Digitalisierung. Abtasttheorem Quantisierung Pulse-Code-Modulation Übungen Literatur und Quellen. Signale und Systeme VL 5

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1 Digitalisierung Abtasttheorem Quantisierung Pulse-Code-Modulation Übungen Literatur und Quellen Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 1

2 Digitalisierung analoger Signale 4 Schritte Bandbegrenzung Abtastung Quantisierung Encodierung bandbegrenztes analoges Signal zeitdiskretes Signal digitales Signal Bitfolge analoger Tiefpass x(t) x[n] [x[n]] Q Abtaster Quantisierer Encoder b n f g Grenzfrequenz f A Abtastfrequenz Quantisierungskennlinie Codetabelle x (t) x[n] [x[n]] Q t n n a b c d Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 2

3 Abtastung (a) Wie häufig muss abgetastet werden? x(t) Abtastwert lineare Interpolation Original t / T A1 x(t) T A1 > T A t / T A2 (b) Mehrdeutigkeit der Abtastwerte? x(t) x[0] 1 0 x 1 (t) x 2 (t) x[10] t / T A Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 3

4 Ideale Abtastung Ideale Abtastung + + ( ) = ( ) δ ( ) = [ ] δ ( ) x t xt t nt xn t nt A A A n= n= Abtastfolge Abtastintervall und Abtastfrequenz xn [ ] = xt ( = nt A ) T A = 1 f A Spektrum + 1 2π X ( jω) = X ( j[ ω k ω ]) mit ω = T A A A TA k = A Periodische Wiederholung des Originalspektrums im Abstand ω A Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 4

5 Spektrale Überfaltung X(jω ) ω g ω A ω X A (jω ) Abtastung f A > 2 f g ω A ω g ω A ω a f A = 2 f g ω A ω g ω A ω b Aliasing f A < 2 f g ω A ω g ω A ω Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 5

6 Spiegelfrequenz X(jω ) ω A 0 ω 1 ω 2 ω A ω X A (jω ) Abtastung ω A 0 ω 1 ω A ω ω S = ω A ω 2 X(e jω ) Zeitdiskret π 0 Ω 1 Ω π Ω = 2π f / f A Grundperiode Ω S = 2π Ω Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 6

7 Abtasttheorem Eine Funktion x(t), deren Spektrum für f f g null ist, wird durch die Abtastwerte x[n] = x(t = n T A ) vollständig beschrieben, wenn das Abtastintervall T A so gewählt wird, dass T A 1 1 = f 2 f A g a Die Funktion kann durch die si-interpolation des idealen Tiefpasses vollständig aus den Abtastwerten rekonstruiert werden. interpoliertes Signal x(t) si-funktion x[n] x[n+1 ] b + ( A A ) ( ) = [ ] si π [ ] xt xn f t nt n= n n+1 t / T A Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 7

8 Spektrum der Abtastfolge X A xn t nt t xn X n= n= ( ) [ ] ( ) j ωt j [ ] j Ωn ( j Ω ω = δ A e d = e = e ) ω = Ω T A a 1 X X k T + jω ( e ) = ( j[ ω ωa ]) A k = ω=ω T A X(jω ) A ω b Abtasttheorem eingehalten kein Aliasing ω A /2 0 ω g ω A /2 Ω= 2π f f A π A/T A X(e jω ) 0 Ω g Ω π Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 8

9 Quantisierung Grauwertbilder mit den Wortlängen 8, 4, 2 bzw. 1 Bit Rosa Louise Parks ( ) und Dr. Martin Luther King ( ), Aufnahme circa 1955 Bildquelle: Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 9

10 Gleichförmige Quantisierung 1 x(t) x[n] Quantisierungsintervalle 7 Code 111 Amplitude 0 Quantisierung t/t A n b c a Abtastung Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 10

11 Interpolation Code 111 Repräsentanten 7 1 x(t) Amplitude 0 x(t T A /2) x Q (t) t / T A Abtast-Halteglied Treppenkurve Tiefpass Glättung Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 11

