Wurzeln. bestimmen. Dann braucht man Wurzeln. Treffender müsste man von Quadratwurzeln sprechen. 1. Bei Quadraten, deren Fläche eine Quadratzahl ist,

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1 Seitenlängen von Qudrten lssen sich mnchml sehr leicht und mnchml etws schwerer Wurzeln bestimmen. Dnn brucht mn Wurzeln. Treffender müsste mn von Qudrtwurzeln sprechen. Sie stehen in enger Beziehung zu Qudrtzhlen. 1. Bei Qudrten, deren Fläche eine Qudrtzhl ist, lässt sich die Seitenlänge einfch bestimmen. Bestimme die Seitenlänge der einzelnen Qudrte. Grundwissen Wurzeln Ds Ziehen der Qudrtwurzel ist die Umkehropertion des Qudrierens. Gesucht ist lso die positive Zhl, die mit sich selbst multipliziert die Zhl unter dem Wurzelzeichen ergibt. Zum Beispiel: Welche Zhl im Qudrt ergibt? = 8 8 = 8 denn 8 = Mn schreibt uch =, > 0 Es gilt dher uch 1 = 1 und dmit 1 1 Die Zhlen mit gnzzhligen Wurzeln sind die Qudrtzhlen. Die Wurzeln von ntürlichen Zhlen sind entweder ntürlich oder unendliche nicht periodische Dezimlbrüche, zum Beispiel: 7 =, Solche Zhlen nennt mn irrtionle Zhlen. Die zugehörige Menge heißt. Die Zhl unter der Wurzel nennt mn Rdiknd. Dher spricht mn sttt vom Wurzel ziehen uch vom Rdizieren.. Bei Qudrten, deren Flächenmßzhl A keine Qudrtzhl ist, bezeichnet mn die Seitenlänge mit A. Sprich: Wurzel us A. Wie groß sind folgende Wurzeln ungefähr?, 0, 0, 0, 50, 0, 70, 80, 0. Zwischen welchen ntürlichen Zhlen liegt die Wurzel? Beispiel: 1 d 9 < 1 < 1 7, 5, 5, 80, 1, 150, 00,, 90, 00, 000. Bestimme folgende Wurzeln und formuliere eine Gesetzmäßigkeit. ) 10000, 100, 1, 0,1, 0,001 b) 000, 0, 1, 1,, 0,01 5. Finde mindestens (ntürliche oder rtionle) Zhlen zwischen 1 und 5, us denen du die Wurzel genu bestimmen knnst.. Finde weitere Beispiele. ) Die Wurzel ist eine ntürliche Zhl: b) Die Wurzel ist ein Dezimlbruch mit einer Stelle nch dem Komm: 11,5, c) Die Wurzel ist ein Dezimlbruch mit mehreren Stellen nch dem Komm: 1,795 1, d) Die Wurzel ist größer ls die ursprüngliche Zhl: 0, 0,58 e) Die Wurzel liegt zwischen 0 und 1: 00, 01 0,1 f) Die Wurzel ist kleiner ls 1: 0,5 0,707...

2 Rechenregeln für Wurzeln 8. Qudriere ohne Tschenrechner ) ² (²)² (³)² ( )² 5 ( )² ( )² b) ( )² ² ( )² ( 8)² ( )² ( )² c) ² 0² ( )² 00² (0 )² Welche Rechenregel ergibt sich? = = Ergänze: Qudrieren und Wurzelziehen 9. Richtig oder flsch? Kreuze n und kontrolliere mit dem Tschenrechner. 9 1 r f,5,5,5 r f r f 8 r f r f 1 1 r f r f 0,5 0,5 r f Mrkus behuptet b b. Ws sgst du dzu? Gilt ds uch für b b?. Richtig oder flsch? Kreuze n und kontrolliere mit dem Tschenrechner. 7 1 r f 8 r f 9 r f,5 1, 1,8 r f Welche Rechenregel ergibt sich? 11. Richtig oder flsch? Kreuze n und kontrolliere mit dem Tschenrechner. 15 : = 5 r f 8 : r f : 9 r f 1,9 : 0,9 r f,5 : 0,5 5 r f Welche Rechenregel ergibt sich?

