Adaptive Systeme. Sommersemester Prof. Dr. -Ing. Heinz-Georg Fehn. Prof. Dr. rer. nat. Nikolaus Wulff

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1 Adaptive Systeme Sommersemester 2015 Prof. Dr. -Ing. Heinz-Georg Fehn Prof. Dr. rer. nat. Nikolaus Wulff Prof. Dr. H.-G. Fehn und Prof. Dr. N. Wulff 1

2 Adaptive Systeme Adaptives System: ein System, das sich durch ein besonderes Anpassungsvermögen an seine Umgebung auszeichnet; das die Möglichkeit hat, auf deren (zufällige und/oder zeitlichen) Veränderungen zu reagieren und sich damit auf diese einzustellen. adaptive system [ə dap tiv sis təm] (system engineering) A system that can change itself in response to changes in its environment in such a way that its performance improves through a continuing interaction with its surroundings. ( ) Frage: Ist die Änderung deterministisch oder zufällig und was ist denn zufällig? Prof. Dr. H.-G. Fehn und Prof. Dr. N. Wulff 2

3 Ein Ausflug in zufällige Signale Was sind zufällige (stochastische) Signale alle Signale, die sich nicht in ihrem zeitlichen Verlauf durch eine mathematische Vorschrift angeben lassen Signal zufällig deterministisch Prof. Dr. H.-G. Fehn und Prof. Dr. N. Wulff 3

4 Zufällige Signal Wie lassen sich zufällige Signale beschreiben Beschreibung durch Wahrscheinlichkeiten (Wahrscheinlichkeitstheorie, Stochastik) Mathematisch durch die: Verteilungsfunktion: Verteilungsdichtefunktion: F X (x) p X (x)= d F X (x) dx Prof. Dr. H.-G. Fehn und Prof. Dr. N. Wulff 4

5 Verteilungsfunktion Die Verteilungsfunktion F X (x) ist eine nichtnegative stetig wachsende Funktion zwischen 0 1. Die Verteilungsfunktion gibt die Wahrscheinlichkeit Pr { X x an } Es gilt: Pr { X x }=F X (x)= x p X (x)dx Prof. Dr. H.-G. Fehn und Prof. Dr. N. Wulff 5

6 Verteilungsdichtefunktion Die Verteilungsdichtefunktion p X (x) ist die Ableitung der Verteilungsfunktion p X (x)= d F X (x) dx x F X ( x)= p X ( x)dx Interpretation: Die Fläche unter der Verteilungsdichtefunktion bis zu einer vorgegeben Grenze x stellt die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten der Realisierungen einer Zufallsvariablen X dar. Prof. Dr. H.-G. Fehn und Prof. Dr. N. Wulff 6

7 Eigenschaften und Besonderheiten Ist die Verteilungsfunktion stetig, ist die Zufallsvariable kontinuierlich Ist die Verteilungsfunktion nicht stetig, ist die Zufallsvariable diskret Beispiel: Würfel Prof. Dr. H.-G. Fehn und Prof. Dr. N. Wulff 7

8 Warum brauchen wir das? Eine Simulation von Zufallszahlen im Rechner kann nur eine endliche Zahl unterschiedlicher Zahlen erzeugen. Daher sind alle Zufallszahlen einer digitalen Simulation diskret und wiederholen sich. Sie sind keine echten Zufallszahlen. Sie werden auch als Pseudozufallszahlen (Pseudozufallsvariablen) bezeichnet. Die Wiederholungsperiode hängt von der Wortbreite des Rechner ab. Eine Methode zur Erzeugung von Zufallszahlen: Linear rückgekoppeltes Schieberegister Wiederholungsperiode 2 B - 1 (B = Anzahl der Bits) Prof. Dr. H.-G. Fehn und Prof. Dr. N. Wulff 8

9 Erzeugung von Zufallszahlen Matlab: x = rand(...); % gleichverteilte Zufallszahlen (0...1) x = randn(...); % gaußverteilte Zufallszahlen C / C++ x = rand(); /*Zufallszahl zwischen */ Verteilungsdichtefunktion Verteilungsfunktion jeweils Werte In der Simulation Prof. Dr. H.-G. Fehn und Prof. Dr. N. Wulff 9

