Resonator. Helium-Neon-Laser

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1 1 Der Laser Das Wort Laser besteht aus den Anfangsbuchstaben der englischen Bezeichnung Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation, zu deutsch: Lichtverstärkung durch stimulierte Emission von Strahlung. Ein Laser gibt einen intensiven Lichtstrahl ab, der aus kohärenten Photonen gleicher Wellenlänge besteht. Die Atome des aktiven Mediums des Lasers haben den Grundzustand mit der Energie E 1 und einen angeregten Zustand mit E. Werden Photonen mit der Energie E -E 1 eingestrahlt, dann absorbiert ein Atom im Grundzustand ein Photon und gelangt in den angeregten Zustand. Atome, die bereits angeregt sind, können durch ein solches Photon zur stimulierten Emission veranlaßt werden. Die relativen Wahrscheinlichkeiten von Absorption und stimulierter Emission sind gleich. Bei normalen Temperaturen befinden sich praktisch alle Atome im Grundzustand, so daß die Absorption bei weitem überwiegt. Sollen mehr Übergänge durch stimulierte Emission erfolgen als durch Absorption, dann müssen mehr Atome im angeregten Zustand als im Grundzustand vorliegen. Dies nennt man Besetzungsinversion. Der angeregte Zustand ist metastabil. Beim Rubin-Laser muß der metastabile Zustand langlebig sein, damit mehr Atome im angeregten Zustand sind als im Grundzustand. Beim Helium-Neon- Laser dagegen ist der metastabile Zustand sehr kurzlebig, da sich hier nur wenige Atome im angeregten Zustand befinden müssen. Der angeregte Zustand wird z.b. durch optische Pumpen erreicht. Beim Helium-Neon-Laser wird die Besetzungsinversion durch elektrische Entladung erreicht.

2 Resonator Im Laser sind beide Stirnflächen des Kristalls verspiegelt, die aber unterschiedliches Reflexionsvermögen haben (99,9% die eine und 90% die andere Seite). Die eine Seite läßt also einen merklichen Teil der Strahlung passieren. Da die Endflächen zueinander parallel sind, bilden sich stehende Wellen und es entsteht ein intensiver Strahl kohärenten Lichtes, der aus der durchlässigeren Seite austritt. Die Bildung stehender Wellen in diesem Laserresonator ist eine wichtige Voraussetzung zum Funktionieren des Lasers. Der aus einem Laser austretende Lichtstrahl hat einen sehr geringen Durchmesser, ist praktisch parallel sowie kohärent und sehr intensiv. Helium-Neon-Laser Der Helium-Neon- Laser enthält 15% Helium und 85% Neon. Ein Ende der Röhre ist ein ebener Spiegel, das andere ein teilweise durchlässiger konkaver Hohlspiegel. Die Besetzungsinversion kommt auf andere Weise zustande als beim Rubin-Laser. Durch elektrische Entladung können die Heliumatome in einen Zustand E.He angeregt werden, der 0,61 ev über dem Grundzustand liegt. Um 0,05 ev darüber liegt ein angeregter Zustand E 3.Ne des Neonatoms. Die Neonatome werden durch Stöße mit Heliumatomen in diesen Zustand überführt. Die zusätzlich benötigte Energie stammt aus der kinetischen Energie der Teilchen. Neon hat einen weiteren möglichen Zustand E.Ne, der 1,96 ev unter E 3.Ne liegt und normalerweise unbesetzt ist. Also entsteht direkt eine Besetzungsinversion zwischen E.Ne und E 3.Ne. Die stimulierte Emission erzeugt also Photonen der Wellenlänge 63,8 nm (hellrotes Licht). Nach der stimulierten Emission kehren die Neonatome aus dem Zustand E.Ne durch spontane Emission in den Grundzustand zurück. An der Funktion des Helium-Neon-Lasers sind also vier Energieniveaus beteiligt, an der des Rubin-Lasers aber nur drei. Bei letzerem ist die Besetzungsinversion schwieriger zu erreichen, weil mehr als die Hälfte der Atome aus dem Grundzustand angeregt werden muß. Dagegen wird beim Vier-Niveau-Laser durch die stimulierte Emission ein normalerweise unbesetzter angeregter Zustand erreicht, so daß die Besetzungsinversion ohne weiteres möglich ist.

