Aufgaben zur vollständigen Induktion

Transkript

1 c 7 by Raier Müller - Aufgabe zur vollstädige Idutio We ichts aderes agegebe ist, da gelte die Behauptuge für IN {; ; ;...}. A) Teilbareit: ) ist gerade (d.h. durch teilbar). ) ist durch teilbar. ) ist durch teilbar. ) ist durch 6 teilbar. 5) ist durch 6 teilbar. 6) 6 ist durch teilbar. 7) ist durch 6 teilbar. 8) ( ) ( ) ist durch 9 teilbar. 9) 7 ist durch 7 teilbar. ) 5 7 ist durch teilbar. ) 5 ist durch 8 teilbar. ) ist durch 7 teilbar. ) < a IN: a ist durch a teilbar. ) 7 ist durch 7 teilbar. 5) ist durch 5 teilbar. 6) ist durch 5 teilbar. 7) 7 ist durch 8 teilbar. 8) 5 ist durch 6 teilbar. 9) ist durch teilbar. ) 5 ist durch 9 teilbar. ) 5 ist durch 9 teilbar. ) 5 ist durch 8 teilbar. ) ist durch teilbar. ) a IN: (a ) ist gerade. 5) a IN: a (a ) ist durch a a teilbar. 6) a IN: a a ist durch 6 teilbar.

2 c 7 by Raier Müller - B) Summewerte: )... () )... () () 6 )... () bzw.... (... ) )... () () ( ) 5)... ( ) 6) 5... ( ) () () 6 7) 7... ( ) () 8) 7... ( ) 9) 8... ) q q... q q q bzw. a a q a q... a q a q q )... () ( ) )... () () () bzw.... () ( ) ( ) ( ) bzw.... () ( ) )... ( ) () () )!!!...! ( )! [ es gilt:!... ] 5) 5... ( ) ( ) () () () 6) )... ( ) 8)... () 9) () () ) () () ) () () ) () () () ()... () () ) 5... () (5) () () () ) 5... () () () () () () ()

3 c 7 by Raier Müller - 5) () () () () 6) ( ( ) ( ) ( )... ) 7)... [ es gilt: ( )!! ()! ud ( ) ( ( ) 8) l ( ) l ( ) l ( )... ( ) l ( ) l () l (!) 9)!!!...!!! )... ( ) ) (a b) b ( ) b a ( ) b a... ( ) b a a [ biomischer Lehrsatz ] für a, b IR ; ) ] ( ) a b ) ( ) ( ) ( ) C) Produtwerte: )... () ) ( ) ( ) ( )... ( ) für ) ( ) ( ) ( )... ( )! für ) ( ) ( ) ( )... ( ) für 5) ( ) ( ) ( ) ( )... ( 8 ) 6) ( ) ( ) ( )... ( ) 7) ( ) ( ) ( 5 ) ( 6 )... ( )... 8) ( ) ( ) ( )... ( )... ( ) D) Ugleichuge: ) > für ) ()... () () > ) ()... () () > ) > für 5) > für 5 6) > für 7) <... < 8)... > für 9) (a b ) > (a b) für ; a b; a b >

4 c 7 by Raier Müller - )! > für ) < ()! (!) für )... > ( ) für 5 ) 5... ) > für 5)... () 6)... < für 7) ( x) > x für x > ; x 8) ( x) ( ) x für x E) (Reursive) Folge: ) a ; a a ; da gilt: a ) a ; a a ; da gilt: a ( ) ) a ; a ( a ) ; da gilt: a ) a ; a a ; da gilt: a 5) Für die Glieder der Fiboacci-Folge F ; F ; F F F gilt: a) F F... F F b) F F... F F F c) F m F m F F m F d) F F F e) F F F F F f) F F F F () g) F F F () F) Ableituge: ) Für f(x) e axb gilt: f () (x) a e axb ) Für f(x) (e x t) gilt: f () (x) e x t e x ) Für f(x) (x ) e x gilt: f () (x) () (x ) e x ) Für f(x) x e x gilt: f () (x) ( x x ( ) ) e x 5) Für f(x) l x x gilt: f () (x) () ( )! (x) ( )! (x) 6) Für f (x) x gilt: f (x) x 7) Für f(x) axb gilt: f () (x) () a! (axb) 8) Für f(x) x x gilt: f () (x) ()! (x) 9) Für f(x) sih (a x) gilt: f () (x) a sih (a x) [ sih(z) e z e z ] ) Für f(x) si (a x) gilt: f () (x) () a si (a x)

5 c 7 by Raier Müller - 5 G) Sostiges: ) Zeige: Elemete a ma auf...! verschiedee Arte aorde. ) Wieviele Diagoale gibt es i eiem ebee, ovexe -Ec? Zeige: es gibt () Diagoale. ) Eie Gerade zerlegt die Ebee i zwei Gebiete. I wieviele Gebiete a die Ebee durch Gerade höchstes zerlegt werde? Zeige: ma a die Ebee i höchstes Gebiete zerlege. ) Wie groß ist die Summe der Iewiel i eiem -Ec? Zeige: die Wielsumme i eiem ovexe -Ec ist ( ) 8. 5) Wieviele Elemete ethält die Potezmege eier -elemetige Mege? Zeige: die Potezmege ethält Elemete. 6) Zeige das,,schubfachprizip : Werde Objete i Fächer gegebe, wobei < ist, da ethält midestes eies der Fächer mehr als eies der Objete. 7) p teilt p, we p prim ist ud ggt(, p) gilt (sogeater,,leier Fermat ). 8) Zeige... () ( ) Dabei steht die Ziffergruppe () geau -mal hitereiader (im Zweiersystem). 9) Zeige: mit der Matrix A gilt: A A } A {{... A } Stüc () ) Zeige: mit der Matrix A gilt: A A } A {{... A } Stüc () () () ()

6 c 7 by Raier Müller - 6 ) Zeige: mit der Matrix A gilt: A A A... A } {{ } Stüc ) Seie x, x,..., x, x > positive reelle Zahle mit x x x x. Zeige: Da gilt x x... x x.

