7.1 Einführung Unter der n-ten Wurzel aus a versteht man eine Zahl x, die mit n potenziert a ergibt.

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1 Rdiziere 7 Rdiziere 7.1 Eiführug Uter der -te Wurzel us versteht eie Zhl x, die it poteziert ergibt. x x für * : Wurzelexpoet, N ud 1 : Rdikd, 0 x: Wurzel(wer) t Poteziere: Bsis ud Expoet sid gegebe, Rdiziere: der Potezwert wird gesucht! 3 x Potezwert ud Expoet sid gegebe, die Bsis wird gesucht! x 9 9 x Ds Rdiziere (Wurzelziehe) ist lso die erste Ukehropertio des Potezieres. Bei Rdiziere verwedet llerdigs dere Bezeichuge. Der Wurzelexpoet wird eistes icht geschriebe. Mehrdeutigkeit vo Wurzel Ist 3 = 9, so ist uch ( 3) = 9. Es gibt lso zwei Zhle, die qudriert 9 ergebe. U eie eideutige Zuorduge zu erreiche, bezeiche wir ber ur die positive Grudzhl ls Qudrtwurzel. Ds Ergebis der Qudrtwurzel ist ls positive Zhl defiiert. Qudriere eideutige Zuordug (Fuktio) Rdiziere keie eideutige Zuordug (Reltio) Wurzelziehe ud qudriere hebe sich uf Die Ukehrug gilt jedoch icht ier! 3 9 für 0, für 3 3 R Defiitio 16 icht 16 udefiiert Es gibt keie reelle Zhl, die qudriert 16 ergibt! 1

2 Rdiziere 7. Der llgeeie Wurzelbegriff Jede Wurzel k i eie Potez it rtiole Expoete ugewdelt werde. Ugekehrt k jede Potez it rtiole Expoete ls Wurzel geschriebe werde. * für 0,, N ud 1 Beweis : us Forel obe: poteziere it : -te Wurzel ziehe: soit: x x x x Beweisgrudlge us der Defiitio: Die -te Wurzel us eier positive Zhl ist diejeige positive Zhl, dere -te Potez gleich ist x x x x x x Beispiele Gebe Sie die Werte folgeder Wurzel ud che Sie die Probe! 1. 5?. 16? 3. 1? '000? ? 6.? 7. 8?

3 Rdiziere 7.3 Additio ud Subtrktio vo Wurzel Bei der Additio ud der Subtrktio vo Wurzel dürfe ur Wurzel it gleiche Expoete ud Rdikde zu eie Glied zusegefsst werde köe. x b x c x b c x (geeiser Fktor uskler) Beispiele Vereifche Sie, flls öglich ?. 5 6 b 3 b? 7. Rdiziere vo Produkte Ei Produkt wird rdiziert, ide jede Fktor eizel rdiziert. b b Beweis: b b b b x x Beweis: x Achtug, Wurzel us Produkt icht it Wurzel us Sue verwechsel! I Gegestz zu b b ist b b Zhlebeispiel: soit: Merke : Wurzel us Sue ziehe ur die! 3

4 Rdiziere Beispiele Bereche Sie ohe Tscherecher ?. 3 50? ? (Quelle: Froewiler, Aufgbe 16). 5 3? (Quelle: Froewiler, Aufgbe 16c) ? (Quelle: Froewiler, Aufgbe 16f) ? (Quelle: Froewiler, Aufgbe 16i)

5 Rdiziere 7.5 Rdiziere vo Brüche Ei Bruch wird rdiziert, ide Zähler ud Neer rdiziert. b b 0 ud b 0 Beweis: b b b b Beispiele Bereche Sie ohe Tscherecher ? ? 33b 3. 5x 10x :? ? (Quelle: Froewiler, Aufgbe 16k) ? (Quelle: Froewiler, Aufgbe 16c) 5

6 Rdiziere 7.6 Rdiziere vo Poteze ud Poteziere vo Wurzel Eie Potez wird rdiziert, ide zuächst die Bsis rdiziert ud schliessed ds Ergebis poteziert. Liest die Regel «vo rechts ch liks», so gilt: Eie Wurzel wird poteziert, ide zuächst de Rdikde poteziert ud schliessed us de Ergebis die Wurzel zieht. 1 *, N 1 Beweis: 0, ud Bei Rdiziere eier Potez k de Wurzelexpoete gege de Potezexpoete kürze. b b b b b Beweis: b Beispiele Schreibe Sie ls Poteze it rtiole Expoete ud vereifche Sie, flls öglich. 1. 8?. 6 9 b? 3. 1?. 3 8? 6

7 Rdiziere 5.? ? b b? 8. :?

8 Rdiziere 7.7 Rdiziere vo Wurzel Eie Wurzel wird rdiziert, ide die Wurzelexpoete ultipliziert ud it de eue Expoete die Wurzel zieht. Beweis: Wurzelexpoete dürfe vertuscht werde. Beweis: siehe obe Beispiele Vereifche Sie so weit ls öglich ?. 3 6? ?. x x? 8

9 Rdiziere 5. x x y y? b b 6 3 b b b? 7.8 Wurzel i Überblick Defiitio Wurzel x x * für 0, N ud 1 Allgeeier Wurzelbegriff * für 0,, N ud 1 Recheregel: b b b b b b 9

