Wir beginnen mit der Definition eines metrischen Raumes, der in diesem Kapitel von zentraler Bedeutung ist. x, y, z X (Dreiecksungleichung).

Transkript

1 Kapitel 4 Metrische Räume und Stetigkeit 4.1 Metrische und normierte Räume 4.2 Folgen in metrischen Räumen 4.3 Offene und abgeschlossene Mengen 4.4 Stetige Funktionen 4.5 Grenzwerte von Funktionen 4.6 Kompakte Mengen 4.7 Der Approximationssatz von Weierstraß 4.1 Metrische und normierte Räume Wir beginnen mit der Definition eines metrischen Raumes, der in diesem Kapitel von zentraler Bedeutung ist. Definition 4.1 Seien X eine nichtleere Menge und d : X X R eine Abbildung mit den folgenden Eigenschaften: (a) d(x, y) = 0 x = y; (b) d(x, y) 0 x, y X; (c) d(x, y) = d(y, x) x, y X (Symmetrie); (d) d(x, z) d(x, y) + d(y, z) x, y, z X (Dreiecksungleichung). Dann heißt d Metrik auf X, und (X, d) wird als metrischer Raum bezeichnet. In einem metrischen Raum (X, d) ist die Größe d(x, y) ein Maß für den Abstand (d = Distanz) zwischen zwei Punkten x, y X. Dass dieser Abstandsbegriff allerdings recht allgemein sein kann, wird aus den nachfolgenden Beispielen klar. 99

2 100 KAPITEL 4. METRISCHE RÄUME UND STETIGKEIT Beispiel 4.2 (a) Seien X eine nichtleere Menge und d(x, y) := { 0, falls x = y, 1, falls x y. Dann ist d eine Metrik auf X, die so genannte diskrete Metrik; der metrische Raum (X, d) heißt auch diskreter Raum. (b) (X, d) mit X = K (K = R oder K = C) und dem üblichen Abstand d(x, y) := x y ist ein metrischer Raum. Dies folgt unmittelbar aus den Eigenschaften der Betragsfunktion. (c) Ist (X, d) ein metrischer Raum und Y X eine beliebige Teilmenge, so wird auch Y zu einem metrischen Raum durch die von X induzierte Metrik d Y (x, y) := d(x, y) für x, y Y. Teilmengen von metrischen Räumen seien im Folgenden stets mit der induzierten Metrik versehen (sofern nicht explizit etwas anderes gesagt wird). (d) In der Codierungstheorie versteht man unter einem n-stelligen Binärwort ein Tupel x = (x 1,...,x n ) mit x i {0, 1} für alle i = 1,...,n, wobei man z.b. statt x = (1, 0, 1, 1) meist nur x = 1011 schreibt. Die so genannte Hamming Distanz d(x, y) := {i xi y i }, für zwei Binärwörter x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y n ) zählt also die Anzahl der Komponenten, in denen sich x und y unterscheiden. Man verifiziert sehr leicht, dass hierdurch eine Metrik definiert ist. Zahlreiche weitere Beispiele von (sehr wichtigen) metrischen Räumen werden wir in den nächsten Kapiteln noch kennen lernen. Wir notieren als Nächstes eine einfache Konsequenz aus der Definition eines metrischen Raumes, die uns später noch als technisches Hilfsmittel von Nutzen sein wird. Lemma 4.3 ( Vierecksungleichung ) Sei (X, d) ein metrischer Raum. Dann gilt d(x, y) d(u, v) d(x, u) + d(y, v) für alle x, y, u, v X. Beweis: Seien x, y, u, v X. Aus der Dreiecksungleichung für metrische Räume folgt dann d(u, v) d(u, x) + d(x, y) + d(y, v) und daher Entsprechend zeigt man die Ungleichung d(u, v) d(x, y) d(x, u) + d(y, v). d(x, y) d(u, v) d(x, u) + d(y, v).

3 4.1. METRISCHE UND NORMIERTE RÄUME 101 Zusammen folgt die Behauptung. Spezielle metrische Räume erhält man mittels der so genannten normierten Räume. Diese wollen wir als Nächstes einführen. Dafür benötigen wir allerdings den Begriff eines Vektorraumes. Definition 4.4 Sei K ein beliebiger Körper. Dann heißt eine nichtleere Menge V ein K Vektorraum (oder Vektorraum über K), wenn es eine Verknüpfung + (als Addition bezeichnet) und eine Verknüpfung (als Skalarmultiplikation bezeichnet) gibt derart, dass die folgenden Eigenschaften erfüllt sind: (A) Axiome der Addition: (A1) Für alle v, w V ist v + w V (Abgeschlossenheit der Addition). (A2) Für alle v, w V ist v + w = w + v (Kommutativgesetz). (A3) Für alle u, v, w V ist u + (v + w) = (u + v) + w (Assoziativgesetz). (A4) Es gibt ein Element 0 V mit 0 + v = v für alle v V (Existenz eines Nullelements). (A5) Für alle v V existiert ein Element v V mit v + ( v) = 0 (Existenz eines inversen Elements). (S) Axiome der Skalarmultiplikation: (S1) Für alle λ K und alle v V ist λ v V (Abgeschlossenheit der Skalarmultiplikation). (S2) Es gilt λ (v + w) = λ v + λ w für alle λ K und alle v, w V. (S3) Es gilt (λ + µ) v = λ v + µ v für alle λ, µ K und alle v V. (S4) Es gilt (λµ) v = λ (µ v) für alle λ, µ K und alle v V. (S5) Es gilt 1 v = v für alle v V, wobei 1 das Einselement in dem Körper K bezeichnet. Wir werden meist nur Vektorräume über dem Körper K = K betrachten, wobei K wieder als Abkürzung für den Körper der reellen Zahlen R oder den Körper der komplexen Zahlen C steht. Sofern der jeweilige Körper aus dem Zusammenhang klar ist, sprechen wir auch nur von einem Vektorraum statt von einem K Vektorraum. Ist nun V ein K Vektorraum und U V eine Teilmenge, so nennen wir U einen Unterraum (oder Untervektorraum oder Teilraum) von V, wenn U mit der durch V vererbten Addition + und Skalarmultiplikation selbst ein Vektorraum ist. Nach diesen Vorbereitungen kommen wir nun zu dem Begriff eines normierten Raumes. Definition 4.5 Seien X ein K Vektorraum und : X R eine Abbildung mit den folgenden Eigenschaften:

