Vorlesung. Einführung in die mathematische Sprache und naive Mengenlehre

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1 Vorlesung Einführung in die mathematische Sprache und naive Mengenlehre Allgemeines RUD26 Erwin-Schrödinger-Zentrum (ESZ) RUD25 Johann-von-Neumann-Haus Fachschaft Menge aller Studenten eines Institutes Fachschaftsrat gewählte Vertreter der Fachschaft c.t cum tempore ( mit Zeit ): s.t sine tempore ( ohne Zeit ): Vorlesung beginnt 11:00 Uhr c.t., also 11:15 Uhr Vorlesung beginnt pünktlich 11:00 Uhr 1 Grundlagen 1.1 Aufbau von Vorlesungen Eine Vorlesung ist eine Folge von Definitionen, Sätzen mit Beweisen und Beispielen. Notiert werden diese mit einer formalen Sprache, um eine höchstmögliche Exaktheit zu erreichen. Dabei geht leider oft die Anschaulichkeit verloren, so daß man die dahinter steckende Idee erst wieder herauskratzen muss. In den Bezeichnungen finden oft sonst selten gebrauchte Alphabete und Typographien Verwendung. Besonders hervorzuheben ist hierbei das griechische Alphabet, welches jeder Mathematikstudent lernen sollte. Es folgen ein paar Beispiele: ζ, Σ, Θ, a, ℵ, ℶ,, B, K 1

2 Definitionen führen neue Begriffe sowie die Nutzung bereits bekannter Begriffe ein. Beispiel Der Durchschnitt zweier Mengen A und B ist die Menge aller Elemente die in A und B liegen. Formale Schreibweise: A B := {x x A x B} Ein Satz ist eine bewiesene Aussage beziehungsweise eine Aussage mit Beweis. Je nach Bedeutung gibt es auch die Begriffe Lemma (Hilfssatz), Theorem (Hauptsatz), Korollar (unmittelbare Folgerung), Proposition oder Bemerkung. 1.2 Symbole Leider gibt es keine einheitliche Schreibweise, sprich jeder Dozent nutzt die Symbole, an die er sich gewöhnt hat. Generell gilt jedoch: Ein Dozent in der Vorlesung darf mehr, als ein Student in den Übungsaufgaben Definitionssymbole := ist definiert Definiendum (das zu definierende) steht links, definiens (das Definierende) rechts. : genau dann, wenn per Definition gegebene Eigenschaft (Aussage) erste Symbole (a 1, a 2 ) geordnetes Paar (a 1, a 2, a 3 ) Tripel (a 1, a 2,..., a n ) n-tupel (a 1, a 2,..., a n,...) = (a i ) i N = (a i ) Folge n a i := a 1 + a a n Summe (für n < 1 spricht man von der leeren Summe, welche zu 0 definiert wird) n a i := a 1 a 2... a n Produkt (für n < 1 ist das Produkt leer und wird zu 1 definiert) 2

3 n! := n i = n Fakultät ( ) n := k n! k!(n k)! Binomialkoeffizient a k a teilt k : Es gibt ein m Z { mit a m = k (nur sinnvoll in N und Z) z := z, falls z 0 z, sonst Betrag von z max{a 1,..., a n } das maximale Element (Maximum) a = max{a 1,..., a n } : a {a 1,..., a n } und für alle i = 1,..., n gilt a i a min{a 1,..., a n } das minimale Element (Minimum) Schreibweisen: max n, min n N a N a Beispiele (2i) i N = (0, 2, 4, 6, 8, i 2 = = n n+1 a i = a i 1 = a n + i=0 ( n ) i 2 n N n a i 1 a gerade 5! = = 120 ( ) 5 2 = 5! 2! 3! = = , 5 10, = 5, 103 = 103, max{ 3, 6, 10, 27, 4} = 27 = (1 2, , ,...) = (1, 5, 14, 30, 55,...) 3

4 1.3 Elementare Aussagenlogik und die Symbole, und Die Grundlagen hier dienen nur dem Verständnis. Sie sind zum Teil nicht ganz exakt. Aussagen sind sprachliche Gebilde 1, denen, abhängig von einem Kontext, in sinnvoller Art und Weise die Wahrheitswerte wahr beziehungsweise falsch zugeordnet werden können. Beispiele 2 4 = 8 ist eine wahre Aussage. Bäume sind Säugetiere ist eine falsche Aussage. 2 4 ist keine Aussage. Verknüpfung von Aussagen Aussagen können durch logische Operatoren (sogenannte Junktoren o. Konnektoren) miteinander zu komplexeren Aussagen verknüpft werden. Negation: A A ist nicht erfüllt Konjunktion: A B sowohl A als auch B sind erfüllt Disjunktion/Alternative: A B A oder B oder beides ist erfüllt Es gibt noch weitere Junktoren, z.b. =, oder, die Operatoren, und sind aber für alle Belange bereits ausreichend. Streng genommen reichen sogar und aus. Wahrheitswertetabellen Die formale Bedeutung einer Verknüpfung von Aussagen, lässt sich mittels einer Tabelle definieren, in dem man für jede möglich Belegung der verknüpften Aussagen mit Wahrheitswerten ( wahr oder falsch ) festlegt, was der Wert der Verknüpfung sein soll. Beispiele Seien A und B zwei Aussagen: (w ˆ= wahr, f ˆ= falsch) Belegungen Wahrheitswerteverläufe A B A A B A B w w f w w w f f f w f w w f w f f w f f Mittels solcher Wahrheitswertetabellen lassen sich in einfachen Fällen auch Beweise führen. 1 Hierbei können Elemente formaler und natürlicher Sprachen gemischt vorkommen 4