3 3 Kohärenz Bei zwei Wellenfeldern, die von zwei unabhängigen Lichtquellen erzeugt werden, hängt die Phasendifferenz vom Ort und von der Zeit ab, an denen die Wellenfelder beobachtet werden. Dies wird als gegenseitige Kohärenz bezeichnet. Bei Interferenzexperimenten werden die interferierenden Wellen von einer einzigen Lichtquelle erzeugt, so daß man den Kohärenzbegriff auch auf ein einzelnes Wellenfeld oder auf die erzeugende Lichtquelle bezieht. Aus dem räumlich ausgedehnten Wellenfeld können an zwei verschiedenen Orten zwei Teilwellen abgeleitet werden. Falls diese kohärent sind, tritt Interferenz auf. Das gesamte Wellenfeld wird als örtlich kohärent bezeichnet, falls die Schwingungen der elektrischen Feldstärke an beliebigen Punkten eine feste Phasenbeziehung besitzen. Falls die Schwingungen an einem beliebigen Punkt zu verschiedenen Zeiten eine konstante Phase besitzen, ist ein Wellenfeld zeitlich kohärent. Beugung am Spalt Man denkt sich das Bündel, das unter dem Winkel α den Spalt verläßt, in n Teilbündel zerlegt. Der Gangunterschied zwischen zwei benachbarten Teilbündeln beträgt dann 1 n s. Man nimmt an, daß innerhalb der Teilbündel kein Gangunterschied stattfindet. Zwei benachbarte Teilbündel löschen sich also genau dann aus, wenn ihr Gangunterschied λ beträgt. Zu jedem Teilbündel gibt es einen Partner mit λ Unterschied, so daß immer Auslöschung stattfindet. Es gilt: s d = sinα Bei einer geradzahligen Anzahl Teilbündel ergibt sich also ein Intensitätsminimum unter dem Winkel α. Bei einer ungeradzahligen Anzahl Teilbündel ergibt sich ein Intensitätsmaximum, da sozusagen ein Teilbündel ohne Partner übrig bleibt, welches dann natürlich nicht ausgelöscht wird. Das Hauptmaximum existiert immer (α=0). Für die Nebenmaxima gilt: λ ( n + 1) sinα = d Für die Nebenminima gilt analog: λ sinα = n d wobei d die Breite der Spaltöffnung ist.

4 4 Im folgenden werden die Maxima aber nicht wie oben mit ganzzahligem n bezeichnet, sondern werden mit n+½ durchnumeriert. Daher gilt für die Maxima, ebenso wie für die Minima: λ sinα = n d Das Gitter Beim Gitter wie auch beim Doppelspalt geht man von einer Spaltenbreite aus, die kleiner als eine Wellenlänge ist. Die jeweiligen Spalte sind also nur Ursprung einer Elementarwelle. Mit den gleichen Überlegungen wie oben gilt wieder die Gleichung für die Maxima des Einzelspalts. Allerdings ist nun nicht mehr die Spaltenbreite d, sondern der Abstand der Spalte g einzusetzen, so daß sich für die Maxima gilt: λ sinα = n g Der Doppelspalt kann hierbei als Gitter mit nur zwei Spalten angesehen werden. Die theoretischen Überlegungen gelten für diesen Spezialfall ebenso. Bei Verwendung von monochromatischem Licht sind beim Gitter die Maxima scharf getrennt sind, d.h. für alle Winkel, für die obige Gleichung nicht gilt, findet völlige Auslöschung statt. Bei Verwendung von polychromatischem Licht wird dieses spektral zerlegt, da sich für jede Wellenlänge eine andere Beugungsbedingung ergibt. Die Intensität an einem beliebigen Punkt A soll bestimmt werden. Für die gemittelte Intensität <I ges > = <A ges> für eine beliebige Wegdifferenz xλ zwischen den beiden Strahlen des Doppelspaltes soll gelten: < I >= A cos ( πx) = A ( 1+ cos( πx)) ges o Dies soll kurz hergeleitet werden. Dazu betrachtet man die Überlagerung zweier separater elektrischer Felder, für die dann gilt E = E 1 + E + Zur Vereinfachung werden zwei Punktquellen betrachtet, die monochromatische Wellen der gleichen Frequenz in ein homogenes Medium emittieren. Ihr Absand sei größer als eine Wellenlänge λ. Der Beobachtungspunkt A sei so weit entfernt, daß die Wellen ebene Wellenfronten sind. In diesem speziellen Fall sind das linear polarisierte Wellen der Form (, ) = cos( ω + ε ) E1 r t E01 k1 r t 1 und E( r, t) = E0 cos( k r ωt + ε ). Die Intensität im Punkt A ist gegeben durch I = εv< E > Da nur relative Intensitäten im selben Medium betrachtet werden, kann man die Konstanten vernachlässigen und setzt I =< E > 0

