Quantenmechanik I. Jens Kortus TU Bergakademie Freiberg

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1 Quantenmechanik I Jens Kortus Jens.Kortus@physik.tu-freiberg.de TU Bergakademie Freiberg Literatur: Fließbach, Quantenmechanik, Spektrum Akademischer Verlag Nolting, Grundkurs Theoretische Physik, Quantenmechanik Teil 1 und 2 Feynman, Vorlesungen über Physik Greiner, Theoretische Physik, Quantenmechanik (Band 4)...

2 Die vorliegende Vorlesung ist garantiert nicht fehlerfrei. Es wird sehr empfohlen, alle Herleitungen und Formeln selbständig zu überprüfen. Hinweise und Anregungen bitte an: Bildernachweis: Soweit die Quelle nicht explizit angegeben ist, stammen die Bilder von oder wurden selbst erstellt. 2

3 Motivation Notwendigkeit der Quantentheorie: Stabilität der Atome (positive und negative Ladungen) Aufbau der Elemente ( -> Periodensystem) chemische Bindung, Moleküle Festkörper Spektroskopie (Farben -> Emission + Absorption, Laser) Anwendungen Messtechnik (NMR, ESR, Squids) Medizin (Kernspintomographie, Laser-Skalpell) Genetik (Faltungen von Proteinen, Erkennung von Basen) Chemie (theoretisches Verständnis von Bindungen und Reaktionen) Zukunftsträume (aber schon theoretisch möglich) atomares Konstruieren (STM -> Atome bewegen) Vorhersage der Eigenschaften von Materialien Moleküldesign am Computer (Pharmazie, Farbstoffe) 3

4 IBM Almaden STM Image Gallery Xenon auf Nickel (110) Iron on Copper (111) Carbon Monoxide on Platinum (111) Kanji characters for atom 4

5 1. Grundlegende Experimente 1.1 Das Plancksche Strahlungsgesetz (Hohlraumstrahlung) Wärmestrahlung (z.b. Eisen mit wachsender Temperatur strahlt) IR (Wärme) -> Rot -> Gelb -Weiß Messungen der Strahlung zeigen, dass die Strahlung unabhängig vom Material ist. Ofen T Strahlung eines 'Schwarzen Körpers' (Schwarz, da das Loch im Ofen bei T=0 nicht strahlt.) Rayleigh-Jeans Gesetz Welche Frequenzen treten mit welcher Intensität auf? klassische Elektrodynamik (Dipolstrahlung) und Statistik (Gleichverteilungssatz) Im thermischen Gleichgewicht entfallen auf jeden Freiheitsgrad der Bewegung die Energie kt/2. Berechnung der Energie des elektromagnetischen Feldes in einem Hohlraum Zerlegung der Strahlung in stehende Wellen jede Welle hat Energie kt (kt/2 elektrisch, kt/2 magnetisch), k=boltzmann Konstante abzählen der Anzahl der ebenen Wellen [v + dv] 5

6 y Würfel mit Kantenlänge a stehende elektrischen Wellen haben Knoten an den Wänden stehende magnetische Wellen haben Bäuche an den Wänden α λ/2 x x cos =n 1 /2 y cos =n 2 /2 z cos =n 3 /2 Stehende Wellen bilden sich, wenn die Kantenlänge a ein ganzzahliges Vielfaches von x, y, z ist. n 1 = 2a cos n = 2a cos n = 2a cos 2 3 wegen cos 2 cos 2 cos 2 =1 n 2 1 n 2 2 n 2 3 = 2 a 2 = 2a c 2 =c = c 2a n 1 2 n 2 2 n 3 2 Alle Frequenzen zwischen 0 und v liegen innerhalb einer Kugel mit Radius 2av/c. Da es nur positive n gibt, erhalten wir (für a>>λ), das die Anzahl der Frequenzen 1/8 eines Kugelvolumen entspricht. N = a 3 c d N =4 a 3 2 c d 3 spektrale Energiedichte d =2kT d N ~T 2 d 6

7 Rayleigh-Jeans Gesetz ω ~ T ν 2 2T T Radio IR Licht UV Röntgen nur korrekt für kleine Frequenzen oder große Wellenlängen (ν=c/λ) -> UV Katastrophe: Intensität bei kleinen λ -> Klassische Physik liefert ein falsches Ergebnis! Wiensches Strahlungsgesetz ~ 3 e T =h/ k nur korrekt für große Frequenzen oder kleine Wellenlängen korrekt wäre ein Mix aus beiden Gesetzen 7

8 Plancksches Strahlungsgesetz (1900) ~ 3 h e kt 1 Max Karl Ernst Ludwig Planck * 23. April 1858 in Kiel 4. Oktober 1947 in Göttingen Nobelpreis 1918 h groß e h /kt 1 :~ 3 kt e klein e x =1 x... :~ 2 kt Interpolation zwischen diesen beiden Gesetzen Interpretation: Atome verhalten sich wie harmonische Oszillatoren, die nur diskrete Energien annehmen können. E=hv (n+ ½) = ћω (n+½) Die Oszillatoren können nur Energien aufnehmen oder abgeben, die einem ganzzahligen Vielfachen eines elementaren Energiequantums sind. h=plancksches Wirkungsquant = Js ћ=h/2π 8