12 Quantisierungskennlinie Gleichförmige Quantisierung mit der Wortlänge w in bit Quantisierungsintervallbreite (-stufe) Q Q 2 = = 2 w bit 2 ( w bit 1) Kennlinie [x] Q 1 7/8 Sättigungskennlinie 5/8 a 2 Probleme Übersteuerung 3/8 1/8 0 1/8 x Granulares Rauschen 3/8 5/8 7/ /4 1/2 1/4 0 1/4 1/2 3/ Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 12

13 Quantisierungsgeräusch Modell Additives (Quantisierungs-)Rauschen Eingangssignal x(t) Quantisiertes Signal [x(t)] Q = x(t) + (t) Fehlersignal (t) Testsignal Sägezahn 1 [x(t)] Q Sägezahnsignal x(t) Fehlersignal (t) 0 t Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 13

14 Quantisierungsgeräusch SNR Leistung des Nutzsignals 0 T 0 /2 2 T t 1 ( ) S= xt dt= dt= T T T Leistung des Quantisierungsgeräusches ( ) 0 0 T Q Q N = t dt T = = S 13 2w bit Signal-Quantisierungsgeräuschverhältnis SNR = = = 2 N 2 Q 12 a SNR db w bit ( ) S w = 10 log db = 10 log 2 db = 6 db N bit 6dB-pro-Bit-Regel Für eine symmetrische gleichförmige Quantisierung mit hinreichender Wortlänge und Vollaussteuerung gilt w SNR db = 6 db bit Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 14

15 Pulse-Code-Modulation in der Telefonie ADU DAU Digitale Nachrichtenübertragung DAU ADU Wie sind Abtastfrequenz und Wortlänge zu wählen? Bitrate R b = f A w PCM in der Telefonie R b = 64 kbit/s mit f A = 8 khz und w = 8 bit Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 16

16 PCM Abschätzung der Wortlänge Abschätzung der Wortlänge Relative Störamplitude max. 5 % Dynamik 40 db SNR 1 10 log db 26 db 0,05 db 10 2 a SNR in db db Dynamikbereich S in db Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 17

17 PCM Weber-Fechner-Gesetz Ernst Heinrich Weber ( ), Gustav Theodor Fechner ( ) Weber-Fechner-Gesetz der Psychophysik - Empfindung E ist eine Funktion der Stärke des Sinnesreizes S E(S) - Experiment (mit nicht extremen Reize): Um wie viel muss der Sinnesreiz S erhöht werden, damit ein Unterschied gerade noch erkennbar ist? Differenzlinien S im E-S-Diagramm a Weber-Konstante K K K = S S Empfindung E K K S 3 S 4 K: Differenzielle Wahrnehmbarkeitsschwelle für Lautheit 0,1 0,2 für Helligkeit 0,02 0,05 usw. K S 1 S 2 Sinnesreiz S Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 18

18 PCM Logarithmische Adaption Kennlinie K E = de ds = S S 1 S Empfindung E K K K S 2 S 3 S 4 ( ) ( ) E S = c ln S + konst. S 1 Sinnesreiz S Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 19

19 Kompandierung Kennlinie Kompressor ADU und DAU mit gleichförmiger Quantisierung Expander Codierer Decodierer b 13-Segment-Kennlinie 8 Bit 1 VZ 3 8 Segmente (Verstärker) 4 gleichförmige Quantisierung mit einem Quantisierer für alle Segmente 1 [x] Q 3/4 1/2 1/4 Segment A B C D E F G1 G2 0 1/8 1/4 1/2 x Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 20

20 Kompandierung durch Codierung von 12 Bit auf 8 Bit Segment Wertebereich Gleichförmige Quantisierung mit w = 12 bit und Vorzeichen a V PCM-Format mit Vorzeichen V und Segmentanzeige A (7) 2 1 x < 1 V 1XX XX V 111 XXXX B (6) 2 2 x < 2 1 V 01X XXX V 110 XXXX C (5) 2 3 x < 2 2 V 001 XXXX ---- V 101 XXXX D (4) 2 4 x < 2 3 V 000 1XXX X--- V 100 XXXX E (3) 2 5 x < 2 4 V XX XX-- V 011 XXXX F (2) 2 6 x < 2 5 V X XXX- V 010 XXXX G1 (1) 2 7 x < 2 6 V XXXX V 001 XXXX G2 (0) 0 x < 2 7 V XXXX V 000 XXXX a V gleich 1 für x Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 21

