2 Mengen und Abbildungen

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1 2.1 Mengen Unter einer Menge verstehen wir eine Zusammenfassung von Objekten zu einem Ganzen. Die Objekte heiÿen Elemente. Ist M eine Menge und x ein Element von M so schreiben wir x M. Wir sagen auch: x gehöre zu M oder x liegt in M. Ist x kein Element von M so schreiben wir x / M. Eine Menge kann durch Aufzählung ihrer Elemente, z.b. durch M = {a, b, c, d} oder durch Angabe einer Eigenschaft ( Aussageform) beschrieben werden M = {x x hat Eigenschaft E}. Beispiel 2.1 Zunächst benutzen wir Zahlenmengen als Beispiele. Im folgenden spendieren wir diesen die üblichen Bezeichnungen. (1) Die Menge der natürlichen Zahlen N := {1, 2, 3, 4, 5, 6,...}. N enthält mit jeder Zahl n auch die Zahl n + 1. (2) Die Menge der natürlichen Zahlen einschlieÿlich 0: (3) Die Menge der ganzen Zahlen N 0 := {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,...}. Z := {..., 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,...}. Z enthält 0 und mit jeder natürlichen Zahl n auch n. (4) Die Menge der Primzahlen P := {p N p = p 1 p 2 für p 1, p 2 N mit p 1 p 2 impliziert p 1 = 1 < p 2 }, 11

2 Mengen haben aber nicht unbedingt etwas mit Zahlen zu tun. In kürze werden wir auch mit Mengen aus Mengen, Mengen aus Abbildungen usw. arbeiten. Zwei Mengen M und N sind gleich, d.h. M = N, wenn sie dieselben Elemente haben. D.h. M = N bedeutet (x M x N). Eine Menge M heiÿt Teilmenge von N, d.h. M N, falls jedes Element von M zu N gehört. Hier sei betont, dass die Bezeichnung M N auch erlaubt, dass M = N ist 1. Will man ausdrücken, dass M eine echte Teilmenge von N ist, d.h. M N und M N gilt schreibt man M N. Um zu zeigen, dass eine Menge M Teilmenge einer anderen Menge M ist, muÿ man zeigen, dass für jedes Element x M auch x N gilt. Um zu zeigen, dass zwei Mengen M und N gleich sind, beweist man zunächst M N und dann N M. Die Menge := {x M x x} heiÿt leere Menge. Sie ist eindeutig bestimmt und hängt nicht von M ab. Die leere Menge M ist Teilmenge jeder Menge; enthält selbst kein Element. Die Potenzmenge 2 M von M ist die Menge aller Teilmengen von M : 2 M = {N N M}. Beispiel {0,1} = {, {0}, {1}, {0, 1}}, 2 = { }, 2 2 = {, { }}. Operationen mit Mengen Im folgenden stellen wir einige wichtige Operationen mit Mengen vor: Die Vereinigung Die Vereinigung M N := {x x M x N} zweier Mengen M, N besteht sowohl aus den Elementen von M als auch aus denen von N. Beispiel 2.3 Z = N 0 { n n N}. 1 das ist leider nicht einheiltlich in der Literatur. In manchen Büchern und Vorlesungen werden die Symbole (statt ) bzw. (statt und ) benutzt. 12

3 Sei allgemeiner S eine Menge, deren Elemente selbst Mengen sind. Die Vereinigung der Mengen aus S ist die Menge M S M := {x M S mit x M}. M S M ist also die Menge der Elemente, die mindestens einem M S angehören. Oft wird das Mengensystem indiziert, d.h., jedem Element von S wird ein eindeutiger Index i aus einer Indexmenge I zugeordnet, d.h., S = {s i i I}. Wir schreiben M i := {x i I mit x M i }. i I Beispiel 2.4 Sei I = N und M i := {i, i + 1,...,2i} für i N. Dann ist M i = N i I Beweis: Da jede der Mengen M i Teilmenge von N ist, gilt i I M i N. Wir müssen also noch zeigen, dass auch N i I M i gilt. Sei also n ein beliebiges Element aus N, dann ist n M n. Folglich ist n i I M i. Da n beliebig war, gilt N i I M i. Der Durchschnitt Der Durchschnitt zweier Mengen M und N M N := {x x M x N} ist die Menge aller Elemente, die sowohl zu M als auch zu N gehören. Allgemeiner ist M := {x M S giltx M} M S der Durchschnitt einer nichtleeren Menge S von Mengen. Er besteht aus den Elementen, die zu allen M S gehören. Oder mit Indexschreibweise M i := {x i I ist x M i }. i I Beispiel 2.5 Sei I die Indexmenge I = N und M i := {n N i < n < 4i}. Dann ist M i =. Beweisen Sie diese Gleichheit, ähnlich wie in Beispiel 2.4. i I 13

