Primzahlen Darstellung als harmonische Schwingung

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1 Primzahlen Darstellung als harmonische Schwingung Die natürliche Sinusschwingung wird hier in Zusammenhang mit der Zahlentheorie gebracht um einen weiteren theoretischen Ansatz für die Untersuchung der Eigenschaften von Primzahlen zu finden. Die Schwingung kann sowohl im physikalischen sowie im musikalischen Kontext betrachtet werden. Wesentliche Unterschiede zu natürlichen Verhaltensweisen von Wellen und die in dieser Abhandlung genutzten mathematischen Rechenvorschriften werden näher beleuchtet und erläutert. 1 Physikalische Beschreibung der Schwingung Die harmonische Schwingung wird als Funktion der Zeit wie folgt beschrieben: ω = 2π f = Kreisfrequenz A 0 = Amplitude y(t) = A 0 sin(ωt + φ 0 ) φ 0 = Nullphasenwinkel der Schwingung (Phasenverschiebung) Die Frequenz der Schwingung wird jeweils so gewählt, dass ω für eine Periodendauer von π bestimmt ist durch n = Z {2,, 4, 5, } Da der Phasenverschiebungswinkel φ 0 = 0 ist und die Amplitude A 0 = 1 des Einheitskreises beträgt, ist eine Einzelschwingung definiert durch: y 1 (n) = sin( 1 π n) 2 Die Zeitachse entspricht der x-achse, der Zahlengeraden der natürlichen Zahlen. Die Frequenz der Schwingung wird dabei jeweils um 1 erhöht. Somit ergibt sich für die nächste Schwingung: y 2 (n) = sin( 1 π n) Der Graph der beiden Schwingungen zeigt nun zwei harmonische Schwingungen mit unterschiedlicher Frequenz aber ohne Phasenverschiebung gegeneinander und den Autor: Jean-Pierre Weiner jpweiner.net 201 Seite 1

2 jeweiligen Maxima und Minima von 1 bei 1 π bzw. π der einzelnen Perioden (jeweils für 2 2 y 1 und y 2 ). 1 2 π 1 2 π y 1 y 2 2 π 2 π Abb. 1: Graph zweier Schwingungen Die Nullstellen der Schwingungen verlaufen jeweils durch n bzw. einem Vielfachen von n. Somit erreicht die Schwingung beim Durchlauf einer Phase von π einen Nullpunkt als Schnittstelle mit der Zahlengeraden (= x-achse). y y 1 y 2 Abb. 2: Graph zweier Schwingungen und die Überlagerung y von y 1 und y 2. Die Werte der Amplitude von y ergeben sich aus der Addition der beiden Schwingungen y 1 und y 2. Autor: Jean-Pierre Weiner jpweiner.net 201 Seite 2

3 y(n) = sin 1 2 π n + sin 1 π n Durch die Überlagerung ergibt sich auch eine Verschiebung der Nulldurchläufe der Gesamtschwingung. Dieses natürliche Verhalten von Wellen ist aber für diese Betrachtung ungünstig. Somit wählt man die Multiplikation der beiden Schwingungen um die Nullstellen der Einzelschwingungen beizubehalten: y (n) = sin 1 2 π n sin 1 π n y y Abb. : Vergleich der Graphen y und y. Die neue Funktion y verläuft nun durch alle Knotenpunkte der Einzelschwingungen. Da diese mathematische Rechenvorschrift keine Entsprechung in der physikalischen Realität findet wenn es sich um die Überlagerung von Wellen handelt, kann man sie nicht zur Beschreibung eines der bekannten natürlichen Prozesse heranziehen. Die Überlagerung von Schallwellen beispielsweise würde sich durch die Addition der Amplituden ergeben (Graph y). Die Multiplikation der Amplituden ist dagegen am ehesten durch das Verfahren der Amplitudenmodulation bei der Übertragung von Funksignalen beschreibbar bzw. findet dort eine Entsprechung. Auch der Zusammenhang mit gedämpften Schwingungen wäre gegeben. Hier wird eine Sinuswelle durch eine weitere Welle anderer Frequenz gedämpft. Üblicherweise wird eine Exponentialfunktion als Dämpfungsfaktor verwendet z.b. von der Form: f(x) = n e 0.1 x, n Z Zusammengefasst notiert: y(t) = A 0 e 0.1 x sin(ω 0 t + φ 0 ) Autor: Jean-Pierre Weiner jpweiner.net 201 Seite