21 13-Segment-Kennlinie Modellrechnung Effektive Wortlänge Segment Q w eff in bit SNR A B C D E F G1 G db SNR SNR in db w eff in bit Dynamikbereich S in db Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 22

22 Simulationsbeispiel Messeinrichtung Digitalisierte Rundfunksprache 44,1 khz, 16 Bit, mono Sprachsignal x[n] Quantisierer Multiplizierer a Verstärkung Q (.) 2 [n] w Wortlänge Sprachsignal Addierer Fehlersignal (.) 2 Quadrierer Akkumulierer Indikator Signalleistung Indikator Rauschleistung SNR-Schätzung Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 23

23 Simulationsbeispiel Rundfunksprache 40 mit 13-Segmentkennlinie 36 SNR in db Untersteuerung Dynamikbereich gleichförmige Quantisierung mit 8 Bit Übersteuerung S in db Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 24

24 Hörbeispiele MATLAB Bandbegrenzung Telefonie Hz FM-Rundfunk Hz Quantisierung gleichförmig (midrise) logarithmische PCM (13-Segment-Kennlinie) Wortlängenverkürzung bits Aussteuerung db Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 25

25 Zusammenfassung Mind Map 8 Bit 8 khz 64 kbit/s Hz Telefonie Weber-Fechner- Gesetz Pulse Code Modulation Abtastung Digitalisierung Spektrum Abtasttheorem Spiegelfrequenz Aliasing Abtastfrequenz Grenzfrequenz si-interpolation Quantisierungskennlinie 13-Segment- Kennlinie Kompandierung Quantisierung Wortlänge SNR Quantisierungsrauschen 6dB-Pro- Bit-Regel Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 26

26 Übung 5.1 PC-Sound-Card Eine Sound-Card eines PCs bietet drei Optionen für Audioaufnahmen mit den Angaben: Telefon ( f A = 11,025 khz, PCM 8 Bit, Mono), Rundfunk ( f A = 22,05 khz, PCM 8 Bit, Mono), CD-AD ( f A = 44,1 khz, PCM 16 Bit, Stereo) Beantworten Sie folgende Fragen: a) Wie groß darf bei der Telefonqualität die maximale Frequenz im Audiosignal sein? b) Schätzen Sie das Signal-Quantisierungsgeräusch-Verhältnis für die CD-AD- Qualität ab. c) Zur Speicherung der Aufnahme steht eine Solid-State-Disk mit 256 MB zur Verfügung. Wie viele Minuten eines Audiosignals können in AD-CD-Qualität gespeichert werden? Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 27

27 Übung 5.2 Digitalisierung In der Abbildung ist ein Ausschnitt eines Signals u(t) gezeigt. Es gelte max u(t) = 1. Das Signal soll beginnend bei t = 0 mit der Abtastfrequenz f A = 1 khz und der Wortlänge von 3 Bit bzgl. des gesamten Aussteuerungsbereiches digitalisiert werden. a) Markieren Sie die Abtastwerte in der Abbildung. b) Nummerieren Sie die Quantisierungsintervalle durch und tragen Sie die BCD-Codierung in die Abbildung ein. c) Bestimmen Sie den Bitstrom zu den Abtastwerten. d) Geben Sie die zugehörige quantisierte Signalfolge (Repräsentanten) an. e) Zeichnen Sie die sich aus den Repräsentanten ergebende interpolierende Treppenfunktion zu u(t) Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 28

28 1 x(t) Übung 5.2 Digitalisierung Abbildung zur Aufgabenstellung. 0 t in ms Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 29

29 Übung 5.3 Digitalisierung a) Erklären Sie kurz in Worten das Phänomen das Aliasing. b) Erläutern Sie den Zusammenhang des Spektrums eines analogen Signals und seiner Abtastfolge anhand einer Skizze, wenn das Abtasttheorem eingehalten wird. In welchem Verhältnis stehen insbesondere die Kreisfrequenz ω und die normierte Kreisfrequenz Ω? a) Warum ist die 6dB-pro-Bit-Regel nur eine Faustformel? b) Was versteht man unter der logarithmischen Adaption? Und welche Konsequenzen hat sie? c) Erklären Sie das Prinzip der Kompandierung bei Audiosignalen a) Nennen sie zwei grundsätzliche Probleme, die bei der Analog-Digital-Umsetzung auftreten können. b) Wie können die beiden Probleme in (a) beseitigt bzw. abgemildert werden? c) Wie groß ist Abtastfrequenz, die Wortlänge und die Bitrate der üblichen Sprachübertragung in der Telefonie Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 30