5 5 Damit ist das zeitliche Mittel der Amplitude der quadratischen Intensität des elektrischen Feldes oder <E E>. Also E = E E durch einsetzen ergibt sich nun E = ( E1 + E) ( E1 + E) auflösen führt zu E = E1 + E + E1 E Nimmt man das zeitliche Mittel auf beiden Seiten, so ergibt sich die Intensität zu I = I1 + I + I1 wobei I1 =< E1 > I =< E > und I1 = < E1 E >. Der letzte Term wird als Interferenzterm bezeichnet. Um diesen nun zu berechnen bildet man E1 E = E01 E0 cos( k1 r ωt + ε1) cos( k r ωt + ε) oder äquivalent E1 E = E01 E0[ cos( k1 r + ε1) cosωt + sin( k1 r + ε1) sinωt]. cos k r + ε cosωt + sin k r + ε sinωt [ ( ) ( ) ] Das zeitliche Mittel einer Funktion f(t) über einem Intervall T ist 1 τ + T < f() t >= f() t dt T τ Die Periode τ einer harmonischen Funktion ist π/ω und für dieses Problem T>>τ. In diesem Fall ist der Term 1/T vor dem Integral dominant. Nach ausmultiplizieren und einsetzen ergibt sich E1 E = 1 E01 E0 cos( k1 r + ε1 k r ε) wobei <cos ωt> = ½, <sin ωt> = ½ und <cos ωt sin ωt > = 0 benutzt wurde. Der Interferenzterm ist dann I1 = E01 E0 cosδ wobei δ = (k 1 r - k r + ε 1 - ε ) die hierbei auftretende Phasendifferenz ist. In den meisten Fällen ist E 01 parallel zu E 0. Das schreibt man besser mit E01 I1 =< E1 >= und E I =< E 0 >=

6 6 Der Interferenzterm wird dann I1 = I1I cosδ wodurch I = I1+ I + I1I cosδ die gesamte Intensität ist. Betrachtet man nun noch den speziellen Fall, das die ankommenden Wellen die gleiche Amplitude haben, sind also auch die Intensitäten gleich I 1 = I = I 0. Also schreibt man δ I = I ( 1+ ) 0 cosδ = 4I0 cos Versuchsaufbau Um die Interferenzmuster von Einzelspalt, Doppelspalt und Gitter quantitativ auszuwerten, wird ein Laser verwendet, da er sich durch kohärentes, monochromatisches Licht auszeichnet. In den Laserstrahl werden zu untersuchenden Objekte gestellt. Da aufgrund des parallelen Lichtes das Interferenzmuster im Unendlichen liegt, wird auch noch eine Linse eingefügt, so daß das Bild auf dem Detektor zu liegen kommt. Der Abstand Linse - Detektor ist gleich der Brennweite der Linse. Letzterer ist an einen XY-Schreiber angeschlossen, der die Intensitätsverteilung auf Millimeterpapier aufträgt. Bei Verwendung des Gitters kann vor das Gitter noch eine Aufweitoptik in den Strahlengang eingefügt werden, um das Gitter besser auszuleuchten. Andernfalls ist der Lichtpunkt des Lasers auf dem Schirm sehr klein. Auswertung mit linearer Regression Die Wellenlänge des Lasers wird mit λ=(630 ± 10) nm angesetzt (damit ein Wert für die Fehlerrechnung vorhanden ist ). Da das Interferenzmuster als Abbildung mit einer Linse gemessen wurde, ergibt sich der Winkel φ unter dem die Minima bzw. Maxima auftreten zu: tanφ = x f Wobei x der Abstand des Minimums bzw. Maximums vom Hauptmaximum 0. Ordnung ist und f die Brennweite der Sammellinse, mit der abgebildet wurde. Die Brennweite der Sammellinse ist in allen Versuchsteilen f=(60 ± 0,1) cm. Der Fehler wird angenommen, da es einen Ablesefehler beim Aufstellen der Linse gibt. Das Millimeterpapier des XY-Schreibers wurde so geeicht, daß eine Umdrehung der Stellschraube gleich einem Skalenteil auf dem Millimeterpapier ist. Eine Umdrehung ist gleich einem Millimeter Vorschub des Tastkopfes und entspricht 1,5 cm auf dem Millimeterpapier. Für das Ablesen der Stellschraube wird ein Fehler von Skalenteilen (=0,0 mm) angenommen, da die Schraube einen toten Gang hat.