5 2 Naive Mengenlehre Die Frage, was genau eine Menge ist, ist eher philosophischer Natur (Cantor, 1895). Daher beschäftigen wir uns vorerst mit naiver Mengenlehre: Eine Menge sei eine Ansammlung von Objekten zusammengefasst zu einem Ganzen. Die Objekte werden Elemente genannt und können realer oder geistiger Natur sein. Wir notieren kurz x M für die Aussage x ist ein Element der Menge M. Wünschenswert wäre ein Mengenbegriff, bei dem die Menge bereits eindeutig dadurch bestimmt ist, welche Elemente sie enthält. Dies nennt man auch das Extensionalitätsprinzip (EXT): (EXT) Zwei Mengen sind genau dann gleich, wenn Sie die selben Elemente haben. Einfache Definitionen Symbol Erklärung Formal leere Menge := {} N Die natürlichen Zahlen (mit 0) N := {0, 1, 2, } x A x ist Element von A A B A ist Teilmenge von B A B : Für jedes x A gilt x B. A B, A B A ist echte Teilmenge von B A B : A B A B A B Durchschnitt der Mengen A B := {x x A x B} A B Vereinigung der Mengen A B := {x x A x B} A \ B Differenzmenge A \ B := {x x A x / B} A, A C, C A Komplement in Relation A C := {x T x / A} zu einer Trägermenge T A B Produktmenge, A B := {(a, b) a A, b B} Menge der geordneten Paare P(A), 2 A Potenzmenge von A P(A) := {B B A} A, #A, card(a) Mächtigkeit von A, bei endlichen Mengen: Anzahl der Elemente 5

6 Beispiele Seien Dann gilt: A := {2 x x N} = {0, 2, 4,...}, B := {1, 2, 3, 4, 5}, C := {100, 723} A N, B N, C N, B C A B = {2, 4} C B = {1, 2, 3, 4, 5, 100, 723} B \ A = {1, 3, 5} A C = {2m + 1 m N} = {1, 3, 5,...} B C = {(1, 100), (2, 100), (3, 100), (4, 100), (5, 100), (1, 723), (2, 723), (3, 723), (4, 723), (5, 723)} (A B) (B \ A) = {(2, 1), (2, 3), (2, 5), (4, 1), (4, 3), (4, 5)} P(C) = 2 C = {, {100}, {723}, {100, 723}} D := {f f : {0, 1} {0, 1}}, ( D = 4) E := {A, B, C, D}, E = 4 3 Symbole des logischen Schließens = und Wir ergänzen nun noch,, um die Symbole = bzw.. Implikation: A = B Wenn A, dann B. Äquivalenz: A B A genau dann, wenn (gdw.) B. Mit A = B ist es möglich auszudrücken, dass man von der Gültigkeit der Aussage A auf die von B schließen kann bzw. mit A B, dass auch der Rückschluss möglich ist. Hierbei sollte ein Schluss A = B, der von einer falschen Voraussetzung A (auch Prämisse) ausgeht stets gültig sein. 2 A = B sollte also nur dann Falsch sein, wenn die Prämisse A wahr, aber die Konklusion B falsch ist. 2 Dieser Grundsatz heißt auch Ex falso quodlibet. Übertragen: Aus Falschem folgt beliebiges. 6

7 A B soll hingegen gelten, wenn die beiden Aussagen A und B gleichwertig sind. Wir definieren daher A B A = B A B B = A w w w w w w f f f w f w w f f f f w w w Wie man mit der letzten Spalte gut sieht, gilt A B genau dann, wenn A = B und B = A gelten bzw. Formal: (A B) ((A = B) (B = A)) (1) Beliebte Fehler Auch wenn sich ähnlich wie = verhält, sind die Symbole nicht gleich. Ersteres steht nur zwischen zwei Aussagen und letzteres nur zwischen zwei Objekten z.b. Zahlen, Mengen oder Funktionen. Die Verwechslung geschieht sehr häufige in den ersten Übungsserien. Auch ist es wenig Hilfreich solange umzuformen, bis man eine wahre Aussage wie 0=0 erhält, dabei aber nicht darauf zu achten, dass man nicht überall den Rückschluss ziehen kann. So ist eine Schlussfolgerung der Form 2 x = 4 x = x = x = ( x) 2 = x 2 = x 2 = x 2 = 0 = 0 vollkommen korrekt, zeigt aber nicht, dass 2 x = 4 x Allgemeingültig ist. Mit lässt sich (EXT) nun neu formulieren (EXT ) Genauso lässt sich formal definieren A = B : für jedes x gilt (x A x B). A B : für jedes x gilt (x A = x B). Folglich mittels (1) kann man nun die folgende Form von (EXT) verbalisieren zu 7

8 (EXT ) A = B (A B B A). Will man die Gleichheit zweier Mengen zeigen, so zeigt man daher oft stattdessen die beiden -Beziehungen. Ein abschließendes Beispiel Wir wollen das gelernte noch einmal demonstrieren, in dem wir mittels Wahrheitswertetabellen die folgenden Aussage beweisen: (A B) \ (A B) }{{} =:C = (A \ B) (B \ A) }{{} =:D Dafür muss man also zeigen, dass für ein beliebiges x die Aussage x C genau dann gilt, wenn x D gilt (schreiben in der Tabelle zur Verkürzung nur A statt x A, B statt x B ect.) Sei x also beliebig A B A B A B (A B) \ (A B) (A \ B) (B \ A) A \ B B \ A w w w w f f f f w f w f w w w f f w w f w w f w f f f f f f f f 8