Eine Menge A ist die Zusammenfassung gleichartiger Elemente zu einer Gesamtheit. Eine Menge kann definiert werden durch

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1 1.2 Mengenlehre Grundlagen der Mathematik Mengenlehre Definition: Menge, Element, Variablenraum Eine Menge A ist die Zusammenfassung gleichartiger Elemente zu einer Gesamtheit. Eine Menge kann definiert werden durch a.) Aufzählung der Elemente der Menge : A = { a, b, c,... }, Dabei ist die Reihenfolge der Elemente ohne Bedeutung b.) Definition durch eine Aussageform p(x) : A = { x V p(x) } Alle Lösungen x der Aussageform p(x) definieren die Menge A. Als Variablenraum V bezeichnet man die Menge der zulässigen Variablen x. Schreibweise: Mengen werden mit großen lateinischen Buchstaben bezeichnet, die Elemente mit kleinen Buchstaben. Elementbeziehung: a A bedeutet : "a ist Element der Menge A" a A bedeutet : "a ist kein Element der Menge A" Beispiele für Mengen: 1.) A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } 2.) Menge der natürlichen Zahlen N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,...} 3.) Menge der ganzen Zahlen Z = { 0, +1, +2, +3, +4, +5, +6, +7, +8, +9, +10,... } 4.) B = { x N x enthält die Ziffer 3 } 5.) F = { x S x ist eine Straße in Osnabrück } Dabei ist S die Menge aller Straßen in Deutschland

2 1.2 Mengenlehre Grundlagen der Mathematik 2 Definition : Untermenge/Teilmenge, Echte Untermenge/Teilmenge, Gleichheit von Mengen, Obermenge, Echte Obermenge, Leere Menge, Disjunkte Mengen Seien A und B zwei Mengen. A heißt Untermenge/Teilmenge von B, in Zeichen A B, wenn jedes Element von A auch in B enthalten ist. B heißt dann auch Obermenge von A. A heißt echte Untermenge/Teilmenge von B, in Zeichen A B, wenn jedes Element von A auch in B enthalten ist, aber mindestens ein Element von B nicht Element von A ist. B heißt dann auch echte Obermenge von A. Die Gleichheit der Mengen A und B, in Zeichen A = B, bedeutet, dass jedes Element von A auch Element von B ist und umgekehrt. Es gilt: (A B) (B A) Eine leere Menge, in Zeichen {} oder, ist eine Menge, die keine Elemente besitzt. Die Mengen A und B heißen disjunkt, wenn sie keine gemeinsamen Elemente besitzen. Schreibweise mit log. Aussageformen: A B x ( x A x B ) x ( p(x) q(x) ) A = B x ( x A x B ) x ( p(x) q(x) ) Venn'sche Diagramme leisten die Darstellung von Mengenmodellen in grafischer Form A B Mögliche Lagen von zwei Mengen A und B zueinander: 1.) A und B haben keine gemeinsame Elemente, d. h. sie sind disjunkt 2.) A und B besitzen gemeinsame Elemente 3.) A ist in B enthalten bzw. B ist in A enthalten 4.) A und B sind gleich

3 1.2 Mengenlehre Grundlagen der Mathematik 3 Definition : Vereinigungsmenge, Durchschnittsmenge, Restmenge, Komplementmenge Seien A und B zwei Mengen mit dem gemeinsamen Variablenraum V. Dann definiert man die folgenden Mengen Vereinigungsmenge A B = { x V x A x B } Durchschnittsmenge A B = { x V x A x B } Restmenge A \ B = { x V x A x B } Komplementmenge A = { x V x A } Rechenregeln für Mengenoperationen Für beliebige Mengen A, B und C gelten die folgenden Gesetze 1.) Assoziationsgesetze ( A B ) C = A ( B C ) = A B C ( A B ) C = A ( B C ) = A B C 2.) Distributivgesetze A ( B C ) = ( A B ) ( A C ) A ( B C ) = ( A B ) ( A C ) 3.) Gesetze von de Morgan A B A B = A B = A B 4.) Darstellung der Restmenge A \ B B \ A = A B = B A