7 7 Um nun den Abstand der Maxima bzw. Minima vom Hauptmaximum zu bestimmen, muß der Wert, der auf dem Millimeterpapier abgelesen wird, auf den Vorschub des Tastkopfes umgerechnet werden. Dieser ist gleich dem gesuchten Abstand, dessen Fehler sich aus dem Gaußschen Fehlerfortpflanzungsgesetz ergibt. Für das Ablesen des Millimeterpapiers wird ein Fehler von einem Millimeter angenommen. Da es sich um kleine Winkel handelt, kann mit tan φ = sin φ = φ gerechnet werden. Auf dem Millimeterpapier wird nun der Winkel der Maxima bzw. Minima gegen ihre Ordnung aufgetragen. Aus der Ausgleichsgeraden ergibt sich nun die Spaltenbreite bzw. Gitterkonstante nach: d = λ α Hierbei ist α die Steigung der Ausgleichsgeraden. Der Fehler in α ergibt sich aus der linearen Regression, der Fehler in d aus dem Gaußschen Fehlerfortpflanzungsgesetz. Der y- Achsenabschnitt der linearen Regression ist sehr klein, so daß er vernachlässigt werden kann. Minima: Der Einzelspalt Die Auswertung erfolgt für die Maxima und die Minima getrennt. UGQXQJ :LQNHOÃ>ƒ@ $EVWDQGÃ>PP@ $EVWDQGÃJHPHVVHQÃ>FP@ Maxima: UGQXQJ :LQNHOÃ>ƒ@ $EVWDQGÃ>PP@ $EVWDQGÃJHPHVVHQÃ>FP@ Die Spaltenbreite ist also im Mittel (115,61 ± 0,0) µm. Die Maxima liegen nicht auf der Ausgleichsgeraden der Minima. Es ist eine tendenzielle Abweichung erkennbar, die zu einer größeren Spaltenbreite führt.

8 8 Minima: Der Doppelspalt Die Auswertung erfolgt wieder wie beim Einzelspalt. UGQXQJ Maxima: UGQXQJ Auffällig ist, daß die Maxima nicht auf der Nullinie liegen, sondern Werte oberhalb annehmen. Verbindet man diese, so ergibt sich eine neue Kurve. Diese ist wieder die Intensitätsverteilung eines Einzelspalts, da sich die Interferenzmuster des Doppelspalt und der beiden Einzelspalte lediglich überlagern.

9 9 Wie beim Einzelspalt werden von dieser neuen Kurve die Maxima bestimmt, woraus sich wie oben die Spaltenbreite ergibt. UGQXQJ Der Abstand der beiden Spalte ist also (585,35 ± 0,1) µm, wobei jeder Spalt (10,64 ± 0,0) µm breit ist. Das Gitter Beim Gitter können nur die Maxima zur Bestimmung der Gitterkonstanten herangezogen werden, da sich die Minima nicht lokalisieren lassen. Es wurden zwei Versuchsreihen durchgeführt: Eine mit aufgeweitetem Laserstrahl und eine ohne Aufweitung. Ohne Aufweitung: UGQXQJ Mit Aufweitung: UGQXQJ

10 10 Analog zum Doppelspalt werden die Maxima zu einer neuen Kurve verbunden, aus der die Spaltenbreite bestimmt werden kann. Als Minimum dieser Kurve wird das ±. Maximum des Graphen mit aufgeweiteten Laser genommen. UGQXQJ Die Gitterkonstante ergibt sich zu g = (1,85 ± 0,04) µm mit aufgeweitetem Laser. Die Gitterkonstante ohne aufgeweitetem Laser differiert von diesem Wert, da in diesem Fall das Gitter nicht gut ausgeleuchtet ist. Idealisiert betrachtet man ein unendlich großes Gitter, für das dann auch die Formel gilt. Dieser Idealisierung kommt der aufgeweitete Laser am nächsten, so daß sich dieser Wert als Gitterkonstante ergibt. Die Spaltenbreite des Gitters ergibt sich zu (110,10 ± 0,0) µm.