10.1 Ampère sches Gesetz und einfache Stromverteilungen

Transkript

1 1 Magnetostatik Solange keine Verwechslungen auftreten, werden wir in diesem und in den folgenden Kapiteln vom magnetischen Feld B an Stelle der magnetischen Induktion bzw. der magnetischen Flußdichte sprechen. Die Gesetze der Magnetostatik sind anwendbar, wenn sowohl das elektrische als auch das magnetische Feld zeitunabhängig sind, d.h. E t = und B t = die Magnetostatik wird durch folgende beiden Gesetze beschrieben, B = µ j B = Ampère sches Gesetz Fehlen magnetischer Monopole Dem entsprechend müssen die Stromverteilung, j, und die Ladungsverteilung stationär sein, d.h. Stromdichte: j(r) = ρ(r)v(r) ρ t = und j t = Beachte: Eine sich gleichförmig bewegende Punktladung erzeugt keinen stationären Strom! Aus dem Ampère schen Gesetz folgt sofort, dass sich die Magnetostatik nur mit Stromverteilungen beschäftigt, die (im betrachteten Gebiet) quellenfrei sind: j = 1 µ ( B) = Aus dem Fehlen magnetischer Monopole ergibt sich anschaulich, daß die Feldlinien des magnetischen Feldes stets geschlossen sind, da in jedes endliche Volumen gleich viele Feldlinien eintreten wie aus ihm austreten. In stromfreien Gebieten ( B = ) lässt sich das magnetische Feld als Gradient eines magnetischen Skalarpotentials ausdrücken, In diesem Fall muß Ψmag die Laplace-Gleichung B = Ψmag. Ψmag = erfüllen, welche mit den aus der Elektrostatik bekannten Methoden gelöst werden kann. 1.1 Ampère sches Gesetz und einfache Stromverteilungen Statische Magnetfelder werden durch (stationäre) Ströme erzeugt. Analog der Berechnung elektrischer Felder aus dem Gauss schen und dem Faraday schen Gesetz kann man magnetostatische Felder direkt aus den Maxwell-Gleichungen berechnen, wenn die Stromverteilung eine einfache Symmetrie aufweist. In diesem Fall übernimmt das Ampère sche Gesetz die Rolle des Gauss schen Gesetzes in dem Sinne, dass es die felderzeugenden Inhomogenitäten behandelt.

2 Beispiel: Magnetisches Feld einer langen Spule Aus Symmetriegründen: B(r) = B(r) I. Radialkomponente von B: B = und Gauss sches Gesetz Die Beiträge von B z (r) zum Flußintegral durch Deckel und Boden des Zylinders heben einander auf πb r L = B r = überall V o II. z-komponente des magnetischen Feldes: z V I I i V i/o : innere und äußere Gauss box S S S1 3 L r infinity Ampère sches Gesetz und Stokes sches Theorem Stokes sche Fläche : B dl = [ B z ( ) Bz = µ I enc = B z ( ) = B z = (r) ] L Stoke sche Fläche S : Stokes s area S 3 : B dl = [ Bz S B z ist innerhalb der Spule konstant. (R) B in z (R) ] L = µ N L I B in z (R) = µ ni n = N L /L [ B in z (R) Bin z (r)] L =

3 Tangentialkomponente von B: y B dl = πrbϕ (r) = µ I S x B ϕ = µ πr I B dl = πrb in ϕ (r) = B in ϕ (r) = 1. Statische Magnetische Felder für allgemeine Stromverteilungen Ähnlich wie in der Elektrostatik ist in der Magnetostatik Ampères Gesetz nur bedingt nützlich um das magnetische Feld einer nicht symmetrischen Stromverteilung zu berechnen Das Vektorpotential Das Fehlen magnetischer Monopole garantiert, dass man das magnetische Feld als Wirbel eines Vektorpotentials A schreiben kann, Denn: B = A. B = ( A) = ( A) A = µ j Wenn A = (Coulomb Eichung) A = µ j. Jede Komponente von A muss eine eigene Poisson-Gleichung erfüllen. Beachte: A i = A i (x 1, x, x 3 ). Speziell ergibt sich dann die Lösung für A im freien Raum als (Helmholtz Theorem) A(r) = µ dv j(r ) r r. Wenn sich die Stromverteilungen bis ins Unendliche erstrecken, ist das obige Integral im Allemeinen nicht wohldefiniert. In Situationen mit wohldefinierter Symmetrie kann man das Vektorpotential mit Hilfe einfacher Integralsätze berechnen.