3 1.Immer drei Terme hben den gleichen Wert. Welcher Term ht jeweils ein nderes Ergebnis? Begründe durch Umformungen ohne Verwendung des Tschenrechners. ) 1 1 : b) 8 8 : 8 c) : 1 : 0,5 d) : 5 5 Rechengesetze 1. Überprüfe die Gleichheit folgender Terme uch mit Hilfe des Tschenrechners: Welches Rechengesetz gilt jeweils? ) 9 1 und 1 9 bzw. 5 und 5 b) 9 1 und 9 1 bzw. 9 1 und 9 1 c) 1 9 und 1 9 bzw. : : und 1. Vereinfche ohne Tschenrechner: ) 5 5 b) c) 5 d) 7 e) f) 17 5 b 1 b g) y y y h) i) y5 y : Rdizieren: 15. Ziehe die Wurzel us folgenden Zhlen und Termen. Verwende den Tschenrechner nur zur Kontrolle. Beispiele: ) ² b) c) d) ² ² ² 1 81 () b Teilweises rdizieren: 1. Ziehe die Wurzel us folgenden Zhlen und Termen. Verwende den Tschenrechner nur zur Kontrolle. Beispiele: ) b) 5 c) d) Die Rechengesetzte us b

4 Fktor unter die Wurzel bringen: 17. Bringe den Fktor bei folgenden Termen unter die Wurzel ) b) Beispiele: 1 5 Zusmmengesetzte Übungen 18. Vereinfche die folgenden Terme ) 75 7 d) 8 b) 175 : 7 c) 5 18 e) 18 y : f) 9 1 : 7 g) h) 5 i) b b j) 7 7 k) y y l) 0,5 8 m) 8 n) 1 75 o) 5 p) Ich wünsche dir viel Spß und Erfolg beim Trinieren mit Wurzeln! Pltz für Notizen:

5 Lösungen: 1. 1 cm 1 cm cm cm 9 cm cm 1 cm cm. c.,,,5 5,5, 7,1 7,7 8, 8, ) ,1 0, 0,001 0,0 Mögliche Lösung: - Verschiebt mn ds Komm um Stellen, verschiebt sich ds Komm im Ergebnis um eine Stelle. - Liegt eine gerde Anzhl n Nullen oder Kommstellen vor, dnn zieht mn zunächst die Wurzel ohne die Nullen/Kommstellen und fügt dnn die HÄLFTE der Nullen/Kommstellen im Ergebnis ein. b) , 1, 0,01 0,1 5 Bsp: ( 1 1) 9 1 ( 5 5) 1, 1, 1,9 1, 1,9 1,,5 1,5,5,5,, 1,81,1 usw. ) b) 1, 1, 1,9 1, 1,9 1,,5 1,5,5,5,, 1,81,1 usw c) 0,000 0,0 0,011 0,11 1,001 1,01 9,05 =,5 d) 0,000 0,0 0,011 0,11 0,09 0, 0,01 0,1 Die Wurzel ist immer dnn größer, ls die ursprüngliche Zhl, wenn die ursprüngliche Zhl KLEINER ls 1 ist. e) nimm irgendeine Zhl zwischen 0 und 1 und qudriere sie. 0,5 0,5 e) 0,0 0, 0,9 0, ,011 0,11 Zieht mn die Wurzel us einer Zhl kleiner 1, so ist uch ds Ergebnis kleiner ls 1.

6 8) 1 5 b) =8 8 =1 1 = c) 0 0 = =0000 Rechenregel: Qudrieren und Wurzelziehen hebt sich gegenseitig uf =,05 f 1,5 + 1,5,5 =,1 f 0 = w w w = w = w w Wurzeln knn mn nicht ddieren oder subtrhieren, indem mn die Rdiknden unter EINER Wurzel ddiert. b b b b w w = w 1,5 1, = 1,8 f Wurzeln knn mn multiplizieren, in dem mn die Wurzel us dem Produkt der Rdiknden (Zhl unter der Wurzel) zieht : 5 w 8 : w : = :9 = w 1, : 0,9 = ( 1,9:0,9 ) w,5 : 0,5 = 5 f Wurzeln knn mn dividieren, in dem mn die Wurzel us dem Quotienten der Rdiknden (Zhl unter der Wurzel) zieht.

7 1 ) 1: = 1 = 1 1 = b) 8 : 8 = = c) : = 1 : d) : 5 1 = oder 1 1: 1 1 (ktulisierte Lösung) ) + = + 5 = 5 Es gilt ds Kommuttivgesetz b) + + = + ( + ) = ( ) Es gilt ds Assozitivgesetz c) (1 + 7 ) = = 19 8 : : = 8 : Es gilt ds Distributivgesetz Die Rechengesetze us gelten weiterhin uch in 1 ) 5 5 b) c) d) 7 5 e) f) g) y y h) i) y 5 y y y b 5 8 b 15 ) =0 =00 =000 b) =8 = 9 = 8 c) 8 9 =1 d) () = 1 5b 1 ) b) c) 9 d) b b b b

8 17 ) b) ) b) : : c) d) 8 1 e) 18 : y: f) y 9 : 7 1 : g) h) i) b b j) k) y y y y y y y l) y y 0,5 8 0,5 0,5 m) 1 n) 0 o) p)