10. Teilbarkeit in Ringen

Transkript

1 10. Teilbarkeit in Ringen Teilbarkeit in Ringen Ein wichtiges Konzept in Ringen, das ihr für den Fall des Ringes Z bereits aus der Schule kennt, ist das von Teilern also der Frage, wann und wie man ein Ringelement als Produkt von zwei anderen schreiben kann. Dies wollen wir jetzt in allgemeinen Ringen untersuchen, wobei die Polynomringe über Körpern letztlich neben Z die wichtigsten Anwendungsbeispiele sein werden. Um die Theorie dazu nicht zu kompliziert werden zu lassen, wollen wir uns dabei auf den Fall von Ringen beschränken, bei denen bei einem Produkt von zwei Elementen nur dann 0 herauskommen kann, wenn schon einer der beiden Faktoren 0 war. Definition 10.1 (Integritätsringe). Ein Ring R heißt Integritätsring, wenn er außer der Null keine Nullteiler besitzt, d. h. wenn für alle a,b R gilt: ist ab = 0, so ist bereits a = 0 oder b = 0. Beispiel (a) Nach Lemma 7.9 (c) ist jeder Körper (also z. B. Q, R, C oder Z p für eine Primzahl p) ein Integritätsring. (b) Jeder Unterring eines Integritätsrings (also z. B. Z als Unterring von Q) ist offensichtlich wieder ein Integritätsring. (c) Ist n N >1 keine Primzahl, so ist Z n kein Integritätsring, denn wenn wir n = p q mit 1 p,q < n schreiben können, so ist zwar p,q 0, aber p q = n = 0. Ein weiteres wichtiges Beispiel für Integritätsringe sind Polynomringe über einem Integritätsring. Lemma Für jeden Integritätsring R gilt: (a) (Gradformel) Für f,g R[t] ist deg( f g) = deg f + degg, d. h. in Lemma 9.7 (a) steht bei der Multiplikation von Polynomen stets die Gleichheit. (b) R[t] ist ein Integritätsring. (c) Die Einheitengruppe des Polynomrings über R ist R[t] = R, besteht also genau aus den konstanten Polynomen mit Wert in R. Beweis. (a) Für f = 0 oder g = 0 ist die Formel wegen deg0 = trivialerweise richtig. Ist ansonsten n = deg f und m = degg, so können wir f und g als f = a n t n + + a 1 t + a 0 und g = b m t m + + b 1 t + b 0 mit a n,b m 0 schreiben. Damit ist f g = a n b m t n+m + (Terme mit niedrigeren Potenzen von t). Da R ein Integritätsring ist, folgt nun a n b m 0 und damit deg( f g) = n+m = deg f +degg. (b) Sind f,g 0, also deg f,degg 0, so ist nach (a) auch deg( f g) 0 und damit f g 0. (c) Offensichtlich ist jede Einheit von R auch eine von R[t]. Ist umgekehrt f R[t], so gibt es ein g R[t] mit f g = 1. Aus der Gradformel (a) folgt daraus deg f + degg = 0, also deg f = degg = 0. Damit liegen f = a 0 und g = b 0 in R, und wegen f g = a 0 b 0 = 1 muss sogar f = a 0 R gelten. Aufgabe Ist der Potenzreihenring R[[t]] über einem Integritätsring R ebenfalls wieder ein Integritätsring?

2 68 Andreas Gathmann 10 Bemerkung Beachte, dass die analoge Aussage von Lemma 10.3 für Polynomfunktionen falsch wäre: betrachten wir noch einmal die Polynomfunktion t t 2 + t = t(t + 1) über Z 2 aus Beispiel 9.13, so ist diese ja die Nullfunktion wir können sie aber auch als Produkt der beiden Polynomfunktionen t t und t t + 1 schreiben, die beide nicht die Nullfunktion sind. Die Polynomfunktionen über einem Integritätsring bilden also in der Regel nicht wieder einen Integritätsring. Dies zeigt erneut, dass Polynome aus algebraischer Sicht die schöneren Objekte sind als Polynomfunktionen. Die wichtigste (wenn auch nahezu triviale) Eigenschaft von Integritätsringen ist, dass in ihnen die Kürzungsregel gilt: Lemma 10.6 (Kürzungsregel). Es seien R ein Integritätsring und a, b, c R mit c 0. Dann gilt ac = bc genau dann, wenn a = b. Beweis. Ist ac = bc, so folgt (a b)c = 0. Da R ein Integritätsring ist und nach Voraussetzung c 0 gilt, muss a b = 0 und damit a = b sein. Die umgekehrte Folgerung a = b ac = bc ist natürlich trivial. Bemerkung Die Kürzungsregel ist in allgemeinen Ringen falsch: in Z 6 ist z. B. 2 3 = 0 3, aber 2 0. Wir können nun zur Definition der Teilbarkeit in Ringen kommen. Definition 10.8 (Teiler). Es seien R ein Integritätsring und a,b R. Man sagt, dass b ein Teiler von a ist (in Zeichen: b a), wenn es ein c R