PHYSIK Wurfbewegungen 1

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1 PHYSIK Wurfbewegungen 1 Senkrechter Wurf nach unten Senkrechter Wurf nach oben Datei Nr Auführliche Löungen und Drucköglichkeit nur auf CD Friedrich W. Buckel Augut Internatgynaiu Schloß Torgelow

2 Inhalt 1 Senkrechter Wurf nach unten 1 Senkrechter Wurf nach oben 5 Muteraufgaben it Löungen 8 Der Trick it der ugekehrten Bewegung 1 3 Aufgaben 14 4 Auführliche Löungen (nur auf CD) 15 Beerkung Die allgeeine quadratiche Gleichung ax + bx + c hat die Löungforel b± b 4ac x1, a Diee Forel (i Volkund auch Mitternachtforel genannt, wird von ir auchließlich verwendet. In nicht wenigen Aufgaben it ie der leider zu oft eingeetzten p-q-forel deutlich überlegen.

3 MECHANIK 9111 Senkrechter Wurf 1 1. Senkrechter Wurf nach unten WISSEN: Bechleunigt ein Körper zur Zeit t, in der er bereit eine Anfanggechwindigkeit v o beitzt, dann führt er quai eine überlagerte Bewegung durch, nälich einereit die au einer Anfanggechwindigkeit reultierende gleichförige Bewegung und dazu die durch die Bechleunigung enttehende gleichäßig bechleunigte Bewegung. E gelten daher diee Bewegunggleichungen: Weg-Zeit-Gleichung: t ( ) v t+ 1 at (1) O Gechwindigkeit-Zeit-Gleichung: vt ( ) vo + at () Der Senkrechte Wurf nach unten it ein Beipiel dafür. Der Körper erhält eine Startgechwindigkeit und wird zuätzlich durch die a g 9,81 1 Gravitationkraft bechleunigt it ( ) Für den enkrechten Wurf nach unten gelten daher diee Bewegunggleichungen: Weg-Zeit-Gleichung: t ( ) v t+ 1 t (1) Gechwindigkeit-Zeit-Gleichung: vt ( ) vo + gt () O g Rechenbeipiele zu enkrechten Wurf nach unten. Der Luftwidertand wird tet vernachläigt. Wir rechnen it g 1. (1) Ein Stein wird von eine Hochhau au it v in die Tiefe geworfen. a) Nach welcher Zeit trifft er auf de Boden in 88 Tiefe auf und welche Gechwindigkeit hat er dort? b) Welche Wegtrecke durchfliegt diee Körper in der 3. Sekunde und u welchen Betrag nit dabei eine Gechwindigkeit zu? c) In welcher Höhe über de Boden beitzt der Stein die halbe Auftreffgechwindigkeit? d) In welcher Höhe hätte an den Stein au der Ruhe fallen laen üen, u it derelben Gechwindigkeit unten aufzutreffen?

4 MECHANIK 9111 Senkrechter Wurf LÖSUNG: Für dieen Wurf nach unten gelten diee Bewegunggleichungen: v() t v + g t d.h. ( ) v t + 1 t (1) () 1 t v t+ gt d.h. ( ) t t+ 5 t () a) Die Aufchlagtiefe (t) 88 getattet die Berechnung der Fallzeit au (): 88 t + 5 t 5 t + t 88 : d.h. 5t + t 85 ( ) ( ) ± ± ± 1764 t1, ± 4 4 t1, 1 ( 4,4 ) Wir ignorieren die nicht innvolle negative Flugdauer und erhalten da Ergebni: Nach 4 chlägt der Körper auf de Boden auf. Auftreffgechwindigkeit: ( ) v b) Berechnung der Falltrecke in der 3. Sekunde: ( ) ( ) ( ) ( ) Gechwindigkeitzunahe in der 3. Sekunde: v v 3 v ( ) ( ) ( ) ( ) v v Oder kürzer: E gilt die Forel a g v g t t c) Die halbe Auftreffgechwindigkeit beträgt ( ) v t 1. Dieen Wert etzt an in (1) ein: t 1 t 19 Die ergibt t 1,9. Dait gehen wir in die Forel (): ( ) ( ) 1,9 1, ,9 1,85 Ergebni: Nach der Falltrecke 1,85 hat der Körper die halbe Auftreffgechwindigkeit. Die entpricht der Höhe h 88 1,85 66,16.

