12.4 Berechnung und Darstellung betriebswirtschaftlicher Funktionen

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1 1. Berechnung und Darstellung betriebswirtschaftlicher Funktionen 1..1 Kostenfunktion a) Vorgaben und Fragestellung Die Materialkosten für die Herstellung eines Stücks belaufen sich auf CHF Die anteilmässigen Fikosten für die Räumlichkeiten, die Maschinen etc. belaufen sich auf CHF.--. Ermitteln Sie die Gleichung der Kostenfunktion, und stellen Sie diese grafisch dar. Definitionen : Menge in Stück : Gesamtkosten in CHF Funktionsgleichung Kostenfunktion: = 1 + Grafische Darstellung der Funktion / CHF Kosten Kostenfunktion q (= ) m (= 1) Abstand +1 auf X-Achse Menge / Stk Interpretation Funktionsgleichung: = m + q m m q sind die Kosten pro Mengeneinheit sind die Stückzahlen sind die variablen Kosten sind die fien Kosten sind die Gesamtkosten Lineare Funktionsgleichungen 377

2 b) Vorgaben und Fragestellung Die Gesamtkosten eines Produktionsunternehmens entwickeln sich nach dem Gesetz = m + q, wobei die Anzahl Stück und die Gesamtkosten bedeuten. Wenn Stück hergestellt werden, belaufen sich die Gesamtkosten auf CHF.--, bei 7 Stück auf CHF Ermitteln Sie die Gleichung der Kostenfunktion, und stellen Sie diese grafisch dar. Definitionen Funktionsgleichung Basisdaten (Stück und Kosten) in Normalform einsetzen ( = m + q) Mit Gleichsetzungsverfahren (q gleichsetzen) die Steigung m ausrechnen m in eine der beiden Normalformen einsetzen und q ausrechnen m und q zur Funktionsgleichung zusammensetzen Grafische Darstellung der Funktion / / 37 Lineare Funktionsgleichungen

3 b) = - - I) Berechnung der Nullstellen Für den Wert einsetzen - - = berechnen Variante 1: Faktorzerlegung ( + ) ( - ) = beide Faktoren können je sein 1 = -, = Nullstellen Variante : mit Formeln berechnen (pq-formel) 1, = ± ( ) 1, = 1 ± 9 1, = 1 ± 3 1 = -, = N 1 ( - / ), N ( / ) II) Berechnung des Scheitelpunkts Über die Nullstellen: Nullstellen bestimmen (vgl. Punkt I) N 1 ( - / ), N ( / ) X-Koordinate des Scheitelpunkts berechnen: ( 1 + ) / ( - + ) / = 1 Y-Koordinate des Scheitelpunkts berechnen: einsetzen = = -9 Scheitelpunkt S ( 1/ 9) Mit Hilfe von Formeln: Werte der Normalform in Formel einsetzen = - - p = -, q = - ( ) ( ) S / ( ) Scheitelpunkt berechnen S / ( ) S ( 1/ 9) III) Diagramm Nullstellen/Scheitelpunkt eintragen Wertetabelle für weitere Punkte Grafik N N S 16 Die quadratische Funktion

4 c) = I) Berechnung der Nullstellen II) Berechnung des Scheitelpunkts III) Diagramm Die quadratische Funktion 17

5 1.3.3 Der Gleichgewichtspreis a3) Lesen Sie den Gleichgewichtspreis aus dem Diagramm ab, der sich aus den beiden vorhergehenden Angebots- und Nachfragefunktionen ergibt. / GE Angebot Preis pro ME 6 (1 / 6) Gleichgewichtspreis Nachfrage / ME Menge Der Gleichgewichtspreis beträgt 6 Geldeinheiten bei einer Menge von 1 Mengeneinheiten. a) Bestimmen Sie den Gleichgewichtspreis rechnerisch. Angebots- und Nachfragefunktion einander gleichsetzen: = = '63-3, + 36, '3 = : = p = -6, q = 67 1, = 6 6 ± 67 1, = 3 ± 1' , = 3 ± 1, = 3 ± 1 = 1, = 6 ( fällt als Lösung weg, da nicht in Definitionsmenge enthalten) berechnen (den Wert von 1 in einer der beiden Funktionen einsetzen, hier: Angebotsfunktion): 1 3 = = = = Der Gleichgewichtspreis beträgt 6 Geldeinheiten bei einer Menge von 1 Mengeneinheiten. 7 Preistheorie

6 1.3. Anwendungsbeispiele a) Das Marktverhalten lässt sich im Bereich zwischen 6 und 1 Mengeneinheiten mit folgenden Funktionen beschreiben: Angebot: 7 = Nachfrage: = Zeichnen Sie die Funktionen auf. Wie hoch ist der Gleichgewichtspreis? Lesen Sie ihn aus der Grafik ab. Definitionen Grafische Darstellung Wertetabelle für die Angebotsfunktion: Wertetabelle für die Nachfragefunktion: / / Gleichgewichtspreis Preistheorie 7

