Physikalisches Praktikum A 5 Balmer-Spektrum

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Meike Alma Stieber
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1 Physikalisches Praktikum A 5 Balmer-Spektrum Versuchsziel Es wird das Balmer-Spektrum des Wasserstoffatoms vermessen und die Rydberg- Konstante bestimmt. Für He und Hg werden die Wellenlängen des sichtbaren Spektrums vermessen. Literatur // Bergmann/Schäfer Band 4, Bestandteile der Materie /2/ T.Mayer-Kuckuk Atomphysik /3/ P. Tipler/G. Mosca Physik Grundlagen. Das Bohr sche Atommodell des Wasserstoffatoms Für viele Erscheinungen die man an Atomen beobachtet, versagen die Beschreibungsweisen der klassischen Mechanik und Elektrodynamik. So konnte Rutherford 9 anhand von Streuexperimenten mit α-teilchen folgern, dass sich im Innern der Atome ein praktisch punktförmiges positives Ladungszentrum befinden muss. In dem von Rutherford aufgestellten dynamischen Modell des Wasserstoffatoms umkreist das Elektron den sehr kleinen Atomkern, der eine positive Ladung trägt und indem fast die gesamte Atommasse enthalten ist, auf Kreisbahnen so dass Coulomb-Kraft und Zentrifugalkraft im Gleichgewicht sind. Im Rahmen der klassischen Physik führt dieses Modell jedoch auf zwei zentrale Schwierigkeiten: - klassisch sind Bahnen mit beliebigem Radius möglich, d. h. es gibt ein Kontinuum von Energiezuständen. Man beobachtet aber nur wenige diskrete Energien (Spektralterme, Franck-Hertz-Versuch). - Elektronen auf einer Kreisbahn sind beschleunigt. Nach den Regeln der klassischen Elektrodynamik müssen beschleunigte Ladungen strahlen. Die Elektronen sollten daher kontinuierlich durch Strahlung ihre Bahnenergie verlieren und schließlich in den Kern stürzen.

2 2 Zur Behebung dieser Schwierigkeiten hat Niels Bohr das Rutherford sche Atommodell erweitert indem er 93 postulierte, dass das Elektron nur auf ganz bestimmten Bahnen den Atomkern strahlungsfrei umlaufen kann. D. h. der Betrag des Bahndrehimpulses l = pr des Elektrons soll nur ganze Vielfache von ħ = h 2π betragen können (h: Planksches Wirkungsquantum): l = pr = nħ n =, 2, 3, () und Strahlungsübergänge sollen nur möglich sein zwischen Elektronenzuständen, deren Energien E und E 2 solchen Bahnen entsprechen, für die gilt (ν: Frequenz der emittierten elektromagnetischen Strahlung): hν = ħω = E 2 E. (2) Wir wollen jetzt die Gesamtenergie des Elektrons auf einer Kreisbahn um einen Atomkern mit Z Elementarladungen e = C berechnen. Die Coulomb-Kraft ist die Zentripetalkraft die das Elektron auf seiner Kreisbahn hält; es gilt: Ze 2 = m 2 4πε 0 r eφ r 2 (3) dabei ist m e = kg die Ruhemasse des Elektrons, ε 0 = μ 0 c 2 = AsV m die elektrische Feldkonstante und μ 0 = VsA m die magnetische Feld- oder Induktionskonstante. Für den Bahndrehimpuls gilt: Daraus folgt für Winkelgeschwindigkeit: l = pr = m e vr = m e r 2 φ φ = l m e r 2 Eingesetzt in (3) und mit der Bohr schen Quantisierungsregel für den Bahndrehimpuls folgt für r : r = 4πε 0l 2 m e Ze 2 = 4πε 0ħ 2 n 2 m e Ze 2 (4) Für potentielle Energie (E p ) und die kinetische Energie (E k ) des Elektrons im Abstand r vom Kern gilt: E p = 4πε 0 Ze 2 r und E k = m e 2 r2 φ 2 = l2 2m e r 2

3 3 Mit Gl. (4) ergibt sich damit für die Gesamtenergie E n : E n = E p + E k = m e Ze2 2 4πε 0 ħ 2 n 2 + m 2 e Ze2 2 4πε 0 = 2 E p = E k (5) ħ 2 n 2 = m 2 e Ze2 2 4πε 0 ħ n 2 Die Gesamtenergie E n ist die Energie des Elektrons, das den Kern auf der n-ten Bahn umkreist. E n ist nach Gl. (5) negativ und geht für r gegen 0, da sowohl E p als auch E k null werden wenn r gegen unendlich geht (Abb. ). Abb. : Energieverhältnisse im Coulomb-Potential nach /2/ Das negative Vorzeichen weist darauf hin, dass dem Elektron Energie fehlt, um freizukommen. Hierzu muss ihm die Ionisierungsenergie E n zugeführt werden. In dieser Energieskala hat das ionisierte Atom die Energie null, das neutrale angeregte Atom ist energieärmer und das Atom im Grundzustand mit n = am energieärmsten. Die Gesamtenergie E n wird auch als Energie eines Atoms in dem Zustand mit der Quantenzahl n bezeichnet.