5 MECHANIK 9111 Senkrechter Wurf 3 d) In welcher Höhe hätte an den Stein au der Ruhe fallen laen üen, u it derelben Gechwindigkeit unten aufzutreffen? Jetzt üen wir it den Gleichungen ohne Anfanggechwindigkeit rechnen: Wir wien nur: v 4. Und wir verwenden unten v 4 v g 88. g Wer nicht it dieer Forel arbeiten will, uß zuert die Fallzeit berechnen: v 4 v gt t 4, g 1 1 Dait folgt: ( ) gt 5 4, 88. () Ein Körper chlägt nach 5 Flugdauer in 19 Tiefe auf. Mit welcher Gechwindigkeit wurde er nach unten abgeworfen? Löung: Gegeben ind 5 ( ) 19. Die Bewegunggleichungen lauten: v() t v + g t (1) () 1 t v t+ gt () In () eingeetzt ergibt die: 19 v v Alo wird 4 v,8. 5

6 MECHANIK 9111 Senkrechter Wurf 4 (3) Ein Körper chlägt in 48 Tiefe it der Gechwindigkeit 31 auf. Mit welcher Gechwindigkeit wurde er nach unten abgeworfen und wie lange war der Körper unterweg? Löung: Gegeben ind ( t1) 48 und v( t ) 31, wobei t 1 die Flugdauer it. 1 Die Bewegunggleichungen lauten: v() t v + g t (1) () 1 t v t+ gt () Eingeetzt ergibt die: 31 v + 1 t (1) 48 v t + 5 t () E liegen zwei Gleichungen it zwei Unbekannten vor. Wir eliinieren v. Dazu ultiplizieren wir die Gleich (1) it t und ubtrahieren dann die zweite Gleichung von ihr: 31 t v t 1 t + (1 ) 48 v t + 5 t () (1 ) (): 31 t 48 5 t Wir ordnen diee quadratiche Gleichung nach Potenzen von t: 5 t 31 t+ 48 Nun ultiplizieren wir die Gleichung it 5t 31 t + 48 Die allgeeine Löungforel liefert: t 1, und erhalten: 31 ± ± 1 31 ± 1 3, Zu beiden Zeiten berechnen wir die noch fehlende Anfanggechwindigkeit v au (1): { v + 1 t v 31 1 t 1 Dait wird da Ergebni klar: Bei v 1 fällt der Körper 3 bi zu Aufprall. Die Anfanggechwindigkeit v 1 wäre ein Abwurf nach oben. E it klar, daß er dann etwa länger braucht, bi er unten ankot: 3,. Man erkennt, daß in o eine Fall tet die kleinere Zeit der geuchte Wert it.

7 MECHANIK 9111 Senkrechter Wurf 5. Senkrechter Wurf nach oben Nun wollen wir un gleich diee Bewegung anehen. Geben wir de Körper eine Anfanggechwindigkeit nach oben, dann wirkt die Gravitation breend, alo liegt eine gleichäßig gebrete Bewegung vor. Stellt an nun die Bewegunggleichungen auf, ergibt ich ein Proble, denn wir haben zwei Möglichkeiten: 1. Fall: v() t v g t (1) () 1 ht v t gt () Dann geben wir v ein poitive Vorzeichen. Wir legen alo die Gechwindigkeitache nach oben und ebenfall die Wegache: Beipiel 1: Der Körper wird it v 5 nach oben abgeworfen. Dann haben wir diee Bewegunggleichungen: Stellen wir eine Wertetafel auf: () v t 5 1 t (1) () ht 5 t 5 t () Zeit t Gechwindigkeit v(t) Steighöhe h(t) ,5 5 1,5 5,5 5,5 11, , , ,5 5,5 6, ,5 5 1,5 5,5 5 6,5 31, , , ,5 5 1,5 6, Diee Tabelle enthält intereante Ergebnie. Wir wollen ie deuten.