4 Der exponentielle Multiplikationsfaktor beeinflusst die Amplitude der Schwingung. Da man eine Schwingung ebenfalls als Exponentialfunktion in der komplexwertigen Darstellung notieren kann, ergibt sich sofort der Zusammenhang der gedämpften Schwingung, insbesondere aber der modulierten gedämpften Schwingung. Dieser Begriff ist womöglich etwas holprig, da zwar beides zuzutreffen scheint, es aber doch keines von beiden ist. y(t) = A 0 e i(ω 1t + φ 1 ) sin(ω 0 t + φ 1 ) Wenn man die Gleichung nach dem Imaginärteil auflöst und umstellt erhält man die bekannten Gleichungen zweier Schwingungen. y(t) = A 0 sin(ω 0 t + φ 0 ) A 1 sin(ω 1 t + φ 1 ) Die modulierte Schwingungsgleichung sieht gewöhnlich so aus (komplexwertige Darstellung ohne Phasenverschiebung wobei die beiden Frequenzen nur leicht voneinander abweichen): y(t) = A 0 e i(ω 0t ) + A 1 e i(ω 1t ) Die modulierte variable Amplitude ergibt sich aus: i(ω 0 ω 1 ) t y(t) = A 0 e 2 + A 1 e i(ω 0 ω 1 ) t 2 Die überlagerte Schwingung hat das arithmetische Mittel: ω = ω 0 + ω 1 2 Der mathematische Zusammenhang zur Physik ist dennoch nicht zu übersehen und damit sind wir in der Lage die bestens bekannten und physikalisch beschriebenen Gesetzmäßigkeiten von Schwingungen zu nutzen. Wellengleichungen sind geeignet Zusammenhänge der mathematischen Zahlentheorie zu beschreiben und zu interpretieren. 2 Beschreibung des Zusammenhangs von harmonischen Schwingungen und den Primzahlen Wie aus der Abbildung zu erkennen ist, ergeben sich an der Stelle 5 und 7 der x-achse annähernd Maxima bzw. Minima der beiden Funktionen y 1 und y 2. Autor: Jean-Pierre Weiner jpweiner.net 201 Seite 4

5 Abb. 4: Nullstellen und freie Potenziale Abbildung 4 zeigt im weiteren Verlauf noch deutlicher, wie sich weitere Primzahlen, die man als freie Potenziale werten kann, herauskristallisieren, da sie nicht von den beiden Schwingungen erfasst werden. Freie Potenziale sind also jene Bereiche, die mit keiner Schwingung in Resonanz stehen. Sie bilden praktisch die schwingungsfreien Inseln auf der unendlichen Zahlengeraden die Primzahlen eben. Auf diese Weise lassen sich die Primzahlen als natürliche Konsequenz von Schwingungszuständen interpretieren. 25 Abb. 5: Primzahlenreihe bis n = 24 Tatsächlich wird die Reihe der Primzahlen bis zur Stelle 24 auf der x-achse gebildet. Die Zahl 25 (oder auch 5 2 ) ist die erste Stelle, die zusammengesetzt ist aber keine Nullstelle besitzt. Wird zur oben genannten Gleichung auch die 5 einbezogen, so hat die Gleichung bei Stelle 25 korrekterweise eine Nullstelle und die Primzahlenreihe setzt sich bis 48 (oder auch 7 2 1) fort ab der 7 als nächste Primzahl ohne Nullstelle. Die Gleichung hat nun folgende Argumente: y (n) = sin 1 2 π n sin 1 π n sin 1 π n 5 Werden weitere Primzahlen in die Gleichung mit aufgenommen, so ergibt das Produkt der Gleichung einen Graphen mit entsprechenden Nullstellen an den als Argumenten eingesetzten Primzahlen und Maxima sowie Minima um die nächsten Primzahlen bis zur Stelle p 2 1 der nächsten gefundenen Primzahl. Die obere Gleichung hat 7 als nächste Primzahlstelle und 48 als Endpunkt des Bereiches bis zu dem Primzahlen korrekt ermittelt werden können. Alle n = 0 sind somit keine Primzahlen, also zusammengesetzte Zahlen. Die Maxima und Minima der Funktionen ergeben sich nicht direkt bei den Werten der Primzahlen aber annähernd. Der Bereich zwischen nächster Primzahl und letzter möglicher Primzahl wächst mit dem Quadrat der nächsten Primzahlstelle. Das bedeutet z.b., dass alle Zahlen bis 1 eine Primzahl ausreichen um die restlichen Zahlen bis knapp über zu finden. Autor: Jean-Pierre Weiner jpweiner.net 201 Seite 5

