BEGRÜNDEN BEWEISEN. Franz Schoberleitner Institut für Didaktik der Mathematik, JKU Linz

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1 ARGUMENTIEREN BEGRÜNDEN BEWEISEN Referat bei der BIST-Tagung Salzburg, Franz Schoberleitner Institut für Didaktik der Mathematik, JKU Linz Beweisen / Begründen im Mathematik-Unterricht Begründungsaufgaben in Leistungsbeurteilung Begründungsaufgaben in zentraler Reifeprüfung in Bildungsstandards 1

2 Argumentieren: Begründen: Vorbringen sachlogischer Argumente für oder gegen etwas Formulieren einer Argumentationskette (sachlogisch, deduktiv) Beweisen: Formulieren einer Argumentationskette in einer in der Mathematik üblichen Form Argumentieren / Begründen / Beweisen Forderung des Lehrplans Handlungsbereich im Standards/Grundkompetenz-Modell Wie sieht die Realität im Unterricht aus? Wohl in jedem Mathematik-Unterrricht wird irgendwie begründet.. Allerdings gibt es große Unterschiede betreffend: Art der Begründungen Stellenwert von Begründungen Grad der Strukturierung des Wissens Zu unterscheiden: Begründung durch LehrerIn / Begründung durch SchülerIn Probleme: Zeitmangel / Stofffülle Fehlende Sicherheit des Lehrers/der Lehrerin Mangelnde Kontinuität des Lernprozesses 2

3 Formen des Begründens: Berufung auf eine Autorität Plausibilitätsargumente Lehrer, Schulbuch, Universität, Internet, Veranschaulichung, Überprüfung von Einzelfällen, Hinweis auf analoge Sachverhalte, Wahrscheinlichkeitsargumente Simulation, Geometrie-Software,. Allgemeingültige Deduktion Präformaler Beweis, formaler Beweis 3

4 Typologie der zu begründenden Sachverhalte Beweis / Begründung zentraler mathematischer Sätze Beweis / Begründung von Nebenwahrheiten Nachweis von Behauptungen betreffend spezielle Beispiele Begründung von Modellbildungen Begründung von Vorgangsweisen 4

5 Einige wichtige Fragen im Zusammenhang mit Begründen. 1. Warum Begründen / Beweisen? Überzeugen: Jemanden /einen fiktiven Gesprächspartner / sich selbst von der Richtigkeit einer Behauptung mit den Mitteln des logischen Schließens überzeugen. Zusammenhang stiften: Zeigen, wie die Wissenselemente zusammenhängen, die Gründe für die Gültigkeit einer Behauptung einsehen 5

6 2. Was ist die Argumentationsbasis? Von welchem sicheren Wissen darf ausgegangen werden? Welche Art von Begründung ist erforderlich? Wissenschaftliche Mathematik: Axiome, Definitionen, Sätze Logische Schlussregeln Schulmathematik: Anschauung, Erfahrung mit.., Regeln, Sätze Alltagserfahrung.. Probleme: Was ist als Argumentationsbasis zugelassen? Wann darf man sagen: eh klar? Welche Begründung wird erwartet? 3. Ist die Begründung exakt? Exaktheit ist ein relativer Begriff. Abhängig von Argumentationsbasis und Kommunikationssistuation 2 Aspekte: Richtigkeit der Begründungslogik, Lückenlosigkeit der Deduktionskette Genauigkeit der Explikation der Argumente 6

7 4. Was muss begründet werden? Erforderlich: Klare Unterscheidung von Konventionen, Definitionen und Sätzen Beispiel: Binomische Formel (x+y)² = x² + 2xy+y² 7

8 Hinweise: Geschichtliche Entwicklung Verallgemeinerung 3 Ebenen der Betrachung: Bewertung der Begründung Begründung Mathematisches Faktum Beispiel: Problem: 2 ist eine irrationale Zahl Beweis nach Euklid ist ein Widerspruchsbeweis mit scheinbar harmlosem (?) Widerspruch und langer Schlussfolgerungskette 8

9 LERNEN Aufgaben bezogen auf bestimmten Punkt des Lernprozesses Zeitkomponente flexibel gestaltbar Höhere Lernziele können angestrebt werden Große methodische Vielfalt möglich Authentizität der Aufgabe ist wesentlich LEISTEN Am Ende eines Lernprozesses Wesentliche Eigenschaften der Aufgaben: Diagnose-Fähigkeit Beurteilbarkeit Klarheit der Fragestellung Authentizität unwesentlich In Einzelarbeit zu bearbeiten Lernen Leisten Lernen soll nicht primär / ausschließlich an Leistungsaufgaben erfolgen Leistungsaufgaben gezielt erstellen bzw. einsetzen: Welche Kompetenzen /Lernziele sind angesprochen? Was kann diagnostiziert werden, was nicht? 9

10 Einige Probleme in der Leistungsbeurteilung / bei zentralen Aufgabenstellungen Signalwörter: Begründe, dass Beweise, dass Zeige, dass. Weise nach, dass. Argumentationsbasis/ Exaktheit Was darf vorausgesetzt werden? Was gilt als Begründung? Wie ausführlich muss die Begründung sein? Was wird vom Aufgabensteller erwartet? Sprache: Sprachlogik, Fachbegriffe, ev.: Algebra Korrektes Verstehen Korrekte Produktion Einige typische Aufgabenformate: 10

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