Brückenkurs Mathematik

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1 Brückenkurs Mathematik Vorlesung 1 Logik,, Doris Bohnet Universität Hamburg - Department Mathematik Mo

2 Zeitplan Tagesablauf: 9:15-11:45 Vorlesung Audimax I 13:00-14:30 Übung Übungsräume 15:00-16:30 Besprechung Audimax I Aktuelles und Aufgaben: Homepage: Mathe Vorkurs 0809.html doris.bohnet@math.uni-hamburg.de

3 1 Logik Aussagenlogik Prädikatenlogik Beweismethoden 2 3 Natürliche Ganze Rationale Reelle

4 Aussagenlogik Prädikatenlogik Beweismethoden Die kleinste Einheit der Aussagenlogik ist die Aussage: Aussage Eine Aussage ist ein Satz, der entweder wahr oder falsch ist. Beispiel A = B = C = D =

5 Aussagenlogik Prädikatenlogik Beweismethoden Bemerkungen Entscheidend ist, dass jeder Aussage ein Wahrheitswert (wahr oder falsch) zugeordnet werden kann, nicht, ob irgend jemand feststellen kann, ob diese Aussage nun tatsächlich wahr oder falsch ist. Der Wahrheitswert einer aus elementaren Aussagen zusammengesetzten Aussage bestimmt sich allein durch die Wahrheitswerte der elementaren Aussagen. Der Inhalt oder die innere Struktur eines Satzes ist nicht Gegenstand der Aussagenlogik. Die kleinste Einheit der Aussagenlogik ist die Aussage.

6 Aussagenlogik Prädikatenlogik Beweismethoden Aus elementaren Aussagen A, B kann man mit Hilfe von Junktoren (Verknüpfungen) eine neue Aussage konstruieren. Der Wahrheitswert dieser Aussage hängt allein von den Wahrheitswerten der elementaren Aussagen ab und läßt sich mit Hilfe von Wahrheitstafeln angeben. Negation: nicht A A Die Negation von A ist also genau dann wahr, wenn A falsch ist, und genau dann falsch, wenn A wahr ist. Beispiel

7 Aussagenlogik Prädikatenlogik Beweismethoden Disjunktion: oder A B A B Die Disjunktion von zwei Aussagen, ist nur dann falsch, wenn beide Aussagen falsch sind. Beispiel

8 Aussagenlogik Prädikatenlogik Beweismethoden Konjunktion: und A B A B Die Konjunktion von zwei Aussagen ist nur dann wahr, wenn beide Aussagen wahr sind, ansonsten falsch. Beispiel

9 Aussagenlogik Prädikatenlogik Beweismethoden Implikation: wenn..., dann... A B A B Die Aussage (Wenn A, dann B) ist falsch, wenn A wahr ist und B falsch, wenn also aus einer wahren Aussage eine falsche gefolgert wird. Die logische Wenn-dann-Beziehung darf nicht mit einer kausalen Ursache-Wirkung-Beziehung verwechselt werden. Die beiden Aussagen müssen inhaltlich nichts miteinander zu tun haben und können dennoch eine wahre Folgerungsaussage bilden.

10 Aussagenlogik Prädikatenlogik Beweismethoden Beispiel

11 Aussagenlogik Prädikatenlogik Beweismethoden Äquivalenz: genau dann, wenn A B A B Die Aussage (Genau dann A, wenn B) ist genau dann wahr, wenn beide Aussagen denselben Wahrheitswert besitzen, ansonsten falsch. Sind zwei Aussagen A, B äquivalent, d.h. ist A B eine wahre Aussage, können A und B überall durcheinander ersetzt werden. Beispiel

12 Aussagenlogik Prädikatenlogik Beweismethoden Übersicht Junktoren zwischen Aussagen: Negation nicht Disjunktion oder Konjunktion und Implikation wenn, dann Äquivalenz genau dann, wenn

13 Aussagenlogik Prädikatenlogik Beweismethoden Beispiel

14 Aussagenlogik Prädikatenlogik Beweismethoden Beispiel

15 Aussagenlogik Prädikatenlogik Beweismethoden Hängt eine Aussage A von einer (oder auch mehreren) freien Variable x ab, A(x), spricht man von einer Aussageform. Eine Aussageform besitzt keinen Wahrheitswert. Erst wenn die Variable durch einen Quantor gebunden wird, wird die Aussageform in eine Aussage überführt. Solche quantifizierten Aussageformen, bei denen auch die innere Struktur analysiert wird, sind Gegenstand der Prädikatenlogik, einer Erweiterung der Aussagenlogik. Quantoren Allquantor für alle Existenzquantor es gibt

16 Aussagenlogik Prädikatenlogik Beweismethoden Beispiel

17 Aussagenlogik Prädikatenlogik Beweismethoden Beachte die Reihenfolge der Quantoren und der Verknüpfungen: x y : A(x, y) y x : A(x, y) x : B(x) x : B(x). Beispiel