6 n = 1 ist prim alle Primzahlen bis n = für die gilt: y (n) 0 y Abb. 6: Primzahlenreihe bis n = 24 mit dem Graphen y als Produkt aller Argumente. Es ist dabei nicht wesentlich, dass alle Argumente der Funktion aus Primzahlen bestehen, da die Frequenzen von Nichtprimzahlen als redundante Schwingungen verstanden werden können. Diese stellen ja ein Vielfaches der Grundschwingung dar (2, 4, 6, 8 oder, 6, 9 usw.). Die Anzahl der Argumente verkürzt sich dabei aber erheblich. Verwandtschaft zur Musik Wählt man eine x-beliebige zusammengesetzte Zahl und untersucht den Bereich Null und n, dann können über die gesamte Länge hinweg subharmonische Schwingungen bzw. Obertöne beobachtet werden. Die subharmonischen Schwingungen ergeben sich als Teilschwingungen der Grundfrequenz über die gesamte Länge. Einige davon setzten sich aus den Vielfachen der Zahl 2, oder 5 usw. zusammen, je nachdem wie hoch n gewählt wurde. Die übrigen entsprechen der Grundschwingung, den Primfaktoren. 4 Anregungen zur Analysis Die Formel kann also als Produkt endlicher Schwingungsgleichungen notiert werden: f(x) = sin ( 1 p p P π x) Ziel der Untersuchung kann der Grenzwert des Produktes entweder für den Bereich unendlich oder einen Teilbereich sein. Welche Erkenntnisse in Bezug auf die Primzahlen daraus gezogen werden könnten ist unklar. Es steht jedenfalls fest, dass die Formel unendlich viele Nullstellen ergibt, wenn unendlich viele Primzahlen eingesetzt werden. Zweckdienlich ist sie nur, wenn endlich viele Faktoren eingesetzt werden. Eine alternative Schreibweise würde sich aus den Additionstheoremen von Sinus und Cosinus ergeben wonach eine Multiplikation zweier Sinus-Faktoren so aufgelöst würde: f(x) = sin 1 2 π x sin 1 π x = 1 2 cos 1 2 π x 1 π x cos 1 2 π x + 1 π x = 1 2 cos 1 6 π x cos (5 π x) 6 Autor: Jean-Pierre Weiner jpweiner.net 201 Seite 6

7 f(1) = 1 2 cos 1 6 π cos (5 6 π)~0,8660 Die resultierende Schwingung hat an der Stelle 1 der x-achse etwa den Wert 0,8660 was mit dem Graphen übereinstimmt. Wie man erkennen kann, ist diese Schreibweise für mehrere Sinusfunktionen recht kompliziert. In der Theorie ließe sich auch die Euler-Form als Exponentialfunktion nutzen. Ob sich durch diese Schreibweise Vorteile für die Berechnung ergeben, wurde noch nicht untersucht. f(x) = sin 1 2 π x sin 1 1 ei2 π x e i1 2 π x π x = 2i 1 ei π x e i1 π x 2i Die Eliminierung der Winkelfunktionen im Ausdruck würde einen ersten Ansatz liefern. 5 Faktorisierung Noch ein Blick auf die Faktorisierung: Umgekehrt lässt sich mittels der Funktion f(x) = sin 1 π x, p P p auch die Zerlegung in Primfaktoren bzw. die Teiler einer Zahl n darstellen wenn anstelle der Primzahlen alle ganzen Zahlen durchlaufen werden. f(p) = sin 1 π n, p P = 0 p n p Auch in diesem Fall ist der Nutzen eher theoretischer Natur, obwohl man für kleine Zahlen selbstverständlich schnell korrekte Ergebnisse erhält, wenn man dies programmatisch umsetzen würde. Als komplexwertige Funktion ließe sich für alle zusammengesetzten Zahlen an der Position auf der x-achse die zugehörige Faktorisierungs-Funktion, deren Werte sich in Richtung der imaginären Achse ausbreiten, notieren. So erhielte man ein zweidimensionales Bild über alle Primzahlen und die Primfaktoren bzw. die Teiler der zusammengesetzten Zahlen. Primzahlen hätten dann eben nur einen einzigen Faktor, nämlich ihren eigenen Wert. f(x) = sin ( 1 p p P π x) + i e i(1 n π x), n Z Autor: Jean-Pierre Weiner jpweiner.net 201 Seite 7

8 Abb. 7: Primfaktoren und ganzzahlige Teiler in einer zweidimensionalen Darstellung bis zum Wert 80. Die Primzahlen bilden eine Achse im Winkel von 45 in bekannter unregelmäßiger Verteilung. Stand: Autor: Jean-Pierre Weiner jpweiner.net 201 Seite 8