gibt mit a = b c. Man sagt dann auch, dass a ein Vielfaches von b ist. Beispiel (a) Die Teiler von 4 im Ring Z sind 4, 2, 1, 1, 2 und 4. (b) In jedem Integritätsring R ist jedes b R ein Teiler von 0, denn 0 = b 0. Die Teiler von 1 dagegen sind nach Definition genau die Einheiten von R. (c) Das Polynom 2t ist im Integritätsring Q[t] ein Teiler von t 2 (denn t 2 = 2t 12 t), nicht jedoch in Z[t]. Bemerkung Es seien R ein Integritätsring und a,b,c R. (a) Gilt c b und b a, also b = dc und a = be für d,e R, so ist auch a = dec, also c a. Die Teilbarkeitsrelation ist damit transitiv im Sinne von Definition 5.2 (b). Man schreibt statt c b und b a daher oft auch direkt hintereinander c b a. (b) Gilt c a und c b, also a = dc und b = ec für d,e R, so ist auch a + b = (d + e)c und damit c a + b. Der Begriff der Teilbarkeit hängt sehr eng mit dem des Ideals aus Kapitel 8 zusammen, wie das folgende Lemma zeigt. Lemma Es seien R ein Integritätsring und a,b R. Wie in Beispiel 8.8 (a) bezeichne (a) bzw. (b) das von a bzw. b erzeugte Ideal in R. Dann gilt: (a) b a (a) (b). (b) b a und a b (a) = (b) es gibt ein c R mit a = bc. Man sagt in diesem Fall auch, dass a und b zueinander assoziiert sind bzw. sich nur um eine Einheit unterscheiden. Beweis. (a) Nach Beispiel 8.8 (a) ist (a) = {ax : x R}. Damit folgt: : Ist b a, so gibt es ein c R mit a = bc. Damit ist a (b), nach Lemma 8.6 (b) also auch (a) (b).

3 10. Teilbarkeit in Ringen 69 : Es sei (a) (b). Insbesondere ist dann a (b), also a = bc für ein c R. Damit gilt b a. (b) Die erste Äquivalenz ergibt sich natürlich sofort aus (a). Wir zeigen noch die Äquivalenz der ersten zur dritten Aussage. : Ist b a und a b, so gibt es c,d R mit a = bc und b = ad. Setzt man dies ineinander ein, ergibt sich a = acd und b = bcd. Sind nun a oder b ungleich 0, so ergibt sich daraus mit der Kürzungsregel aus Lemma 10.6 sofort cd = 1 und damit c R. Andernfalls ist a = b = 0 und die zu zeigende Aussage trivial. : Es sei a = bc mit c R. Dann können wir auch b = ac 1 schreiben, und es folgt sofort b a und a b. Aufgabe Man zeige: (a) Eine natürliche Zahl ist genau dann durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme (also die Summe aller ihrer Ziffern) durch 3 teilbar ist. (b) Für a,b Z gilt 17 a + 3b genau dann, wenn 17 b + 6a. Bemerkung Wie ihr vom Fall der ganzen Zahlen Z wisst, spielt bei der Untersuchung der Teilbarkeit vor allem der größte gemeinsame Teiler (und das kleinste gemeinsame Vielfache) von zwei gegebenen Zahlen eine große Rolle. Wir wollen ein derartiges Konzept daher auch in allgemeinen Integritätsringen einführen. Dabei haben wir jedoch zunächst das Problem, dass wir auf einem allgemeinen Integritätsring R keine Ordnung haben, mit deren Hilfe wir sagen könnten, welchen gemeinsamen Teiler zweier Elemente von R wir als den größten ansehen wollen. Wir können dieses Problem dadurch lösen, dass wir auch die Größe eines Teilers mit Hilfe der Teilbarkeit messen. Betrachten wir z. B. die beiden ganzen Zahlen 18 und 24, so sind die gemeinsamen Teiler von ihnen 6, 3, 2, 1, 1, 2, 3 und 6. Von diesen ist 6 natürlich die größte Zahl aber die 6 ist auch in dem Sinne am größten, dass jedes andere Element dieser Liste ein Teiler davon ist. Es ist diese zweite Eigenschaft, die wir zur Definition eines größten gemeinsamen Teilers verwenden wollen und die so auch in jedem Integritätsring anwendbar ist. Definition (ggt und kgv). Es seien a,b zwei Elemente in einem Integritätsring R. (a) Ein Element g R heißt größter gemeinsamer Teiler von a und b, wenn gilt: (1) g a und g b ( g ist ein gemeinsamer Teiler ); (2) ist c R mit c a und c b, so gilt auch c g ( g ist der größte gemeinsame Teiler ). Wir bezeichnen die Menge aller größten gemeinsamen Teiler von a und b mit ggt(a,b). Ist 1 ggt(a,b), so heißen a und b teilerfremd. (b) Ein Element k R heißt kleinstes gemeinsames Vielfaches von a und b, wenn gilt: (1) a k und b k ( k ist ein gemeinsames Vielfaches ); (2) ist c R mit a c und b