Geschichte Grundlagen Fibonacci-Zahlen Geometrischer Trugschluß Anwendung Fazit und Ausblick. Der Goldene Schnitt. Dario Jotanovic

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1 Der Goldene Schnitt Dario Jotanovic Mathematisches Proseminar Implementierung mathematischer Algorithmen Hochschule Darmstadt 19. Dezember 2013

2 Inhaltsangabe 1 Geschichte 2 Grundlagen Teilung im goldenen Schnitt und Φ Charakteristische Eigenschaften von Φ 3 Fibonacci-Zahlen Φ und Fibonacci Lucas-Folge Binet-Formel (MATLAB) Fibonacci-Quotient und weitere Darstellungen von Φ (C++) 4 Geometrischer Trugschluß 5 Anwendung Kunst Architektur Natur 6 Fazit und Ausblick

3 Bekannt seit der Antike Lat. Übersetzung: proportio habens medium et duo extrema Kepler: Teilung im äußeren und mittleren Verhältnis Pacioli: 16. Jhd. divina proportio (göttliche Verhältnis) 19. Jhd. Goldener Schnitt oder Goldenes Verhältnis [1] Abbildung : Euklid von Alexandria, ca.3.jahrhundert v.chr. gelebt, griech.mathematiker [2] Abbildung : Johannes Kepler, , deut.mathematiker [3] Abbildung : Luca Pacioli, , ita. Mathematiker

4 Das zweite Buch der Elemente; 11. Satz; von Euklid: Eine gegebene Strecke so zu teilen, dass das Rechteck aus der ganzen Strecke und dem einen Abschnitt dem Quadrat über dem anderen Abschnitt gleich ist. Abbildung : Buch der Elemente, zwischen ca. 360 v. Chr. bis ca. 280 v. Chr. [4]

5 Teilung im goldenen Schnitt und Φ Definition (Der goldene Schnitt) Sei AB eine Strecke. Der Punkt P teilt AB im sog. goldenen Schnitt, falls die größere Teilstrecke zur kleineren Teilstrecke so verhält wie die Gesamtstrecke zum größeren Teil. Phi Φ Φ = (1+ 5) 2 1,

6 Charakteristische Eigenschaften von Φ 1 Φ 2 = Φ Φ = Φ 1 = Φ + 1 Φ = 5

7 Φ und Fibonacci bei Google [5]

8 Φ und Fibonacci Wir betrachten folgende Zahlenfolgen: u n = Φ n v n = ( 1 Φ )n

9 u n = Φ n u n+2 = Φ n+2 = Φ n Φ 2 = Φ n (Φ + 1) = Φ n+1 + Φ n = u n+1 + u n

10 v n = ( 1 Φ )n v n+2 = ( 1 Φ )n+2 = ( 1 Φ )n ( 1 Φ )2 = ( 1 Φ )n ( 1 Φ )2 = ( 1 Φ )n [1 1 Φ ] = ( 1 Φ )n + ( 1) n+1 ( 1 Φ )n+1 = ( 1 Φ )n + ( 1 Φ )n+1 = v n + v n+1

11 Lucas-Folge Definition (Lucas-Folge) Eine Folge a 1,a 2,a 3,... reeller Zahlen heißt eine Lucas-Folge, falls für alle n 1 gilt a n+2 = a n+1 + a n

12 Lucas-Folge Hilfssatz (Lucas-Folge) Für jede Lucas-Folge (a 1, a 2,...) und für jede natürliche Zahl k 2 gilt a k+1 = f k a 2 + f k 1 a 1

13 Spezielle Lucas-Folgen Wir betrachten folgende spezielle Lucas-Folgen: (u 1, u 2,...) = (Φ, Φ 2,...) (v 1, v 2,...) = ( 1 Φ, ( 1 Φ )2,...)