18 Aussagenlogik Prädikatenlogik Beweismethoden Ein Beweis einer Aussage B besteht aus einer Kette von Aussagen, die zueinander in gültigen Folgerungsbeziehungen stehen und an deren Ende die Wahrheit der Aussage B folgt. Direkter Beweis Ausgehend von einer wahren Aussage A (Voraussetzung) folgert man durch gültige Implikationen die zu beweisende Aussage B. Beispiel A... B

19 Aussagenlogik Prädikatenlogik Beweismethoden Indirekter Beweis Ausgehend von B erzeugt man durch gültige Implikationen einen Widerspruch zu einer wahren Aussage A (Voraussetzung), d.h. man erhält die falsche Aussage A A. Daraus folgt die Falschheit der Annahme B und also die Wahrheit von B. Beispiel B... A.

20 Aussagenlogik Prädikatenlogik Beweismethoden Beispiel

21 Menge (Cantor) Eine Menge M ist eine Zusammenfassung bestimmter wohl unterscheidbarer Objekte unseres Denkens oder unserer Anschauung. Die Objekte m in einer Menge M heißen Elemente. Man schreibt: m M. M := {m 1, m 2, m 3 } M := { m } A(m) := {} aufzählende Form beschreibende Form leere Menge

22 Beispiel

23 Beziehungen zwischen A B Teilmenge x A x B. B A Obermenge x A x B. A B Vereinigungsmenge x A B x A x B. A B Schnittmenge x A B x A x B. A \ B Differenzmenge x A \ B x A x / B. Ist der Schnitt A B =, dann heißen A und B disjunkt.

24 Beispiel

25 Natürliche Ganze Rationale Reelle Natürliche Die natürlichen N sind durch die folgenden Axiome eindeutig charakterisiert: 0 ist eine natürliche Zahl. Jede natürliche Zahl n besitzt genau eine Nachfolgerin n + 1. Es gibt keine natürliche Zahl, deren Nachfolgerin 0 ist. Jede natürliche Zahl (außer 0) ist die Nachfolgerin genau einer anderen natürlichen Zahl. Diese Axiome formalisieren die intuitive Vorstellung des Zählens, das man mit Hilfe der natürlichen tun kann.

26 Natürliche Ganze Rationale Reelle Auf den natürlichen kann man die gewohnte Addition und Multiplikation definieren. Sie ist assoziativ, kommutativ und distributiv. Das neutrale Element der Addition ist 0, denn es gilt für alle n N: n + 0 = n. Das neutrale Element der Multiplikation ist 1, denn es gilt für alle n N: n 1 = n. Es gibt keine inversen Elemente der Addition oder der Multiplikation.

27 Vollständige Induktion Logik Natürliche Ganze Rationale Reelle Eine Aussage A(n) für alle natürlichen n n 0 wird mit Hilfe der vollständigen Induktion bewiesen. Vollständige Induktion Induktionsanfang: A(n 0 ) ist richtig. Induktionsschritt: Für jedes n n 0 gilt: Ist A(n) richtig (Induktionsvoraussetzung), dann auch A(n + 1).

28 Beispiel Logik Natürliche Ganze Rationale Reelle

29 Natürliche Ganze Rationale Reelle Eine natürliche Zahl n N heißt Teiler von m N, falls eine natürliche Zahl k N existiert, so dass m = n k gilt. Primzahl Eine Primzahl p ist eine natürliche Zahl, die genau zwei verschiedene Teiler besitzt. Jede natürliche Zahl kann man eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen. Dies nennt man Primfaktorzerlegung. kgv, ggt kgv(n, m) ggt(n, m) kleinstes gemeinsames Vielfaches von n und m größter gemeinsamer Teiler von n und m

30 Beispiel Logik Natürliche Ganze Rationale Reelle

31 Ganze Logik Natürliche Ganze Rationale Reelle Erweitert man die natürlichen N, indem man jeder natürlichen Zahl n ein eindeutiges inverses Element der Addition n zuordnet, erhält man die ganzen Z: Ganze Z := {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Die Addition und die Multiplikation lassen sich auf natürliche Weise auf die ganzen übertragen.

32 Natürliche Ganze Rationale Reelle Rationale Die Menge der rationalen Q erhält man aus der Menge der Paare n m von ganzen n Z, m Z \ {0}, bei denen alle Paare n m, p q miteinander identifiziert werden, für die n q = m p gilt. Ein Paar n m wird als Bruch bezeichnet, m als Nenner und n als Zähler. Beispiel

33 Natürliche Ganze Rationale Reelle Addition und Multiplikation Addition: Bringe Brüche auf gemeinsamen Hauptnenner: n m + p q = n q + p m m q Multiplikation: Multipliziere Zähler mit Zähler, Nenner mit Nenner n m p q = n p m q Die so definierte Addition und Multiplikation auf Q ist assoziativ, kommutativ und distributiv. Es gibt inverse Elemente der Addition und Multiplikation.