4 102 KAPITEL 4. METRISCHE RÄUME UND STETIGKEIT (a) x = 0 x = 0; (b) x 0 für alle x X; (c) αx = α x für alle α K und alle x X (Homogenität); (d) x + y x + y für alle x, y X (Dreiecksungleichung). Dann heißt eine Norm auf X, und (X, ) wird als normierter Raum bezeichnet. Genügt nur den Eigenschaften (b) (d), so spricht man von einer Halbnorm auf X. Aus der Dreiecksungleichung in der Definition 4.5 (d) erhält man induktiv sofort die Gültigkeit der verallgemeinerten Dreieicksungleichung x x n x x n für je endlich viele Elemente x 1,...,x n eines normierten Raumes (X, ). Außerdem gilt in einem normierten Raum (X, ) auch die inverse Dreiecksungleichung x y x y x, y X, (4.1) denn aus der Dreiecksungleichung folgt einerseits und andererseits gilt x x y + y = x y x y, y y x + x = y x y x. Beide Ungleichungen zusammen ergeben gerade (4.1). Ist (X, ) ein normierter Raum und setzen wir d(x, y) := x y für x, y X, (4.2) so genügt die Abbildung d : X X R offenbar allen Eigenschaften einer Metrik. Jeder normierte Raum wird mittels der obigen Zuordnung somit zu einem metrischen Raum. Sofern wir einen normierten Raum vorliegen haben, fassen wir diesen stets vermöge der Vorschrift (4.2) als einen metrischen Raum auf. Daher gelten alle Aussagen in einem metrischen Raum automatisch auch in normierten Räumen. Die Vierecksungleichung aus dem Lemma 4.3 lautet in einem normierten Raum X beispielsweise wie folgt: x y u v x u + y v für alle x, y, u, v X. Wir geben als Nächstes einige Beispiele von Vektorräumen und normierten Räumen an. Weitere (sehr wichtige) Beispiele werden später noch folgen.

5 4.1. METRISCHE UND NORMIERTE RÄUME 103 Beispiel 4.6 (a) Der Körper K ist ein normierter (und daher auch metrischer) Raum über K mit der üblichen Addition und der üblichen Multiplikation in K als Skalarmultiplikation, wenn man als Norm den Betrag wählt, also x := x für alle x K setzt. (b) Die Menge K n := K K := { x x = (x 1,..., x n ) mit x i K für alle i = 1,...,n } wird mit der komponentenweisen Addition x + y := (x 1 + y 1,...,x n + y n ) für alle x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,..., y n ) K n und der komponentenweisen Skalarmultiplikation λx := (λx 1,...,λx n ) für alle λ K und alle x = (x 1,...,x n ) K n offenbar zu einem K Vektorraum. Dieser lässt sich auf verschiedene Weisen zu einem normierten (und daher auch metrischen) Raum machen. Beliebt ist beispielsweise die so genannte Euklidische Norm x := x 2 := x x n 2 für x K n, wobei wir erst später zeigen werden, dass es sich hierbei tatsächlich um eine Norm handelt. (c) Auf dem gerade eingeführten Vektorraum K n können auch andere Normen definiert werden. Beispielsweise verifiziert man relativ leicht, dass die so genannte Maximumnorm x := x := max { x 1,..., x n } ebenfalls eine Norm auf dem Raum K n definiert. Diese ist von der Euklidischen Norm offenbar verschieden, allerdings gilt für alle x K n, wie man sofort einsieht. x x 2 n x (d) Die Menge aller konvergenten Folgen in K bildet ebenfalls einen (allerdings unendlich dimensionalen) K Vektorraum, wenn man die Addition und die Skalarmultiplikation wieder komponentenweise definiert, also {x n } + {y n } := {x n + y n } und λ{x n } := {λx n } für alle Folgen {x n }, {y n } in K und alle λ K. Dieser Vektorraum lässt sich auch zu einem normierten Raum machen, worauf wir an dieser Stelle aber nicht weiter eingehen wollen.

6 104 KAPITEL 4. METRISCHE RÄUME UND STETIGKEIT (e) Die wohl wichtigsten Beispiele von normierten und metrischen Räumen sind so genannte Funktionenräume, beispielsweise die Menge aller stetigen Abbildungen f : [a, b] R, die Menge aller differenzierbaren Abbildungen f : [a, b] R oder die Menge aller integrierbaren Abbildungen f : [a, b] R n. Da wir die hierzu nötigen Begriffe noch nicht zur Verfügung haben, gehen wir an dieser Stelle nicht weiter darauf ein. Es sei allerdings erwähnt, dass diese Funktionenräume später noch eine große Rolle spielen werden. 4.2 Folgen in metrischen Räumen Wir verallgemeinern in diesem Abschnitt den Begriff einer Folge und beweisen einige Aussagen aus dem Kapitel 3 in beliebigen metrischen Räumen statt nur im Raum K. Zunächst erinnern wir daran, dass bislang jede Abbildung der Gestalt f : N K als eine Folge (in K) bezeichnet wurde und hierfür statt f(n) stets a n geschrieben wurde. Allgemeiner bezeichnen wir von nun an jede Funktion f : N X mit einer beliebigen Menge X als eine Folge (in X) und schreiben weiterhin a n statt f(n). Die Folgenglieder a n = f(n) sind also nicht mehr notwendig irgendwelche Zahlen in K, sondern können beliebige andere Objekte sein. Wir betrachten kurz zwei Beispiele. Beispiel 4.7 (a) Betrachte die Abbildung die Abbildung f(n) := x n für n N. Hier wird jeder natürlichen Zahl n N die Funktion x n zugeordnet, die einzelnen Folgenglieder a n = f(n) = x n sind also Funktionen. (b) Durch die Abbildung f(n) := {x R x [ n, +n]} wird jeder natürlichen Zahl n N ein Intervall in R zugeordnet. Sei nun f : N X eine beliebige Folge in X, wofür wir wieder {a n } oder {a 1, a 2, a 3,...} schreiben mit a n := f(n). Bezeichnet {n k } dann eine streng monoton steigende Folge natürlicher Zahlen, so nennen wir die durch k a nk definierte Folge {a nk } wieder eine Teilfolge von {a n }. Beispielsweise ist die Folge der Funktionen 1, x 2, x 4, x 6,... eine Teilfolge der im Beispiel 4.7 (a) angegebenen Folge. Wir betrachten nun Folgen in einem metrischen Raum X. Dann steht uns ein Abstandsbegriff zur Verfügung, so dass wir konvergente Folgen, Cauchy Folgen etc. auch in beliebigen metrischen Räumen definieren können. Definition 4.8 Seien (X, d) ein metrischer Raum und {x n } X eine gegebene Folge. (a) {x n } heißt Cauchy Folge in X, wenn für alle ε > 0 ein N N existiert mit d(x m, x n ) ε für alle m, n N mit m, n N. (b) {x n } heißt konvergent gegen einen Grenzwert x X, wenn für alle ε > 0 ein N N existiert mit d(x n, x) ε für alle n N; Schreibweisen: {x n } x, x n x, lim x n = n x oder lim x n = x.

