t 1 t cos(t) sin(t) haben als Spur jeweils den Einheitshalbkreis in der oberen Halbebene.

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1 Kpitel Kurvenintegrle Kurven Sei I = [, b] R ein Intervll Eine Weg ist eine Abbildung dieses Intervlls in den R d, d, : I R d Dbei nennt mn () den Anfngspunkt, (b) den Endpunkt und ds Bild ([, b]) die Spur des Weges Der Weg wird von () nch (b) durchlufen Die obige Abbildungsvorschrift nennt mn Prmetrisierung des Weges Beispiel Zwei Wege können die gleiche Spur besitzen: ( t : I = [, ], (t) = t 2 2 : I = [, π], 2 (t) = ( cos(t) sin(t) ), t I, ), t I, hben ls Spur jeweils den Einheitshlbkreis in der oberen Hlbebene Zwei Wege mit der gleichen Spur sollen ls die gleiche Kurve bezeichnet werden, flls der Druchlufsinn der Spuren sowie die Anzhl der Durchläufe gleich sind Im Beispiel ist der Durchlufsinn der Spuren unterschiedlich, lso hndelt es sich nicht um die gleichen Kurven Wir werden hier nur Kurven betrchten, bei denen der Tngentenvektor d/dt =: (t) n keiner Stelle t I verschwindet Mn spricht dnn von einer regulären Kurve Beispiel 2 Die Archimedische Spirle ist für t durch ( ) t cos t t (t) = t sin t gegeben 3

2 Es gilt Drus folgt (t) = ( cos t t sin t sin t + t cos t ) (t) 2 = (cos t t sin t) 2 + (sin t + t cos t)2 = + t 2 Dmit ist die Archimedische Spirle uf [, ) regulär Weitere Beispiel Übungsufgben Wird die betrchtete Kurve durch eine Funktion f : [, b] R definiert, so knn mn ls Prmetrisierung ( ) t t (t) =, f(t) t [, b] () verwenden, siehe in Beispiel 2 Sklres Kurvenintegrl Ds sklre Kurvenintegrl wurde früher uch Kurvenintegrl Art gennnt Es ist eine Verllgemeinerung des Integrls definiert uf einem Intervll der x Achse uf ein Integrl welches uf einer Kurve definiert ist Es dient vor llem der Berechnung der Länge von Kurven Wir betrchten eine Kurve im R d und endlich viele Teilpunkte () = A, A,, A n, A n = (b) uf dieser Kurve, die vom Anfngs zum Endpunkt numeriert sind Zu den Teilpunkten A, A,, A n gehört ds Sehnenpolygon S mit der Länge n n l(s) = A i+ A i 2 = σ i i= i= 4

3 A A A 2 S A 3 A 4 A n+ A n Um eine Berechnungsvorschrift für die Länge von zu erhlten, gehen wir nlog wie bei der Herleitung des (Riemnn) Integrls über Intervllen vor Wir betrchten eine Zerlegung der Kurve durch immer mehr Punkte A i und zwr so, dss mx i A i+ A i 2 Strebt die Länge der Sehnenpolygone einem endlichen Grenzwert zu, der nicht von der Whl der Punkte A i bhängig ist, so ist dieser Grenzwert gleich der Länge der Kurve und mn schreibt l() = ds, wobei ds ls sklres Bogenelement bezeichnet wird Kurven mit endlicher Länge l() < werden rektifizierbr gennnt Ai+ = (x(ti+), y(ti+)) T σi Ai = (x(ti), y(ti)) T Abbildung : Sehne σ i Betrchten wir den zweidimensionlen Fll, (t) = (x(t), y(t)) T, dnn lässt sich σ i wie in Abb vernschulichen Mn ht (Pythgors) σ i = (x(t i+ ) x(t i )) 2 + (y(t i+ ) y(t i )) 2 = (x(ti+ ) 2 ( ) 2 ) x(t i ) y(ti+ ) y(t i ) + (t i+ t i ), t i+ t i t i+ t i worus mn im Grenzprozess ds = (ẋ(t)) 2 + (ẏ(t)) 2 dt = (t) 2 dt erhält Diese Beziehung gilt sinngemäß uch in höheren Dimensionen Mn erhält lso l() = b (t) 2 dt (2) Beispiel 3 Ein Kreis K mit Rdius r und Mittelpunkt (x, y ) ist durch ( ) r cos t + x t (t) =, t [, 2π], r sin t + y 5

