales Anti-Aliasing TP Filter vor Downsampling notwendig! x (nt S1 ) dig. TP v (nt S1 ) R y 2 (mt S2 ) Interpolation: Erhöhung der Abtastrate durch Einfügen von Nullen ( Zerostuffing ) erzeugt spektrale Images im neuen Basisband digitales Anti-Image TP Filter nach Upsampling notwendig! x (nt S1 ) I I v (mt S2 ) dig. TP y (mt S2 ) Skalierung korrigiert reduzierte Signalleistung im Basisband aufgrund Zerostuffing Dr. Christian Münker Digitale Signalverarbeitung auf FPGAs INP-19 von 28

20 Digitale Signalverarbeitung auf FPGAs INP: Interpolation Upsampling und D/A-Wandlung Teil 4 Oversampling-DACs 2016 Dr. Christian Münker

21 Oversampling DAC und RK-Filter (1) f S f S f g < f s / 2 Ohne Oversampling: x [n] DSP ZOH- Kompensation* DAC mit ZOH* y S (t) analoges Nachfilter* Mit OS: f S I f S I f S I f S Interp. DSP I -TP x [n] v[n] w[n] ZOH- Kompensation* oder hier: ZOH- Kompensation* DAC mit ZOH* y S (t) f g < I f s / 2 analoges Nachfilter* Oversampling Geringerer Aufwand für ZOH-Kompensation und Nachfilter! * Komponenten des Rekonstruktionsfilters Dr. Christian Münker Digitale Signalverarbeitung auf FPGAs INP-21 von 28

22 D/A-Wandlung ohne Oversampling x [n] X (ejωt S1 ) n = t / T S1 Wiederholspektren h ZOH1 (t) f / f S1 0 ½ T S1 t Y S1 (f) = X (ejωt S1 ) HZOH1 (f) y S1 (t) = x [nt S1 ] * h ZOH1 (t) H ZOH 1 (f ) = siπf /f S 1 Images t / T S1 f / f S ZOH-Dämpfung des Nutzbands muss kompensiert werden Images müssen unterdrückt werden (Zeitbereich: Treppe glattschleifen ) Dr. Christian Münker Digitale Signalverarbeitung auf FPGAs INP-22 von 28

23 D/A-Wandlung nach Nullenstopfen (I = 2) v [m] V (ejωt S2 ) Image m = t / T S2 Wiederholspektren f / f S2 1 h ZOH2 (t) 0 ½ 1 2 T S2 t Y S2 (e jω ) = V (ejωt S2 ) HZOH2 (f) y S2 (t) = v [mt S2 ] * h ZOH2 (t) H ZOH 2 (f ) = si πf /f S 2 Images t / T S2 f / f S ½ 1 2 Geringere ZOH-Dämpfung im Nutzband weniger Aufwand für Kompensation Stärkere Images (Zeitbereich: holperigere Treppe ) noch steileres Analogfilter Dr. Christian Münker Digitale Signalverarbeitung auf FPGAs INP-23 von 28

24 1 D/A-Wandlung nach Interpolation (I = 2) w [m] h ZOH2 (t) m = t / T S2 W (e jωt S2 ) Image durch Interpolations- Filter unterdrückt Wiederholspektren 0 ½ 1 2 f / f S2 T S2 t Y S3 (e jω ) = W (ejωt S2 ) HZOH2 (f) y S3 (t) = w [mt S2 ] * h ZOH2 (t) H ZOH 2 (f ) = si πf /f S 2 ( analoge ) Images t / T S2 f / f S ½ 1 2 Geringere ZOH-Dämpfung im Nutzband weniger Aufwand für Kompensation Images im BB durch IP-Filter unterdrückt weniger Aufwand für analoges Filter Dr. Christian Münker Digitale Signalverarbeitung auf FPGAs INP-24 von 28

25 Analoges Nachfilter mit und ohne Oversampling Oversampling-DACs entspannen Spezifikationen für analoges Nachfilter: Übergangsbereich ( Don't Care ) wird viel breiter! Beispiel: Video-DAC mit f S = 30 MHz und B = f DB = 10 MHz, Images sollen im Vergleich zum Signal um mindestens 60 db gedämpft werden Ohne Oversampling: f S = 30 MHz f i,min = f SB = f S B = 20 MHz Mit OSR = 2 und Interpolation: f S,OSR = 60 MHz f i,min,osr = f SB,OSR = 50 MHz Y S (f), H ZOH1 (f) A N = 20log si π 10 MHz/f S = -1,7 db A i = 20log siπ 20 MHz /f S = -7,7 db f / MHz f S Y S,OSR (f), H ZOH2 (f) A N, OSR = 20log siπ 10 MHz/f S,OSR = -0,6 db A i,osr = 20log siπ 50 MHz/f S, OSR = -14,4 db f / MHz f S,OSR Dr. Christian Münker Digitale Signalverarbeitung auf FPGAs INP-25 von 28

26 Ordnung des analogen Nachfilters Der Betragsgang eines analogen Butterworth-Filters der Ordnung N ist gegeben durch H BUT (f ) = für f f c Dabei ist f c die -3 db Frequenz ( corner frequency ). Abschätzung der Ordnung N für eine vorgegebene Dämpfung a SB bei f SB (Näherung: f c f DB ): N = log f c /f SB (a SB )/2 = log 10 ( a SB ) / 2 log 10 (f c / f SB ) Erwünschte Gesamtdämpfung (vorige Folie): A SB = A SB,Fil + A i = 60 db A SB,Fil = 52,3 db 2, N > - 2,6 / 2 log 10 (10 khz / 20 khz) = 4,3 A SB,Fil,OSR = 45,6 db 5, N OSR > - 2,3 / 2 log 10 (10 khz / 50 khz) = 1,6 Entspannterer Filterentwurf & weniger ZOH-Kompensation schon bei OSR = 2! Äquivalente Rauschbandbreite: ENBW = 1,1 f c (N = 2) bzw. ENBW = 1,05 f c (N = 4) 1 1+(f /f c ) 2N (f c /f ) 2 N Dr. Christian Münker Digitale Signalverarbeitung auf FPGAs INP-26 von 28

27 Oversampling DAC und SQNR Beispiel: PWM (W = 1 Bit) DAC auf FPGA oder uc f N = 8 khz, f S = 20 khz, I = 50, Requantisierung auf W = 1 Bit f S I f S I f S I f S f SB,A, f DB,A DSP I Interp. -TP DAC mit ZOH f SB,D, f DB,D Quantisierungsrauschen bis I f S / 2! analoges Nachfilter Welche Aufgabe hat der digitalte TP? Wählen Sie f DB,D und f SB,D geeignet. Welches OSR und welches SQNR max können theoretisch erreicht werden? Welche max. Dämpfung im Nutzband hat ein Butterworth-Filter 2. Ordnung als analoges Nachfilter mit f c = 8 khz bzw. f c = 15 khz)? Bestimmen Sie das jeweils erreichbare SQNR, vernachlässigen Sie hierzu den Frequenzgang des ZOH-DACs. Dr. Christian Münker Digitale Signalverarbeitung auf FPGAs INP-27 von 28

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