7 4.2. FOLGEN IN METRISCHEN RÄUMEN 105 (c) Ein Punkt x X heißt Häufungspunkt der Folge {x n }, wenn es eine Teilfolge {x nk } von {x n } gibt mit lim k x nk = x. Gemäß Definition ist eine Folge {x n } in einem metrischen Raum (X, d) also genau dann konvergent bzw. eine Cauchy Folge, wenn die Folge der reellen Zahlen {d(x, x n )} konvergiert bzw. die Folge der reellen Zahlen {d(x m, x n )} eine Cauchy Folge ist. Speziell in dem metrischen Raum X := K mit der durch den Betrag induzierten Metrik stimmen die in der Definition 4.8 eingeführten Begriffe mit den bislang bekannten Definitionen in K offenbar überein. Wir werden im Folgenden einige der uns bereits in K bekannten Aussagen über Folgen auf allgemeine metrische Räume verallgemeinern. Dabei nennen wir eine Folge {x n } in einem metrischen Raum (X, d) beschränkt, wenn ein x X und eine Konstante r > 0 existieren mit d(x n, x) < r für alle n N, also alle x n in einer hinreichend großen Kugel vom Radius r > 0 um einen Punkt x X liegen. Satz 4.9 ( Eigenschaften von konvergenten Folgen ) Sei (X, d) ein metrischer Raum. Dann gelten: (a) Der Grenzwert einer konvergenten Folge ist eindeutig bestimmt. (b) Jede konvergente Folge ist eine Cauchy Folge. (c) Jede konvergente Folge ist beschränkt. (d) Jede Teilfolge einer konvergenten Folge ist konvergent und besitzt denselben Grenzwert. (e) Besitzt eine Cauchy Folge einen Häufungspunkt, so konvergiert bereits die gesamte Folge gegen diesen Häufungspunkt. Beweis: Der Beweis verläuft im Prinzip analog zu denen der entsprechenden Aussagen in K. Um den Umgang mit metrischen Räumen etwas einzuüben, wollen wir dennoch die Beweise komplett durchführen. (a) Seien {x n } x und {x n } x für zwei Grenzwerte x, x X. Angenommen, diese sind verschieden. Dann ist ε := d(x, x ) > 0. Aus der vorausgesetzten Konvergenz gegen x bzw. x folgt außerdem die Existenz von gewissen Zahlen N 1, N 2 N mit d(x n, x) < ε für alle n N 1 sowie d(x n, x ) < ε für alle n N 2. Damit ergibt sich aus der Dreiecksungleichung unmittelbar 0 < d(x, x ) d(x, x n ) + d(x n, x ) < 2ε = d(x, x ) für alle n N := max{n 1, N 2 }, was natürlich nicht sein kann. (b) Nach Voraussetzung existiert ein x X mit x n x für n. Also gibt es zu jedem ε > 0 ein N N mit d(x n, x) < ε für alle n N. Dies impliziert 2 d(x n, x m ) d(x n, x) + d(x, x m ) < ε 2 + ε 2 = ε für alle n, m N.

8 106 KAPITEL 4. METRISCHE RÄUME UND STETIGKEIT Folglich ist {x n } eine Cauchy Folge. (c) Sei {x n } x für ein x X. Zu ε = 1 existiert dann ein N N mit d(x n, x) < ε = 1 für alle n N. Hieraus folgt d(x n, x) r := max{1, d(x 1, x),...,d(x N 1, x)} für alle n N und damit die Beschränktheit von {x n }. (d) Diese Aussage ergibt sich unmittelbar aus der Definition einer Teilfolge. (e) Sei ε > 0 beliebig gegeben. Da {x n } eine Cauchy Folge ist, gibt es ein N 1 N mit d(x n, x m ) < ε 2 für alle n, m N 1. Ferner existiert nach Voraussetzung ein Häufungspunkt x X von {x n }. Also gibt es ein N 2 N und eine Teilfolge {x nk } mit d(x nk, x) < ε 2 für alle k N 2. Für alle n N := max{n 1, N 2 } folgt dann wegen n k k die Abschätzung d(x n, x) d(x n, x nk ) + d(x nk, x) < ε 2 + ε 2 = ε und damit die Konvergenz der gesamten Folge {x n } gegen x. Wegen Satz 4.9 ist jede konvergente Folge in einem metrischen Raum eine Cauchy Folge. Die Umkehrung dieser Aussage ist im Allgemeinen nicht richtig (Gegenbeispiel: X = (0, 1), d(x, y) = x y und x n := 1 für n N) und gibt Anlass zu der folgenden n+1 Definition. Definition 4.10 Ein metrischer Raum (X, d) heißt vollständig, wenn jede Cauchy Folge in X konvergiert. Ein vollständiger normierter Raum heißt auch Banach Raum. Der Begriff der Vollständigkeit taucht hier bereits zum zweiten Mal auf: In der Definition 1.31 wurde ein angeordneter Körper als vollständig bezeichnet, wenn er die Supremumseigenschaft besitzt. Hier hingegen wird ein metrischer Raum als vollständig bezeichnet, wenn jede Cauchy Folge bereits konvergiert. Nun bildet die Menge der reellen Zahlen R aber sowohl einen angeordneten Körper (siehe Satz 1.32 als auch einen metrischen Raum (siehe Beipiel 4.6 (a)). Daher ist die Vollständigkeit von R doppelt definiert. Die Ausführungen am Ende des Abschnitts 3.2 zeigen aber, dass die Supremumseigenschaft in einem (archimedisch) geordneten Körper äquivalent war zur Konvergenz von Cauchy Folgen. Aus diesem Grunde stimmen beide Definitionen der Vollständigkeit für R überein. Wir wollen als Nächstes die Vollständigkeit des Raumes K n beweisen. Dazu ist das nachstehende Resultat recht nützlich.

9 4.2. FOLGEN IN METRISCHEN RÄUMEN 107 Satz 4.11 ( Charakterisierung konvergenter Folgen im K n ) Betrachte den normierten Raum K n, versehen mit der Maximumnorm aus dem Beispiel 4.6 (c). Dann ist eine Folge {x k } K n genau dann konvergent gegen einen Grenzwert x = (x 1,...,x n ) K n, wenn alle Komponentenfolgen {x k,i } gegen x i konvergieren (i = 1,...,n). Dabei haben wir x k = (x k,1,...,x k,n ) K n geschrieben. Beweis: Es gelte zunächst lim k x k = x. Dann existiert zu jedem ε > 0 ein N N mit x k x < ε für alle k N. Aus der Definition der Maximumnorm folgt dann für alle Komponenten i = 1,...,n die Ungleichung x k,i x i x k x < ε für alle k N. Somit gilt x k,i x i für alle i = 1,..., n. Sei umgekehrt x k,i x i für alle i = 1,..., n vorausgesetzt. Zu beliebigem ε > 0 existieren dann gewisse Zahlen N i N mit x k,i x i < ε für alle k N i und für alle i = 1,..., n. Setzen wir N := max{n 1,..., N n } so folgt hieraus unmittelbar x k x = max i=1,...,n x k,i x i < ε für alle k N. Also gilt lim k x k = x. Als Konsequenz des Satzes 4.11 erhalten wir nun ein sehr wichtiges Beispiel für einen Banach Raum. Satz 4.12 ( Vollständigkeit des K n ) Der normierte Raum K n, versehen mit der Maximumnorm aus dem Beispiel 4.6 (c), ist ein Banach Raum. Beweis: Sei {x k } eine Cauchy Folge in K n. Schreiben wir für das k-te Folgenglied wieder x k = (x k,1,...,x k,n ) K n, so folgt aus der Definition der Maximumnorm sofort x k,i x m,i x k x m für alle k, m N und für alle i = 1,...,n. Also sind alle Komponentenfolgen {x k,i } Cauchy Folgen in K. Wegen Satz 3.22 sind alle Komponentenfolgen {x k,i } dann bereits konvergent. Wegen Satz 4.11 ist die Folge {x k } somit konvergent in K n. Also ist K n ein Banach Raum. Als weitere Konsequenz des Satzes 4.11 erhalten wir die nachstehende Verallgemeinerung des Satzes von Bolzano Weierstraß. Satz 4.13 ( Satz von Bolzano Weierstraß Version 3 ) In dem normierten Raum K n, versehen mit der Maximumnorm aus dem Beispiel 4.6 (c), besitzt jede beschränkte Folge eine konvergente Teilfolge.