4 gegeben Der Umfng des Kreises knn einfch mit (2) berechnet werden l(k) = 2π ( r sin(t))2 + (r cos(t)) 2 dt = r 2π sin 2 (t) + cos 2 (t) dt = 2πr Weitere Beispiele Übungsufgben Im Flle einer sklren Funktion einer sklren Veränderlichen, in welchem mn die Prmetrisierung () verwenden knn, wird us der Formel (2) für die Kurvenlänge b l(f) = + (f (t)) 2 dt Die Berechnung der Kurvenlänge ist ein Spezilfll des sklren Kurvenintegrls Im llgemeinen sklren Kurvenintegrl ist eine Funktion uf der Kurve gegeben f : ([, b]) R und mn sucht den Inhlt der Fläche zwischen f und der Kurve Mit der obigen Vorgehensweise erhält mn die Berechnungsvorschrift f(s) ds = b f((t)) (t) 2 Die Länge von erhält mn für f Einfche Eigenschften des sklren Kurvenintegrls sind: - Linerität (λf(s) + µg(s)) ds = λ f(s) ds + µ g(s) ds, λ, µ R, - Integrlbschätzung dt f(s) ds l() sup f(x) x - Ds sklre Kurvenintegrl ist unbhängig vom Durchlufsinn der Kurve Bei der Kurvenlänge ist ds unmittelbr us (2) einzusehen D < b für jede Prmetrisierung ist und der Integrnd positiv ist, so ist der Integrlwert uch positiv (Übungsufgbe) 3 Vektorielles Kurvenintegrl Eine große Bedeutung in der Prxis besitzt ds vektorielle Kurvenintegrl Dieses wurde früher uch Kurvenintegrl 2 Art gennnt Ds vektorielle Kurvenintegrl ist für Vektorfelder definiert Unter einem Vektorfeld verstehen wir eine Abbildung v : Ω R d R d Anschulich denkt mn sich den Vektor v(x) im Punkt x ngeheftet Beispiele von Vektorfeldern sind Geschwindigkeitsfelder, Grvittionsfelder, elektrische oder mgnetische Felder Sei : [, b] R d eine reguläre Kurve Dnn ist ds vektorielle Kurvenintegrl definiert durch b v dx := v dx + + v d dx d = v((t)) (t) dt Ds Symbol dx = (t) dt steht dbei für ds vektorielle Bogenelement Ds vektorielle Kurvenintegrl knn folgende Bedeutungen in der Physik besitzen: 6

5 Vektorfeld Krftfeld Geschwindigkeitsfeld elektrische Feldstärke infinitesimle Wärmeänderung Kurvenintegrl Arbeit Zirkultion elektrische Spnnung Wärmemenge Beispiel 4 Ein Mssenpunkt im Koordintenursprung erzeugt ein Grvittionsfeld, ds bis uf einen konstnten Fktor gegeben ist durch G(x) = x x 3 = (x x2 2 + x x 2 x2 3 )3/2 x 3 Wird ein zweiter Mssenpunkt der Msse längs der Kurve R 3 \, : [, b] R 3 bewegt, so ist die n ihm geleistete Arbeit ds Wegintegrl Mn erhält mit der Kettenregel b G dx = (t) (t) 3 2 (t) dt d = d (t) dt (t) 2 dt ( 2 (t) (t) + = (t) 2 3 (t))/2 (t) 3 2 Somit ergibt sich für die geleistete Arbeit G dx = b d dt = dt (t) 2 (b) 2 () 2 Mn sieht insbesondere, dss in diesem Krftfeld die Arbeit nicht von der konkreten Kurve bhängt, sondern nur von deren Anfngs und Endpunkt Ist die Kurve geschlossen, stimmen lso Anfngs und Endpunkt überein, so wird keine Arbeit geleistet Beispiel 5 Fließt durch einen Drht, der in der x 3 Achse liegt, ein konstnter Strom, so erzeugt dieser nch dem Biot-Svrtschen Gesetz ein Mgnetfeld ußerhlb des Drhts, ds bis uf einen konstnten Fktor durch H(x) = x 2 + x 2 x x2 2 gegeben ist Die Integrtion über eine geschlossene Kurve, etw einen Kreis in der x x 2 Ebene (t) = (r cos(t), r sin(t), ), t [, 2π], ergibt 2π r sin(t) r sin(t) H dx = r cos(t) r cos(t) r 2 dt = 2π In diesem Beispiel verschwindet lso ds vektorielle Kurvenintegrl über die geschlossene Kurve nicht Eigenschften des vektoriellen Kurvenintegrls sind: - Additivität Ist = + 2 mit, 2 regulär, so gilt v dx = v dx + v dx, 2 7