7 Aufgabe zur vollstädige Idutio Beweise A. Teilbareit A : ist eie gerade (d. h. durch teilbare) Zahl für alle Idutiosafag: : ist eie gerade Zahl Idutiosvoraussetzug: Es gelte die Idutiosvoraussetzug: ist eie gerade Zahl Zu zeige: Die Behauptug gilt auch für (), also zu zeige: () () ist eie gerade Zahl. Beweis des Idutiosschlusses: () () ( ) () ( ) () ist eie gerade Zahl, weil der erste Summad gerade ist ach Idutiosvoraussetzug ud der zweite Summad ei gazzahliges Vielfaches vo ist. Bei alle folgede Aufgabe werde lediglich och der Idutiosafag ud der Idutiosschluss aufgeschriebe. Auf das ochmalige Aufschreibe der Idutiosvoraussetzug wird verzichtet, da das Prizip immer das gleiche ist. A : ist durch teilbar für alle Idutiosafag: : ist durch ohe Rest teilbar. Idutiosschluss: () () 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ist durch teilbar, da der erste Summad durch teilbar ist ach Idutiosvoraussetzug ud der zweite Summad ei gazzahliges Vielfaches vo ist.

8 A : ist durch teilbar für alle Idutiosafag: : ist durch ohe Rest teilbar. Idutiosschluss: () () ( ) ( ) ( ) ist durch teilbar, da der erste Summad durch teilbar ist ach Idutiosvoraussetzug ud der zweite Summad ei gazzahliges Vielfaches vo ist. A : ist durch 6 teilbar für alle Idutiosafag: : ist durch 6 ohe Rest teilbar. Idutiosschluss: () () ( ) () Der erste Summad ( ) ist durch 6 teilbar ach Idutiosvoraussetzug. Der zweite Summad () ist durch teilbar ud durch teilbar, da etweder oder die darauf folgede atürliche Zahl () eie gerade Zahl ist. Ist aber eie Zahl durch ud durch teilbar, da ist sie auch durch 6 teilbar. Da beide Summade durch 6 teilbar sid, muss auch die Summe durch 6 teilbar sei. A 5: ist durch 6 teilbar für alle Idutiosafag: ist durch 6 ohe Rest teilbar. Idutiosschluss: () () () ( ) ( ) ( ) ( ) 6( ) ist durch 6 teilbar, da der erste Summad durch 6 teilbar ist ach Idutiosvoraussetzug ud der zweite Summad ei gazzahliges Vielfaches vo 6 ist.

9 A 6: 6 ist durch teilbar für alle Idutiosafag: : - 6 ist durch 6 ohe Rest teilbar. Idutiosschluss: () - 6() () ( ) - 6( ) ( ) ( - 6 ) ( - ) ist durch teilbar, da der erste Summad durch teilbar ist ach Idutiosvoraussetzug ud der zweite Summad ei gazzahliges Vielfaches vo ist. A 7: ist durch 6 teilbar für alle Idutiosafag: ist durch 6 ohe Rest teilbar. Idutiosschluss: ( ) ( ) ( - ) ( ) (6 - ) ( ) ist durch 6 teilbar, da der zweite Summad durch 6 teilbar ist ach Idutiosvoraussetzug ud der erste Summad ei gazzahliges Vielfaches vo 6 ist (wege ist - eie gaze Zahl). A 8: () () ist durch 9 teilbar für Idutiosafag: : 9 ist durch 9 ohe Rest teilbar. Idutiosschluss: () () () () () () () [ () () ] 9( ) ist durch 9 teilbar, da der erste Summad durch 9 teilbar ist ach Idutiosvoraussetzug ud der zweite Summad ei gazzahliges Vielfaches vo 9 ist.

10 A 9: 7 ist durch 7 teilbar für Idutiosafag: : 7 ist durch 7 ohe Rest teilbar. Idutiosschluss: 7 () (7 ) 7 ist durch 7 teilbar, da der erste Summad ei gazzahliges Vielfaches der Idutiosvoraussetzug ist (das 9-fache) ud der zweite Summad ei gazzahliges Vielfaches vo 7 ist. A : 5 7 ist durch teilbar für Idutiosafag: : ist durch ohe Rest teilbar. Idutiosschluss: (5 7) ist durch teilbar, da der erste Summad ei gazzahliges Vielfaches vo ist ud der zweite Summad durch teilbar ist ach Idutiosvoraussetzug. A : 5 ist durch 8 teilbar für alle Idutiosafag: : 5 ist durch 8 ohe Rest teilbar. Idutiosschluss: 5 () () (5 ) 8( 5 ) ist durch 8 teilbar, da der erste Summad durch 8 teilbar ist ach Idutiosvoraussetzug ud der zweite Summad ei gazzahliges Vielfaches vo 8 ist.