8 MECHANIK 9111 Senkrechter Wurf 6 Schauen wir zuert in die Spalte h(t). Man ieht dort die Höhe, in der ich der Körper zur Zeit t befindet. Die Tabelle zeigt al größte Höhe 31,5. Daß die tatächlich der Gipfelpunkt der Wurfbewegung it, erkennen wir daran, daß die zugehörige Gechwindigkeit (linke Spalte) nach,5 gerade it. Die it nur i oberen Ukehrpunkt öglich. Danach nehen die Höhen wieder ab, und die Gechwindigkeitwerte werden negativ, wa anzeigt, daß ich der Körper entgegen der Startrichtung bewegt. Er erreicht die Abwurfhöhe wieder nach 5 Sekunden, und eine Gechwindigkeit it dann wieder die Startgechwindigkeit, allerding wie geehen, negativ! Und wir wollen bedenken, daß die o nur öglich it, wenn wir den Luftwidertand wegchueln! Die Tabelle enthält noch einen Wert für t 6. Dort it dann ogar die Höhe negativ. Da geht natürlich nur, wenn von eine Tur au nach oben abgeworfen wird und der Körper tatächlich unter da Abwurfniveau fallen kann. Man erkennt jetzt auch, wie an den Gipfelpunkt einer olchen Wurfbewegung aurechnen kann. Man fragt einfach: Wo it die Gechwindigkeit Null? Gipfelbedingung: () v t 5 1 t 5 Darau folgt 1 t 5 t,5 1 Und dait erhält an die Steighöhe: ( ) WICHTIG: h,5 5,5 5 6,5 31,5 Vielleicht it e aufgefallen, daß in der. Bewegunggleichung nicht ondern h teht. Die hat einen guten Grund. it üblicherweie da Zeichen für den Weg (abgeehen von der Einheitbezeichnung Sekunde). Aber wenn an nach de Weg fragt, den der Körper in 4 Sekunden zurückgelegt hat, dann liefert h(4) nicht da richtige Ergebni, ondern nur die Höhe, in der ich der Körper nach 4 Sekunden befindet, alo ( ) h Der tatächlich zurückgelegte Weg berechnet ich al Steighöhe plu Weg nach unten bi zur Höhe : ( 4) 31,5 + ( 31,5 ) 4,5 Man könnte alo agen: h(t) gibt eine Koordinate für den Aufenthaltort de geworfenen Körper an. Wir prachen vorhin davon daß e eine zweite Möglichkeit für da Ertellen der Bewegunggleichungen gibt.