6 - Linerität (λv + µw) dx = λ - Integrlbschätzung v dx v dx + µ w dx, l() sup v(x) 2 x - Ds Vorzeichen des vektoriellen Kurvenintegrls hängt vom Durchlufsinn der Kurve b Wichtige Felder in der Physik sind diejenigen, für welche der Wert des vektoriellen Kurvenintegrls nur vom Anfngs und Endpunkt des Weges, ber nicht vom Weg selber bhängt Vektorfelder v : Ω R d R d, die diese Eigenschft besitzen, werden konservtiv gennnt Eine einfche Schlussfolgerung besteht drin, dss ein Vektorfeld genu dnn konservtiv ist, wenn ds Kurvenintegrl über lle geschlossenen, stückweise regulären Kurven in Ω verschwindet Stz 6 Ein Vektorfeld v : Ω R d R d ist genu dnn konservtiv, wenn es eine stetig differenzierbre Abbildung U : Ω R gibt, so dss v = U = grd U, dh v ist ein Grdientenfeld In diesem Fll ist ds Kurvenintegrl über eine Kurve vom Punkt P nch P 2 gegeben durch v dx = U(P 2 ) U(P ) U heißt Potentil von v Beweis: Jedes Grdientenfeld ist konservtiv Mit Kettenregel gilt Ds Kurvenintegrl über ist dnn v dx = d U((t)) = U((t)) (t) = v((t)) (t) dt b v((t)) (t) dt = = U(P 2 ) U(P ) b d U((t)) dt = U((b)) U(()) dt Für den Beweis der Umkehrung, dss jedes konservtive Vektorfeld ein Grdientenfeld ist, sei uf die Litertur verwiesen Ein einfches notwendiges Kriterium um zu entscheiden, ob ein Vektorfeld ein Grdientenfeld ist, bsiert uf dem Stz von Schwrz Dieser besgt, dss unter gewissen Bedingungen, für die gemischten Ableitungen einer Funktion U : Ω R d R gilt 2 U (x) = 2 U (x), i, j =,, d, x Ω, x i x j x j x i ds heißt, die Reihenfolge der Differentition ist egl Ist v = (v,, v d ) T = U, dnn folgt v i = v j, i, j =,, d (3) x j x i 8

