Allgemeine Relativitätstheorie Ausarbeitung. Von Jan Kaprolat

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1 Allgemeine Relativitätstheorie Ausarbeitung Von Jan Kaprolat

2 Grundlegende Motivation zur ART Die Allgemeine Relativitätstheorie (ART) ist die Erweiterung der speziellen Relativitätstheorie (SRT). Sie bezieht die Gravitation mit ein und beantwortet die Frage, was in beschleunigten Bezugssystemen passiert. Die Raumzeit, die bereits in der SRT eingeführt wurde, wird nun noch durch die Eigenschaft erweitert, dass sie durch schwere Massen gekrümmt werden kann. Dies liefert eine neue Interpretation des Kraftbegriffes, da dieser in der klassischen Physik mit Hilfe von Feldern, die die Kraftwechselwirkung übermitteln, beschrieben wurden. Aus diesen Überlegungen leitete Einstein die Feldgleichungen der ART her. Grundlegende Fragestellungen der ART Äquivalenzprinzip Ein wesentlicher Ausgangspunkt für die ART ist das sogenannte Äquivalenzprinzip. Hiermit kann u.a. die Frage beantwortet werden, wie sich beschleunigte Bezugssysteme zueinander verhalten. Das Verhalten, das später durch Albert Einstein zu einem universellen Prinzip erhoben wurde, war bereits aus der klassischen Mechanik bekannt, jedoch noch nicht erklärbar. Es wurde festgestellt, dass schwere und Träge Masse prinzipiell äquivalent seien. Somit ist es einem Beobachter innerhalb eines geschlossenen Kastens nicht möglich eine Messung vorzunehmen, die ihm Auskunft darüber liefert, ob er sich beschleunigt nach "oben" bewegt, oder ob er sich innerhalb seines Kastens stillstehend auf einem massiven Objekt befindet. Als Beispiel kann hierfür die Gravitationsbeschleunigung g der Erde dienen. Beschleunigt der Kasten fernab von allen Massen mit g, fühlt der Beobachter innerhalb dieses Kastens genau sein Gewicht und kann daher nicht feststellen, ob er sich beschleunigt bewegt, oder sich auf einem massiven Objekt, in diesem Fall die Erde, befindet. Somit entspricht die Gravitation einer Beschleunigung. Zunächst ist das sogenannte schwache Äquivalenzprinzip, deren Auswirkungen wie bereits erwähnt schon in der klassischen Physik bekannt waren, aufgestellt. Es besagt die Äquivalenz von träger und schwerer (gravitativer) Masse voraus. Das schwache Äquivalenzprinzip besagt, dass mit Hilfe unterschiedlicher Massen, die man frei fallen lässt, nicht festgestellt werden kann, ob man sich in einem beschleunigten Bezugssystem befindet, oder ob das Fallen der Masse daher rührt, dass man in einem Gravitationsfeld mit gleichem Beschleunigungsbetrag ist. Das schwache Äquivalenzprinzip bezieht in einem frei fallenden Bezugssystem alle Kräfte mit ein, abgesehen von der Gravitation. Da die Bewegungsgleichungen keine Masse beinhalten, also jede Masse gleich schnell fällt, führt dies zu der Annahme, dass die schwere Masse nur ein Scheinkonzept ist. Albert Einstein erweiterte das schwache Äquivalenzprinzip hin zum sogenannten Einsteinschen Äquivalenzprinzip. Dieses besagt, dass es überhaupt keine Möglichkeit gibt, auch nicht durch nichtmechanische Messungen, den oben diskutierten Unterschied zwischen einem beschleunigten Bezugssystem bzw. einem Bezugssystem innerhalb eines Gravitationsfelds festzustellen. Innerhalb eines frei fallenden Systems, also keiner Beschleunigung ausgesetzt, müssen die Messungen von Konstanten, wie z.b. der Feinstrukturkonstante immer den gleichen Wert ergeben. Es dürfen aufgrund der Geschwindigkeit des Bezugssystems keine Unterschiede zum System in Ruhe ersichtlich werden. Albert Einstein formulierte außerdem, dass lokal die Gesetzmäßigkeiten der speziellen Relativitätstheorie gelten. Dies gilt für Systeme, bei denen auf kleine Raumskalen keine merkbare Änderung des Gravitationsfelds auftritt.