7 17.3. Verhältnismässige Abhängigkeit ) Eine Tankstelle hat für den Einkauf von bleifreiem und Super plus Benzin folgende Auflagen erhalten: Vom bleifreien Benzin müssen mindestens, aber maimal 6 Tonnen eingekauft werden. Vom Super plus Benzin sollen mindestens 1 Tonnen, aber maimal 3 Tonnen gekauft werden. Zusätzlich muss beachtet werden, dass die Menge bleifreies Benzin zu der Menge des Super plus Benzins höchstens im Verhältnis von : stehen darf. (Werden beispielsweise Tonnen Super plus gekauft, können höchstens Tonnen bleifreies Benzin gekauft werden.) Die Kosten je Tonne bleifreiem Benzin betragen CHF 1'1.--, je Tonne Super plus Benzin CHF 1'.--. Bestimmen Sie die Bedingungen und die Zielfunktion, und stellen Sie den Sachverhalt grafisch dar. Bei welchen Mengen sind die Kosten am kleinsten und wie hoch sind sie? a) Definitionen D = + + = Anzahl Tonnen bleifreies Benzin = Anzahl Tonnen Super plus Benzin b) Bedingungen 1) = und ) 6 = 6 und 3) 1 = 1 und ) 3 = 3 und Bedingung: Zusätzlich muss beachtet werden, dass die Menge bleifreies Benzin zu der Menge des Super plus Benzins höchstens im Verhältnis von : stehen darf. Bleifrei : Super plus : ) = und c) Zielfunktion z = 1'1 + 1' = 11 1 Lineare Optimierung

8 d) Diagramm / Tonnen 7 1) Benzin Super plus 6 3 ) z min 3) ) S min ( / 16) 1 ) Benzin bleifrei / Tonnen e) Bestimmen des Minimums Berechnen des Minimums als Schnittpunkt von Gerade 1) und ) = und = Einsetzungsverfahren ( in Gleichung ) einsetzen) = = = 16 = (ergibt sich aus Gleichung 1) direkt) S min ( / 16 ) f) Stückzahlen für minimale Kosten Minimale Kosten entstehen bei Tonnen bleifreiem und 16 Tonnen Super plus Benzin. g) Minimale Kosten Zielfunktion: z = 1'1 + 1' Minimale Kosten = 1'1 + 1' 16 = 63' Die minimalen Kosten betragen CHF 63'.--. Lineare Optimierung 1

9 1.1 Anwendungsbeispiele IV: Formel-Kombinationen Viele Fragestellungen in Bezug auf Zinseszinsen lassen sich nur in zwei oder mehreren Teilschritten lösen. a) Ein Kapital von CHF 3'.-- ist nach Jahren auf CHF 6'616. angewachsen. Welcher Betrag steht dem Kontoinhaber bei gleich bleibender Verzinsung 1 Jahre nach der Investition zur Verfügung? Analse? % Jahre ? 6 Jahre Formeln festlegen Berechnung des Zinssatzes: q = K n n K Berechnung des Endkapitals: K n = K q n Ausrechnung? Teilschritt 1: Berechnung des Zinssatzes: 6'616. 3' q = q = q = 1... p = (q 1) 1 p = (1... 1) 1 p = %? Teilschritt : Berechnung des Endkapitals: K n = 6' K n = 6' K n = 3'93.31 Lösung Nach 1 Jahren ist das Kapital bei einem Zinssatz von % auf CHF 3'93. angewachsen. Zinseszinsrechnungen 99

10 1.11 Anwendungsbeispiele V: Gleichungen Komplee Aufgabenstellungen lassen sich nur mit Hilfe von Gleichungen lösen. a) Zwei Vermögen, von denen das eine viermal so gross ist wie das andere, sind nach 1 Jahren zusammen auf CHF 37'71. angewachsen. Wie hoch waren die beiden ursprünglichen Kapitalien, wenn der Zinssatz für beide Kapitalien durchgehend 6 ¼ % betragen hat? Analse 6 ¼ % Jahre viermal so gross 1 Jahre 1 Jahre Variable und Formel festlegen : Anfangskapital des kleineren Vermögens n Kn = K q Ausrechnung = 37'71. ausklammern ( + ) = 37'71. ausrechnen = 37'71. ausrechnen = 37'71. : 1.39 = 33' Kapital 1: 33'6.-- Kapital : 13'.-- (= 33'6 ) Lösung Das eine Kapital betrug CHF 33'6.--, das andere CHF 13'.--. Zinseszinsrechnungen 6

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