4 Das Komplement Das Komplement einer Menge N in M (oder die Dierenz von M und N) ist die Menge M\N := {x x M x / N}. M\N besteht aus allen Elementen von M, die nicht zu N gehören. Zum Beispiel ist Z\N = {0, 1, 2,...}. Wir halten nun folgende wichtige Zusammenhänge fest. (a) M\M =, M\ = M. (b) M M = M, M M = M. (c) Kommutativität: (d) Assoziativität: M N = N M, M N = N M. (M N) L = M (N L), (M N) L = M (N L). (e) Distributivität: (M N) L = (M L) (M L), (M N) L = (M L) (M L). (f) Für die Teilmengen M, N einer Menge X gilt: (1) (2) X\(X\M) = M. X\(M N) = (X\M) (X\N) X\(M N) = (X\M) (X\N) } de Morgansche Regel. (3) Allgemeiner gilt sogar X\ M S M = M S (X\M) X\ M S M = M S (X\M) } de Morgansche Regel. Wie beweist man solche Regeln? Wir führen dies am Beispiel der zweiten De Morganschen Regel einmal vor: Beweis von X\(M N) = (X\M) (X\N) (i) Zunächst zeigen wir X\(M N) (X\M) (X\N). Sei also x X\(M N). Dann ist x X aber x / M N. Demnach ist x weder Element von N noch 14

5 Element von M. Also ist x sowohl in X\M wie auch in X\N und damit auch im Schnitt dieser beiden. (ii) Nun zeigen wir X\(M N) (X\M) (X\N). Ist x (X\M) (X\N), dann ist x sowohl in X\M wie auch in X\N. damit ist x weder in M noch in N und damit in X\(M N). Kartesisches Produkt Das geordnete Paar (Tupel) zweier Objekte x, y ist das Objekt (x, y) mit der Eigenschaft (x, y) = (x, y ) x = x und y = y. Insbesondere ist (x, y) (y,x) falls x y. Formal kann man (x, y) als Menge denieren vermöge (x, y) := {{x}, {x, y}}. Man zeigt dann leicht (Übungsaufgabe), daÿ die obige Eigenschaft erfüllt ist. Das kartesische Produkt zweier Mengen M, N ist die Menge M N := {(x, y) x M und y N}. Beispiel 2.6 Die Menge N N besteht aus den Paaren (a, b) mit a N und b N. Also N N = {(1, 1), (1, 2), (2, 1),...}. Analog bildet man das n-fache Produkt M 1 M n := {(x 1,...,x n ) x 1 M 1 x n M n }. Dabei werden die n-tupel (x 1,...,x n ) rekursiv durch deniert mit der Eigenschaft (x 1,...,x n ) := ((x 1,...,x n 1 ), x n ) (x 1,...,x n ) = (y 1,...,y n ) x 1 = y 1,...,x n = y n. Eigenschaften des Produkts (a) (M 1 M 2 ) N = (M 1 N) (M 2 N). (b) (M 1 M 2 ) N = (M 1 N) (M 2 N). Versuchen Sie mal einer dieser beiden Eigenschaften zu beweisen. Zeigen Sie dazu, dass jedes Element aus (M 1 M 2 ) N auch in (M 1 N) (M 2 N) liegt, und das jedes Element aus (M 1 N) (M 2 N) auch in (M 1 M 2 ) N liegt. 15

6 Quotienten Sei M eine Menge. Eine Relation auf M ist eine Teilmenge R M M. Wir schreiben: x R y : (x, y) R. Eine Relation auf M heiÿt Äquivalenzrelation, wenn stets gilt: (a) x R x (Reexivität) (b) x R y y R x (Symmetrie) (c) x R y und y R z x R z (Transitivität) Wir lesen x R y als x ist äquivalent zu y bezüglich R. Beispiel 2.7 Betrachte M = N und R = {(a, b) N N a+b gerade}. Dann sind also a und b äquivalent genau dann wenn a und b gerade sind oder wenn a und b ungerade sind. Beispiel 2.8 Betrachte M = N N und die Relation R := {((a, b), (c, d)) a + d = c + b}. Dann sind zum Beispiel die Paare (1, 2) und (3, 4) äquivalent. Jede Äquivalenzrelation auf einer Menge M deniert eine zugehörige Zerlegung von M in disjunkte Teilmengen. Dazu ist für jedes x M die Äquivalenzklasse von x bezüglich R deniert als Teilmenge Kl(x) := {y M x R y}. Satz 2.9 Für jede Äquivalenzrelation R M M gilt: (a) x Kl(x) (b) x R y Kl(x) = Kl(y) (c) Kl(x) Kl(y) Kl(x) Kl(y) =. Beweis: (a) ist klar, wegen x R x. Ist Kl(x) = Kl(y), so gilt y Kl(y) = Kl(x), also y R x. Sei umgekehrt y R x und z Kl(y), so also z R y und y R x z R x. Daher z Kl(x). Da z beliebig war folgt Kl(y) Kl(x). 16