11 A : ist durch 7 teilbar für alle Idutiosafag: : ist durch 7 ohe Rest teilbar. Idutiosschluss: () 8 7 ( ) ist durch 7 teilbar, da der erste Summad ei gazzahliges Vielfaches vo 7 ist ud der Klammerausdruc durch 7 teilbar ist ach Idutiosvoraussetzug. A : Für alle a N (a ) ist (a ) durch (a-) teilbar für alle N mit Utersuche zuächst die Behauptug a A *: Für jedes a ist a a a a a - Idutiosafag: : Idutiosschluss: a für alle N mit a (gaze Zahl), d. h. (a a ) ist durch (a -) teilbar. a a a a - a ( a a a a - ) a a a a a a a a a a qed, Wege Behauptug A * ist der Quotiet dass die Behauptug A richtig ist. a a immer eie gaze Zahl, für alle, so A : 7 ist durch 7 teilbar für alle Idutiosafag: : 7 ist ohe Rest durch 7 teilbar. Idutiosschluss: () 7 () ( 7 ) 7( ) ist durch 7 teilbar, da der erste Summad durch 7 teilbar ist ach Idutiosvoraussetzug ud der zweite Summad ei gazzahliges Vielfaches vo 7 ist.

12 A 5: ist durch 5 teilbar für alle Idutiosafag: : 5 ist teilbar durch 5. Idutiosschluss: () () 8 ( ) 5 ist durch 5 teilbar, da der erste Summad ei gazzahliges Vielfaches der Idutiosvoraussetzug ist ud der zweite Summad ei gazzahliges Vielfaches vo 5 ist. A 6: ist durch 5 teilbar für alle Idutiosafag: : ist durch 5 ohe Rest teilbar. Idutiosschluss: () 5 5() 7() ( ) 5( ) 7( ) ( 5 5 7) (5 5 5) ( 5 5 7) 5( ) ist durch 5 teilbar, da der erste Summad durch 5 teilbar ist ach Idutiosvoraussetzug ud der zweite Summad ei gazzahliges Vielfaches vo 5 ist. A 7: 7 ist durch 8 teilbar für alle Idutiosafag: : ist durch 8 ohe Rest teilbar. Idutiosschluss: () ( 7) 8 ist durch 8 teilbar, da der erste Summad durch 8 teilbar ist ach Idutiosvoraussetzug ud der zweite Summad ei gazzahliges Vielfaches vo 8 ist.

13 A 8: 5 ist durch 6 teilbar für alle Idutiosafag: : 5 ist durch 6 ohe Rest teilbar. Idutiosschluss: () 5() ( 5) ( 6) ( 5) ( ) 6 Der erste Summad ( 5) ist durch 6 teilbar ach Idutiosvoraussetzug. Der zweite Summad ( ) ist ei Vielfaches vo ud ei Vielfaches vo, da etweder oder die atürliche Nachfolgezahl () eie gerade Zahl ist. Da der zweite Summad durch ud durch teilbar ist, ist er auch durch 6 teilbar. Der dritte Summad 6 ist sowieso durch 6 teilbar. Da alle drei Summade durch 6 teilbar sid, ist auch die Summe durch 6 teilbar. A 9: ist durch teilbar für alle Idutiosafag: : - ist durch ohe Rest teilbar. Idutiosschluss: () () 6 ( ) 6 8 ( ) ( 6 ) ( ) ( 6 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (-)() Der erste Summad ist durch teilbar ach Idutiosvoraussetzug. Der zweite Summad ist ei gazzahliges Vielfaches vo. Der dritte Summad ethält drei aufeiader folgede atürliche Zahle (-), ud (), wobei da eier dieser drei Zahle durch teilbar sei muss. Da alle drei Summade durch teilbar sid, ist auch die Summe durch teilbar. A : 5 ist durch 9 teilbar für alle Idutiosafag: : ist durch 9 ohe Rest teilbar. Idutiosschluss: ( 5) (9 9 ) ( 5) 9( ) ist durch 9 teilbar, da der erste Summad durch 9 teilbar ist ach Idutiosvoraussetzug ud der zweite Summad ei gazzahliges Vielfaches vo 9 ist.

14 A : 5 ist durch 9 teilbar für alle Idutiosafag: : 5 ist durch 9 ohe Rest teilbar. Idutiosschluss: 5() 5 5 ( 5 ) ( 5) ( 5 ) ( 5) Der erste Summad ist durch 9 teilbar ach Idutiosvoraussetzug. Beim zweite Summade ist bereits eie als Fator ethalte. We der zweite Fator ( 5) ebefalls ei Vielfaches vo wäre, da ist der Summad ( 5) ei Vielfaches vo 9 ud der Beweis wäre omplett. Also och zu zeige: A * : 5 ist durch teilbar für alle Beweis wieder durch Idutio: Idutiosafag: : 5 6 ist durch ohe Rest teilbar. Idutiosschluss: 5 5 ( 5) ist durch teilbar, da der erste Summad durch teilbar ist ach Idutiosvoraussetzug ud der zweite Summad ei gazzahliges Vielfaches vo ist. Damit ist auch A vollstädig bewiese! A : 5 ist durch 8 teilbar für alle Idutiosafag: : 5 ist durch 8 ohe Rest teilbar. Idutiosschluss: 5 () () (5 ) ( 5 ) (5 ) (5 ) Der erste Summad ist durch 8 teilbar ach Idutiosvoraussetzug. Der zweite Summad besteht aus eiem Produt, bei dem der erste Fator ist. Damit der gesamte Summad (5 ) durch 8 teilbar wird, muss der zweite Fator (5 ) durch teilbar sei. Damit wäre die Behauptug bewiese.

