Ein Bruchteil vom Ganzen lässt sich mit Hilfe von Bruchzahlen darstellen. Bsp.: Ganzes: 20 Kästchen

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1 Grundwissen Mathematik G8 6. Klasse Zahlen. Brüche.. Bruchteile und Bruchzahlen Ein Bruchteil vom Ganzen lässt sich mit Hilfe von Bruchzahlen darstellen. Ganzes: 0 Kästchen 6 6 graue Kästchen, also: 0 schraffierte Kästchen, also: 0 Bruchteile gibt man häufig in Prozent (%) an, dabei gilt: % 00 z Brüche haben die Form mit z INo und n IN; n z heißt Zähler, n heißt Nenner des Bruches. % 00 Zähler Bruchstrich Nenner Es gilt: z n z : n Einteilung der Brüche: Stammbrüche z echte Brüche z < n unechte Brüche z > n Scheinbrüche z 0 oder z ist ein Vielfaches von n 9 Unechte Brüche lassen sich in gemischte Zahlen verwandeln... Formänderung von Brüchen Erweitern eines Bruches bedeutet, Zähler und Nenner werden mit der selben natürlichen z z k Zahl k multipliziert:, k IN oder n n k Kürzen eines Bruches bedeutet, Zähler und Nenner werden durch einen gemeinsamen z z : k 6 6 : Teiler k dividiert::, k IN oder n n : k 0 0 :

2 Einen Bruch, den man nicht mehr kürzen kann, nennt man vollständig gekürzt (Grundform)... Addieren und Subtrahieren Brüche mit gleichem Nenner werden addiert (subtrahiert), indem man die Zähler addiert (subtrahiert) und den Nenner beibehält Brüche mit verschiedenen Nennern erweitert man vor dem Addieren (Subtrahieren) auf den Hauptnenner (kleinstes gemeinsames Vielfaches: kgv) Multiplizieren und Dividieren Brüche werden multipliziert, indem Für die Division zweier Brüche gilt: man Zähler mit Zähler und Nenner Bruch : Bruch Bruch Kehrbruch mit Nenner multipliziert. z z z n : n n n z : Beachte: Gemischte Zahlen müssen vor dem Multiplizieren und vor dem Dividieren in unechte Brüche verwandelt werden. Produkte im Zähler und Nenner werden vor dem Multiplizieren stets vollständig gekürzt... Bruchteil eines Bruchs Das Wort von wird nach einem Bruch durch ersetzt. von kg kg kg kg 0

3 . Dezimalzahlen Zahlen wie z.b., heißen Dezimalzahlen. Dabei bedeutet die. (.,.,...) Stelle hinter dem Komma Zehntel (Hundertstel, Tausendstel,...). Die Ziffern hinter dem Komma heißen Dezimalen. 7 0,07 00, Addition und Subtraktion von Dezimalbrüchen Die Addition und Subtraktion erfolgt stellenweise von rechts beginnend.,7 +,0 7,9,7 +,0 7,9.. Multiplikation und Division mit Stufenzahlen Man verschiebt das Komma um so viele Stellen nach rechts (links) wie die Stufenzahl (Zehnerpotenz) Nullen hat., 000 0, : 00 0,0.. Multiplikation von Dezimalbrüchen Man multipliziert zunächst ohne Berücksichtigung des Kommas. Das Ergebnis erhält so viele Dezimalen, wie die Faktoren zusammen haben.,7, 8,768 NR:

4 .. Division durch einen Dezimalbruch Zunächst wird das Komma im Dividenden und im Divisor um gleich viele Stellen nach rechts verschoben, bis der Divisor eine natürliche Zahl ist; dann dividieren. Beim Überschreiten des Kommas des Dividenden wird im Quotientenwert das Komma gesetzt.,6 : 0,8,6 : 8.. Umformen gewöhnlicher Brüche in Dezimalbrüche Die Division n z z : n ergibt einen endlichen Dezimalbruch, wenn der Nenner des vollständig gekürzten Bruches nur die Primfaktoren oder (oder beide) enthält. einen unendlichen periodischen Dezimalbruch sonst.. Die Zahlenmenge Q Die Menge der positiven und negativen Bruchzahlen sowie die positiven und negativen Dezimalzahlen bilden zusammen mit der Zahl 0 die Menge der rationalen Zahlen Q.. Rechnen mit rationalen Zahlen Die Rechengesetze und regeln der ganzen Zahlen Z gelten auch für die rationalen Zahlen Q. Geometrie. Flächeninhalte Parallelogramm: D C A P a h a b h b A a h a. h b B. b allg.: A P g h mit g Grundlinie und h zugehörige Höhe

