Thema Bru che addieren und subtrahieren:

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1 Thema Bru che addieren und subtrahieren: Die Frage lautet: Wie addiere und subtrahiere ich Brüche, bzw. wie sieht das Endergebnis aus? Die Antwort lautet: Es kommt darauf an, was wir für Brüche gegeben haben. Die Brüche müssen, falls dies nicht schon der Fall ist, auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden, sonst können sie weder addiert noch subtrahiert werden. Das Ergebnis muss dann bis zum Ende gekürzt werden oder in einen gemischten Bruch umgewandelt werden dazu direkt mehr, da man wissen muss, wie die einzelnen Bruchformen genannt werden. Wichtig ist also zunächst zu wissen, was der Nenner und was der Zähler unseres Bruchs ist: Nun folgen die einzelnen Brüche: Zähler = hierbei handelt es sich um einen echten Bruch, der Zähler ist kleiner als der Nenner = hierbei handelt es sich um einen unechten Bruch, dessen Nenner ist kleiner als der Zähler. Um zum Endergebnis zu kommen, wandelt man diesen in einen gemischten Bruch um. Hierzu schaut man, wie oft der Nenner in den Zähler passt (3 geht einmal in die 5) und hat dann die Ganzen (Zahlen). Der Rest, der übrig bleibt, ist dann der neue Zähler. Der Nenner bleibt immer gleich: 5 3 =12 3 Im Endeffekt schaut man also in meinem kleinen Beispiel, wie oft die 3 in die 5 passt. Das ist 1Mal (die große 1) und rechnet dann 5-3 = 2. Das ist der Rest und gleichzeitig unser neuer Zähler. Der Nenner bleibt 3.

2 Dann gibt es noch den gemischten Bruch (den wir ja gerade aus dem unechten Bruch umgewandelt haben). Haben wir einen solchen Bruch, kann es erforderlich sein, dass wir diesen zurück in einen unechten Bruch zurückverwandeln. Dies funktioniert wie folgt: 3 Man rechnet hier mal: also 3 x 3 = 9 Das Ergebnis von 3 x 3 rechnet man dann + den Zähler: also = 10 und hat den neuen Zähler : = da der Nenner immer gleich bleiben muss!! Ganze ä Nochmal ohne Zahlen: Das Ganze mal den Nenner; und dann das Ergebnis hiervon + den Zähler = neuer Zähler, der Nenner bleibt der Alte Mit diesem Wissen können wir also anfangen: Der Nenner steht also unten und dieser muss bei zwei Brüchen, die addiert oder subtrahiert werden, IMMER gleich sein: 1. Wenn wir nun Glück haben ist der Nenner gleich, dann brauchen wir die beiden Zähler einfach nur addieren und müssen nur noch kürzen.! +!! = #! = $ Jetzt kommt sicher die Frage auf, warum ich nicht einfach nach #! aufhöre. Die Antwort ist ganz einfach: 7 und 14 kann man gegeneinander kürzen. In diesem Fall kann man die 7 UND die 14 durch 7 teilen, also 7 : 7 = 1 und 14 : 7 = 2. Deswegen kommt als Ergebnis $ Exkurs ku rzen von Bru chen: Was ist kürzen? Kürzen bedeutet, dass man den Zähler und den Nenner des Bruches beide durch die gleiche Zahl teilt und den Bruch so vereinfacht, bzw. die Zahlen verkleinert. Das macht das weitere rechnen einfacher. Zudem bekommt man Punktabzüge, wenn man den Bruch nicht bis zum Ende kürzt. Man kürzt so lange, bis man den Bruch nicht mehr weiter durch die gleiche Zahl teilen kann, das nennt man teilerfremd.