9 MECHANIK 9111 Senkrechter Wurf 7. Fall: v() t v + g t (1) () 1 ht v t+ gt () Jetzt hat v ein negative Vorzeichen. Wir legen alo die Gechwindigkeitache nach unten und ebenfall die Wegache: Die acht dann Sinn, wenn beipielweie von eine Fenter eine Hochhaue au ein Stein zuert nach oben abgeworfen wird, aber er fällt dann ganz nach unten. Wenn an die Gleichungen o anchreibt, zeigen die Bewegungachen nach unten. Und jeder Aufenthaltort, der tiefer al der Abwurfplatz liegt, hat poitive v- und h-koordinaten, alle wa höher liegt, negative. Nur ein kleine Beipiel: Abwurf in 1 Höhe it v nach oben. Wann chlägt er in 1 Tiefe auf und it welcher Gechwindigkeit? Wir verwenden obige Bewegunggleichungen: () v t + 1 t (1) () ht t+ 5 t () Bedingung für da Aufchlagen ganz unten: ht ( u ) Ergibt in (): 1 t + 5 t u u 1 Ordnen nach t und it ultiplizieren: u 5 t t 1 u u 5t t 1 u t 1, ( ) ± ± ± ,8 4,68 ( 4,8) Setzen wir die Flugdauer t 4,68 u in (1) ein, dann folgt die Auftreffgechwindig- keit: ( ) v 4, ,68 44,8 Wir ehen, auf Grund der Art, wie wir jetzt die Vorzeichen angeetzt haben, erhalten wir an dieer Stelle eine poitive Gechwindigkeit. Hätten wir die Gleichungen o wie i 1. Fall angelegt, wäre die Gechwindigkeit jetzt negativ geworden. Die zweite negative Zeit kann an übrigen auch deuten: Man kann ich diee Wurfbewegung auch o vortellen, daß nicht in 1 Höhe nach oben abgeworfen wird, ondern unten auf de Boden. Und zwar it 44,8 nach oben. Dann erreicht der Stein nach 4,8 die 1-Höhe, au der tatächlich abgeworfen worden it. Von da au, war der Stein alo 4,8 vor de Abwurf bereit unten auf de Boden! Dazu gehört die negative Zeit.

10 MECHANIK 9111 Senkrechter Wurf 8 Muteraufgabe it Löungen Ein Körper wird it der Anfanggechwindigkeit v 1 nach oben abgechoen. Löung a) Berechne die Steighöhe. b) Wann erreicht der Körper die halbe Höhe c) In welcher Höhe hat er die halbe Anfanggechwindigkeit d) Nach welcher Zeit chlägt er auf de Boden auf, da it 1,5 unterhalb der Abchußhöhe? Wir beginnen tet it den Bewegunggleichungen: v() t v g t d.h. ( ) v t 1 1 t (1) () 1 ht v t gt d.h. ( ) ht 1 t 5 t () a) Für die Steighöhe gilt die Bedingung: v( ts ) v Darau folgt v g ts g ts v ts g v 1 Die Steigzeit beträgt alo ts 1. g 1 Berechnung der Steighöhe: ( ) ( ) h h t h ax S ACHTUNG: Man kann leicht eine Forel für die Steighöhe herleiten. Au der Bedingung, daß i Gipfelpunkt vt die Gechwindigkeit ein uß, alo ( S ) folgt v g ts und die Steigzeit ts g Dazu gehört die Steighöhe v v 1 v v v S ( ) ht v g g g g g g v Ich rate jedoch davon ab, ich in der Phyik it allen Forel volltopfen zu wollen, die e gibt. Wer oll ich die denn alle erken? Wichtig it da Methodenwien: Die Steigzeit berechnet an durch die Bedingung, daß i höchten Punkt die Gechwindigkeit oentan it. Dann folgt alle weitere.

11 MECHANIK 9111 Senkrechter Wurf 9 b) Wann erreicht der Körper die halbe Höhe? Nun haben wir in der Aufgabentellung chon wieder eine Bedingung gegeben: E oll gelten h,5. Da etzt an in die Gleichung () ein: ax,5 1 t 5 t Nun liegt eine quadratiche Gleichung vor, die an zunächt nach t-potenzen ordnet und dann it ultipliziert. (Da geht ier o! ) 5 t 1 t+,5 5t 1 t +,5 t 1, 1 ± 1 4 5,5 1 ± 5 1 ± 7,1 1, ,9 Nun uß an vertehen, waru zwei Zeiten auftreten. Und beide haben ihren Sinn! Ganz einfach: Der Köper wird abgechoen, erreicht nach,9 die halbe Steighöhe, und nach 1 den höchten Punkt einer Bahn. Dann kehrt er u und fällt zurück. Nach 1,71 paiert er dann wieder die halbe Steighöhe und nach (die doppelte Steigzeit( it er wieder auf Höhe der Abwurftelle! War da chwer? c) In welcher Höhe hat er die halbe Anfanggechwindigkeit? Hier wollen wir de Irrtu vorbeugen, daß der Körper in der halben Höhe auch die halbe Gechwindigkeit hat! Doch laßt un rechnen: Wieder eine Bedingung: () 1 v t v 5 Eingeetzt in (1): t 1 t 5 t. Offenbar erreicht der Körper in der halben Steigzeit die halbe Startgechwindigkeit. Und dazu die Höhe: ( ) h 1 5 3, Die it ehr al die halbe Höhe. Wir koen gleich noch einal darauf zurück! d) Nach welcher Zeit chlägt er auf de Boden auf, da it 1,5 unterhalb der Abchußhöhe? Jetzt lautet die Bedingung ht () 1,5!!! Eingeetzt in (): 1, 5 1 t 5 t Darau folgt wie oben: 5 t 1 t 1,5 bzw. 5 t 1 t 1,5 {