3 Die Formulierung, die am allgemeinsten die Problematik des Äquivalenzprinzips auffasst, ist das starke Äquivalenzprinzip. Dieses berücksichtigt nicht nur die Gravitation, sondern auch alle anderen physikalischen Kräfte. Das starke Äquivalenzprinzip berücksichtigt die Tatsache, dass die Energie eines Gravitationsfelds ebenfalls wieder einen gravitativen Effekt (aufgrund von E=mc 2 ) hervorruft. Aus diesem starken Äquivalenzprinzip kann darauf geschlossen werden, dass die Raumzeit in der Nähe von Massen gekrümmt wird und dass daher der Effekt der Gravitation entsteht, wobei das starke Äquivalenzprinzip nicht nur die Gravitation mit in die Betrachtung einbezieht, sondern ebenfalls noch alle anderen physikalischen Kräfte. Alle oben genannten Äquivalenzprinzipien setzen voraus, dass es sich um lokale, also kleine Bezugssysteme handelt, da sich die Effekte der Gravitation für sehr große Bezugssysteme merkbar ändert, falls dieses auf große Raumskalen betrachtet wird. (Abb. 1.1.: Darstellung der unterschiedlichen Situationen a) im Gravitationsfeld der Erde, b) Mit g nach oben beschleunigt, c) im Gravitationsfeld der Erde fallend, d) fernab von allen Massen (schwerelos). Deutlich werden die gleichen Effekte bei a und b, sowie c und d, wie oben beschrieben.) Eine wesentliche Konsequenz aus dem Äquivalenzprinzip ist die Krümmung des Raumes durch Massen. Da zwischen einem beschleunigten Bezugssystem und einem, in einem gravitativen Feld befindlichen Bezugssystem kein Unterschied feststellbar ist, wirken in beiden Fällen die gleichen Beschleunigungen somit lässt sich der Raum geometrisch auch als eine Krümmung der Raumzeit auffassen. Hier findet ebenfalls für Teilchen eine Beschleunigung statt, die mittels der Raumzeitkrümmung erklärt werden kann (siehe Feldgleichungen) Es ergeben sich Effekte, wie z.b. Laufzeitverzögerungen von Lichtstrahlen in der Nähe von großen Massen. Ein Beispiel für eine derartige Laufzeitverzögerung ist die Echoverzögerung eines Radarsignals das zur Venus geschickt wird und dessen Zeit für den Hin- und Rückweg gemessen wird. Aufgrund der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit ergibt sich eine Laufzeitdifferenz, die am größten ist, wenn die Venus sich direkt am Rand der Sonne (von der Erde aus betrachtet) dahinter befindet. Um diese Betrachtung auch mathematisch konsistent auszuführen, wird hierfür der Begriff der Geodätischen Linie eingeführt. Die Geodätengleichung (vergleiche Gleichung (3)) beschreibt die Bewegung eines Teilchens innerhalb des Raumes. Die Geodäte gibt den kürzesten Weg zwischen zwei Punkten A und B an. In einem nichtgekrümmten Raum, verschwinden die Christoffelsymbole (siehe Feldgleichungen) und es entsteht eine Geradengleichung, womit der kürzeste Weg zwischen zwei Punkten in dem nichtgekrümmten Raum, wie aus der Mathematik bekannt, eine Gerade ist. Der Wegabschnitt zwischen zwei Punkten muss minimiert werden, was einer Geraden in einem nichtgekrümmten Raum entspricht, wobei hingegen bei einer gekrümmten Metrik der metrische Tensor in die Betrachtung mit einfließen muss. Dies geschieht mit Hilfe der Bedingung für eine geodätischen Linie:

4 Wobei Gleichung (1) minimal werden muss. Die Allgemeine Relativitätstheorie liefert daher nicht nur eine Beschreibung der Vorgänge, die in beschleunigten Bezugssystemen ablaufen, sie formuliert zudem auch noch eine völlig neue Definition des Kraftbegriffes. Dieser wird seitdem nicht mehr als Feldwirkung aufgefasst, sondern entspricht einer Krümmung der Raumzeit. Einsteinsche Feldgleichungen Die Einsteinschen Feldgleichungen beschreiben die oben genannten Phänomene. Diese Gleichung muss gewisse Forderungen erfüllen. Diese Forderungen lauten folgendermaßen: 1) Die Feldgleichungen müssen kovariant sein, was bedeutet, dass sie unter allgemeinen Koordinatentransformationen wieder zur selben Form führen, somit also forminvariant sind. Die Feldgleichungen können zwar nicht aus dem Kovarianzprinzip abgeleitet werden (im lokalen Innertialsystem gibt es keine Feldgleichung, deren kovariante Verallgemeinerung zu finden wäre). Dennoch müssen diese Gleichung dem Kovarianzprinzip entsprechen 2) Der Newtonsche Grenzfall, der sich durch die Poisson-Gleichung ergibt, muss in der Lösung der Feldgleichungen enthalten sein. Somit ist es notwendig, diesen aus den Feldgleichungen herleiten zu können (siehe unten) 3) Die Einstensche Feldgleichung besteht aus 16 Gleichungen, wovon 6 Gleichungen aus Symmetriegründen identisch mit anderen sind (Dies rührt daher, dass die Gleichungen pro Tensor jeweils 2 Indizes beinhalten, also jeweils einer 4 x 4 -Matrix entsprechen) Es bleiben effektiv 10 Gleichungen über, die durch die verkürzte Schreibweise in tensorieller Form übersichtlicher wird. Die Feldgleichungen, die diese aufgestellten Forderungen erfüllen, lauten: Wird nun die Poissongleichung aus der klassischen Mechanik betrachtet, die folgendermaßen definiert ist: Muss sich aus den Einsteinschen Feldgleichungen diese Form für den nichtrelativistischen Grenzfall ergeben. Wir betrachten die g 00 Komponente des metrischen Tensors. Diese ist eine sehr wichtige Komponente und