10 108 KAPITEL 4. METRISCHE RÄUME UND STETIGKEIT Beweis: Sei {x k } eine beschränkte Folge in K n. Der Beweis geschieht wieder durch Zurückführung auf die einzelnen Komponentenfolgen {x k,i }, wobei wir erneut x k = (x k,1,...,x k,n ) K n schreiben. Wegen x k,i x k sind mit {x k } auch alle Komponentenfolgen {x k,1 },..., {x k,n } beschränkt in K. Insbesondere ist also {x k,1 } beschränkt und besitzt nach dem Satz 3.20 von Bolzano Weierstraß damit eine konvergente Teilfolge. Dann ist auch die zugehörige Teilfolge von {x k,2 } beschränkt und besitzt damit ebenfalls eine konvergente (Teil ) Teilfolge. Auf dieser neuen Teilfolge betrachten wir jetzt {x k,3 }, fahren mit unserer Argumentation so fort und erhalten schließlich eine Teilfolge von {x k,n } die ebenfalls konvergiert. Auf dieser letzten Teilfolge sind nun aber alle Komponentenfolgen {x k,i } konvergent. Wegen Satz 4.11 konvergiert dann auch die entsprechende Teilfolge von {x k }. In den drei vorhergehenden Sätzen haben wir den K n stets mit der Maximumnorm versehen. Es wird sich allerdings recht bald herausstellen, dass die Aussagen dieser Sätze auch dann richtig sind, wenn wir den K n mit irgendeiner anderen Norm versehen (zum Beispiel der Euklidischen Norm). Dies folgt letztlich aus der Tatsache, dass im K n alle Normen äquivalent sind, siehe Satz 4.53 und die anschließenden Ausführungen. Wir beweisen zum Abschluss dieses Abschnittes noch einige elementare Eigenschaften von normierten Räumen. Lemma 4.14 ( Rechenregeln für konvergente Folgen ) Sei (X, ) ein normierter Raum. Dann gelten: (a) Aus x n x und y n y folgt x n + y n x + y. (b) Aus α n α in K und x n x folgt α n x n αx. (c) Aus x n x folgt x n x. Beweis: Die Behauptung (a) folgt aus der Dreiecksungleichung wegen für n. Die Aussage (b) folgt aus (x n + y n ) (x + y) x n x + y n y 0 α n x n αx α n x n α n x + α n x αx = α n x n x + α n α x 0 für n, da {α n } (als konvergente Folge) beschränkt ist. Schließlich ergibt sich die Behauptung (c) aus xn x xn x 0 für n, wobei wir die inverse Dreiecksungleichung (4.1) benutzt haben.

11 4.3. OFFENE UND ABGESCHLOSSENE MENGEN Offene und abgeschlossene Mengen Wir führen als Nächstes die offenen und abgeschlossenen Kugeln in einem metrischen Raum ein. Die Namensgebung wird dadurch gerechtfertigt, dass es sich im Spezialfall des euklidischen Raumes (vergleiche das Beispiel 4.6 (b)) anschaulich tatsächlich um Kugeln handelt. Definition 4.15 Seien (X, d) ein metrischer Raum, x X und ε > 0. (a) Die Menge K ε (x) := {y X d(x, y) < ε} heißt offene Kugel um x mit dem Radius ε > 0. (b) Die Menge K ε (x) := {y X d(x, y) ε} heißt abgeschlossene Kugel um x mit dem Radius ε > 0. Will man den zu Grunde liegenden metrischen Raum hervorheben (der aus dem jeweiligen Zusammenhang aber meist klar ist), so spricht man auch von offenen bzw. abgeschlossenen Kugeln in X statt nur von offenen bzw. abgeschlossenen Kugeln. Mit Hilfe der offenen Kugeln führen wir jetzt die zentralen Begriffe der offenen und abgeschlossenen Mengen ein. Definition 4.16 Seien (X, d) ein metrischer Raum und M X eine gegebene Teilmenge. (a) Ein x M heißt innerer Punkt von M (und M Umgebung von x), wenn es eine offene Kugel K ε (x) gibt mit K ε (x) M. (b) M heißt offen, wenn alle x M innere Punkte von M sind. (c) M heißt abgeschlossen, wenn das Komplement X \ M offen ist. Man verifiziert sehr leicht, dass eine offene Kugel K ε (x) tatsächlich eine offene Menge im Sinne der Definition 4.16 (b) ist; ebenso zeigt man ohne größere Probleme, dass es sich bei einer abgeschlossenen Kugel K ε (x) um eine abgeschlossene Menge im Sinne der Definition 4.16 (c) handelt. Abgeschlossene Mengen werden häufig aber auch anders definiert, weshalb wir hier die nachstehende Charakterisierung abgeschlossener Mengen angeben. Lemma 4.17 ( Charakterisierung abgeschlossener Mengen ) Seien (X, d) ein metrischer Raum und M X eine gegebene Teilmenge. Dann sind äquivalent: (a) M ist abgeschlossen. (b) M enthält alle Häufungspunkte von Folgen in M, d.h., M = {x X {x n } M : lim n d(x n, x) = 0}.