c, so gilt auch k c ( k ist das kleinste gemeinsame Vielfache ). Wir bezeichnen die Menge aller kleinsten gemeinsamen Vielfachen von a und b mit kgv(a,b). Beachte, dass durch unsere vielleicht etwas eigenwillig erscheinende Definition der Größe eines Teilers bzw. Vielfachen zunächst einmal überhaupt nicht klar ist, ob größte gemeinsame Teiler und kleinste gemeinsame Vielfache überhaupt existieren, und ob sie im Fall der Existenz eindeutig sind. Wir haben ggt(a, b) und kgv(a, b) daher vorsichtshalber erst einmal als Mengen definiert (die auch leer sein können oder mehr als ein Element enthalten können). In der Tat werden wir uns nun für den Rest dieses Kapitels mit dieser Existenz und Eindeutigkeit von größten gemeinsamen Teilern beschäftigen (der Fall der kleinsten gemeinsamen Vielfachen wird sich in Aufgabe dann relativ einfach daraus ergeben). Wir beginnen dabei mit der Eindeutigkeit, da deren Untersuchung deutlich einfacher ist als die der Existenz.

4 70 Andreas Gathmann Beispiel ((Nicht-)Eindeutigkeit des ggt). Im Ring R = Z betrachten wir die beiden Zahlen 4 mit den Teilern 4, 2, 1, 1, 2, 4 und 6 mit den Teilern 6, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 6. Die gemeinsamen Teiler von 4 und 6 sind also offensichtlich 2, 1, 1 und 2. Von diesen sind 2 und 2 nach Definition (a) größte gemeinsame Teiler, denn alle diese vier Teiler von 4 und 6 sind offensichtlich auch Teiler von 2 und 2. Also ist ggt(4,6) = { 2,2}. Insbesondere ist der größte gemeinsame Teiler also nicht eindeutig. Diese Nichteindeutigkeit besteht hier aber nur im Vorzeichen, also in der Möglichkeit, einen größten gemeinsamen Teiler noch mit der Einheit 1 von Z zu multiplizieren. Dies ist in der Tat ein allgemeines Phänomen, wie der folgende Satz zeigt. Satz ((Nicht-)Eindeutigkeit des ggt). Es sei R ein Integritätsring und g ein größter gemeinsamer Teiler zweier Elemente a,b R. Dann ist ggt(a,b) = R g = {cg : c R }. Ein größter gemeinsamer Teiler zweier Elemente in einem Integritätsring ist also stets eindeutig bis auf Multiplikation mit Einheiten. Beweis. : Es sei g ggt(a,b). Damit sind g und g größte gemeinsame Teiler von a und b. Wenden wir Teil (1) von Definition (a) auf g an, so sehen wir also, dass g a und g b. Damit können wir dann Teil (2) mit c = g anwenden und erhalten g g. Durch Vertauschen der Rollen von g und g ergibt sich genauso g g. Nach Lemma (b) folgt damit g = cg für ein c R. : Es sei g = cg für ein c R. Dann folgt g g und g g nach Lemma (b). Unter Benutzung der Transitivität der Teilbarkeitsrelation aus Bemerkung (a) erfüllt daher mit g auch g die beiden Eigenschaften aus Definition (a): (1) es gilt g g a und g g b; (2) ist d R mit d a und d b, so folgt d g g. Also ist auch g ein größter gemeinsamer Teiler von a und b. Bemerkung Der Beweis von Satz lässt sich durch Umkehren der Teilbarkeitsrelationen ganz analog auch für den Fall des kleinsten gemeinsamen Vielfachen führen. Nach der Eindeutigkeit kommen wir nun zur Existenz eines größten gemeinsamen Teilers. Mit der Vorstellung des Ringes Z im Hintergrund würden wir wahrscheinlich erwarten, dass zwei Elemente stets einen größten gemeinsamen Teiler besitzen. Leider ist dies im Allgemeinen jedoch nicht der Fall, wie die folgende Aufgabe zeigt. Aufgabe ((Nicht-)Existenz des ggt). Wir betrachten noch einmal den Ring R = Z[ 5i] = {a + b 5i : a,b Z} C wie in Aufgabe (a) Bestimme alle Teiler von 2, 1 + 5i, 2(1 + 5i) und 6 in R. (b) Zeige, dass die Elemente 2(1+ 5i) und 6 in R keinen größten gemeinsamen Teiler besitzen. Die Frage nach der Existenz eines größten gemeinsamen Teilers gestaltet sich also etwas schwieriger als erwartet. Gleichzeitig wollen wir von einem größten gemeinsamen Teiler natürlich auch nicht nur sehen, ob er existiert, sondern ihn im Fall der Existenz auch konkret berechnen können. Die Hauptidee hierfür liegt im folgenden Lemma. Lemma Es seien R ein Integritätsring und a,b,q R. Dann gilt: (a) a ggt(a,0); (b) ggt(a,b) = ggt(a,b + qa).