12 MECHANIK 9111 Senkrechter Wurf 1 t 1, ( ) 1 ± ,5 1 ± 13 1 ± 11,4, ,14 { (Jetzt fällt die negative Zeit weg. Wäre der Köper von da unten getartet, dann hätte die,14 vor de Abwurftart erfolgen üen!). Ergebni: Nach,14 chlägt er auf de Boden auf. Und die it dieer Gechwindigkeit: ( ) v,14 1 1,14 11,4 Der negative Wert zeigt die Abwärtbewegung an. WICHTIG! Nun wollen wir die Aufgaben b) und c) ganz allgeein löen. Die ind wichtige Übungen it Foreln, die Schülern lange ehr chwer fallen. Wir gehen alo von eine beliebigen enkrechten Wurf aufwärt au und fragen, wann der Körper die halbe Steighöhe erreicht hat, Hier die Bewegunggleichungen : v() t v g t (1) () 1 ht v t gt () Die Steighöhe haben wir allgeein chon auf Seite 8 berechnet: v Wir haben oit diee Bedingung: ht () 4g Eingeetzt in (): 1 v v t g t 4g (Brüche weg! ) 4g v 4g v t g t h ax v. g Ordnen: g t 4gv t + v 4gv ± 16g v 4 g v 4gv ± 8g v 4gv ± gv 1, t Nun kürzen wir durch g : t 4g 4g 4g 1, ( ) [,17 v ] v g [,3 v ] v ± v ± g Verwenden wir wie oben v 1, erhalten wir dieelbe Zeiten wie oben!

13 MECHANIK 9111 Senkrechter Wurf 11 E gelingt alo hier, fertige Foreln für olche Ereignie zu errechnen. Noch ein Beipiel: Wo it die halbe Anfanggechwindigkeit erreicht? Bedingung: () 1 v t v v 1 1 Eingeetzt in (1): v v g t g t v t g und da it genau die halbe Steigzeit (Seite 8)! Abchließend noch eine Betrachtung zu de Tatbetand, daß halbe Steighöhe und halbe Steigzeit nicht zu elben Zeitpunkt erreicht werden können. Dazu tellen wir die beiden Bewegunggleichungen in Schaubildern dar: () v t 1 1 t ( ) ht 1 t 5 t v h ax 1 v 1 h ax Man erkennt, daß da v-t-geetz linear it und eine Gerade zu Schaubild hat, während da -t-geetz eine Parabel ergibt. Daher it der halbe Maxialwert nicht bei gleichen Zeitpunkten erreichbar!