12 110 KAPITEL 4. METRISCHE RÄUME UND STETIGKEIT Beweis: (a) = (b): Sei M abgeschlossen. Gemäß Definition ist das Komplement X \ M dann offen. Sei nun x X ein Häufungspunkt von M. Dann existiert eine Folge {x n } M mit lim n d(x n, x) = 0. Also ist K ε (x) M für alle ε > 0. Somit kann x kein innerer Punkt von X \M sein. Da X \M aber offen ist und damit alle Elemente von X \M innere Punkte sind, gehört x dann nicht zur Menge X \ M. Folglich ist x M. (b) = (a): Die Menge M enthalte alle Häufungspunkte von Folgen aus M. Wir zeigen, dass X \ M eine offene Menge ist. Sei dazu x X \ M beliebig gegeben. Nach Voraussetzung ist x dann kein Häufungspunkt von M. Also existiert ein ε > 0 mit K ε (x) M =. Dies impliziert K ε (x) X \ M. Daher ist X \ M offen, also M selbst abgeschlossen. Weiterhin gelten die folgenden beiden Resultate über offene und abgeschlossene Mengen, die bereits aus der Grundvorlesung Analysis bekannt sein sollten. Satz 4.18 Sei (X, d) ein metrischer Raum. Dann gelten: (a) und X sind offen. (b) Der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen ist offen. (c) Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist offen. Beweis: (a) Der gesamte Raum X ist offen, da X Umgebung eines jeden Punktes x X ist. Die leere Menge ist offen, da es keinen Punkt x gibt, zu dem es eine Kugel K ε (x) geben müsste. (b) Seien O 1,..., O n endlich viele offene Mengen und O := n i=1 O i deren Durchschnitt. Sei x O beliebig. Dann ist x O i für alle i = 1,...,n. Da die O i nach Voraussetzung offen sind, existieren ε i > 0 mit K εi (x) O i für alle i = 1,...,n. Für ε := min{ε 1,...,ε n } gilt dann K ε (x) K εi (x) O i für alle i = 1,..., n und daher auch K ε (x) O. Also ist O eine offene Menge. (c) Seien O i (i I) offene Mengen und O := i I O i deren Vereinigung. Sei x O beliebig gegeben. Dann ist x O i für (mindestens) ein i I. Da O i nach Voraussetzung offen ist, existiert per Definition ein ε > 0 mit K ε (x) O i. Dann ist erst recht K ε (x) O und O somit offen. Die im Satz 4.18 genannten Eigenschaften (a), (b) und (c) werden häufig zur Definition einer Topologie bzw. eines topologischen Raumes benutzt. Wir werden im Rahmen dieses Skriptes aber nicht weiter auf diese Begriffe eingehen. Man beachte übrigens, dass der Durchschnitt von beliebig vielen offenen Mengen nicht mehr offen zu sein braucht. Beispielsweise besteht der Durchschnitt der offenen Intervalle ( 1/n, 1 + 1/n) für n N gerade aus dem abgeschlossenen Intervall [0, 1]. Durch Komplementbildung erhält man aus dem Satz 4.18 das folgende Resultat.

13 4.3. OFFENE UND ABGESCHLOSSENE MENGEN 111 Satz 4.19 Sei (X, d) ein metrischer Raum. Dann gelten: (a) und X sind abgeschlossen. (b) Die Vereinigung endlich vieler abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen. (c) Der Durchschnitt beliebig vieler abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen. Beweis: (a) Wegen X \X = und X \ = X ergibt sich die Behauptung (a) unmittelbar aus der Definition einer abgeschlossenen Menge sowie Satz 4.18 (a). (b) Seien A 1,..., A n endlich viele abgeschlossene Mengen und A := n i=1 A i deren Vereinigung. Da die Komplemente X \ A i offen sind, ist aufgrund des Satzes 4.18 (b) auch die Schnittmenge n ( ) X \ Ai i=1 offen. Nach der Regel von De Morgan gilt aber so dass X \ ( n i=1 A i ) ( n ) X \ A i = i=1 n X \ A i, i=1 offen und daher A := n i=1 A i abgeschlossen ist. (c) Seien A i (i I) beliebig viele abgeschlossene Mengen und A := i I A i deren Durchschnitt. Da alle Komplemente X \A i dann offen sind, ist auch deren Vereinigung eine offene Menge. Nach der Regel von De Morgan ist dann auch ( ) X \ A i = ( ) X \ Ai i I i I eine offene Menge und somit A := i I A i abgeschlossen. Man beachte auch hier, dass die Vereinigung beliebig vieler abgeschlossener Mengen nicht notwendig abgeschlossen ist. Beispielsweise besteht die Vereinigung der abgeschlossenen Mengen [1/n, + ) über alle n N gerade aus dem offenen Intervall (0, + ). Die Sätze 4.18 und 4.19 rechtfertigen insbesondere die folgende Definition. Definition 4.20 Seien (X, d) ein metrischer Raum und M X eine gegebene Teilmenge. (a) Die Menge cl(m) := M := {A A abgeschlossen mit M A} heißt Abschluss (engl.: closure) von M.

14 112 KAPITEL 4. METRISCHE RÄUME UND STETIGKEIT (b) Die Menge int(m) := M := {O O offen mit O M} heißt Inneres (engl.: interior) von M. (c) Die Menge bd(m) := M := {x X ε > 0 : K ε (x) M und K ε (x) ( X \ M ) } heißt Rand (engl.: boundary) von M. (d) Ein Element x X heißt Häufungspunkt der Menge M, wenn es eine Folge {x n } M gibt mit lim n x n = x und x n x für alle n N. Der Abschluss einer Menge M besteht also gerade aus dem Durchschnitt aller abgeschlossenen Mengen, die M enthalten. Das Innere einer Menge M hingegen ist die Vereinigung aller offenen Mengen, die in M enthalten sind. Wegen Satz 4.19 (c) ist der Abschluss M von M tatsächlich eine abgeschlossene Menge. Es ist offenbar die kleinste abgeschlossene Menge, die M enthält. Analog ist das Innere M von M wegen Satz 4.18 (c) eine offene Menge; es handelt sich um die größte offene Teilmenge von M. Der Abschluss M lässt sich auch wie folgt beschreiben. Lemma 4.21 Seien (X, d) ein metrischer Raum, M X eine gegebene Teilmenge und x X gegeben. Dann sind äquivalent: (a) x M. (b) Es gibt eine Folge {x n } M mit lim n d(x n, x) = 0. Beweis: Da M eine abgeschlossene Menge ist, gilt { x X {xn } M : lim d(x n, x) = 0 } n { x X {x n } M : lim d(x n, x) = 0 } n = M, wobei sich die letzte Gleichheit aus dem Lemma 4.17 ergibt. Zum Nachweis der anderen Inklusion sei {x n } M mit x n x gegeben. Gemäß Definition des Abschlusses M existiert zu jedem n N dann ein y n M mit d(x n, y n ) 1 n. Aus der Dreiecksungleichung folgt daher d(x, y n ) d(x, x n ) + d(x n, y n ) 0 für n. Also ist auch {y n } M eine gegen x konvergente Folge. Mit Lemma 4.17 folgt die Behauptung.