15 Noch zu zeige: A * : 5 ist durch teilbar für alle Beweis wieder mit vollstädiger Idutio: Idutiosafag: 5 ist durch ohe Rest teilbar. Idutiosschluss: 5 () (5 ) 5 ist durch teilbar, da der erste Summad durch teilbar ist ach Idutiosvoraussetzug ud der zweite Summad ei gazzahliges Vielfaches vo ist. A : - ist durch teilbar für alle Idutiosafag: : - ist durch ohe Rest teilbar. Idutiosschluss: () ( - ) - ist durch teilbar, da der erste Summad ei gazzahliges Vielfaches der Idutiosvoraussetzug ist ud der zweite Summad ei gazzahliges Vielfaches vo ist. A : Für a N mit a ist (a ) eie gerade Zahl für alle Idutiosafag: : (a ) ist eie gerade Zahl. Idutiosschluss: (a ) (a )(a ) Nach Idutiosvoraussetzug ist (a ) eie gerade Zahl. Daher ist der Miued ( ) ugerade, a also i der Form (z ) dargestellt werde mit irgedeier atürliche Zahl z. (a )(a ) (a )(z ) az a z (az a z ) Damit ist dieser Ausdruc wieder eie gerade Zahl, da er ei gazzahliges Vielfaches vo ist.

16 A 5: Für a N ist [a (a) - ] durch (a a ) teilbar für alle Idutiosafag: : a (a) - a (a) a a ist ei gazzahliges Vielfaches vo a a. Idutiosschluss: a (a) () - a (a) a a (a) (a) - a a (a a ) (a) - a[a (a) - ] (a a )(a) - ist durch (a a ) teilbar, da der erste Summad ei gazzahliges (a-faches) Vielfaches der Idutiosvoraussetzug ist ud der zweite Summad ei gazzahliges Vielfaches vo (a a ) ist. A 6: Für a N mit a ist (a a) durch 6 teilbar für alle Idutiosafag: : a a a a ist durch 6 ohe Rest teilbar. Idutiosschluss: a () a a a a a a (a )a (a a) (a ) a (a ) a (a a) Der zweite Summad ist durch 6 teilbar ach Idutiosvoraussetzug. Der erste Summad ethält drei aufeiader folgede atürliche Zahle (a ), a ud (a ). Vo diese drei aufeiader folgede Zahle ist midestes eie Zahl durch teilbar ud geau eie durch teilbar (es öte auch sei, dass es uter diese drei Zahle eie gibt, die durch ud durch teilbar ist). Das Produt dieser drei Zahle ist da aber durch 6 teilbar, da ud als Teiler voromme. Damit ist der gesamte erste Summad (a ) a (a ) a ei gazzahliges Vielfaches vo 6 ud die Behauptug ist bewiese.

17 Raier Müller, Armi Moritz (Johaeum-Gymasium Herbor) B. Summewerte B : ( ) (für alle ) Idutiosafag: : lie Seite: ur ei Summad: ( ) rechte Seite: Idutiosschluss: () ( ) () ( ) ( ) ( )( ) B : ( )( ) 6 (für alle ) Idutiosafag: : lie Seite: ( )( ) rechte Seite: 6 Idutiosschluss: () ( )[( ) 6( )] 6 ( )( )( ) 6 ( )( ) () 6 ( )( 6 6) 6 ( )( ) 6( ) 6 ( )( 7 6) 6 B : ( ) ( ) (für alle ) Idutiosafag: : lie Seite: ( ) rechte Seite: Idutiosschluss: () ( ) () ( ) ( ) ( ) [ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Die zweite Behauptug: ( ) folgt sofort mit B.

18 B : ( )( )( ) Idutiosafag: : lie Seite: ( )( )( ) rechte Seite: Idutiosschluss: (für alle ) () ( )( )( ) () ( )( )( ) ( ) ( ) [ ( )( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [( )( )] ( ) ( ) ( ) ( 9 5) ( ) ( ) ( ) (( ) ( ) ) B 5: 5 ( ) ( ) (für alle ) Idutiosafag: : lie Seite: rechte Seite: Idutiosschluss: ( ) ( ) (() ) ()

19 B 6: 5 ( ) ( ) ( )( ) 6 (für alle ) Idutiosafag: : lie Seite: ( )( ) rechte Seite: 6 Idutiosschluss: ( ) ( ) (() ) ( )( ) ( ) 6 ( )( ) 6( ) ( ) [ ( ) 6( )] 6 6 ( ) ( 6) ( ) ( 6) 6 6 ( ) ( ) ( ) ( ) (( ) ) (( ) ) 6 6 B 7: 7 ( ) ( ) ( ) (für alle ) Idutiosafag: : lie Seite: ( ) rechte Seite: Idutiosschluss: ( ) ( ) (() ) 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (( ) ) 6 B 8: 7 ( ) ( ) (für alle ) Idutiosafag: : lie Seite: rechte Seite: Idutiosschluss: ( ) ( ) (() ) 5 ( ) ( ) ( ) ( )

20 B 9: 8 (für alle ) Idutiosafag: : lie Seite: rechte Seite: Idutiosschluss: B : q q q q q q (für alle ) Idutiosafag: : lie Seite: q rechte Seite: q Idutiosschluss: q q q q q q q q q q q q B : ( ) ( ) (für alle ) Idutiosafag: : lie Seite: rechte Seite: Idutiosschluss: ( ) ( ) ( )

21 B : (-) - ( ( ) ( ) ) (für alle ) Idutiosafag: : lie Seite: ( rechte Seite: ( ) ) Idutiosschluss: ( ) ( ) (-) () ( ( ) ) (-) () ( ) - ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (-) ( ) ( ) (-) ( ) ( ) B : () ( ) ( )( ) (für alle ) Idutiosafag: : lie Seite: ( )( ) rechte Seite: Idutiosschluss: ( )( ) ( ) ( ) ()() ( )( ) ( )( ) ( )( ( ) ()() B :!!!!! ()! (mit! ) (für alle ) Idutiosafag: : lie Seite:! rechte Seite: ( )! Idutiosschluss:!! () ()! ()! ()()! ()! ( ) ()! () ()!