5 beinhaltet das klassische Potential. Folgendermaßen sieht diese Komponente aus: Der Energie-Impuls-Tensor ist unter Annahme des nichtrelativistischen Grenzfalls gegeben durch: Wobei ρ die klassische Massendichte der Massenverteilung ist und c die Vakuumlichtgeschwindigkeit. Alle anderen Komponenten des Energie-Impuls-Tensors lassen sich entsprechend: Dahingehend wegdiskutieren, als, dass ihre Anteile viel geringer sind als die T 00 Komponente. Daher folgt der Newtonsche Grenzfall entsprechend der Form: Hier wurde angenommen, dass aufgrund von genähert werden kann. Somit beinhalten die Einsteinschen Feldgleichungen den klassischen newtonschen Grenzfall, was der o.g. Forderung entspricht. Die Feldgleichungen (Gleichung (2)) beinhalten auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens die Quellterme, die über den Energie-Impuls-Tensor definiert werden. Auf der linken Seite stehen die geometrischen Auswirkungen der Quellen auf den Raum (vergleichbar der Poisson-Gleichung aus der klassischen Mechanik (siehe Gleichung (4)). Alle Formen der Energie fließen in den Energie-Impuls-Tensor mit ein. Dies beinhaltet sowohl Massen, wie auch elektromagnetische Strahlung und andere Formen von Energie. Die Begründung hierfür liefert die, aus der SRT stammende Äquivalenz zwischen Energie und Masse. In den Metrischen Tensor g μν geht die Metrik des betrachteten Raums mit ein. Die Komponenten des metrischen Tensors können mit Hilfe des Wegelements ds abgelesen werden. Wobei wir hier ein einfaches Beispiel betrachten wollen. Angenommen, wir transformieren von kartesischen Koordinaten auf Zylinderkoordinaten. Dann lautet das quadrierte Wegelement:

6 Hieraus wird ersichtlich, dass sich der metrische Tensor entsprechend der folgenden Definition aufschreiben lässt: Die Komponenten des metrischen Tensors lassen sich in diesem Fall recht einfach ablesen. Es ist (g μν ) = diag(1, -1, -ρ 2,-1) Diese Größen folgen durch die Transformation (partielle Ableitungen) der einzelnen Komponenten. Der Minkowski-Tensor (η αβ = diag(1, -1, -1, -1)) ist bereits aus der speziellen Relativitätstheorie bekannt. Es gelten folgende Aussagen. Für den Euklidischen Raum ist das Wegelement: Für den Minkowski-Raum ist das Wegelement: Für den Riemanschen Raum wird ein Beispiel für das Wegelement weiter unten in der Schwarzschildmetrik geliefert. Die Sogenannten Christoffelsymbole sind folgendermaßen definiert: bzw. Es ist ersichtlich, dass in die Christoffelsymbole die betrachtete Metrik mit eingeht. Die Christoffelsymbole beschreiben allgemein die Änderung einer Größe aufgrund der Änderung der Raumzeit. Eine kleine Affine Verschiebung eines Vektors (Parallelverschiebung) ändert diesen in einem gekrümmten Raum. Die Christoffelsymbole berücksichtigen dies und sind in den Geodätengleichungen integriert (Vergleiche Gleichung (3)) von denen es 4 Gleichungen gibt, die in tensorieller Schreibweise die Bewegungsgleichung repräsentieren. Der Ricci-Krümmungstensor R µν beschreibt die Abweichung der gravitativen Beschleunigung bzw. gibt an, wie der Raum explizit gekrümmt ist. Aus dem metrischen Tensor ist diese Krümmung nicht unmittelbar ersichtlich, falls es sich z.b. um komplizierte Metriken handelt. Er ergibt sich durch eine Kontraktion (Übersummierung über gleiche Indizes mittels des metrischen Tensors) des Riemannschen Krümmungstensors, der ein 4-fach-indizierter Tensor ist.