7 Die Symmetrie besagt y R x x R y. Also gilt ebenfalls Kl(x) Kl(y). Das beweist (b). Für z Kl(x) Kl(y) ist z R x und z R y also x R y Kl(x) = Kl(y). Ist Kl(x) = Kl(y), so gilt Kl(x) Kl(y) = Kl(x), da x Kl(x). Mit Hilfe einer Äquivalenzrelation kann man nun neue Mengen konstruieren. Denition 2.10 Sei R eine Äquivalenzrelation auf der Menge M. Der Quotient M/R von M bezüglich R ist deniert als die Menge der Äquivalenzklassen von R: M/R := {Kl(x) x M}. Beispiel 2.11 Sei wieder M = N und R = {(a, b) N N a + b gerade}. Dann besteht die Menge M/R aus zwei Elementen, nämlich zum einem aus der Menge der ungeraden Zahlen Kl(1) und der Menge der geraden Zahlen Kl(2). Beispiel 2.12 Gegeben sei M = N N und die Relation R := {((a, b), (c, d)) a + d = c + b}. Die Element des Quotienten M/R sind die Klassen...,Kl(1, 3), Kl(1, 2), Kl(1, 1), Kl(2, 1), Kl(3, 1),... Wir werden die Konstruktion aus Beispiel 2.12 in Kapitel 4 wiedersehen, wenn wir die ganzen Zahlen aus den natürlichen Zahlen konstruieren. 2.2 Abbildungen Eine Abbildung f einer Menge M in eine Menge N ist eine Vorschrift, die jedem Element x M jeweils ein eindeutig bestimmtes Element y = f(x) N zuordnet. y = f(x) heiÿt Wert von f an der Stelle x. M heiÿt Denitionsbereich, N der Wertebereich von f. Schreibweise: f : M N, x f(x) Beispiel 2.13 Oft werden Abbildungen durch Terme deniert, z.b.: f : Z Z, z z 2. 17

8 Ein anderes Beispiel ist g : N N n g(n) und g(n) sei die kleinste Primzahl gröÿer als n. Im zweiten Beispiel ist nicht unbedingt klar, ob die Abbildung g wohldeniert ist,d.h. ob jedem Wert aus dem Denitionsbereich auch ein eindeutiger Wert aus dem Bildbereich zugeordnet wird. Gibt es zu jedem n N immer eine eindeutige kleinste Primzahl die gröÿer ist alsn? Die Frage kann man bejahen, wenn man weiÿ, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Zwei Abbildungen f 1 : M 1 N 1, f 2 : M 2 N 2 heiÿen gleich wenn gilt (i)m 1 = M 2, N 1 = N 2 und (ii) f 1 (x) = f 2 (x) für alle x M 1 = M 2. Ist beides erfüllt schreiben wir f 1 = f 2. Beispiel 2.14 Betrachten Sie die Abbildungen f : Z Z, z z 2, g : N Z, z z 2 und h : N Z, h(z) :=gröÿte natürliche Zahle kleiner als z Obwohl f(z) = g(z) für alle z Z gilt, ist f g. Andererseits sind die Abbildungen g und h gleich. Wir führen nun eine Reihe wichtiger Bezeichnungen ein: a) Der Graph einer Abbildung f : M N ist die Teilmen- Denition 2.15 ge Γ f := {(x, f(x)) x M} M N. b) Das Bild einer Teilmenge A M unter f : M N ist die Teilmenge f(a) := {f(x) x A}. f(m) heiÿt Bildmenge von M. c) Das Urbild einer Teilmenge B N ist die Teilmenge f 1 (B) := {x M f(x) B}. d) Die Faser eines Elementes y N unter f ist das Urbild f 1 ({y}) := {x M f(x) = y}. Oft schreibt man auch f 1 (y) statt f 1 ({y}). e) Sei A eine Teilmenge von M. Dann nennt man f A : A N, x f(x) die Einschränkung von f auf A. 18