4 4 Für die Energie eines Strahlungsübergangs von einem Zustand des Atoms mit Quantenzahl m zu einem Zustand mit der Quantenzahl n ergibt sich somit nach (3): Gl. E m E n = ħω m n = hν m n = m e 2 2 Ze2 4πε 0 ħ n 2 m2 (6) Da für die Frequenz ν m n = c λ erhält man aus (6) für die reziproke Wellenlänge: λ = Z2 R n 2 m2 (7) Mit der Ryder-Konstante: R = m ee 4 8ε 2 = ± m 0 ch3 Die kinetische Energie in Gl. (5) wurde ohne Berücksichtigung der Mitbewegung des Kerns angeschrieben. Nur für unendlich große Protonenmasse fällt der Schwerpunkt des Systems mit dem Nullpunkt des Coulomb-Potentials exakt zusammen. Hierauf bezieht sich R. Für endliche Protonemasse m p muss statt der Elektronenmasse die reduzierte Masse m r = m e m p /(m e + m p ) benutzt werden. Die Rydberg-Konstante für das H-Atom ergibt sich damit zu: R H = R m r m p = R m = R e m e + m p = ( ± ) 0 7 m (8) Für das Wasserstoffatom mit Z= ergibt sich dann die reziproke Wellenlänge, auch Wellenzahl genannt, zu: λ = R H n 2 m2 (9)

5 5 Abb.2: Termschema des Wasserstoffatoms nach /2/ Für das Wasserstoffatom stimmen die durch Gl. (9) berechneten Werte gut mit den gemessenen überein. Sommerfeld erweiterte 96 das Bohr`sche Atommodell, indem er neben den Bohr`schen Kreisen auch elliptische Bahnen des Elektrons zuließ und die relativistische Veränderlichkeit der Masse des Elektrons berücksichtigte. Damit lässt sich dann auch die Feinstruktur-Aufspaltung der Wasserstoffspektrallinien recht gut beschreiben. Die Bohr-Sommerfeld`sche Theorie weist jedoch eine Reihe von Unzulänglichkeiten auf: - das Versagen in der Beschreibung der Übergangsintensitäten und der optischen Polarisation der Spektrallinien des Wasserstoffatoms; - die unzulängliche Beschreibung der Energiestruktur von Mehrelektronenatomen und Molekülen; - das Versagen in der Beschreibung der Veränderung der Energiestruktur von Atomen in elektrischen und magnetischen Feldern (Stark- und Zeeman-Effekt); - die unzulängliche Beschreibung atomarer und molekularer Stoßprozesse (einschließlich der chemischen Bindung). Zur Lösung dieser Probleme müssen die Werkzeuge der Quantenmechanik angewendet werden.

6 6 Durchführung und Auswertung Sie arbeiten mit Hochspannung, die Sie an zwei Elektroden anlegen. Berühren Sie die nicht isolierten Teile und vor allem die Elektroden auf keinen Fall so lange Spannung anliegt! Der Versuchsaufbau ist in Abb. 3 dargestellt: a: Abstand Gitter-Maßstab b: Abstand Lampenmitte-Spektrallinie Abb. 3: Versuchsaufbau

7 7 Das Einschalten der Spannung und das wechseln der Spektralröhren darf nur vom Assistenten vorgenommen werden!!! Zünden der Lampe: Hochspannungsgenerator einschalten. Achtung!!! Jetzt ist das Berühren der nicht isolierten Teile verboten!!! Die Spannung wird langsam bis zum Zündpunkt hochgedreht (V max < 5 kv). Den Zündpunkt der Lampe erkennt man optisch und am Einbruch der angelegten Spannung. Vor dem Wechsel der Spektralröhren Spannung herunter drehen und abwarten bis am Generator die Spannung 0 angezeigt wird, dann die Stecker an den Elektroden abziehen ohne diese zu berühren und die Leitungen kurzschließen. Erst dann kann die Spektralröhre gefahrlos gewechselt werden! Ist g die Gitterkonstante dann gilt für die Intensitätsmaxima in.ordnung für die Beugung am Gitter (Abb.3): mit sin α = λ i g (0) tan α = b i a erhält man aus (0) für die Wellenlänge: λ i = g sin arctan b i () a. Vermessung der Wasserstoffspektrallinien Dazu werden die Abstände der Linien in.ordnung auf der linken und rechten Seite der Spektralröhre vermessen und daraus der Mittelwert bestimmt. Nach Gl. () werden dann daraus die Wellenlängen berechnet. Der Fehler ελ i ist nach dem Fehlerfortpflanzungsgesetz zu berechnen. Desweiteren ist mit Gl. (9) die Rydberg- Konstante für jede Wellenlänge zu bestimmen. Die passenden Werte für die Hauptquantenzahl n können aus Abb. 2 entnommen werden. Der Mittelwert der nach Gl. (9) berechneten R H -Werte ist mit dem Literaturwert zu vergleichen. Bestimmen Sie auch die Fehler εr H und δr H. 2. Vermessung der Spektrallinien von He und Hg Bestimmen Sie wie oben die Wellenlängen und vergleichen Sie die Ergebnisse mit den Literaturwerten.

8 8 Fragen (zur Versuchsvorbereitung) ) Steigt oder sinkt bei zunehmender Hauptquantenzahl n der Abstand aufeinander folgender Energieniveaus in einem Atom? 2) Ist gemäß dem Bohr schen Atommodell die Gesamtenergie des Elektrons höher oder geringer, wenn es sich auf einer Bahn mit größerem Radius befindet? Ist seine kinetische Energie dann größer oder kleiner? 3) Wie hoch ist jeweils die Energie eines Photons bei den drei größten Wellenlängen der Balmer-Serie des Wasserstoffatoms? Wie groß sind diese Wellenlängen? 4) Die Wellenlänge einer Spektrallinie des Wasserstoffatoms beträgt 97,254 nm. Welchem Übergang, der zum Grundzustand führt, entspricht ihr?

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