30 Übung 5.4 Ja-Nein-Fragen: Kreuzen Sie alle richtigen Aussagen an. Bei der gleichförmigen Abtastung einer Sinusfunktion muss diese mit zwei Werten pro Periode abgetastet werden. 1 2 Die Abtastfrequenz muss größer oder gleich dem Zweifachen der Signalgrenzfrequenz f g sein. Die Digitalisierung eines analogen Signals erfolgt in den vier Schritten von der Bandbegrenzung, Quantisierung, Encodierung bis zur Abtastung. Wird das Abtasttheorem eingehalten, geht bei der Abtastung keine Signalinformation verloren. 3 Die Quantisierung ist im allgemeinen ein irreversibler Prozess. 4 Die Frequenz f i des analogen Signals und die normierte Frequenz Ω i der Abtastfolge hängen so zusammen Ω i = f i / f A. 5 Das Quantisierungsgeräusch wird durch ein additives Fehlersignal beschrieben. 6 Bei der Log-PCM steigt das SNR um 6 db für jedes Bit an zusätzlicher Wortlänge Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 31

31 Übung 5.5 Lückentext: Ergänzen Sie die Texte sinngemäß. FM-Rundfunksignale sind bandbegrenzt auf den Bereich von 30 Hz bis 15 khz. 1 Bei Verletzung des Abtasttheorems tritt auf. 2 Telefonsprache wird meist mit der Frequenz von abgetastet. 3 Das Quantisierungsrauschen wird im Blockdiagramm als dargestellt. 4 Aus der 12-Bit-Darstellung wird im PCM-Format. 5 6 Aus der 12-Bit-Darstellung wird im PCM-Format. Bei gleichförmiger Quantisierung wächst das SNR mit jedem Bit an zusätzlicher Wortlänge um Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 32

32 Übung 5.6 Ja-Nein-Fragen: Kreuzen Sie alle richtigen Aussagen an. Nach dem weberschen Gesetz führt eine Verdopplung des Sinnesreizes auf eine Verdopplung der Stärke der Empfindung. Die Psychophysik ermöglicht es, subjektive Empfindungen mit naturwissenschaftlichen Methoden zu erfassen. 1 Die PCM stellt Telefonsprache mit der Bitrate von 64 kbit/s dar. 2 Bei der Implementierung der 13-Segment-Kennlinie wird ein 13-Bit-Quantisier eingesetzt. 3 Der Begriff Kompandierung leitet sich von den Wörtern Kompressor und Expander ab. 4 Das PCM-Wort steht für den Wert Bei der gleichförmigen Quantisierung ist die Leistung des Quantisierungsrauschen ist Q 2. 6 Bei gleichförmiger Quantisierung ist die Breite eines Quantisierungsintervalls 2 w/bit Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 33

33 Literatur und Quellen GIROD B., RABENSTEIN R. & STENGER A. (2007) Einführung in die Systemtheorie. Signale und Systeme in der Elektrotechnik und Informationstechnik (4. Aufl. ). Wiesbaden: Teubner OPPENHEIM A. V., WILLSKY A. S. & NAWAB S. H. (1997) Signals & Systems (2nd ed.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall TIETZE U. & SCHENK CH. (2010) Halbleiterschaltungstechnik (13. Aufl.). Heidelberg: Springer WERNER M. (2008) Signale und Systeme. Lehr- und Arbeitsbuch mit MATLAB-Übungen und Lösungen (3. Aufl.). Wiesbaden: Vieweg+Teubner WERNER M. (2009) Nachrichtentechnik. Eine Einführung für alle Studiengänge (7. Aufl.). Wiesbaden: Vieweg+Teubner Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 34