5 10. Teilbarkeit in Ringen 71 Beweis. (a) Da jedes Element von R nach Beispiel 10.9 (b) ein Teiler von 0 ist, sind die Eigenschaften eines größten gemeinsamen Teilers aus Definition (a) für a trivialerweise erfüllt. (b) Für alle c R gilt nach Bemerkung (b) c a und c b c a und c b + qa c a und c (b + qa) + ( qa) = b. Damit haben a und b die gleichen gemeinsamen Teiler wie a und b + qa. Insbesondere ist damit also ggt(a, b) = ggt(a, b + qa). Beispiel Unsere Strategie zur Berechnung eines größten gemeinsamen Teilers (und somit auch zum Nachweis seiner Existenz) wird es nun sein, in Lemma die Relation (b) mehrfach geschickt so anzuwenden, dass wir letztlich den Fall (a) erreichen, in dem wir einen größten gemeinsamen Teiler direkt ablesen können. Wir können also jeweils zu einem der Elemente ein beliebiges Vielfaches des anderen addieren und wollen so nach mehreren Schritten den Fall erreichen, bei dem eines der Elemente gleich 0 ist. Möchten wir z. B. ggt(44,10) in Z berechnen, so könnten wir mit dem Ergebnis aus Lemma wie folgt vorgehen: ggt(44,10) (b) = ggt( ,10) = ggt(4,10) (b) = ggt(4,10 2 4) = ggt(4,2) (b) = ggt(4 2 2,2) = ggt(0,2) (a) 2. Ihr seht natürlich sofort, welche Strategie ich hier angewendet habe: ich habe jeweils die größere Zahl mit Rest durch die kleinere geteilt und konnte sie mit Hilfe von (b) dann durch den Rest dieser Division ersetzen. Da die beteiligten Zahlen bei dieser Vorgehensweise in N bleiben und immer kleiner werden, ist natürlich klar, dass letztlich einmal eine der Zahlen gleich Null werden und das Verfahren somit funktionieren muss. Die entscheidende Idee bei diesem Verfahren ist also eine Division mit Rest. Eine solche gibt es zwar nicht in jedem Integritätsring, aber doch (wie wir sehen werden) in deutlich mehr Ringen als nur in Z. Wir wollen die Existenz einer solchen Division mit Rest daher jetzt als Eigenschaft eines Ringes definieren. Definition (Euklidische Ringe). Ein Integritätsring R heißt euklidischer Ring, wenn es eine Abbildung δ : R\{0} N mit der folgenden Eigenschaft gibt: für alle a,b R mit b 0 gibt es q,r R mit a = qb + r, so dass r = 0 oder δ(r) < δ(b) ist. (Es muss also eine Division mit Rest geben, wobei der Rest r sofern er nicht Null ist gemessen mit der Funktion δ stets kleiner ist als das Element, durch das man geteilt hat.) Eine Funktion δ mit dieser Eigenschaft wird als euklidische Funktion bezeichnet. Beispiel Der Ring Z ist mit der Funktion δ(n) := n ein euklidischer Ring. Beachte, dass die Division mit Rest im Sinne von Definition in diesem Fall nicht eindeutig ist: wollen wir z. B. a = 5 mit Rest durch b = 2 teilen, so wären sowohl 5 = ( 3) als auch 5 = ( 2) 2 1 wegen 1 = 1 < 2 erlaubte Ergebnisse. Dies ist jedoch nicht weiter schlimm, denn eine Eindeutigkeit der Division mit Rest wird im Folgenden nicht benötigt (und wurde in Definition ja auch nicht verlangt). Bevor wir untersuchen, wie man mit der Idee aus Beispiel in einem euklidischen Ring einen größten gemeinsamen Teiler zweier Elemente berechnen kann, wollen wir zuerst noch ein sehr wichtiges Beispiel eines weiteren euklidischen Ringes kennenlernen: den Polynomring über einem beliebigen Körper. In ihm existiert mit der sogenannten Polynomdivision ebenfalls eine Division mit Rest.