34 Beispiel Logik Natürliche Ganze Rationale Reelle

35 Natürliche Ganze Rationale Reelle Fakultät Für alle n N ist die Fakulät wie folgt definiert: Beispiel 0! := 1, n! := 1 2 n = n k, n > 0. k=1

36 Natürliche Ganze Rationale Reelle Damit lassen sich die Binomialkoeffizienten und der Binomialsatz formulieren: Binomialkoeffizienten Für beliebige n, k N ist der Binomialkoeffizient ( n k), n über k, wie folgt definiert: ( ) n k := n! (n k + 1) (n 1) n = k! (n k)! k! Speziell ist: ( ) n = 1, 0 ( ) n = n 1

37 Pascalsches Dreieck Logik Natürliche Ganze Rationale Reelle

38 Binomialsatz Logik Natürliche Ganze Rationale Reelle Binomialsatz Für beliebige x, y R gilt: (x + y) n = n k=0 ( ) n x n k y k. k Für n = 2 ist diese Aussage bereits als binomische Formel bekannt: (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2, (x y) 2 = x 2 2xy + y 2.

39 Beispiel Logik Natürliche Ganze Rationale Reelle

40 Natürliche Ganze Rationale Reelle Beispiel: Summen- und Produktzeichen

41 Natürliche Ganze Rationale Reelle Reelle Die reellen R sind die Vervollständigung der rationalen Q: Jede reelle Zahl x R ist der Grenzwert einer Folge rationaler q n Q, n N. Es gilt Q R, denn zum Beispiel ist 2 eine reelle, aber nicht rationale Zahl. Weitere bekannte Beispiele sind e, π R \ Q. Die Addition und Multiplikation wird auf natürliche Weise von den rationalen auf die reellen mit allen Eigenschaften wie Assoziativität, Kommutativität und Distributivität sowie Existenz von neutralen und inversen Elementen übertragen.

42 Natürliche Ganze Rationale Reelle Die reellen sind angeordnet, d.h. je zwei reelle x, y R lassen sich der Größe nach miteinander vergleichen: x y y x. Es ist x = y : x y y x und x < y : x y x y. Durch die Ordnung auf den reellen lassen sich Intervalle definieren: Seien a, b R beliebig mit a < b. Intervalle [a, b] := { x R a x b }, abgeschlossenes Intervall (a, b) := { x R a < x < b }, offenes Intervall [a, ) := { x R a x }.

43 Beispiel Logik Natürliche Ganze Rationale Reelle

44 Natürliche Ganze Rationale Reelle Wichtig! Der Ausdruck bezeichnet keine Zahl, d.h. ist nicht einfach eine unendlich große Zahl am Ende des reellen strahls, und wir können mit nicht wie gewohnt rechnen! Vielmehr ist immer die Abkürzung für einen Grenzprozess. Beachte 1 kann jeden beliebigen Wert annehmen und ist nicht als Produkt zweier mißzuverstehen. Beispiel

45 Natürliche Ganze Rationale Reelle Potenz Für a R, n N ist die Potenz definiert: a n := } a {{ a} = n mal n heißt Exponent, a die Basis. n a. k=1

46 Natürliche Ganze Rationale Reelle Rechenregeln für Potenzen a 0 = 1, a n = 1, an a 0, n N, a n+m = a n a m, (a n ) m = a nm a 0, n, m Z, (ab) n = a n b n. Es gilt: Potenz- vor Punkt- vor Strichrechnung!

47 Beispiel Logik Natürliche Ganze Rationale Reelle

48 Natürliche Ganze Rationale Reelle Wurzel Sie a 0. Die eindeutige nichtnegative Lösung x 0 von x 2 = a ist die Quadratwurzel x = a = a 1 2. Ebenso ist die eindeutige nichtnegative Lösung x 0 von x n = a die n-te Wurzel x = n a = a 1 n. Es gelten die Rechenregeln für Potenzen!

49 Beispiel Logik Natürliche Ganze Rationale Reelle

50 Natürliche Ganze Rationale Reelle Betrag Der Betrag einer reellen Zahl x R ist ihr Abstand zum Nullpunkt, d.h. { x 0 x x := x x < 0. Beim Umformen des Ausdrucks innerhalb der Betragsstriche ist Vorsicht geboten! Besser: Immer die Definition des Betragsstriches verwenden und eine Fallunterscheidung machen.

51 Beispiel Logik Natürliche Ganze Rationale Reelle

52 Natürliche Ganze Rationale Reelle... und so geht es heute weiter: Übung: Übungsräume 13:00-14:30 FREI ab 14:30 Besprechung der Aufgaben: Audimax I morgen