7 Der Krümmungsskalar R ist über den folgenden Zusammenhang definiert: Ein Skalar ergibt sich in dem Fall, wenn λ = κ ist. Er ist somit wiederum eine Kontraktion des Riemanschen Tensors mit Hilfe des kontravarianten metrischen Tensors. Hierbei handelt es sich um einen Skalar, der für jede Metrik einen bestimmten Wert ergibt. Die Größen u µ Vierergeschwindigkeit, sowie τ die Eigenzeit sind bereits aus der SRT bekannt und werden hier nicht weiter erörtert. Schwarzschildmetrik Eine besonders einfache Lösung der Einsteinschen Feldgleichungen ergibt sich aus der Forderung, dass eine Vakuumlösung vorliegt. Dies bedeutet Tμν = 0. Es wird eine kugelsymmetrische Vakuumlösung angenommen die, außer an einem Punkt, an dem sich eine Masse M befindet, von der o.g. Forderung ausgeht, dass der Energie-Impuls-Tensor 0 ist. Grundannahmen über diese Masse sind die folgenden: Die Masse soll in Form einer homogenen, nichtgeladenen und nicht rotierenden Kugel vorliegen. Dass es sich um eine statische Lösung handelt, folgt aus der Definition der Metrik. Sie ist keinen zeitlichen Veränderungen unterworfen. Unter diesen Voraussetzungen leitete der Physiker Karl Schwarzschild 1916 eine einfache Metrik ab. Hierfür gibt es sogar 2 mögliche Lösungen, da die Metrik an einem ausgezeichneten Punkt divergiert. Dieser Abstand vom Zentrum wird als Schwarzschildradius Rs bezeichnet. Es existiert somit eine innere und eine äußere Lösung. Die Schwarzschildmetrik beschreibt in diesem Fall ein schwarzes Loch mit dem Ereignishorizont Rs. Die äußere Lösung (r > Rs): Offensichtlich wird, dass bei Gleichung (17) für den Fall, dass für den Radius gilt: divergiert, wobei die Zeitkomponente (erster Summand) 0 wird und die dr-komponente divergiert. Dies ist jedoch nur eine Divergenz, die davon abhängt, welche Koordinaten gewählt werden. Mit Hilfe eines anderen Bezugssystems divergiert die Gleichung nur für den Fall, dass r -> 0 Bei r = 0 befindet sich somit die tatsächliche Singularität. Gleichung (18) wird auch als Schwarzschildradius (Ereignishorizont) des schwarzen Lochs bezeichnet. Die innere Lösung (r <Rs) sieht folgendermaßen aus: Ein Beobachter hinter dem Ereignishorizont erhält zwar noch Informationen (z.b. Lichtsignale) von der Region außerhalb des Ereignishorizonts, ihm ist es aber nicht möglich selbst ein Signal nach außen zu senden. Da hier die Fluchtgeschwindigkeit (wie bereits aus der klassischen Physik bekannt, jedoch hier nicht genauer hergeleitet) die Lichtgeschwindigkeit überschreitet. Der Schwarzschildradius der Sonne, mit der

8 Masse M = 2*10 30 kg beträgt ca. 3 km. Abschließend werden einige grundlengenden Tensorberechnungen und allgemeine Informationen angegeben: Kovariante Ableitung: Hier wird die partielle Ableitung eines tensoriellen Feldes A i k mit Hilfe eines senkrechten Striches vor dem Index geschrieben, der abgeleitet werden soll: Mit dieser Definition und mit Hilfe der Christoffelsymbole kann die kovariante Ableitung aufgestellt werden. Diese dient dazu, ein Tensorfeld im riemanschen Raum ableiten zu können und als Ergebnis dennoch ein Tensorfeld zu erhalten. Dies ist eine verallgemeinerung der partiellen Ableitung im Minkowskiraum: Die Bestimmung der Eigenzeit geschieht mit Hilfe des folgenden Zusammenhanges: ɤ ist bereits aus der SRT bekannt. Relativistische Verallgemeinerung der Geschwindigkeit ist die Vierergeschwindigkeit: Das Skalarprodukt ist definiert über die Kontraktion der Komponenten mit gleichen Indizes Hierfür gilt die Einsteinsche Summenkonvention: Hier wird über k summiert. Die Einsteinsche Summenkonvention sieht dann folgendermaßen aus: Skalarprodukt: A i * B i = C (26) C ist hier ein Skalar, A und B sind Tensoren 1-er Stufe, also Vektoren. Quellen: Fließbach Band 5 Allgemeine Relativitätstheorie Sean M. Carroll An Introduction to General Relativity