6 72 Andreas Gathmann Satz (Polynomdivision). Es sei K ein Körper. Dann ist der Polynomring K[t] mit der Gradfunktion δ( f ) := deg f ein euklidischer Ring. Mit anderen Worten gibt es also zu je zwei Polynomen f,g K[t] mit g 0 stets Polynome q,r K[t] mit f = qg + r und degr < degg. Beweis. Es seien n = deg f N { } und m = degg N. Wir zeigen den Satz mit Induktion über n. Der Induktionsanfang ist dabei trivial, denn für n < m können wir einfach q = 0 und r = f setzen. Es sei nun also n m. Man kann f und g dann schreiben als f = a n t n + + a 1 t + a 0 und g = b m t m + + b 1 t + b 0 mit a n,b m 0. Wir dividieren nun die jeweils höchsten Terme von f und g durcheinander und erhalten q := a n t n m K[t] b m (beachte, dass wir a n b m bilden können, weil K ein Körper ist, und t n m, weil wir n m vorausgesetzt haben). Dies wird unser erster Term im Ergebnis der Division. Subtrahieren wir nun q g von f, so erhalten wir f q g = a n t n + + a 1 t + a 0 a n b m t n m (b m t m + + b 1 t + b 0 ). Da sich in diesem Ausdruck der Term a n t n weghebt, ist deg( f q g) < n. Damit können wir die Induktionsvoraussetzung auf f q g anwenden und erhalten so Polynome q,r K[t] mit degr < degg und f q g = q g + r, also f = (q + q )g + r. Setzen wir nun q = q + q, erhalten wir offensichtlich genau den gewünschten Ausdruck. Beispiel Der Beweis von Satz ist konstruktiv, d. h. er gibt auch ein Verfahren an, mit dem man die Division von f K[t] durch g K[t]\{0} konkret durchführen kann: man muss einfach den höchsten Term von f durch den höchsten Term von g teilen, dies als ersten Teil q des Ergebnisses hinschreiben, und das Verfahren dann mit f q g fortsetzen so lange, bis der Grad dieses Polynoms kleiner ist als der von g. Wollen wir z. B. in R[t] das Polynom f = 2t durch g = t 2 dividieren, so können wir dies wie folgt aufschreiben (wobei wir im ersten Schritt zur Verdeutlichung die Notationen von oben noch mit an die Rechnung geschrieben haben): q g f q g (2t 2 + 1) : (t 2) = 2t + 4 (2t 2 4t) 4t + 1 (4t 8) 9 = 2t2 t =: q 11 Das Ergebnis ist also 2t = (2t + 4) (t 2) + 9 (d. h. q = 2t + 4 und r = 9). Zur Kontrolle der Rechnung kann man diese Gleichheit durch Ausmultiplizieren natürlich auch direkt überprüfen. Wir wollen nun zeigen, dass wir in einem euklidischen Ring einen größten gemeinsamen Teiler zweier gegebener Elemente stets wie in Beispiel konkret berechnen können. Darüber hinaus erhalten wir aus demselben Verfahren auch noch ein anderes sehr nützliches Resultat, nämlich dass wir einen solchen größten gemeinsamen Teiler dann immer als Linearkombination der ursprünglichen Elemente schreiben können. Satz (Euklidischer Algorithmus zur Bestimmung eines ggt). Es seien R ein euklidischer Ring und a 0,a 1 R zwei gegebene Elemente von R, von denen wir einen größten gemeinsamen Teiler bestimmen wollen.

7 10. Teilbarkeit in Ringen 73 Wir konstruieren nun wie folgt rekursiv eine (abbrechende) Folge a 0,a 1,a 2,...,a N in R: sind a 0,...,a n 1 R für ein n 2 bereits bestimmt und ist a n 1 0, so teilen wir a n 2 wie in Definition mit Rest durch a n 1 und erhalten so eine Darstellung für gewisse q n,r n R. Wir setzen dann a n := r n. Für die so konstruierte Folge gilt: a n 2 = q n a n 1 + r n (a) Das Verfahren bricht nach endlich vielen Schritten ab, d. h. es ist a N = 0 für ein N N. (b) a N 1 ggt(a 0,a 1 ). Das letzte a n, das nicht Null ist, ist also ein größter gemeinsamer Teiler von a 0 und a 1. (c) Für alle n = 0,...,N 1 lässt sich a N 1 in der Form a N 1 = d n a n + e n a n+1 für gewisse d n,e n R schreiben (man sagt, a N 1 ist eine Linearkombination von a n und a n+1 ). Insbesondere ist der größte gemeinsame Teiler a N 1 ggt(a 0,a 1 ) also eine Linearkombination von a 0 und a 1. Beweis. Der Beweis aller dieser Aussagen ist sehr einfach und folgt im Prinzip der Idee von Beispiel 10.20: (a) Angenommen, die Folge a 0,a 1,a 2,... würde nicht abbrechen, d. h. es wäre a n 0 für alle n N. Nach der Definition eines euklidischen Ringes wäre