15 4.3. OFFENE UND ABGESCHLOSSENE MENGEN 113 Für die Mengen M, M und M gelten trivialerweise die Inklusionen M M M. Darüber hinaus sind die folgenden Eigenschaften erfüllt. Lemma 4.22 Seien (X, d) ein metrischer Raum und M X eine gegebene Teilmenge. Dann gelten: (a) M ist genau dann offen, wenn M = M gilt. (b) M ist genau dann abgeschlossen, wenn M = M gilt. (c) M ist stets abgeschlossen, und es gilt die Beziehung M = M\ M. Beweis: (a) Ist M offen und x M, so existiert ein ε > 0 mit K ε (x) M. Also ist x ein innerer Punkt von M, d.h. x M. Somit gilt M M für jede offene Menge M. Die umgekehrte Inklusion ist aufgrund der Vorbetrachtungen aber klar, so dass insgesamt M = M folgt. Gilt umgekehrt M = M, so ist M offen, da das Innere M gemäß Vorbemerkung stets eine offene Menge ist. (b) Per Definition ist M die kleinste abgeschlossene Menge, die M enthält. Ist M selbst abgeschlossen, so gilt dann natürlich M = M. Umgekehrt folgt aus M = M unmittelbar, dass M abgeschlossen ist, da der Abschluss M gemäß Vorbetrachtung eine abgeschlossene Menge ist. (c) Wir zeigen zunächst die Gültigkeit von M = M\ M. Sei dazu x M gegeben. Dann ist K ε (x) M und K ε (x) (X \ M) für alle ε > 0. Insbesondere gilt K 1/n (x) M für alle n N. Also existiert eine Folge {x n } M mit lim n d(x n, x) = 0. Wegen Lemma 4.17 ist dann x M. Andererseits ist x M, denn sonst gäbe es ein ε > 0 mit K ε (x) M im Widerspruch zu K ε (x) (X \ M) für alle ε > 0. Also ist x M \ M. Da x M beliebig gewählt war, folgt hieraus M M \ M. Zum Nachweis der umgekehrten Inklusion sei x M \ M beliebig gegeben. Wegen x M ist x kein innerer Punkt von M, also gilt K ε (x) (X \ M) für alle ε > 0. Andererseits ist x M. Gemäß Lemma 4.21 existiert daher eine Folge {x n } M mit lim n d(x n, x) = 0, so dass auch K ε (x) M für alle ε > 0 ist. Zusammen zeigt dies x M und damit die Beziehung M \ M M. Wegen M = M \ M = M ( X \ M ) folgt mit Satz 4.19 dann auch die Abgeschlossenheit von M, denn M ist per Definition abgeschlossen und X \ M ist abgeschlossen als Komplement einer offenen Menge.

16 114 KAPITEL 4. METRISCHE RÄUME UND STETIGKEIT Wir beenden diesen Abschnitt noch mit einer Warnung: In einem metrischen Raum ist der Abschluss K ε (x) der offenen Kugel K ε (x) im Allgemeinen nicht gleich der abgeschlossenen Kugel K ε (x). Zwar gilt stets die Inklusion K ε (x) K ε (x) (denn K ε (x) ist ja die kleinste abgeschlossene Menge, die K ε (x) enthält), jedoch kann diese Inklusion durchaus echt sein. Um dies einzusehen, betrachten wir noch einmal den diskreten Raum (X, d) aus dem Beispiel 4.2 (a): Für x X und ε = 1 gilt dort K 1 (x) = {y X d(x, y) < 1} = {x} und daher auch K 1 (x) = {x}. Für die abgeschlossene Kugel hingegen folgt K 1 (x) = {y X d(x, y) 1} = X, und dies unterscheidet sich offenbar von K 1 (x) = {x}, sobald die Menge X mindestens zwei Elemente enthält. 4.4 Stetige Funktionen Zwecks Definition einer stetigen Funktion beginnen wir mit dem folgenden Resultat. Satz 4.23 Seien (X 1, d 1 ) und (X 2, d 2 ) metrische Räume, f : X 1 X 2 eine gegebene Abbildung sowie x X 1. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent: (a) Für jede Folge {x n } X 1 mit {x n } x gilt f(x n ) f(x). (b) Zu jedem ε > 0 existiert ein δ > 0 mit d 2 (f(y), f(x)) < ε für alle y X 1 mit d 1 (y, x) < δ. Beweis: (a) = (b): Es gelte f(x n ) f(x) für jede Folge {x n } X 1 mit x n x. Angenommen, die Aussage (b) sei nicht erfüllt. Dann existiert ein spezielles ε > 0, so dass es für jedes δ > 0 ein y X 1 gibt mit d 1 (x, y) < δ und d 2 (f(x), f(y)) ε. Für δ = 1/n mit n N erhalten wir auf diese Weise eine Folge {x n } mit d 1 (x, x n ) < 1/n und d 2 (f(x), f(x n )) ε für alle n N. Die Folge {x n } konvergiert also gegen x, ohne dass dies für die zugehörigen Funktionswerte gilt, was im Widerspruch zur Voraussetzung (a) steht. (b) = (a): Es gelte jetzt die Eigenschaft (b). Sei {x n } X 1 eine beliebige Folge mit x n x. Zu beliebigem ε > 0 existiert nach Voraussetzung (b) ein δ > 0 mit d 2 (f(x), f(x n )) < ε für alle x n mit d 1 (x, x n ) < δ. Wegen x n x gilt aber d 1 (x, x n ) < δ für alle n N mit einem hinreichend großen N N. Also ist d 2 (f(x), f(x n )) < ε für alle n N. Da ε > 0 beliebig gewählt war, folgt hieraus lim n f(x n ) = f(x). Die beiden (äquivalenten) Aussagen des vorigen Satzes sollen durch die nachstehenden Abbildungen 4.1 und 4.2 geometrisch erläutert werden. Als metrischer Raum tritt hier der Raum R 2 (versehen mit der euklidischen Norm) auf, der Definitionsbereich der betrachteten

17 4.4. STETIGE FUNKTIONEN 115 Funktion f wird mit D(f) bezeichnet, das im Satz 4.23 (b) auftretende δ hat den Namen δ ε, da es im Allgemeinen von dem gegebenen ε abhängt, und U δε (x 0 ) bezeichnet eine Kugelumgebung um den Punkt x 0 mit dem Radius δ ε. X D(f) f Y U ε ( f(x0 ) ) x n x 0 f(x 0 ) Uδε(x0) f(x n ) Abbildung 4.1: Geometrische Interpretation von Satz 4.23 (a) f ( X D(f) U Y ε f(x0 ) ) U f(x 0 ) δε (x 0 ) D(f) x 0 f ( U δε (x 0 ) D(f) ) Abbildung 4.2: Geometrische Interpretation von Satz 4.23 (b) Der Satz 4.23 ist Grundlage für die nachfolgende Definition einer stetigen Abbildung. Definition 4.24 Seien (X 1, d 1 ) und (X 2, d 2 ) metrische Räume sowie f : X 1 X 2 eine gegebene Abbildung. (a) f heißt stetig im Punkte x X 1, wenn eine der äquivalenten Bedingungen (a) oder (b) des Satzes 4.23 erfüllt ist. (b) f heißt stetig in X 1, wenn f in jedem Punkt dieser Menge stetig ist. Die Bedingungen (a) und (b) aus dem Satz 4.23 werden auch als Folgen Kriterium bzw. ε δ Kriterium für die Stetigkeit bezeichnet. Letzteres wird in der Abbildung 4.3 veranschaulicht. Es soll an dieser Stelle explizit hervorgehoben werden, dass die Wahl von δ in dem ε δ Kriterium im Allgemeinen sowohl von dem gegebenen ε als auch von dem betrachteten Punkt x abhängt, weshalb manchmal auch δ = δ(ε, x) geschrieben wird.