4 1.2 Mengenlehre Grundlagen der Mathematik 4 Darstellung einer Menge durch disjunkte Teilmengen Bei der Lage mehrerer Mengen A 1, A 2, A 3, A 4,, A n zueinander entstehen 2 n Teilmengen bezüglich der Lage von Elementen zu diesen n Teilmengen. disjunkte Für 3 Mengen A, B und C existiert z. B. eine Zerlegung in 8 disjunkte Teilmengen bzgl. der 3 Aussageformen p(x) x A, q(x) x B und r(x) x C. Die 8 möglichen disjunkten Teilmengen sind dann A B C, A B C, A B C, A B C, A B C, A B C, A B C, A B C Aus diesen Teilmengen lassen sich alle Teilmengen, die aus A, B und C durch Mengenoperationen entstehen, durch Vereinigung zusammensetzen. Beispiele für Mengenoperationen Seien die Mengen A, B und C definiert durch A = { x N x ist eine Primzahl } = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,... } B = { x N x 5 x 70 } = { 5, 6, 7, 8, 9,..., 68, 69, 70 } C = { x N x = 2 n mit n N } = { 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256,... } Dann ergeben sich die folgenden Mengen aus Mengenoperationen 1.) ( A B ) \ C = { 5, 7, 11,..., 61, 67 } 2.) B C = { 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9,..., 68, 69, 70, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096,... } 3.) A C = { 2 } 4.) ( A \ B ) C = { 2 }

5 1.2 Mengenlehre Grundlagen der Mathematik 5 Definition : Mächtigkeit von Mengen Für Mengen mit endlich vielen Elementen bezeichnet man die Anzahl ihrer Elemente als Mächtigkeit der Menge, in Zeichen A = n. Für Mengen mit einer nicht endlichen Anzahl von Elementen wird ihre Mächtigkeit als unendlich definiert, in Zeichen A =. Beispiele : 1.) Die Menge W = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } besitzt die Mächtigkeit 6, 2.) Die Menge C = { a, b, f, g, k, p, u, q } besitzt die Mächtigkeit 8, in Zeichen C = 8. 3.) Die Mengen N und Z besitzen unendliche Mächtigkeit. Definition : Kartesisches Mengenprodukt Seien A und B zwei Mengen. Als kartesisches Produkt A x B bezeichnet man die Menge aller geordneten Elementepaare ( a ; b ) mit a A und b B A x B = { ( a ; b ) a A b B } Sind n Mengen A 1, A 2,..., A n gegeben, so ist das mehrfache kartesische Produkt definiert durch A 1 x A 2 x... x A n = { ( a 1, a 2,, a n ) a 1 A 1 a 2 A 2... a n A n } Beispiele : 1.) Die Menge W = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } und die Menge F = { r, g, b } besitzen das kartesische Produkt W x F = { (1 ; r), (2 ; r), (3 ; r),...,(6 ; r), (1 ; g), (2 ; g), (3 ; g),...,(6 ; g), (1 ; b), (2 ; b), (3 ; b),...,(6 ; b) } mit der Mächtigkeit 18 in Zeichen W x F = 18 2.) Die Menge R der reellen Zahlen besitzt die kartesischen Produkte R 2 = R x R = { ( x ; y ) x R y R } R 3 = R x R x R = { ( x ; y ; z ) x R y R z R }

6 1.2 Mengenlehre Grundlagen der Mathematik 6 Definition : Potenzmenge Die Potenzmenge P(A) einer Menge A ist die Menge aller Teilmengen von A. Sie enthält auch die leere Menge und die Menge A als Elemente. Beispiele : 1.) Die Menge L = { 0, 1 } besitzt die Potenzmenge P(L) = { {}, {0}, {1}, {0,1} } mit der Mächtigkeit 4. 2.) Die Menge X = { 'A', 'E', 'I', 'O', 'U' } aller Vokale besitzt als Potenzmenge P(X) = { {}, {'A'},{'E'},{'I'},{'O'}, {'U'}, {'A','E'},{'A','I'}, {'A','O'},{'A','U'},...,{'O','U'}, {'A','E','I'}, {'A','E','O'},{'A','E','U'},...,{'I','O','U'}, {'A','E','I','O'},{'A','E','I','U'},{'A','E','O','U'},{'A','I','O','U'},{'E','I','O','U'}, {'A','E','I','O','U'} } Es gibt 5 Mengen mit 1 bzw. 4 Elementen und10 Mengen mit 2 bzw. 3 Elementen. Somit besitzt die Potenzmenge P(X) die Mächtigkeit 32 3.) Die Menge R der reellen Zahlen besitzt eine Potenzmenge P(R ) unendlicher Mächtigkeit: Darin sind Mengen enthalten, die aus einem oder mehreren Punkten der Zahlengeraden bestehen, darüber hinaus alle Intervalle und deren Vereinigungen und Durchschnitte, etc.