14 (u 1, u 2,...) = (Φ, Φ 2,...) Φ n = u n = f n 1 u 2 + f n 2 u 1 = f n 1 Φ 2 + f n 2 Φ = f n 1 (Φ + 1) + f n 2 Φ = (f n 1 + f n 2 ) Φ + f n 1 = f n Φ + f n 1

15 (v 1, v 2,...) = ( 1 Φ, ( 1 Φ )2,...) ( 1 Φ )n = v n = f n 1 v 2 + f n 2 v 1 = f n 1 Φ 2 f n 2 Φ = f n 1 (2 Φ) f n 2 (Φ 1) = f n 1 (f n 1 + f n 2 ) (Φ 1) = f n 1 (Φ 1) f n = f n 1 f n Φ

16 Binet-Formel Satz (Binet-Formel) Für alle natürlichen Zahlen n gilt f n = [Φn ( 1 Φ )n ] 5 = ( 1+ 5 ) 2 n ( 1 5 ) 2 n 5

17 Bemerkungen zur Binet-Formel 1 De Moivre (franz. Mathematiker, ) entdeckt vor Binet (franz. Mathematiker, ) die Formel. 2 Jede natürliche Zahl n führt zu einem ganzzahligen Ergebnis 3 Binet-Formel nutzen, um die Fibonacci-Zahlen asymptotisch zu bestimmen [6] Abbildung : Abraham de Moivre [7] Abbildung : Jacques Binet

18 Fibonacci-Quotient f n f n+1 f n+1 f n

19 Weitere Darstellungen von Φ Φ = Φ =

20 Funktionswerte Fibonacci Quotient Kettenbruch Kettenwurzel Wert Iterationsschritte

21 Genauigkeit der Nachkommastellen

22 Genauigkeit der Nachkommastellen 0 2 Fibonacci Quotient Kettenbruch Kettenwurzel 4 Genauigkeit der Nachkommastellen Iterationsschritte

23 Weitere Darstellungen von Φ Φ = 2 cos( π 5 ) = 2 sin( π 5 + π 2 ) = 2 sin( 7π 10 ) = 2 sin( 3π 10 )

24 Geometrischer Trugschluß A B 5 D C 8 A C D B 13 21

25 Kunst Abbildung : Mona Lisa, , Leonardo Da Vinci, [8]

26 Architecktur Abbildung : Rathaus Leipzig [9]

27 Natur [10] Abbildung : Ein Pferd, m=kleine Teilstrecke, M=große Teilstrecke

28 Fazit und Ausblick Den goldenen Schnitt findet man fast überall Verwandte Themen: Das goldene Rechteck Der goldene Winkel (Ψ 137,5 ) Die goldene Spirale Siberner Schnitt ( 2a+b a = a b 1 + 2) Effizientere Darstellungen für Φ? Was wird als nächstes entdeckt?

29 Danke für eure Aufmerksamkeit!!!

30 Quellenangaben Bilder: [1] Euklid - [2] Kepler - Johannes_Kepler_1610.jpg [3] Pacioli - pacioli.jpg [4] Elemente - Euclid_Vat_ms_no_190_I_prop_47.jpg [5] Stand vom:

31 Quellenangaben Bilder: [6] de Moivre - Abraham_de_moivre.jpg [7] Binet - /af/jacques_binet.jpg [8] Mona Lisa - [9] Rathaus - [10] Pferd -

32 [11] A.Beutelspacher/B.Petri, Der Goldene Schnitt, Spektrum Akademischer Verlag, 1996: Geschichte: Seite 9-12 (Vorwort) Teilung im goldenen Schnitt und Φ: Seite 15 (Kapitel 1.1 Definition des goldenen Schnittes) Charakteristische Eigenschaften von Φ: Seite 18 (Kapitel 1.2 Charakteristische Eigenschaften der Zahl Φ) Phi und Fibonacci; Zahlenfolgen: Seite 91 (Kapitel 6.2 Phi und Fibonacci) Lucas-Folgen; Spezielle Lucas Folgen: Seite 93 (Kapitel 6.2 Phi und Fibonacci) Binet-Formel; Bemerkungen zur Binet-Formel: Seite (Kapitel 6.2 Phi und Fibonacci) Quellenangaben Literatur:

33 Quellenangaben Informationen