dann δ(a n ) = δ(r n ) < δ(a n 1 ) für alle n 2. Die Zahlen δ(a n ) müssten für n 2 also eine unendliche, streng monoton fallende Folge natürlicher Zahlen bilden, was offensichtlich nicht möglich ist. (b) Für alle n 2 gilt Damit ist ggt(a n 1,a n ) = ggt(a n 1,r n ) (Definition von a n ) = ggt(a n 1,a n 2 q n a n 1 ) = ggt(a n 2,a n 1 ) (Lemma (b)) ggt(a 0,a 1 ) = ggt(a 1,a 2 ) = = ggt(a N 1,a N ) = ggt(a N 1,0) a N 1 nach Lemma (a). (c) Wir zeigen die Aussage mit absteigender Induktion über n; für n = N 1 ist sie mit d N 1 = 1 und e N 1 = 0 offensichtlich richtig. Ist nun n < N 1 und gilt die Aussage für alle größeren Werte von n, so folgt a N 1 = d n+1 a n+1 + e n+1 a n+2 (Induktionsvoraussetzung für n + 1) = d n+1 a n+1 + e n+1 r n+2 (Definition von a n+2 ) = d n+1 a n+1 + e n+1 (a n q n+2 a n+1 ) = e n+1 a n + (d n+1 e n+1 q n+2 )a n+1, d. h. wir können d n = e n+1 und e n = d n+1 e n+1 q n+2 setzen. Beispiel Wir wollen mit dem euklidischen Algorithmus einen größten gemeinsamen Teiler der ganzen Zahlen 11 und 9 berechnen und diesen als Linearkombination 11d + 9e mit d,e Z schreiben. Dazu setzen wir also a 0 = 11 und a 1 = 9 und berechnen wie rechts dargestellt die Folge a n. Für n 2 entsteht a n einfach dadurch, dass man den Rest der Division von a n 2 durch a n 1 hinschreibt. Die letzte Zahl ungleich Null ist hierbei a 3 = 1, d. h. 1 ist ein größter gemeinsamer Teiler von 11 und 9. Wollen wir diesen größten gemeinsamen Teiler 1 als Linearkombination von 11 und 9 schreiben, so machen wir dies gemäß dem Beweis von Satz (c) durch Rückwärtseinsetzen: die letzte nicht aufgehende Division liefert uns a 0 = 11 a 1 = 9 a 2 = 2 a 3 = 1 a 4 = 0 11 = = =

8 74 Andreas Gathmann 1 = , d. h. 1 als Linearkombination der Zahlen a 1 = 9 und a 2 = 2. Die Division dadrüber liefert genauso 2 = , und Einsetzen ergibt damit die gesuchte Linearkombination 1 = ( ) = ( 4) Bemerkung Der euklidische Algorithmus besagt natürlich insbesondere, dass in euklidischen Ringen (also z. B. in Z und in dem Polynomring über einem Körper, siehe Satz 10.23) stets ein größter gemeinsamer Teiler zweier Elemente existiert. Fassen wir also die Ergebnisse dieses Kapitels zur Existenz und Eindeutigkeit von größten gemeinsamen Teilern sowie zusammen, so sehen wir also: In einem euklidischen Ring existiert zu je zwei Elementen stets ein größter gemeinsamer Teiler. Er ist bis auf Multiplikation mit Einheiten eindeutig bestimmt und kann mit dem euklidischen Algorithmus berechnet werden. Notation (ggt und ggt). In den für uns wichtigsten Fällen von euklidischen Ringen können wir die Nichteindeutigkeit des größten gemeinsamen Teilers in Bemerkung leicht durch eine Konvention beseitigen: (a) Im Ring R = Z ist die Einheitengruppe Z = {1, 1}. In diesem Fall besitzen zwei beliebige ganze Zahlen m, n Z also stets einen eindeutigen nicht-negativen größten gemeinsamen Teiler, den wir im Folgenden mit ggt(m, n) Z bezeichnen werden im Unterschied zur Menge ggt(m,n) = {ggt(m,n), ggt(m,n)} Z. (b) Im Polynomring R = K[t] über einem Körper K ist K[t] = K = K\{0} nach Lemma 10.3 (c), d. h. der größte gemeinsame Teiler zweier Polynome ist eindeutig bis auf Multiplikation mit einer Konstanten ungleich 0. In diesem Fall existiert zu zwei Polynomen f,g K[t], die nicht beide gleich Null sind, also stets ein eindeutiger normierter größter gemeinsamer Teiler, den wir wieder mit ggt( f,g) K[t] bezeichnen. Aufgabe (a) Berechne alle größten gemeinsamen Teiler der Polynome f = t 5 +t + 1 und g = t 4 +t in Z 2 [t] und stelle diese in der Form a f + bg mit a,b Z 2 [t] dar. (b) Die reelle Funktion f : R R, f (x) = x 4 +2x 3 x 2 2x+2 besitzt an einer Stelle x 0 > 0 ein lokales Minimum mit Funktionswert f (x 0 ) = 1. Berechne diese Stelle x 0. (Die Ergebnisse über lokale Extrema reeller Funktionen aus den Grundlagen der Mathematik dürfen hierbei natürlich verwendet werden. Gesucht ist die exakte Lösung und nicht eine Näherung!) Aufgabe Zeige, dass der Ring Z[i] = {a + ib : a,b