22 B 5: 5 ()() ( )( ) ( )( )( ) (für alle ) Idutiosafag: : lie Seite: 6 ( )( )( ) rechte Seite: Idutiosschluss: 6 ( )( ) ( )( ) ()()() ( )( )( ) ()()() ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) B 6: (für alle ) bzw. ( ) Idutiosafag: : Idutiosschluss: lie Seite: rechte Seite: ( ) ( ) ( ) - - ( ) ( ) ( ) ( )

23 B 7: Idutiosafag: : lie Seite: rechte Seite: Idutiosschluss: (für alle ) - - B 8:... ( ) ( ) (für alle ) Idutiosafag: : Idutiosschluss: lie Seite: rechte Seite: ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )

24 B 9: ( )( ) (für alle ) ( )( ) Idutiosafag: : Idutiosschluss: lie Seite: rechte Seite: ( )( ) ( )( ) [( ) }[( ) ] ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) B : 7 7 (für alle )... ( )( ) ( )( ) Idutiosafag: : Idutiosschluss: lie Seite: rechte Seite: ( )( ) ( )( ) [( ) ][( ) ] ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

25 B : ( )( ) ( )( ) (für alle ) Idutiosafag: Idutiosschluss: : lie Seite: rechte Seite: ( )( ) ( )( ) ( 5) ( )( 5) ( )( 5) 5 ( ) [( ) ] [( ) ] 5 ( )( 5) ( )( ) ( )( 5) B :... ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) (für alle ) Idutiosafag: : lie Seite: rechte Seite: ( ) ( ) ( ) Idutiosschluss: ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( 5) ( ) ( 5) ( 5) ( ) ( 5) 5 ( ) ( 5) ( )( ) ( ) ( 5)

26 B :... 5 ( ) ( 5) ( ) ( )( ) (für alle ) Idutiosafag: : lie Seite: rechte Seite: ( 5) ( )( ) Idutiosschluss: ( ) ( ) ( )( ) ( 5) ( )( ) ( )( ) ( 5)( ) ( ) ( )( )( ) 5 8 ( )( )( ) 9 8 ( )( )( ) ( )( 8) ( )( )( ) 8 ( )( ) ( 8)( ) ( )( ) ( ) [( ) 5] [( ) ] [( ) ] B :... 5 ( )( )( ) ( )( ) (für alle ) ( )( ) ( )( )( ) Idutiosafag: : lie Seite: rechte Seite: ( )( ) ( )( ) Idutiosschluss: ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( 8 6) ( )( )( ) 9 ( )( )( ) ( )( 7 ) ( )( )( ) ( )( 5) ( )( )

27 B 5: ( )( ) ( ) ) ( )( ) ( (für alle ) Idutiosafag: : lie Seite: rechte Seite: ( ) ( ) Idutiosschluss: ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( 5 ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) B 6:.. (für alle ) Defiitio:!! ( )! Hilfsformel: Idutiosafag: : lie Seite: rechte Seite: Idutiosschluss: -

28 B 7:... (für alle ) Idutiosafag: : lie Seite: rechte Seite: - Idutiosschluss: B 8: l l l... ( ) l l() l(!) (für alle ) l Idutiosafag: : lie Seite: l l() rechte Seite: l() l(!) l() Idutiosschluss: l l l l() l(!) [l() l()] l() l(!) l() l() l() l(!) () l() l() l(!) () l() [l() l(!)] () l() l[()!] () l() l[()!]

29 B 9:...!!!! ( )!!! (für alle ) Idutiosafag: : Idutiosschluss: lie Seite: rechte Seite:!!! ( )! ( )! ( )!!! ( )! ( )(! ) ( )! ( )! ( ) ( )! ( )! ( )! ( )! ( )! B : (-) (für alle ) Idutiosafag: : lie Seite: rechte Seite: (-) Idutiosschluss: () (-) ()

30 B : Biomischer Lehrsatz: Für reelle Zahle a ud b gilt: (a b) b a (für alle ) Defiitio: )!! (! Hilfsformel: Amerug: Behauptug B 6 folgt aus dem Biomische Lehrsatz sofort für a b Idutiosafag: : lie Seite: (ab) rechte Seie: b a b a Idutiosschluss: (ab) (ab) (ab) (ab) b a b a b a b a b a b a b a b a - ) ( b a b a b b a b a b a

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32 Raier Müller, Armi Moritz (Johaeum-Gymasium Herbor) C. Produtwerte C : () (für alle ) Idutiosafag: : lie Seite: rechte Seite: () Idutiosschluss: () () ()() C :... (für alle ) Idutiosafag: : lie Seite: rechte Seite: Idutiosschluss: C :... (für alle )! Idutiosafag: : lie Seite: Idutiosschluss: rechte Seite:!!! ( )!