18 116 KAPITEL 4. METRISCHE RÄUME UND STETIGKEIT 2δ ε Streifen um x 0 f(x) f(x 0 ) + ε f(x 0 ) 2ε Streifen um f(x 0 ) f(x 0 ) ε x x 0 δ ε x 0 x 0 + δ ε Abbildung 4.3: Veranschaulichung des ε δ Kriteriums der Stetigkeit Mittels der Quantor Schreibweise lässt sich die Stetigkeit von f in einem Punkt x wieder sehr kurz definieren. Das Folgen Kriterium lautet dann: f stetig in x X 1 : ( {x n } X 1 : x n x = f(x n ) f(x) ). Das ε δ Kriterium hingegen lässt sich wie folgt schreiben: f stetig in x X 1 : ( ε > 0 δ > 0 : d 1 (x, y) < δ = d 2 ( f(x), f(y) ) < ε ). Dem Leser sei dringend empfohlen, sich beide Formulierungen der Stetigkeit zu verinnerlichen. Das Folgen Kriterium lässt sich sehr einprägsam offenbar auch wie folgt formulieren: Eine Funktion f ist genau dann stetig in einem Punkt x X 1, wenn für alle gegen x konvergenten Folgen {x n } X 1 gilt: lim f(x n) = f( lim x n ). n n Die Stetigkeit einer Funktion besagt also, dass man den Limes mit der Funktion vertauschen darf. Für das ε δ Kriterium der Stetigkeit wollen wir hier noch kurz die Formulierung für den Spezialfall des Raumes K (versehen mit dem üblichen Absolutbetrag) angeben. Sei also f : D K eine gegebene Funktion mit dem Definitionsbereich D K. Dann heißt f stetig in x K, wenn es für alle ε > 0 ein (im Allgemeinen sowohl von x als auch von ε abhängiges) δ > 0 gibt derart, dass f(y) f(x) < ε für alle y D mit x y < δ gilt (ε δ Kriterium). Diese Definition wird durch die Abbildung 4.4 veranschaulicht. Die Abbildung 4.5 zeigt hingegen eine unstetige Funktion, welche das ε δ Kriterium nicht erfüllt.

19 4.4. STETIGE FUNKTIONEN 117 ε ε f(x 0 ) f δ δ x 0 x Abbildung 4.4: Beispiel einer stetigen Funktion f ε ε f(x 0 ) x x 0 Abbildung 4.5: Beispiel einer unstetigen Funktion Wir geben als Nächstes einige Beispiele von stetigen Funktionen an. Beispiel 4.25 (a) Die Funktion f(x) = c für eine Konstante c K ist auf ganz K stetig. Wir verifizieren diese Aussage mittels des Folgen Kriteriums. Sei dazu x K ein beliebiger Punkt und {x n } irgendeine gegen x konvergente Folge. Dann gilt f(x n ) = c c = f(x) für n. Also ist f stetig in x. (b) Wir betrachten die Funktion f(x) := x. Diese ist ebenfalls stetig auf ganz K. Dies soll nun mittels des ε δ Kriteriums verifiziert werden. Seien dazu x K und ε > 0 beliebig gegeben. Setze dann δ := ε > 0. Dann gilt für alle y K mit x y < δ die Ungleichung f(x) f(y) = x y < δ = ε, was zu zeigen war. (In diesem Fall hängt δ also nicht von dem speziellen Punkt x,

20 118 KAPITEL 4. METRISCHE RÄUME UND STETIGKEIT wohl aber von ε ab). (c) Die Funktion f(x) := x 2 ist ebenfalls auf ganz K stetig. Um dies einzusehen, benutzen wir wieder das ε δ Kriterium. Seien dazu x K und ε > 0 beliebig gegeben. Wir haben nun ein geeignetes δ > 0 zu finden, so dass die Implikation gilt. Nun ist x y < δ = x 2 y 2 = f(x) f(y) < ε (4.3) x 2 y 2 = x + y x y < ε für alle jene y K, die den beiden Ungleichungen x + y x y + 2 x < 2 x + 1 und x y < ε 2 x + 1 genügen. Setzen wir daher { } ε δ := min 1,, 2 x + 1 so ist (4.3) offenbar erfüllt und f somit stetig in x. Da x beliebig gewählt war, folgt hieraus die Stetigkeit von f auf ganz K. (In diesem Fall hängt die Wahl von δ > 0 also sowohl von dem betrachteten Punkt x als auch von dem gewählten ε ab.) (d) Die Funktion f : R R mit f(x) := { 1 für x Q, 0 für x / Q ist in keinem Punkt des Definitionsbereiches D = R stetig. Sei nämlich x R beliebig gewählt. Dann gibt es wegen Satz 1.34 in jeder noch so kleinen Umgebung von x sowohl rationale als auch irrationale Zahlen. Insbesondere existiert stets ein y R mit f(x) f(y) = 1. Somit gibt es beispielsweise zu ε = 1 kein δ > 0 derart, 2 dass die Forderung der Stetigkeit von f in x erfüllt wäre. (e) Seien (X, ) ein normierter Raum und f : X R gegeben durch f(x) := x. Dann ist f stetig in jedem Punkt x X. Dies folgt sofort aus dem Folgen Kriterium der Stetigkeit und dem Lemma 4.14 (c). Die Stetigkeit einer Funktion f : X 1 X 2 kann natürlich auch auf Teilmengen M X 1 definiert werden, indem man M selbst als metrischen Raum betrachtet gemäß Beispiel 4.2 (c). Auch das nachfolgende Stetigkeitskriterium ließe sich auf diese Weise für Teilmengen metrischer Räume formulieren. Satz 4.26 ( Charakterisierung der Stetigkeit ) Seien (X 1, d 1 ) und (X 2, d 2 ) metrische Räume und f : X 1 X 2 eine gegebene Abbildung. Dann sind äquivalent:

