mathphys-online Zahlenlotto 6 aus 49 Quelle: Akademiebericht 470 Dillingen

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1 Zahlenlotto aus Quelle: Aademiebericht 470 Dillingen Spielregeln Beim Spiel Sechs aus Neunundvierzig werden jeden Mittwoch und Samstag sechs Gewinnzahlen gezogen. Dazu befinden sich nummerierte Kugeln in einer Lostrommel, aus der dann bei einer Ziehung Kugeln ausgewählt werden. Bei der Teilnahme muss man einen Lottoschein ausfüllen und an einer Lottoannahmestelle abgeben. Spielt man mit Zusatzzahl, wird zusätzlich zu den ersten sechs Zahlen wird aus den restlichen 4 Kugeln eine weitere Kugel als siebte Zahl gezogen. Sie erhöht in den niedrigeren Gewinnlassen den Gewinn um eine Stufe. Wenn z. B. von genau drei vom Spieler getippte Zahlen mit drei der sechs zuerst gezogenen Zahlen übereinstimmen, aber eine der drei verbleibenden Zahlen getippten Zahlen die Zusatzzahl ist, fällt er in die Gewinnlasse 8 (drei Richtige ohne Zusatzzahl). Stimmt jedoch von den drei verbleibenden getippten Zahlen eine mit der Zusatzzahl überein, verbessert sich die Gewinnlasse auf Klasse 7 (drei Richtige mit Zusatzzahl). Spielt man zusätzlich Super oder Spiel 77, braucht man nicht tippen, sondern die letzte Ziffer der Losnummer liefert die Superzahl, die sich aus den Ziffern 0 bis 9 ergibt. Das ist wie ein weiteres Los, bei dem die Chance für Richtige mit Superzahl ein Zehntel der Chance für Richtige, und die Chance für Richtige ohne Superzahl die übrigen neun Zehntel der Chance für Richtige beträgt. In unserem Fall sind die Zahlen, 9, 7, 5,, 4 angereuzt, die Superzahl ist (letzte Ziffer der Losnummer 585 Zahlenlotto aus Seite von 5

2 Aufgabe Beim Lottospiel aus werden n unterscheidbare Kugeln aus einem Vorrat von N Kugeln gezogen. a) Geben Sie ein Urnenmodell für die Ziehung an und berechnen Sie die Wahrscheinlicheit P E für das Ereignis E { sechs Richtige }. b) Bestätigen Sie die Formel P E N dass das Ereignis E eintritt. n N für die Wahrscheinlicheit, n ( Nn) c) Berechnen Sie die Wahrscheinlicheit P E für genau { Richtige }. d) Berechnen Sie die Wahrscheinlicheiten für genau { 5 Richtige }, { 4 Richtige }, { Richtige }, { Richtige }, { 0 Richtige }. e) Berechnen Sie die Wahrscheinlicheit für { Richtige ohne Zusatzzahl } und für { Richtige mit Zusatzzahl }. Teilaufgabe a) Die Kugeln werden nicht zurücgelegt und die Reihenfolge spielt eine Rolle. Es werden insgesamt sechs Ziehungen durchgeführt. Wahrscheinlicheiten für... die erste Kugel ist richtig: p 5 die zweite Kugel ist richtig: p 48 4 die dritte Kugel ist richtig: p 47 die vierte Kugel ist richtig: p 4 4 die fünfte Kugel ist richtig: p 5 45 die sechste Kugel ist richtig: p 44 Gesamtwahrscheinlicheit für E {sechs Richtige} P E p p p p 4 p 5 p P E P 988 E % Zahlenlotto aus Seite von 5

3 Teilaufgabe b) zu zeigen: ( ) ( 45) ( ) p p 5 p 4 p p p Definition für den Binomialoeffizienten: K ow ( Nn) N K ( N n) n ow ( ) 988 Mathcad-Darstellung: combin( ) 988 Teilaufgabe c) Die N Kugeln önnen aufgeteilt werden in K Treffer und N KNieten. Kombinationen, Treffer aus den Gewinnugeln auszuwählen: K Kombinationen, n- Nieten aus 4 Nieten auszuwählen : N n 4 n Wahrscheinlicheit für genau Treffer: P ( ) K N K n N n Zahlenlotto aus Seite von 5

4 Wahrscheinlicheit für genau Treffer: P E ( ) combin( ) combin( 4 ) Mathcad-Definition: P E combin( ) P E P E.75 % Teilaufgabe d) N K n M N K 4 Mathcad-Definition: H ( ) dhypergeom( K M n) P ( ) H ( ) P ( ) % 50 Trefferwahrscheinlicheit bei aus P() in Prozent Anzahl der Richtigen: Zahlenlotto aus Seite 4 von 5

5 Teilaufgabe e) Wahrscheinlicheit für genau Treffer ohne Zusatzzahl: P EoZ ( ) 0 4 combin( ) combin( 0) combin( 4 ) P EoZ combin( ) P EoZ.4 % Wahrscheinlicheit für genau Treffer mit Zusatzzahl: P EmZ ( ) 4 combin( ) combin( ) combin( 4 ) P EmZ combin( ) P EmZ 0. % Zahlenlotto aus Seite 5 von 5