4 Beispiel: Vektorpotential einer unendlich langen Spule Beachte: S A dl = ( A) df = wobei Φ der Fluss von B durch die Fläche S ist. Magnetisches Feld der Spule: B = Be z (unter Vernachlässigung kleiner Beiträge B ϕ ) aus Symmetriegründen: A(r) = A(r) S S B df = Φ, Für eine Schleife senkrecht zur Spulenachse erhält man: { πr πra ϕ (r) = B z r < R πr B z r R. Die Radialkomponente von A verschwindet in der Coulomb-Eichung ( A = ) und A z = folgt aus dem Ampère schen Gesetz für einen Weg in der rz-ebene. mit A(r) = µ ni A(r) = A(r)e ϕ, { r r < R r R R r Beachte: Die Richtung von A folgt der Richtung des Stromflusses. 1.. Magnetisches Feld eines Drahtes B = A = µ = µ = µ dv j(r ) r r dv j(r ) ( 1 r r ) dv j(r ) r r r r 3 Beachte: wirkt auf die Variable r, aber nicht auf r. Die letzte Formel ist nützlich, um magnetische Felder einer gegebenen Stromverteilung j(r) zu berechnen. Beispiel: Feld im Außenraum eines stromdurchflossenen Drahtes jdv = jdf dl = I dl dl df ein Teilstück des Drahtes bei r trägt mit db = µ I dl r r r r 3 zum gesamten magnetischen Feld, B = db bei. Biot-Savart Gesetz Das Feld im Außenraum des Drahtes sieht so aus als wäre der gesamte Strom auf einen unendlich dünnen Pfad im Zentrum des Drahtes verdichtet.

5 Beispiel: Magnetisches Feld auf der Symmetrieachse einer kreisförmigen Leiterschleife (Griffiths S. 18) R z B ϑ db r-r ϑ Auf der Symmetrieachse (z-achse) heben sich die Beiträge gegenüberliegender Drahtsegmente zur Komponente des B-Feld, die parallel zur Leiterschleife verläuft, gegenseitig auf. Der Beitrag eines Leitersegments zu B z beträgt db = µ I dl r r cos ϑ, da dl und r r senkrecht aufeinander stehen. Dann gibt cos ϑ die Projektion von db auf die z-achse an. cos ϑ und der Abstand r r = R + z sind für alle Punkte auf der Leiterschleife gleich. Damit ergibt sich das magnetische Feld an einem Punkt z auf der z-achse nach Integration über dl = Rdφ zu B(z) = µ ( ) oi cos ϑ r r πr = µ I R (R + z ). 3/ Im letzten Schritt wurde benutzt, daß cos ϑ = R/ r r und r r = R + z. In den meisten Fällen ist es einfacher, das Vektorpotential einer gegebenen Stromverteilung zu berechnen und daraus das magnetische Feld abzuleiten, als das Biot-Savart Gesetz direkt zu verwenden. 1.3 Kraft auf stromdurchflossene Leiter Im Magnetfeld wirkt auf eine Punktladung q, die sich mit der Geschwindigkeit v bewegt, die Lorentzkraft F L = qv B. Erstaunlicherweise verrichtet diese Kraft keine Arbeit, denn die Lorentzkraft steht stets senkrecht zum durchlaufenen Weg, F L ds = q( s B) ds =. dt Fließt in einem Leiter der Querschnittsfläche F ein Strom I = ρ v F, so wirkt auf ihn im Magnetfeld pro Längenelement die Kraft df = Idl B. Entsprechend kann sich der Draht im magnetischen Feld verbiegen. Dieser Vorgang fällt jedoch nicht mehr in das Anwendungsgebiet der Magnetostatik, da in diesem Fall die Stromverteilung nicht länger stationär ist. Entsprechend kann auch die Energie, die zum Verbiegen des Drahtes notwendig ist, nicht mit Mitteln der Elektrostatik beschrieben werden. Kraft zwischen zwei stromdurchflossenen Leitern Kraft auf den Leiter 1 aufgrund des Magnetfeldes, das vom Leiter am Ort von r 1 (Teil von 1 ) erzeugt wird: F 1 = dv 1 j 1 (r 1 ) B (r 1 ) = dv 1 dv j 1 (r 1 ) µ [ j (r ) r 1 r ] r 1 r 3 = I 1 I dl 1 (r 1 ) µ [ dl (r ) r 1 r ] r 1 r 3 Dieser Ausdruck ist (trotz unsymmetrischer Ausgangssituation) (anti-) symmetrisch in den Stromverteilungen.