33 C :... (für alle ) Idutiosafag: : lie Seite: rechte Seite: Idutiosschluss: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) C 5:... 8 (für alle ) Idutiosafag: : lie Seite: rechte Seite: Idutiosschluss: ( )

34 C 6:... - (für alle ) Idutiosafag: : lie Seite: rechte Seite: Idutiosschluss: : : : ) )( )( )( ( ) )( )( )( ( -

35 C 7: bzw. (für alle ) Idutiosafag: : lie Seite: 9 rechte Seite: 9 Idutiosschluss: ) ( ) ( () (wobei im Beweis die Formel B verwedet wurde) C 8:... () bzw. (für alle ) Idutiosafag: : lie Seite: rechte Seite: Idutiosschluss: ) )( ( ) )( ( (wobei im Beweis die Formel B verwedet wurde)

36 Raier Müller, Armi Moritz (Johaeum-Gymasium Herbor) D. Ugleichuge D : > (für alle ) Idutiosafag: : > Idutiosschluss: () () ( ) ( ) > > für alle D :... ( ) ( ) > (für alle ) Utersuche zuächst die Behauptug D * : > (für alle ) Idutiosafag: : 7 > Idutiosschluss: ( ) - > ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) > Wege > (da die lie Summe eie Summade mehr besitzt), gilt auch D.

37 D :... ( ) ( ) > (für alle ) Idutiosafag: : > Idutiosschluss: ( ) > ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) 6 8 ( )( )( ) > D : > (für alle ) Idutiosafag: : > Idutiosschluss: > ( ) ( ) > D 5: > (für alle 5) Idutiosafag: 5: 5 > 5 5 Idutiosschluss: > > > ()

38 D 6: > (für alle ) Idutiosafag: : > Idutiosschluss: > > 7 > () D 7: <... < (für alle ) Idutiosafag: : < 6 5 < Idutiosschluss: Zwischeüberlegug: Der zweite Summad besitzt ( -) ( -) Summade. Es gilt: > > bzw. < Damit gilt für die Ausgagssumme mit Hilfe dieser Überlegug ud der Idutiosvoraussetzug: > bzw. < ud damit: < <

39 D 8:... > (für alle ) Idutiosafag: : >,7 >,5 > Vorüberlegug zum Idutiosschluss: > () > ( ) > > ( < Idutiosschluss: > > D 9: - (a b ) > (a b) (a b; a b > ) (für alle ) Vorüberlegug zum Idutiosafag: Wege a b ist < (a b) a ab b a b > ab Idutiosafag: : - (a b ) a b a b a b > a b ab (a b) Vorüberlegug zum Idutiosschluss: Da ach Voraussetzug a b, sei z. B. a > b (a b wird i der Voraussetzug ausgeschlosse ud a -b a auch icht sei, da sost a b i Widerspruch zur Voraussetzug wäre). Falls a< b, folgt die Behauptug etspreched. Behauptug: a > b für ℵ. Beweis durch Falluterscheidug, siehe ächste Seite...

40 . Fall: a > ud b > : Wege a > b ud damit a > b folgt sofort a > b.. Fall: a > ud b < : Uter Awedug des erste Falls gilt: a a > b b. Fall: a < ud b > : Wege a > b also -a > b a b < etfällt dieser Fall, da er der Voraussetzug widerspricht.. Fall: a < ud b < : Wege der Voraussetzug a b > etfällt auch dieser Fall. Damit ist die Vorüberlegug bewiese. Aus der Vorüberlegug folgt aus der Behauptug für isbesodere a > b. Damit ergibt sich (a b) > ud (a b ) > < (a b) (a b ) a ab a b b a b > ab a b Diese Ugleichug wird im Idutiosschluss beötigt. Idutiosschluss: (a b) (a b) (a b) < (a b) - (a b ) - (a ab a b b ) - [(a b ) (ab a b)] < - [(a b ) (a b )] - (a b ) (a b ) D :! > (für alle ) Idutiosafag: :! > 6 Idutiosschluss: ()! ()! > () >

41 D : ()! (! ) < (für alle ) Idutiosafag: : ( )! (! ) 6 5 < 6 Vorüberlegug zum Idutiosschluss: < 5 () < ()() ( ) < Idutiosschluss: ( ) < < ()! (!) ()! ( )( ) ( )! (!) ( ) [( )!] [( )]! [( )!] D : - > () (für alle 6) Idutiosafag: 6: 8 9 > Vorüberlegug zum Idutiosschluss: Für 6 ist ach der Behauptug D 5: > 5 > Idutiosschluss: () > () () ()( ) > ()( ) ()()() ()()

42 D :... (für alle ) Idutiosafag: :,5,5 Idutiosschluss: > D : > (für alle ) Idutiosafag: : > 5 > Idutiosschluss: () > > > () D 5: ( ) (für alle ) ( ) Idutiosafag: : Idutiosschluss: ( ) ( ) ( ) () < ( ) () ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

43 D 6:... < (für alle ) Idutiosafag: : <, <,5 < - - Vorüberlegug zum Idutiosschluss: > > 9 > 9 () > ( 9) ) ( 9 ) ( > ) ( ) ( > > > > ) ( > ) ( > ) ( < Idutiosschluss: ) ( < - ) ( < - D 7: Ugleichug vo Beroulli: (x) x für x > -; x (für alle ) Idutiosafag: : (x) x x Idutiosschluss: (x) (x) (x) (x)(x) xxx xx ()x

44 D 8: (x) ( ) x für x (für alle ) Idutiosafag: : (x) x x ( -) x Idutiosschluss: (x) (x) (x) [( -)x] (x) x x x x x x ( x x) x x x x x x x x ( )x

45 Raier Müller, Armi Moritz (Johaeum-Gymasium Herbor) E. Reursive Folge Lösuge E : a ; a a a Idutiosafag: a - -,5 a Idutiosschluss: a a E : a ; a a - a ( ) Idutiosafag: a a 8 8 ( ) Idutiosschluss: a a () (-) () E : a ; a a a für alle Idutiosafag: : a Idutiosschluss: a a a,5 > ud a a,5 <