Z} (siehe Aufgabe 7.21 (a)) mit der Funktion δ(z) := z 2 ein euklidischer Ring ist. Ist der Ring Z[ 5i] ebenfalls ein euklidischer Ring? Aufgabe Zeige, dass für alle q,m,n N >0 mit q 1 gilt, dass ggt(q m 1,q n 1) = q ggt(m,n) 1. Bemerkung Nach dem euklidischen Algorithmus aus Satz lässt sich von zwei Elementen a, b eines euklidischen Ringes R stets ein größter gemeinsamer Teiler g bestimmen und als Linearkombination g = d a + e b der Ausgangselemente mit d, e R schreiben. Beachte, dass sich dann auch jeder größte gemeinsame Teiler von a und b als derartige Linearkombination schreiben lässt: jeder solche größte gemeinsame Teiler ist ja nach Satz von der Form cg für ein c R und kann damit natürlich als cg = cd a + ce b geschrieben werden. Eine sehr wichtige Anwendung des euklidischen Algorithmus ist, dass wir mit seiner Hilfe multiplikative Inverse in den Ringen Z n konkret berechnen können. Bisher hatten wir hierzu ja nur in Satz 7.11 gesehen, dass in Z n für eine Primzahl n jedes Element ungleich 0 ein multiplikatives Inverses besitzt wussten aber noch nicht, wie wir dieses ohne Ausprobieren bestimmen können.

9 10. Teilbarkeit in Ringen 75 Folgerung (Inversenberechnung in Z n ). Es sei n N >1 und k Z. Dann gilt k Z n ggt(k,n) = 1. Schreiben wir in diesem Fall mit dem euklidischen Algorithmus 1 = dk + en gemäß Bemerkung 10.32, so ist weiterhin k 1 = d in Z n. Beweis. Ist k eine Einheit in Z n, so gibt es ein d Z mit d k = 1. Es ist also 1 dk nz und damit dk + en = 1 für ein e Z. Ist nun c ein gemeinsamer Teiler von k und n, so teilt c nach Bemerkung (b) damit auch die Zahl dk + en = 1 und muss also gleich 1 oder 1 sein. Der (positive) größte gemeinsame Teiler von k und n ist also gleich 1. Ist ggt(k,n) = 1, so können wir (nach Bemerkung 10.32) dk + en = 1 für gewisse d,e Z schreiben. Durch Übergang zu den Restklassen in Z n erhalten wir daraus 1 = d k+en, wegen n = 0 also d k = 1 und damit k 1 = d. Beispiel Aus dem Ergebnis 1 = ( 4) von Beispiel erhalten wir sofort 5 1 = 9 Z 11. Zum Abschluss dieses Kapitels wollen wir nun noch sehen, wie man mit Hilfe von größten gemeinsamen Teilern Ideale, die durch mehrere Elemente erzeugt werden, einfacher schreiben kann. Lemma Es seien R ein euklidischer Ring, a,b R und g ein größter gemeinsamer Teiler von a und b. Dann ist (a,b) = (g) (wobei (a,b) und (g) wie in Definition 8.5 die von den Elementen a und b bzw. g erzeugten Ideale bezeichnen). Beweis. Wir zeigen die beiden Inklusionen der behaupteten Gleichheit separat. Wegen g a gilt (a) (g) nach Lemma und damit insbesondere a (g). Genauso folgt b (g). Das Ideal (g) enthält also die Menge {a,b} und nach Lemma 8.6 (b) damit auch das davon erzeugte Ideal (a,b). Nach Bemerkung können wir g = da + eb für gewisse d,e R schreiben. Also ist g (a,b) nach Definition 8.5 und damit auch (g) (a,b) nach Lemma 8.6 (b). Bemerkung Die Aussage von Lemma lässt sich leicht verallgemeinern: ist R ein euklidischer Ring und sind a 1,...,a n R sowie g ggt(a 1,a 2 ), so gilt (a 1,a 2,a 3,...,a n ) = (g,a 3,...,a n ) mit dem gleichen Beweis wie in Lemma Ist R ein euklidischer Ring, in dem nach Satz ja zu zwei beliebigen Elementen stets ein größter gemeinsamer Teiler existiert, so kann man dieses Verfahren also rekursiv anwenden und jedes Ideal, das von endlich vielen Elementen erzeugt wird, auch als von einem Element erzeugt schreiben: man muss nur fortlaufend zwei Erzeuger durch einen größten gemeinsamen Teiler von ihnen ersetzt. Ideale, die von nur einem Element erzeugt werden können, haben nach Beispiel 8.8 (a) natürlich eine sehr einfache Darstellung: sie bestehen gerade aus den Vielfachen dieses einen Elementes. Derartige Ideale haben daher einen besonderen Namen: Definition (Hauptideale). Es sei R ein Integritätsring. (a) Ein Ideal der Form (a) für ein a R (also eines, das von nur einem Element erzeugt werden kann) nennt man ein Hauptideal. (b) Man bezeichnet R als einen Hauptidealring, wenn jedes Ideal in R ein Hauptideal ist.