10 Zufallszahlen als Modell Zufallszahlen als Modelle für Störungen Signalverfälschung durch Überlagerung von Rauschen Modell: gaußverteilte Zahlen Zufallszahlen als Modelle für Signale, z.b. Lottozahlen Modell: gleichverteilte Zahlen zwischen 1 49 Prof. Dr. H.-G. Fehn und Prof. Dr. N. Wulff 10

11 Analyse des Prozesses (1) Ein stochastischer Prozess X(t,ω) kann als eine Funktion angesehen werden, die von zwei Variablen abhängig ist, von der Zeit t und einer Zufallsvariablen X(ω i ). Die Ereignismenge ω i. stammt aus dem Ereignisraum Ω, der den stochastischen Prozess darstellt. Alle sprechen gleichzeitig unterschiedliche Texte Prof. Dr. H.-G. Fehn und Prof. Dr. N. Wulff 11

12 Analyse des Prozesses (2) Hier spricht nur einer Nur einer spricht seinen Text Prof. Dr. H.-G. Fehn und Prof. Dr. N. Wulff 12

13 Analyse des Prozesses (3) e i n s Alle sprechen gleichzeitig nur ein Zeichen Prof. Dr. H.-G. Fehn und Prof. Dr. N. Wulff 13

14 Analyse des Prozesses (4) b Nur einer spricht nur ein Zeichen Prof. Dr. H.-G. Fehn und Prof. Dr. N. Wulff 14

15 Handhabung des Prozesses Wenn wir sicherstellen können, dass eine Zeitfolge oder eine Zufallsvariable den stochastischen Prozess beschreibt, dann können entweder nur Zeitfolge oder nur die Zufallsvariable betrachten werden Das ist gegeben, wenn der Prozess ergodisch ist Es gilt dann: Zeitmittel x(t) = µ x (t) Scharmittel Ist der Prozess auch noch stationär, dann ändern sich seine statistischen Eigenschaften nicht mit der Zeit Es gilt dann: Zeitmittel x(t) = µ x Scharmittel Prof. Dr. H.-G. Fehn und Prof. Dr. N. Wulff 15

16 Handhabung des Prozesses Analyse über eine Musterfolge im Zeitbereich (Simulation) Analyse über die Verteilungsdichtefunktion (Theorie) kontinuierlich diskret Prof. Dr. H.-G. Fehn und Prof. Dr. N. Wulff 16

17 Wichtige Kenngrößen von Prozessen (1) Diskrete Prozesse: - Die Integration wird zu einer Summe über die k Zufallswerte x k - Das Produkt p X (x) dx wird zur Wahrscheinlichkeit p k der Zufallszahl x k Prof. Dr. H.-G. Fehn und Prof. Dr. N. Wulff 17

18 Wichtige Kenngrößen von Prozessen (2) Korrelation = beschreibt die Abhängigkeit (Verwandtschaft) zwischen statistischen Prozessen (auch als Verbundmoment bezeichnet) Autokorrelationsfunktion (AKF) = statische Abhängigkeit zwischen Werten des gleichen Prozesses zu unterschiedlichen Zeitpunkten R XX (τ)=e [x(t) x(t+ τ)] ρ XX (τ)= R XX (τ) R XX (0) normiert Kreuzkorrelationsfunktion (KKF) = statische Abhängigkeit zwischen Werten unterschiedlichen Prozessen R XY (τ)=e [x(t) y(t+ τ)] ρ XY (τ)= R XY (τ) R XX (0) R YY (0) normiert Prof. Dr. H.-G. Fehn und Prof. Dr. N. Wulff 18

19 Beispiele für Korrelation Zufallssignal, weißes Rauschen keine Korrelation Sprachsignal mit zwei unterschiedlichen Segmenten hohe Korrelation geringe Korrelation Prof. Dr. H.-G. Fehn und Prof. Dr. N. Wulff 19