46 E : a ; a a a Idutiosafag: a Idutiosschluss: a a E 5: Defiitio eier Fiboacci-Folge: F, F ud F F F (F ; F ; F 5 5; F 6 8; F 7, F 8 ; ) Für diese Fiboacci-Folge gelte folgede Behauptuge: E 5 a: F F F F F (für alle ) Idutiosafag: : lie Seite: F F F F Idutiosschluss: rechte Seite: F F F F F F F E 5 b: F F F F F F (für alle ) Idutiosafag: : lie Seite: F Idutiosschluss: rechte Seite: F F F F F F F F F (F F ) F F

47 E 5 c: F m F m - F F m F (für alle m ud ) Idutiosafag: m, : lie Seite: F F F F rechte Seite: F F F F m, : lie Seite: F F rechte Seite: F F F F Idutiosschluss:. Schritt: m, variabel: zu zeige: F F F F F : Beweis: Mit F F folgt: F () F F F F F F F F F m, variabel:: zu zeige: F F F F F : Beweis: F () F F F F F F F F F F F F F F. Schritt: fest, Idutiosschluss auf m: zu zeige: F m F m F F m F : Bei Idutiosschluss wird die Idutiosvoraussetzug auf F m- ud auf F m agewedet (dies ist erlaubt, weil der Idutiosafag ud der. Schritt für zwei aufeiader folgede Zahle m ud m gezeigt wurde). Beweis: F m F m- F m F m - F F m- F F m - F F m F F (F m- F m- ) F (F m- F m ) F F m F F m

48 E 5 d: F F F (für alle ) Idutiosafag: : lie Seite: F F rechte Seite: F F Idutiosschluss: Beim Idutiosschluss wird E 5 c verwedet: F F F - F F F Beweis: F () F F F F F F F F F (F F ) F - F F F F F F (F - F ) F F F F F F F F F F F F F F F (F F ) F F F E 5 e: F F F F F Idutiosafag: : lie Seite: F F rechte Seite: F F F F 5 Vorüberlegug: Für de Idutiosschluss werde außer der Idutiosvoraussetzug och folgede obe bewiesee Aussage beötigt: Idutiosvoraussetzug: F F F F F E 5 d: F F F E 5 c: F F ()() F F F F Idutiosschluss: F 5 (F F ) F F F F F F F F (F F )(F F F F ) (F F F F ) (F F ) (F F ) F F F ( F F ) (F F ) F (F F )

49 (F F ) (F F ) F F F ( F F ) (F F F ) F (F F F ) (F F ) (F F ) F F F ( F F ) (F F ) F (F F ) [(F F )(F F )] F F F (F F F F F F ) F (F F F F ) [(F F ] F F F (F F F F F F ) F (F F F F ) F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F 8F F 8F F F F F F F F (F F F F F ) F (F F F F ) F (F F F F ) F (F F ) F (F F ) F (F F F ) F (F ) F (F F ) F F F F F F E 5 f: F F F F (-) (für alle ) Idutiosafag: : lie Seite: F F F F rechte Seite: (-) Idutiosschluss: F F F F F F (F F ) (F F ) F F F F F F F F - F F F F - (F F F F ) -(-) (-)

50 Raier Müller, Armi Moritz (Johaeum-Gymasium Herbor) F. Ableituge Lösuge F : f(x) e axb f () (x) a e axb (für alle ) Idutiosafag: : f () (x) a e axb e axb f(x) Idutiosschluss: f () (x) [f () (x)] [a e axb ] a a e axb axb a e F : f(x) (e x t) f () (x) e x t e x (für alle, x R) Idutiosafag: : lie Seite: f () (x) f (x) (e x t) e x e x t e x rechte Seite: f () (x) e x t e x e x t e x Idutiosschluss: f () (x) [f () (x)] [ e x t e x ] e x t e x e x t e x F : f(x) -(x) e -x f () (x) (-) - (x - ) e -x (für alle ) Idutiosafag: : f () (x) (-) - (x - ) e -x -(x) e -x f(x) Idutiosschluss: f () (x) [f () (x)] [(-) - (x - ) e -x ] (-) - [ e -x (x ) e -x (-)] (-) - [-(-) e -x (x ) e -x ] (-) - [ (x ) e -x ] (-) - [ (x ( )) e -x ] (-) - (-) [(x ( )) e -x ] (-) [(x ( )) e -x ]

51 F : f(x) x e x f () (x) [x x (-)] e x (für alle ) Idutiosafag: : lie Seite: f () (x) f (x) x e x x e x (x x) e x rechte Seite: f () (x) [x x (-)] e x (x x) e x Idutiosschluss: f () (x) [f () (x)] {[x x (-)] e x } [x ] e x [x x (-)] e x [x x x ] e x [x x() ] e x [x x() () ] e x x F 5: f(x) l f () (x) (-) - (-)! x ( x) (-)! ( x) (für alle ) Idutiosafag: : ( x) ( ) ( x) lie Seite: f (x) x ( x) x x x x x ( x) ( x)( x) rechte Seite: f () (x) (-) - (-)! ( x) (-)! ( x) x x ( x) ( x) ( x)( x) ( x)( x) Idutiosschluss: f () (x) [f () (x)] [(-) - (-)! ( x) [(-) - (-)! (x) - (-)! (-x) - ] (-)! ( x) ] (-) - (-)! (-) (x) -- (-)! (-) (-x) -- (-) (-) - (-) (-)! ( x) (-)! ( x) (-)! ( x)! ( x)