10 76 Andreas Gathmann Nach Bemerkung ist in einem euklidischen Ring R also jedes Ideal, das von endlich vielen Elementen erzeugt werden kann, ein Hauptideal. Beachte, dass dies noch nicht besagt, dass R auch ein Hauptidealring ist, da ein Ideal ja nicht notwendig von endlich vielen Elementen erzeugt werden muss. Dennoch ist diese Aussage richtig wir benötigen nur einen anderen Beweis dafür: Satz Jeder euklidische Ring ist ein Hauptidealring. Beweis. Es sei I ein Ideal in einem euklidischen Ring R. Ist I = {0}, so sind wir offensichtlich fertig, denn dann ist ja I = (0). Andernfalls wählen wir ein Element g I\{0}, für das die euklidische Funktion δ minimal ist ein solches Element existiert in jedem Fall, da δ ja nur natürliche Zahlen als Werte annimmt und jede nicht-leere Menge natürlicher Zahlen ein Minimum besitzt. Wir behaupten nun, dass I = (g) gilt und I somit ein Hauptideal ist. Die Inklusion I (g) ist dabei wegen g I klar nach Lemma 8.6 (b). Für die umgekehrte Inklusion I (g) sei a I beliebig. Wir dividieren a gemäß Definition mit Rest durch g und erhalten a = qg + r für gewisse q,r R mit r = 0 oder δ(r) < δ(g). Wegen a I und g I ist nun aber auch r = a qg I nach Definition 8.1. Da g ein Element mit minimaler euklidischer Funktion in I war, kann also nicht δ(r) < δ(g) gelten. Damit ist notwendigerweise r = 0, und mit ( ) folgt a = qg (g). Beispiel Nach Beispiel und Satz sind Z sowie der Polynomring K[t] über einem Körper K euklidische Ringe, mit Satz also Hauptidealringe. In der Tat sind dies ohne Zweifel die beiden wichtigsten Beispiele für Hauptidealringe. Bemerkung Der Beweis von Satz zeigt auch, wie man ein gegebenes Ideal I in einem euklidischen Ring R als Hauptideal schreiben kann: es gilt stets I = (g) für ein beliebiges g I\{0} mit minimaler euklidischer Funktion. Beispiel Betrachten wir das von zwei Elementen erzeugte Ideal I = (4,6) Z, so können wir jetzt auf zwei verschiedene Arten sehen, dass sich dieses Ideal auch einfacher als Hauptideal schreiben lässt: (a) Wegen ggt(4,6) = 2 ist I = (2) nach Lemma (b) Nach Definition 8.5 ist I = {4n + 6m : n,m Z}. Offensichtlich liegt weder 1 noch 1 in I, da jedes Element von I eine gerade Zahl ist. Andererseits ist aber 2 = I. Also ist 2 ein Element mit minimalem Betrag in I\{0}. Da der Betrag im Ring Z nach Beispiel ja als euklidische Funktion gewählt werden kann, folgt also auch hieraus I = (2) mit Bemerkung Aufgabe Betrachte noch einmal die Polynome f = t 5 +t + 1 und g = t 4 +t in Z 2 [t] aus Aufgabe (a). Liegt das Polynom t 3 +t 2 in dem von f und g erzeugten Ideal ( f,g)? Aufgabe Es sei R = Z[ 5i] = {a + b 5i : a,b Z} C wie in den Aufgaben 7.21 und Zeige, dass (2,1 + 5i) kein Hauptideal ist. Aufgabe Es sei R ein Integritätsring. Zeige, dass dann die folgenden drei Aussagen äquivalent sind: (a) R ist ein Körper. (b) R[t] ist ein euklidischer Ring. (c) R[t] ist ein Hauptidealring. Aufgabe Es sei K ein Körper. Zeige, dass jedes Ideal I K[[t]] mit I (0) von der Form (t n ) für ein n N ist. Insbesondere ist K[[t]] also ein Hauptidealring. ( )

11 10. Teilbarkeit in Ringen 77 Aufgabe Es sei I 0 I 1 I 2 eine Folge von Idealen in einem Ring R, von denen jedes im nächsten enthalten ist (man spricht in diesem Fall auch von einer aufsteigenden Kette von Idealen). Man zeige: (a) Die Vereinigung n N I n aller dieser Ideale ist wieder ein Ideal in R. (b) Ist R ein Hauptidealring, so ist die Kette von Idealen ab einem gewissen Glied konstant, d. h. es gibt ein n 0 N mit I n = I n0 für alle n n 0.