Mathematik Name: Nr.4 K1 Punkte: /30 Note: Schnitt:

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Miriam Armbruster
vor 7 Jahren
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1 K Punkte: / Note: Schnitt: Pflichtteil (etwa 4 min) Ohne Taschenrechner und ohne Formelsammlung (Dieser Teil muss mit den Lösungen abgegeben sein, ehe der GTR und die Formalsammlung verwendet werden dürfen.) Aufgabe : [P] Bilden Sie die Ableitung der Funktion f mit f ( ) 4 e Aufgabe : [P] Berechnen Sie das Integral 4 d Aufgabe : [P] Gegeben sind die Funktionen f und g mit f ( ) cos( ) und g( ) cos. a) Beschreiben Sie, wie man den Graphen von g aus dem Graphen von f erhält. b) Bestimmen Sie die Nullstellen von g für 4 4 Aufgabe 4: [P] Lösen Sie für die Gleichung e e Aufgabe 5: [5P] Eine Funktion f hat folgende vier Eigenschaften: a) f () b) f '() c) f "(4) und f "'(4) d) Für und gilt: f( ) 5. a) Beschreiben Sie für jede dieser vier Eigenschaften, welche Bedeutung sie für den Graphen von f hat. b) Skizzieren Sie einen möglichen Verlauf des Graphen.

2 K Punkte: / Note: Schnitt: Wahlteil (etwa 4 min) Mit GTR und Formelsammlung nach Abgabe des Pflichtteils kann der GTR und die Formelsammlung verwendet werden.,5 Aufgabe 6: Gegeben ist die Funktion f mit f ( ) e. Ihr Graph ist K. a) [4P] K besitzt einen Etrempunkt und einen Wendepunkt. Geben Sie deren Koordinaten an. Geben Sie eine Gleichung der Asymptote von K an. Skizzieren Sie K. b) [4P] Für jedes u > sind O( ), P(u ) und Q(u f(u)) die Eckpunkte eines Dreiecks. Bestimmen Sie einen Wert für u so, dass dieses Dreieck den Flächeninhalt 8 hat. Für welchen Wert von u ist das Dreieck gleichschenklig? c) [P] Auf der -Achse gibt es Intervalle der Länge, auf denen die Funktion f den Mittelwert, besitzt. Bestimmen Sie die Grenzen eines solchen Intervalls. Aufgabe 7: [4P] Gegeben ist für jedes t > eine Funktion f t gegeben durch. f ( ) t t. Bestimmen Sie t so, dass die beiden Etrempunkte des Graphen von f t den Abstand voneinander haben. Ruhig und überlegt rechnen! Beschreibenden Tet nicht vergessen. Viel Erfolg.

3 K Punkte: / Note: Schnitt: Lösung Mit der Faktor-, Summen-, Ketten- und Potenzregel folgt mit der Kenntnis über die Ableitung der Eponentialfunktion für die Ableitung von f: f '( ) 4 e 4 e 4 e 6e oder Lösung 4 d ( ) 4 d Dabei wurden die Potenzregel genutzt sowie die lineare Substitution. Lösung 4 e e 4 e ln ln e Lösung 4 a) g( ) cos geht aus f ( ) cos( ) hervor durch Verschiebung längs der y-achse um - (also um nach unten). Die Amplitude wird verdoppelt. Es erfolgt eine Streckung in -Richtung mit dem Faktor (die Periode wird dabei zu p=4 -- cos(b) hat die Amplitude p 4 ) b b) Aus g ( ) cos cos Der Kosinus ist, wenn das Argument (das was in der Klammer von cos(..) steht) ein ganzzahliges Vielfaches von ist, also ; k k bzw. 4k. Im angegebenen Intervall trifft das für k oder k ; 4 zu. Lösung 5 Die Angaben liefern der Reihe nach folgende Informationen über den Graphen von f: () Der Punkt P( ) ist ein Punkt des Graphen von f. () f hat an der Stelle = eine waagrechte Tangente an den Graphen von f. () Der Graph hat an der Stelle = 4 eine Wendestelle. (4) Die Parallele zur -Achse mit der Gleichung y = 5 ist waagrechte Asymptote des Graphen von f.

4 K Punkte: / Note: Schnitt: Ein möglicher Verlauf des Graphen wäre damit Lösung 6 K: f() = e,5 a) Etrem- und Wendepunkt von K Mit Hilfe des GTR ergeben sich aus dem Schaubild von K der Hochpunkt H(; 7,6) [Berechnung >G_solve >Ma ] und der Wendepunkt W(4; 5,4) [Berechnung der Ableitung >Optn >Calc >F, Eingabe von >F=Y >und Berechnung des Hochpunktes von f () ist ein bißchen langwierig!, nur F () zeichnen! Vorsicht, f() muss noch berechnet werden!!!]. [Genaue Werte per Hand : H(;/e) und W(4;4/e ) dazu Ableitungen,5,5,5 f '( ) e 5 e 5 e f ''( ) 5 e 5 (,5) e,5 e Asymptote von K,5,5,5 Die Asymptote von K ergibt sich aus der Grenzwertbetrachtung lim e,5 =. Damit lautet die Asymptote y =

5 K Punkte: / Note: Schnitt: b) Bestimmung von u beim Dreieck OPQ mit Flächeninhalt 8 Mit der Formel A=,5ghg für den Flächeninhalt eines Dreiecks ergibt sich der Flächeninhalt A(u) =,5 u f(u) A(u) = u u e,5u = 5 u e,5u Aus der Bedingung A(u) = 8 ergibt sich mit dem GTR für u,8 [Berechnung mit Intersect von A(u) und 8]. Bestimmung von u für die Gleichschenkligkeit des Dreiecks OPQ Da es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt, können nur die beiden Katheten gleich sein. Demnach gilt f(u) = u. Aus der Bedingung u e,5u = u ergibt sich mit dem GTR [Berechnung mit Intersect von u und f(u)] für u 4,6 [Genauer Wert u = ln]. c) Grenzen des Intervalls der Länge mit Mittelwert, a sei die linke Grenze des Intervalls, die rechte Grenze lautet demnach a+. Es ergibt sich der Ansatz a+ f(u)du =,. Mit dem GTR ergibt sich für a der Wert a a a+ 5,5 [Intervallschachtelung: Berechnung von f(u)du 6,6 und Änderung von a a bis das Ergebnis auf zwei Stellen ergibt]. Das Intervall lautet [5,5;8,5]. Lösung 7 Aus der Bedingung f t () = berechnen sich mit f t () = t die Etremwertstellen = t und = - t und den y-werten y = t und y = t. Durch die Punktsymmetrie genügt die Betrachtung des Abstandes von O zum Etrempunkt mit t >. Mit dem Pythagoras ergibt sich für den Abstand d(t) = t + ( t ). Gleichsetzen mit = 6,5 ergibt für t den Wert t,7.

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