9 Beispiel 2.16 Es sei f : N N, n { 1 falls n 4, n 2 falls n < 4. Weiter sei P N die Menge der Primzahlen. Das Bild von P unter f ist f(p) = {1, 4, 9}, denn f(1) = 1, f(2) = 4, f(3) = 9 und f(n) = 1 für alle n 4. Das Urbild von P N unter f ist f 1 (P) =, denn f(n) ist für kein n N eine Primzahl. Die Faser des Elementes 4 ist f 1 ({4}) = {2}. Denition 2.17 Eine Abbildung f : M N heiÿt (a) injektiv, wenn für alle x 1, x 2 M gilt f(x 1 ) = f(x 2 ) x 1 = x 2. Eine äquivalente Denition ist, dass die Faser f 1 ({y}) für jedes y N höchstens ein Element hat. (b) surjektiv, wenn f(m) = N. Eine äquivalente Denition ist, dass die Faser f 1 ({y}) für jedes y N mindestens ein Element hat. (c) bijektiv, wenn f injektiv und surjektiv ist. Eine äquivalente Denition ist, daÿ die Faser f 1 ({y}) für jedes y N genau ein Element hat. Beispiel 2.18 Betrachten Sie die Abbildungen f : Z Z, z z 2 und g : N N, g(z) = z 2. f ist weder injektiv (denn f( 1) = f(1)) noch surjektiv (denn für alle z Z ist f(z) 1). Die Abbildung g ist injektiv, denn f(z 1 ) = f(z 2 ) impliziert z 1 = z 2. g ist aber nicht surjektiv, denn das Bild von f(n) ist echt kleiner als der Wertebereich N. Für alle z N gilt z.b. f(z) 3. Es gelten die folgenden Regeln für Bild- und Urbildmengen. Satz 2.19 Für jede Abbildung f : M N und Teilmengen A, A 1, A 2 M, B 1, B 2 N gilt: (a) (b) (c) (d) f 1 (B 1 B 2 ) = f 1 (B 1 ) f 1 (B 2 ) f 1 (B 1 B 2 ) = f 1 (B 1 ) f 1 (B 2 ) f(a 1 A 2 ) = f(a 1 ) f(a 2 ) f(a 1 A 2 ) f(a 1 ) f(a 2 ) 19

10 (e) A f 1 (f(a)) Beweis: Wir zeigen hier nur eine der Aussagen. Dafür sehr ausführlich. Der Rest ist Übung für Sie. Sei zunächst x f 1 (B 1 B 2 ), d.h. f(x) B 1 B 2. Ist f(x) B 1 so ist x f 1 (B 1 ). Ist f(x) B 2 so ist x f 1 (B 2 ). In beiden Fällen gilt x f 1 (B 1 ) f 1 (B 2 ) und damit f 1 (B 1 B 2 ) f 1 (B 1 ) f 1 (B 2 ). Wir müssen also noch f 1 (B 1 B 2 ) f 1 (B 1 ) f 1 (B 2 ) zeigen. Ist x f 1 (B 1 ) f 1 (B 2 ) dann ist f(x) entweder in B 1 oder in B 2. Es gilt also f(x) B 1 B 2 und damit x f 1 (B 1 B 2 ). Bemerkung: liest man die Aussagen (d) und (e), dann fragt man sich sofort, ob denn nicht auch Gleichheit anstelle der Inklusion gilt. Überlegen Sie sich Beispiele welche belegen, dass die Gleichheiten nicht gelten. Denition 2.20 Die Zusammensetzung oder Komposition der Abbildungen f : M N und g : N P ist die Abbildung g f : M P, x g(f(x)). (Lies: g nach f.) Falls Denitionsbereich und Wetrebereich gleich sind (also f : M M) schreiben wir auch f 2 statt f f. Die Abbildung id M : M M, x x ist die identische Abbildung (auf der Menge M). Regel 2.21 Kompositionen gehorchen den evidenten Gesetzen: (a) Für je drei Abbildungen f : M N, g : N P, h : P Q gilt h (g f) = (h g) f (b) Für jede Abbildung f : M N gilt: Assoziativität. id N f = f = f id M Einheitsgesetz Satz 2.22 Eine Abbildung f : M N ist genau dann bijektiv, wenn es eine Abbildung g : N M gibt mit g f = id M und f g = id N. Ein solches g ist eindeutig bestimmt durch f. g heiÿt auch Umkehrabbildung von f und man setzt g = f 1. Beweis: Ist f bijektiv, so gibt es für jedes y N genau ein x M mit f(x) = y. Man setzt dann g(y) := x und erhält eine Abbildung g : N M; mit den bekannten Eigenschaften. Zur Umkehrung sei g : N M Abbildung mit g f = id N, f g = id N. Aus f g = id N folgt f(g(n)) = id N (N) = N. Also N = f(g(n)) f(m) N und daher f(m) = N. Also ist f surjektiv. Aus g f = id N folgt analog die Injektivität von f. Denn sei f(x) = f(y) für x, y M. Dann ist x = g(f(x)) = g(f(y)) = y, was zu zeigen war. 20

11 Sind f : M N, g : N P bijektive Abbildungen, so ist auch das Kompositum g f : M P bijektiv und für die entsprechenden Umkehrabbildungen gilt: (g f) 1 = f 1 g 1. Man überzeuge sich davon, dass die vertauschte Reihenfolge richtig ist. 21