10 Rdiziere 7.9 Defiitiosege D bei Wurzel bestie Die Mege der erlubte Eisetzuge für die Vrible eies Ters et Defiitiosege oder Defiitiosbereich D des Ters. Bei Wurzelufgbe it eier Vrible uter der Wurzel existiert ei Defiitiosbereich. M drf hier lso icht jede beliebige Zhl eisetze. I der Prxis geht so vor, dss sich de Ausdruck uter der Wurzel sieht ud d die Zhle berechet, für welche der Ausdruck uter der Wurzel 0 oder grösser ist. Diese Zhle sid d zulässig, die restliche icht. Beispiele für die Bestiug der Defiitiosege D. Allgeeier Astz: Rdikd eier Wurzel 0 d. h. 0 Wurzelusdruck Grudege G Rdikd 0 Defiitiosege D x 9 G R x 0 D x R x 0 x x 3 1 G R x 8 0 G R 5 x 0 G R 3 0 D x R x 8 D x R x 5 D R 3 Drstellug durch Itervlle Zhlebereiche vo reelle Zhle werde häufig uch ls Itervlle gegebe. Mit eie «Itervll» eit eie Abschitt uf der Zhlechse. Bei eie Itervll hdelt es sich lso u eie Teilege us R. Es gibt edliche ud uedliche Itervlle. Auch für Itervlle gibt es i der Mthetik spezielle Schreibweise: Beispiele: x R x 0 [ 0 ; [ x R x 8 [ 8 ; [ x R x 5 ] ; 5 ] R 3 [ 3 ; [ M schreibt lso die kleiere Greze liks, die grössere rechts, getret durch ei Seikolo «;». Ist die Kler uswärts gerichtet, so gehört die jeweilige Greze icht ehr zu gegebee Bereich, ist die Kler ch ie gerichtet, so gehört die jeweilige Greze zu gegebee Bereich. Bei (uedlich) ist die Kler stets uswärts gerichtet. Zusätzliche Ifortioe 10

11 Rdiziere 7.10 Übuge, Froewiler Löse Sie die folgede Aufgbe: Nuer Seite Beerkuge 1 (, b, f ud i) Rdikd 0 15 ( bis f) 16 (e, h ud k) 5 18 (, b, d, e, i, j ud k) (b ud e) (c ud e) 6 13 (, c ud f) (b, c, f ud g) (, b, c, d ud f) (, b, e ud h) 8 11 (lle) 51 Kotrolle Zhle eisetze 13 (, d, g ud i) (, f ud g) (, c, g, k ud ) 5 19 (d, f, g, h ud j) (e, f, h, i ud j) () 5 15 (b, c, g ud h) (c, e ud f) (d, h ud i) (g, i ud j) h (d, f ud j) (e ud f) (j ud k) (b, f ud h) (g, h ud i) (, b ud c) (, b, c ud e) 59 11

12 Rdiziere 7.11 Übuge (Aufheprüfuge vo Fchhochschule bzw. BM-Prüfuge) 1. Ds Ergebis ist i For eier Wurzel zugebe u s s E? s 1 u 3 u. Bereche Sie ohe Recher. Gebe Sie die Lösug ls gekürzte Bruch ? Bereche Sie ohe Recher. 1 7 B?

13 Rdiziere. Bereche Sie de Ausdruck: b b Stelle Sie die Ausrechug usführlich dr; gebe Sie ds Resultt, ohe 3 uszureche, i öglichst eifcher For. (Ds Resultt k 3 ethlte.) ud b

14 Rdiziere 5. Vereifche Sie de folgede Ausdruck so weit wie öglich. b b 1 1 :? b 1 b 1 b b b 1 1

15 Rdiziere 6. Der folgede Ausdruck k so ugefort werde, dss keie Wurzel ehr uftritt. Führe Sie diese Uforug durch. b b b? b 7. Der Ausdruck ist uszureche. 15

16 Rdiziere 8. Vereifche Sie so weit wie öglich. 6 b b b ? 3 b b 3 16

17 Rdiziere 9. Bestie Sie ds Produkt. Schreibe Sie i Resultt stelle vo gebrochee Expoete Wurzelzeiche x x x x x? 3 x 10. Brige Sie de folgede Ausdruck i die For b. p p p p ? 17

18 Rdiziere 11. Vereifche Sie so weit wie öglich. b b? b b 18

19 Rdiziere 1. Vereifche Sie so weit wie öglich. b b b b? 13. Vereifche Sie so weit wie öglich b b 8? b

20 Rdiziere 7.1 Rdiziere it de TI Beispiel 1 7? Ergebis: Hiweis: 7 oder.658 je ch Eistellug Exkt/Näherug Der TI-89 ht ur eie Wurzeltste für die Qudrtwurzel (Tstekobitio ). Der TI-89 Titiu ht zusätzlich och die Fuktio Wurzel it der uch die -te Wurzel berechet werde k. Die Fuktio Wurzel() ist über erreichbr. Beispiel b? Ergebis: b der Recher berücksichtigt, dss b sowohl positiv, ls uch egtiv sei k! Beispiel 3 5 : 5? Ergebis: Der Recher fsst zuse zu 5:

21 Rdiziere Beispiel 36x 1x 1? Ergebis: 6x 1 der Recher erket ds Bio 6x 1. Beispiel 5 1 1? Ergebis: der Recher zeigt de Lösugsweg icht. Beispiel 6 3 3? Ergebis: Hiweis: -te Wurzel fuktioiert ur it de Titiu! Für de orle TI-89 erfolgt die Eigbe geäss der Regel: 1 3 x x lso z. B. 7 uf de TI-89 7^(1 3) 1