20 Bestimmung von Kenngrößen Mittelwert: µ x = 1 N N x(n) n=1 Varianz: N σ x 2 = 1 N n=1 x 2 (n) µ x 2 AKF: N k R XX (k )= 1 N n=1 x(n) x(n+ k ) Spektrum (LDS): S XX (k )= F {R XX (k )} 2 Wiener-Kintchine-Theorem AKF und LDS sind wechselseitige Fouriertransformationen Spektrumsschätzung: S XX (k)= 1 Anz Block N 1 S XX (k )= 1 N n=0 Anz block i=1 1 b len i b len 1 n=(i 1) b len x(n)e j 2 π x(n)e j 2 π n k 2 N nk 2 N Periodogramm über N Werte gemitteltes Periodogramm über Anz Block der Länge b len Prof. Dr. H.-G. Fehn und Prof. Dr. N. Wulff 20

21 Ergänzungen zur Theorie Abtastfrequenz f abt [Hz] Abtastzeit T = 1 f abt T Dauer = Signaldauer [s], Frequenzauflösung T Ausschnitt = NT Signalausschnitt [s] Δ f = T Dauer Abtastwerte = T Dauer f abt der Fouriertransf. T Ausschnitt T 0 T 0 N T 0 = 1s, f abt = Abtastfrequenz [Hz] [s] Abtasttheorem f abt 2 f grenz, f grenz = größte im Signal vorkommende Frequenz f abt = maximale Bandbreite des abgetasteten Signals Fouriertransformation in Matlab fft() : Spektrum als Betrag B abs() Spektrum als Betrag B mit fftshift() N X (k )= n=1 x(n)e j 2 π (n 1)(k 1) N B(k) = ( X (k)) N für 0 f abt B(k) fftshift ( X (k)) = für - 0,5 f N abt 0,5 f abt Prof. Dr. H.-G. Fehn und Prof. Dr. N. Wulff 21

22 Einige Bemerkungen R XX (k) für k = 0 für mittelwertfreie (µ X =0) Signale ist R XX (0) die Varianz x 2 sonst R XX (0) = x 2 + µ x 2 R XX (k) = 0 für k 0 keine Korrelation zwischen Signalwerten im Abstand k R XX (k) = 0 für alle k 0 weißes Rauschen (beinhaltet alle Frequenzen) sonst kein weißes Rauschen S XX (0) 0 das Signal x(n) hat einen Gleichspannungsanteil (f = 0) S XX (k) = const das Signal x(n) beinhaltet alle Frequenzen(weißes Rauschen) sonst kein weißes Rauschen R XX (0)= S XX (k) Leistung im Zeitbereich = Leistung im Frequenzbereich k (Parsevalsche Theorem) AKF LDS AKF und LDS sind wechselseitige Fouriertransformierte (Wiener-Kintchine Theorem) Prof. Dr. H.-G. Fehn und Prof. Dr. N. Wulff 22

23 Fazit stochastischer Prozess (1) Sie sind Modelle für reale Prozesse wie Ergodisch: eine Musterfolge kann verwendet werden Bedingung: Zeitmittel = Scharmittel Stationär: die statistischen Eigenschaften ändern sich zeitlich nicht Bedingung : µ(t) = µ = const (schwache Stationarität) R XX (t 0, ) = R XX ( ) (starke Stationarität) AKF nur vom Zeitunterschied abhängig und nicht vom Zeitpunkt t 0 Prof. Dr. H.-G. Fehn und Prof. Dr. N. Wulff 23

24 Übung: Stationärer Prozess Erzeugen Sie einen gaußverteilten Prozess der Dauer 1 s für eine Abtastfrequenz von Hz (CD-Qualität) Suchen Sie den minimalen und den maximalen Wert, den Mittelwert, die Varianz. Bestimmen Sie die Verteilungsdichtefunktion p X (x) und vergleichen Sie diese mit der Theorie Bestimmen Sie die ersten k = 10 Autokorrelationswerte R XX ( k) Was stellen Sie bei der Betrachtung der AKF fest? Bestimmen Sie das Leistungsdichtespektrum (LDS) S XX (k) über das Periodogramm (b len = 441, Frequenzauflösung 100 Hz) Was stellen Sie bei der Betrachtung des LDS fest? Welches Fazit ziehen Sie aus dieser Betrachtung? p X (x)= 1 x 2 2 π e 2 Prof. Dr. H.-G. Fehn und Prof. Dr. N. Wulff 24