9 Sichtbares Licht hat Wellenlängen zwischen nm. Dies entspricht einer Energie von hv= ev ~ K. Die Oberflächentemperatur der Sonne beträgt 5800K. 9

10 1.2 Stabilität von Atomen Ernest Rutherford 1st Baron Rutherford of Nelson August 30, 1871 October 19, 1937 Nobelpreis Chemie 1908 Streuung von α-teilchen (He 2+ ) an Atomen in einer Goldfolie + Einige der α-teilchen wurden rückwärts gestreut. Daraus kann man schließen, dass schwere positiv geladene Zentren in der Goldfolie existieren. Nach klassischen Vorstellung umkreisen die Elektronen auf Planetenbahnen den Kern. Bewegung auf Kreisbahnen ist eine beschleunigte Bewegung. Nach der klassischen Elektrodynamik: jede beschleunigte Ladung strahlt. Energieverlust würde zu einem Zerfall der Kerne nach ca s führen. 10

11 1.3 Photoelektrischer Effekt Metallplatte im Vakuum mit UV-Licht bestrahlt 1) Es existiert für jedes Metall eine Mindestfrequenz, unterhalb derer keine Elektronen beobachtet werden. 2) keine zeitliche Verzögerung (<10-9 s) 3) kinetische Energie der Elektronen für v>v min proportional zur Frequenz v des Lichtes. 4) Zahl der Elektronen proportional zur Intensität Erklärung durch Einstein 1905 Albert Einstein * Ulm Princeton Nobelpreis Physik 1921 Licht = Teilchen der Energie E=hv (Photonen) Jedes Photon schlägt ein Elektron aus dem Metal. hv min entspricht der Bindungsenergie des Elektrons im Metall (Austrittsarbeit). Zahl der Elektronen ist proportional zur Anzahl der Photonen (Intensität). Kinetische Energie ist proportional h(v-v min ) 11

12 1.4 Welle-Teilchen Dualismus a) Wellencharakter von Licht Interferenz und Beugung von Licht (Huygens 1678) Christiaan Huygens * 14. April 1629 in Den Haag 8. Juli 1695 Beugung am Einfachspalt Beugung und Interferenz am Doppelspalt Lichtwellen sind elektromagnetische Felder, Felder lassen sich addieren (überlagern). E r = E 1 E 2 Die Intensität entspricht der Energiestromdichte ~ E 2. Intensitäten lassen sich nicht überlagern. (Bild ist nicht Summe der Einzelbilder.) I = E r E r = E r 2 = E 1 E 2 2 E 1 2 E 2 2 b) Teilchencharakter von Licht -> siehe photoelektrischer Effekt 12

13 Materiewellen: de Broglie 1924 (Dissertation) Louis-Victor Pierre Raymond de Broglie * 15. August 1892 in Dieppe, Normandie 19. März 1987 in Louveciennes Nobelpreis Physik 1929 Anwendung des Welle-Teilchen-Dualismus, der zu dieser Zeit nur für Photonen bekannt war, auf jegliche feste Materie. Allen Teilchen, Atomen, Molekülen, Materie können Welleneigenschaften zugeordnet werden. Die Wellenlänge (de-broglie-wellenlänge) beweglicher Teilchen mit Impuls p ist gegeben durch = h p z.b. Elektronen mit 10 kev kinetischer Energie haben λ=0.12å (harte Röntgenstrahlung). Wellen: Amplitude und Phase, Ausbreitungsrichtung, Schwingungsrichtung (Polarisation), Wellenlänge leicht messbar Materiewellen: Ausbreitungsrichtung in Bewegungsrichtung, de-broglie Wellenlänge Phasengeschwindigkeit nicht messbar Unteilbarkeit von Teilchen: es werden immer ganze Elektronen beobachtet, im Gegensatz zu Licht (reflektierter und gebrochener Strahl). Anwendungen: Elektronenmikroskop, Strukturuntersuchungen durch Neutronenbeugung Quantenoptik, Quantenkommunikation, Quantencomputer, Quantenteleportation... 13

14 Doppelspaltexperiment mit klassischen Teilchen nur 1 offen nur 2 offen beide offen Doppelspaltexperiment mit Wellen Wie sieht das Bild für Elektronen aus? Bilder von David M. Harrison, Dept. of Physics, Univ. of Toronto

15 Wellencharakter von Teilchen (Elektronen) 1927 Elektronenbeugung an einem Ni-Kristall (Davisson & Germer) 1961 Doppelspaltexperiments mit Elektronen Claus Jönsson, Tübingen, Zeitschrift für Physik 161, 454 (1961) Elektronen zeigen Teilchen- oder Welleneigenschaften genau wie Licht. Das von Jönsson durchgeführte Experiment wurde im September 2002 in einer Umfrage der englischen physikalischen Gesellschaft in der Zeitschrift "Physics World" zum schönsten physikalischen Experiment aller Zeiten gewählt. 15

16 Welle-Teilchen Dualismus von C "Wave-particle duality of C60" Markus Arndt et al., Nature 401, , 14.October 1999