7 Ein Vektorfeld, welches Bedingung (3) erfüllt, wird rottionsfrei gennnt Im R 3 gibt es den sogennnten Rottionsopertor e x e x2 e x3 v 3 x rot v := v = x v v 2 v 3 = 2 v2 v v3 x, (4) v 2 x v mit welchem ein rottionsfreies Vektorfeld kurz mit v = chrkterisiert werden knn Ds Symbol ist hier die Determinnte Die Schwierigkeit bei dieser Chrkterisierung steckt im Detil Der Schluss von Rottionsfreiheit eines Vektorfelds uf ein Grdientenfeld hängt von der Beschffenheit des Gebiets Ω b Ein Gebiet ist eine offene und zusmmenhängende Menge Dieses wird sternförmig gennnt, wenn es einen Punkt x Ω gibt, so dss mit jedem Punkt x Ω uch die Verbindungsstrecke zwischen x und x in Ω liegt Anschulich bedeutet dies, dss mn vom Zentrum x us jeden Punkt x Ω,,sehen knn Ein Gebiet Ω heißt einfch, wenn es eine eine eineindeutige Abbildung von Ω uf ein sternförmiges Gebiet gibt, die hinreichend oft differenzierbr ist Anschulich entsteht ein einfches Gebiet durch,,verbiegen eines sternförmigen Gebiets Beispiel 7 Ein einfches Gebiet muss nicht sternförmig sein So knn mn beispielsweise ds sternförmige Rechteck (, b) (c, d) eineindeutig uf einen Kreisring mit Schlitz bbilden Bild Für zweidimensionle Gebiete ht mn eine ndere, einfche Chrkterisierung eines einfchen Gebiets: Für jede in Ω liegende einfch geschlossene Kurve muss der von dieser Kurve berndete endliche Bereich gnz zu Ω gehören Mn nennt diese Gebiete uch einfch zusmmenhängend Eine ähnliche Chrkterisierung gibt es in drei Dimensionen: In jede einfche geschlossene stückweise reguläre Kurve in Ω knn eine stückweise gltte, sich nicht durchdringende Fläche eingespnnt werden, die ls Rnd besitzt und gnz in Ω enthlten ist Beispiel 8 Für ds Vektorfeld H(x) us Beispiel 5 gilt H(x) = (,, x2 + x2 2 2x2 (x 2 + (x2 + x2 2 ) + ) T 2x2 2 x2 2 )2 (x 2 + = x2 2 )2 Ds Vektorfeld ist lso rottionsfrei Es ist jedoch nicht uf der x 3 Achse (,, x 3 ) definiert Mn knn zeigen, dss ds Definitionsgebiet nicht einfch ist Die nschuliche Beschreibung mit der eingespnnten Fläche knn mn nicht erfüllen Diese knn mn ber in Beispiel 4 erfüllen, bei welchem die Funktion uf R 3 \ {} definiert ist Nimmt mn d bespielsweise einen Kreis in der x x 2 Ebene ls geschlossen Kurve, so knn mn d eine Hlbkugel einspnnen und ds obige nschuliche Kriterium ist erfüllt Dieses Beispiel zeigt, dss die Rottionsfreiheit nur eine notwendige, ber keine hinreichende Bedingung ist Es gilt: Stz 9 Hinreichende Bedingung für die Existenz eines Potentils Ein stetig differenzierbres Vektorfeld v sei uf dem einfchen Gebiet Ω rottionsfrei Dnn gibt es uf Ω ein Potentil U mit v = U Für den Beweis dieses Stzes sei uf die Litertur verwiesen Die Berechnung des Potentils wird n einem Beispiel vernschulicht 9

8 Beispiel Gegeben sei v : R 3 R 3 mit v(x) = x + x 3 x 2 x 3 = v v 2 x x 2 v 3 Der R 3 ist ein sternförmiges Gebiet Es reicht, die Rottionsfreiheit von v zu überprüfen Die Bedingungen dfür sind nch (4) v = v 2 x (= ), v = v 3 x (= ), v 2 = v 3 (= ) Dmit existiert ein Potentil U Dieses wird mittels Integrtion berechnet Aus der Eigenschft des Grdientenfeldes folgt U(x) = v (x) dx = x2 2 + x x 3 + C (x 2, x 3 ) Differenziert mn dies nch x 2 und vergleicht mit v 2, so erhält mn x 2 x 3 = v 2 = U = C (x 2, x 3 ) Inegrtion ergibt C (x 2, x 3 ) = x 2 x 3 dx 2 = x2 2 2 x 2x 3 + C 2 (x 3 ), lso U(x) = x2 2 + x x 3 x2 2 2 x 2x 3 + C 2 (x 3 ) Nun differenziert mn U nch x 3 und vergleicht mit v 3 : x x 2 = v 3 = U = x x 2 + C 2(x 3 ) Drus folgt, dss C 2 (x 3 ) eine Konstnte C ist und mn erhält U(x) = x2 2 x x x 3 x 2 x 3 + C Durch Differentition rechnet mn schnell nch, dss U ds gesuchte Potentil ist