14 MECHANIK 9111 Senkrechter Wurf 1 Der Trick it der ugekehrten Bewegung! I Text zur Brebewegung (91113 Seite 1) wurde ein Gedankenexperient durchgeführt. Diee oll hier bei enkrechten Wurf nach oben wiederholt werden. Da Experient beteht darin, daß wir den enkrechten Wurf nach oben einfach it einer Kaera filen. Wir chneiden den Fil genau da ab, wo der Gipfelpunkt it v t erreicht it, t S it ja unere Steigzeit. ( ) S Ja und zur Belutigung aller laen wir den Fil nun rückwärt laufen. Und wir ehen, wie dieer Körper au der Höhe h S (Steighöhe) einen ganz noralen freien Fall acht, alo ganz ohne Anfanggechwindigkeit, denn er hat ja oben die Gechwindigkeit! Und dieer Körper erreicht in der Zeit t S den Punkt, au der er in Wirklichkeit abgeworfen worden it. Sehen Sie, wa die un bringt? Wir brauchen dann nur noch it den einfachen Gleichungen de freien Fall zu rechnen. Schauen wir un da an eine Beipiel an: Der Körper wird it v 15 enkrecht nach oben abgeworfen. (Biher hatten dir dann au der Haltebedingung a Gipfelpunkt v( ts ) die Steigzeit und dait die Steighöhe berechnet). Jetzt errechnen wir au der ugekehrten Bewegung, die ein freier Fall it, ofort die Steighöhe: Oder die Steigzeit: v 5 v gh h 11,5. g v v gt t g 1 Dieer kleine Trick kürzt ab, it aber ohne Texthinwei auf die ugekehrte Bewegung nicht zuläig!

15 MECHANIK 9111 Senkrechter Wurf Aufgaben (1) Ein Körper wird it der Anfanggechwindigkeit v 3 nach oben abgechoen. a) Berechne eine Höhe und Gechwindigkeit nach,5. b) Wie groß it eine axiale Steighöhe und die Steigzeit? c) Wann erreicht der Körper die Höhe 4 und welche Gechwindigkeit hat er dort? d) Wann erreicht er wieder eine Abchußhöhe? e) Wenn der Ort de Abwurf ein Fenter it, da 4 über de Erdboden liegt, wann erreicht der Körper dann den Erdboden und it welcher Gechwindigkeit? () Ein Körper wird vo Erdboden au enkrecht nach oben abgechoen. Er erreicht in 75 Höhe die Gechwindigkeit v1 1 : Wie groß war eine Abchußgechwindigkeit? Wie lange hat der Körper für diee 75 benötigt? (3) Ein Körper wird it 5 nach unten in einen 6 tiefen Schacht geworfen. a) Wie lange fällt er und it welcher Gechwindigkeit chlägt er auf? b) Wie viele Meter legt er in der letzten Sekunde zurück? c) Wieviel Prozent einer Endgechwindigkeit hat er in der halben Tiefe erreicht? (4) Vo Erdboden au werden zur Zeit t gleichzeitig zwei Körper A und B nach oben abgechoen. a) Welche Höhe erreicht A, wenn er it va 1 abgechoen wird? Mit welcher Anfanggechwindigkeit v B uß B abgechoen werden, dait er vieral o hoch wie A teigen kann? b) Berechne die Steigzeiten für beide Körper. Wo befindet ich B, wenn A einen Kulinationpunkt erreicht hat, und wo it A, wenn B ganz oben it? c) Berechne die Abtände beider Körper nach 1, und 3. Stelle eine Forel für den Abtand der Körper A und B in Abhängigkeit von der Zeit auf. Welchen Definitionbereich ( für t )hat diee Forel? Wa gilt danach? (5) Körper B wird,5 nach Körper A it derelben Gechwindigkeit abgechoen. In welcher Höhe begegnen ie ich? Rechne zuert it v c und dann it c 1.

16 MECHANIK 9111 Senkrechter Wurf 14 (6) (Abitur 1969) Ein Körper oll auf die Höhe h 8 gebracht werden und zwar auf folgende Arten: a) Er wird enkrecht nach oben geworfen. Wie groß uß eine Anfanggechwindigkeit gewählt werden? b) Er wird au der Ruhe herau läng der Teiltrecke h 1 3 gleichäßig o bechleunigt, daß er über die Teiltrecke hinau noch die Höhe h erreichen kann. Wie groß it die notwendige Bechleunigung a? Wie lange braucht der Körper, bi er ganz oben it? (E ei g 1 ; der Luftwidertand it zu vernachläigen)