5 Dreieck: A b c C hc a ha B A D a h a b h b c h c allg.: A D g h mit g Grundlinie und h zugehörige Höhe Trapez: d D h h c m C b A T (a + c) h allg.: A T m h mit m Mittellinie und h Höhe A a B. Volumenberechnung Volumen eines Quaders mit den Kantenlängen l, b, h: V l b h Volumen eines Würfels mit der Kantenlänge s: V s s s s Volumeneinheiten: Kantenlänge des Würfels Volumen des Würfels mm mm cm cm dm dm m m wichtig: dm Liter Die Umrechnungszahl ist jeweils 000. Anwendungen im Alltag. Direkte Proportionalität Bei einer direkten Proportionalität wird dem doppelten, dreifachen, vierfachen... Wert der einen Größe der doppelte, dreifache, vierfache... Wert der anderen Größe zugeordnet. Äpfel kosten 0,7 Äpfel kosten,0

6 Dreisatz (Schlussrechnung) Bsp: 6 kg Äpfel kosten,0. Wie viel kosten kg?. 6 kg kosten,0. kg kostet,0 : 6 0,7. kg kosten 0,7,. Prozentrechung Es gilt: p % von G P p % Prozentsatz, G Grundwert, P Prozentwert Berechnung des Prozentsatzes: p % P G Bsp: Wie viel Prozent sind 0 von 0? 0 p% 0,,% 0 Berechnung des Prozentwertes: P p% G Bsp: Der Preis eines Fernsehgerätes beträgt. Er wird um % gesenkt. Wie hoch ist der Preisnachlass? P % von 0, 9 Berechnung des Grundwertes: G P p% Bsp: Der Preis eines Fernsehgerätes wurde um % gesenkt und beträgt nun 7. Wie teuer war das Gerät vorher? (Lösung mit Dreisatz). 8% entsprechen 7. % entspricht 7 : 8,0. 00% entsprechen, oder: G 0 0,8 Auch die Berechnung des Prozentsatzes und des Prozentwertes kann man mit dem Dreisatz lösen. Bei allen Prozentrechnungen handelt es sich um eine direkte Proportionalität. Dem Grundwert werden immer 00% zugeordnet. 6

7 Stochastik. Zufallsexperimente Experimente, die unter gleichen Bedingungen beliebig oft wiederholbar sind und deren Ergebnis zufällig, also nicht vorhersagbar ist, nenn man Zufallsexperimente. Bsp: Werfen eines Spielwürfels, einer Münze; Drehen eines Glückrades. Relative Häufigkeit Bsp: Wirft man einen Spielwürfel 60 mal und tritt dabei die Augenzahl zwei mal auf, so sagt man die absolute Häufigkeit der Augenzahl zwei ist und die relative Häufigkeit ist 60. absolute Häufigkeit relative Häufigkeit Gesamtzahl Die Auswertung von Zufallsexperimenten erfolgt häufig in Tabellen oder Diagrammen. Augenzahl 6 Summe absolute Häufigkeit relative 8 Häufigkeit % 60 % % 60 9 % 60 8% 60 9 % % 60 Winkel im Diagramm % % % % 7% % Empirisches Gesetz der großen Zahlen Wiederholt man ein Zufallsexperiment sehr oft, so pendelt sich die relative Häufigkeit bei einem festen Zahlenwert ein. Beispiel: Beim Werfen eines Spielwürfels ist dieser Wert 6. Bemerkung: Die Zusammenstellung des Grundwissens Mathematik basiert auf dem Grundwissenskatalog der Fachschaft des Gymnasiums Oberhaching, bei der wir uns für die Hilfe herzlich bedanken. 7