3 Um den Bruch direkt so weit wie möglich zu kürzen, nimmt man den größten gemeinsamen Teiler von Nenner und Zähler. Zum Beispiel haben wir %!%, dann suchen wir den größten gemeinsamen Teiler, also die möglichst größte Zahl, durch die wir beide Zahlen teilen können. Wir können die 8 und auch die 48 durch 8 teilen. Natürlich ginge auch die 4 oder die 2, das sollten aber nur Notlösungen sein, wenn man nicht auf den größten gemeinsamen Teiler kommt. Im Ergebnis sind 8 geteilt durch 8 = 1 und 48 geteilt durch 8 = 6 Unter gekürztes Ergebnis sieht dann so aus: % = ; weiter kürzen können wir!% & nicht, sind also fertig. Kommen wir nicht auf Anhieb auf die 8 als gemeinsamen Teiler können wir bei einem geraden Zähler und Nenner immer so lange durch 2 kürzen, bis es nicht mehr weitergeht. Das dauert länger, führt aber zum selben Ergebnis. Es kann auch passieren, dass man am Ende durch eine andere Zahl kürzen muss. Hierzu beide Beispiele: 1. '( )ö +(,-. / 0 0-1h 2 )ü, : %!% =! $! = $ $ = & 2. wir müssen am Ende durch eine andere Zahl als 2 kürzen: &!$ = $ = # wir konnten also zuerst durch 2 kürzen und dann durch 3 Nehmen wir noch ein letztes Beispiel: 15 6 h( )ö '( +(0 5h 0-1h 3 )ü, =5 2 5 (6 ( - 1h6 7-1h ü 0 / 09+ ( 1h,- (. 9.(1h6 7-1h, '0 2 =2 1 3 Noch ein letzter Tipp zum Kürzen: Bekommt man sehr große Zahlen, dann ist es oft cleverer, mehrfach durch kleinere Zahlen zu kürzen, z.b. den Zähler und Nenner erst mit z.b. 2 oder 3 kürzen.

4 2. Was machen wir aber, wenn die Nenner verschieden sind? Um Brüche zu addieren müssen die Nenner immer identisch sein. Sind diese also verschieden, müssen wir sie angleichen :! + % =? Hier gibt es nun drei Möglichkeiten, je nach Aufgabe ist die eine oder andere Möglichkeit schneller: Möglichkeit 1: Wir schauen, ob der kleinere Nenner, also die 4 in die 8 passt. Klappt dies, müssen wir schauen, wie oft der kleinere Nenner in den größeren hineinpasst (es muss glatt passen!). Die 4 passt 2 Mal in die 8. Nun müssen wir den Bruch mit dem kleineren Nenner oben und unten jeweils mit 2 multiplizieren. Das ist wichtig, damit der Wert des Bruchs sich nicht verändert: mal 2 In unsere Lücke muss also eine = mal 2 Man muss in diesem Fall also nur den ersten Bruch verändern, der zweite hat ja schon den Nenner 8. Den Bruch müssen wir also um 2 erweitern,! damit dieser zu einem 8tel Bruch wird. Wir multiplizieren also die 3, wie auch die 4 mit 2:! <$ $ = & % und schon haben wir unseren 8tel Bruch für die Aufgabe Im Ergebnis heißt das: = =11 8 ==>?

5 Möglichkeit 2: Es kann auch sein, dass der kleinere Nenner nicht direkt in den größeren passt. Dann muss man die 1 Mal 1 Reihe des größeren Bruch so lange durchgehen, bis der kleinere in den größeren erweiterten passt: Die 6 passt nicht in die 9, also gehen wir die 9er Reihe solange durch, bis es passt: 9, 18 Die 6 passt 3mal in die ist also unser gemeinsamer Nenner, auf den wir nun beide Brüche bringen müssen = Um die Zähler jeweils anzugleichen, prüfen wir, mit was wir die 6 und die 9 multiplizieren müssen, damit 18 herauskommt. Bei der 6 ist dies 3 und bei der 9 ist es 2. Jetzt müssen wir den Nenner und Zähler von mit 3 multiplizieren & und den Nenner und Zähler von mit 2: A mal 3 & += A % += % % mal 2 Bei können wir nicht weiter kürzen, also ist das unser Ergebnis! %.

6 Möglichkeit 3 Wenn wir keinen gemeinsamen Nenner durch Möglichkeit 1 oder 2 finden, dann greift eine Möglichkeit immer: Wir multiplizieren beide Nenner einfach miteinander: $ A + = + um jetzt die Zähler herauszubekommen, müssen wir die 2! & & aus dem ersten Bruch über Kreuz mit 4 multiplizieren und die 1 aus dem zweiten Bruch mit 9. Dann haben wir unseren neuen Zähler: $ A + = % + A jetzt können wir die 8 und 9 addieren: % + A = #! & & & & & Die 17 und 36 können wir nicht gegeneinander kürzen, also bleibt der Bruch unser Ergebnis! Beim Addieren ist noch eine letzte Regel wichtig, die man sich merken muss: NUR die Zähler werden addiert, hat man den gleichen Nenner gefunden, steht dieser auch im Ergebnis und wird NICHT addiert!! Das ist leider ein häufiger Fehler, also darauf achten!!