52 F 6: f (x) x - f (x) - x -- (für alle ) Idutiosafag: : f (x) x - f (x) lim f(x Δx) f(x) Δx Δx lim Δx x Δx x Δx lim Δx x (x Δx) x (x Δx) Δx - lim Δx Δx x (x Δx) Δx - lim Δx x (x Δx) - - x -- x Idutiosschluss: f (x) x -() x -- - x - x Mit Hilfe der Produtregel, des Idutiosafags ud der Idutiosvoraussetzug folgt: f (x) - x - x - (- x -- ) - x - - x - - () x -- x F 7: f(x) ax b f () (x) (-) a! (ax b) (für alle ) Idutiosafag: : f () (x) (-) a! (ax b) ax b f(x) Idutiosschluss: f () (x) [f () (x)] a! ' ( ) (-) a! [(axb) -- ] (ax b) (-) a! (--) (axb) -- a -- (-) a! () (axb) (-) a ( )! (ax b)

53 x F 8: f(x) x f () (x) (-)! (x ) (für alle ) Idutiosafag: : f(x) x x x x x - x x - - (x-) - f (x) - (x-) - (-) (-)! (x ) Idutiosschluss: f () (x) [f () (x)] [( )! (x ) ] (-)! (--) (x-) -- (-)! () (x-) -- (-) ()! (x ) F 9: f(x) sih(a x) f () (x) a sih(a x) (für alle ) e z e z Hiweis: sih(z) Idutiosafag: : f ( ) (x) a sih(a x) sih(a x) f(x) Idutiosschluss: f () (x) [f (x)] [a sih(ax)] a [sih(ax)] a [e ax e -ax ] a [a e ax a e -ax ] a [a e ax a e -ax ] a a [e ax e -ax ] a sih(ax) F : f(x) si(a x) f () (x) (-) a si(a x) (für alle ) Idutiosafag: : f ( ) (x) (-) a si(ax) si(ax) f(x) Idutiosschluss: f () (x) [f (x)] [(-) a si(ax)] [(-) a a cos(ax)] (-) a a [-si(ax)] (-) a si(ax)

54 Raier Müller, Armi Moritz (Johaeum-Gymasium Herbor) G. Sostiges Lösuge G : Elemete a ma auf! verschiedee Arte aorde. Idutiosafag: : Elemet lässt sich auf eie Art aorde:! Idutiosschluss: Gegebe seie die Elemete e bis e. Diese lasse sich ach Idutiosvoraussetzug auf! Arte aorde. Nu ommt ei eues Elemet e hizu. Für die () Elemete stehe () Plätze zur Verfügug. Das Elemet e a zuächst auf irgedeies dieser () Plätze gesetzt werde. Für die restliche Elemete e bis e stehe u och jeweils Plätze zur Verfügug. Dafür gibt es ach Idutiosvoraussetzug! Möglicheite. Isgesamt gibt es also für alle Elemete e bis e ()! ()! Möglicheite. ( ) G : I eiem ovexe -Ec (mit ) gibt es Diagoale. Idutiosafag: : Idutiosschluss: I eiem Dreiec gibt es eie Diagoale. ( ) Es ist Nach Idutiosvoraussetzug öe i eiem ovexe Vielec mit Ece isgesamt,5 (-) Diagoale gezeichet werde. Ei ovexes Vielec mit () Ece etsteht aus eiem ovexe Vielec mit Ece, idem eie zusätzliche Ece hizuommt. Diese zusätzliche Ece a mit alle Ece des ovexe ()-Ecs mit eier Diagoale verbude werde, ausgeomme mit sich selber ud mit de beide Nachbarece, d. h. es öe vo dieser eue Ece aus () eue Diagoale gezeichet werde. Außerdem öe die beide Nachbarece dieser eue Ece erstmals durch eie Diagoale verbude werde, d. h. es ommt och eie Diagoale hizu. Zu de scho vor vorhadee,5 (-) omme also och eimal () eue Diagoale hizu, also isgesamt,5 (-),5 ( ),5 ( ( ) [( ) ] ),5 ()(-)

55 G : Eie Gerade zerlegt die Ebee i zwei Gebiete. Gerade öe die Ebee höchstes i Gebiete zerlege. Idutiosafag: : Keie Gerade, d. h. das Gebiet wird icht zerteilt, also verbleibt Gebiet ud es ist: Idutiosschluss: Nach Idutiosvorausetzug öe Gerade ei Gebiet i höchstes zerlege. Eie eu hizuommede ()-te Gerade a jede der bisher vorhadee Gerade höchstes eimal scheide. Dabei verläuft diese eue Gerade durch maximal () Gebiete, die da durch die eue Gerade i jeweils Teilgebiete aufgeteilt werde, d. h. es omme maximal () eue Gebiete hizu. Maximalzahl aller Gebiete bei () Gerade: ( ) ( ) G : Die Wielsumme der Iewiel i eiem ovexe -Ec (mit ) beträgt (-) 8. Idutiosafag: : Die Summe der Iewiel i eiem Dreiec beträgt beatermaße 8 ( ) 8. Idutiosschluss: Sei u ei Dreiec gegebe mit () Ece. Betrachte zuächst ei Dreiec mit Ece, welches etsteht, we aus dem Dreiec mit () Ece eie Ece überspruge wird: Für das Dreiec mit Ece beträgt die Summe der Iewiel ach Idutiosvoraussetzug ( ) 8. Die Summe der Iewiel im Dreiec mit () Ece müsse zur bisherige Summe der Iewiel lediglich och die drei Iewiel des eue Dreiecs hizugefügt werde, also 8. Gesamtsumme aller Iewiel im Dreiec mit () Ece: ( ) 8 8 ( ) 8