21 4.4. STETIGE FUNKTIONEN 119 (a) f ist stetig auf X 1. (b) Für alle offenen O X 2 ist das Urbild f 1 (O) offen in X 1. (c) Für alle abgeschlossenen A X 2 ist das Urbild f 1 (A) abgeschlossen in X 1. Beweis: (a) = (b): Sei f stetig auf X 1 und O X 2 eine offene Menge. Wir haben zu zeigen, dass jedes Element von f 1 (O) ein innerer Punkt ist. Sei dazu x f 1 (O) beliebig gegeben. Dann ist f(x) O. Da O offen ist, existiert ein ε > 0 mit K ε (f(x)) O, also y O für alle y mit d 2 (f(x), y) < ε. Aus der vorausgesetzten Stetigkeit von f in x ergibt sich die Existenz eines δ > 0 mit d 2 (f(x), f(z)) < ε für alle z mit d 1 (x, z) < δ. Also gilt f(z) O und somit z f 1 (O) für alle z mit d 1 (x, z) < δ. Folglich ist K δ (x) f 1 (O) und f 1 (O) somit eine offene Menge. (b) = (a): Sei x X 1 beliebig gegeben. Wir zeigen die Stetigkeit von f in x unter Verwendung des ε δ Kriteriums aus dem Satz 4.23 (b). Sei dazu ε > 0 und betrachte die offene Kugel K ε (f(x)). Nach Voraussetzung (b) ist das Urbild f 1 (K ε (f(x))) dann eine offene Menge in X 1. Wegen x f 1 (K ε (f(x))) existiert daher ein δ > 0 mit K δ (x) f 1 (K ε (f(x))). Dies impliziert f ( K δ (x) ) K ε (f(x)). Mit anderen Worten: Für alle y X 1 mit d 1 (x, y) < δ gilt d 2 (f(x), f(y)) < ε. Somit ist f stetig in x. Da x X 1 beliebig gewählt war, folgt die Behauptung (a). (b) = (c): Sei A X 2 eine abgeschlossene Menge. Dann ist X 2 \ A offen. Wegen Teil (b) ist auch das Urbild f 1 (X 2 \ A) offen. Aufgrund der leicht nachprüfbaren Identität f 1 (X 2 \ A) = X 1 \ f 1 (A) ist dann auch X 1 \ f 1 (A) offen. Also ist f 1 (A) abgeschlossen in X 1. (c) = (b): Sei O X 2 eine offene Menge. Dann ist X 2 \ O abgeschlossen. Nach Voraussetzung (c) ist dar Urbild f 1 (X 2 \ O) ebenfalls abgeschlossen. Aus der Identität f 1 (X 2 \ O) = X 1 \ f 1 (O) folgt die Abgeschlossenheit von X 1 \ f 1 (O). Also ist f 1 (O) selbst eine offene Menge in X 1. Ganze Klassen stetiger Funktionen erhält man aus dem folgenden Resultat. Satz 4.27 ( Summe, Produkt etc. stetiger Funktionen sind stetig ) Seien (X, d) ein metrischer Raum, λ K, sowie f, g : X K zwei in einem Punkt x X stetige Funktionen. Dann sind auch die Funktionen f + g : X K, λf : X K und f g : X K

22 120 KAPITEL 4. METRISCHE RÄUME UND STETIGKEIT stetig in x. Gilt überdies g(x) 0, so ist ebenfalls stetig in x. f g : X K mit X := {y X g(y) 0} Beweis: Wir verwenden das Folgen Kriterium der Stetigkeit. Sei {x n } X dazu eine beliebige gegen x konvergente Folge. Dann haben wir zu zeigen: lim (f + g)(x n) = (f + g)(x), n lim (λf)(x n) = (λf)(x), n lim (f g)(x n) = (f g)(x), n lim n ( f g ) (x n ) = ( f g ) (x). Nach Voraussetzung ist aber lim n f(x n ) = f(x) und lim n g(x n ) = g(x). Die Behauptung folgt daher aus den entsprechenden Rechenregeln für Folgen, vergleiche Satz 3.7. Da die konstanten Funktionen f : D K, f(x) = c (c K) sowie die Identität f : D K, f(x) = x stetig sind, folgt durch wiederholte Anwendung des Satzes 4.27 sofort die Stetigkeit aller Polynome und aller rationalen Funktionen (auf ihrem Definitionsbereich). Satz 4.28 ( Kompositum stetiger Funktionen ist stetig ) Seien (X i, d i ) für i = 1, 2, 3 metrische Räume, f : X 1 X 2 stetig in einem Punkt x X 1 und g : X 2 X 3 stetig in y := f(x). Dann ist das Kompositum g f : X 1 X 3 stetig in x. Beweis: Zum Beweis benutzen wir erneut das Folgen Kriterium der Stetigkeit. Sei also {x n } X 1 eine beliebige gegen x konvergente Folge. Nach Voraussetzung ist f in x stetig, also gilt f(x n ) f(x). Damit ist y n := f(x n ) eine gegen y = f(x) konvergente Folge in X 2. Nun ist g aber stetig in y, so dass g(y n ) g(y) in X 3 gilt. Insgesamt haben wir daher (g f)(x n ) = g ( f(x n ) ) = g(y n ) g(y) = g ( f(x) ) = (g f)(x), was die Stetigkeit von g f in x beweist. Offenbar sind die auf einer Teilmenge D K definierten Funktionen : D K, x x, : D K, x x, Re : D K, x Re(x), Im : D K, x Im(x)

23 4.4. STETIGE FUNKTIONEN 121 allesamt stetig, denn bezeichnet g eine dieser Funktionen, so gilt g(xn ) g(x) xn x 0 für jede gegen ein x D konvergente Folge {x n } D. Also sind wegen Satz 4.28 auch die Abbildungen f : D K, x f(x), f : D R, x f(x), Ref : D R, x Re(f(x)), Imf : D R, x Im(f(x)) stetig auf ihrem jeweiligen Definitionsbereich. Der nachstehende Satz ist von zentraler Bedeutung in der Analysis. Er gilt ausschließlich für reellwertige Funktionen auf Intervallen der Gestalt mit gegebenen a, b R. [a, b] := {x R a x b} Satz 4.29 ( Zwischenwertsatz ) Sei f : [a, b] R stetig. Dann existiert zu jedem Wert γ zwischen f(a) und f(b) mindestens ein c [a, b] mit f(c) = γ. Beweis: Für γ = f(a) bzw. γ = f(b) braucht man nur c = a bzw. c = b zu wählen. Wir behandeln im Folgenden daher nur den Fall f(a) < γ < f(b) (analog für f(b) < γ < f(a)). Die Menge M := {x [a, b] f(x) γ} ist nichtleer und nach oben beschränkt. Sie besitzt daher ein Supremum c aufgrund der Vollständigkeit von R. Wir zeigen nun, dass f(c) = γ gilt. Da c die kleinste obere Schranke von M ist, existiert eine Folge von Punkten x n M mit x n c. Wegen f(x n ) γ impliziert das Folgen Kriterium der Stetigkeit daher f(c) = lim n f(x n ) γ. Dies liefert insbesondere c b, also c < b. Folglich gibt es eine Folge {y n } von Punkten y n [c, b] mit y n c. Wegen f(y n ) γ erhalten wir aus dem Satz 4.23 somit f(c) = lim n f(y n ) γ. Zusammen ergibt sich gerade f(c) = γ. Der Zwischenwertsatz ist für unstetige Funktionen im Allgemeinen nicht richtig. Ebenso muss er selbst für stetige Abbildungen nicht richtig sein, wenn der Definitionsbereich kein Intervall ist. Der Leser mag sich hierfür selbst geeignete Gegenbeispiele konstruieren. Zur Illustration des Zwischenwertsatzes verweisen wir ansonsten auf die Abbildung 4.6.

24 122 KAPITEL 4. METRISCHE RÄUME UND STETIGKEIT f(b) f γ f(a) a c b x Abbildung 4.6: Veranschaulichung des Zwischenwertsatzes 4.5 Grenzwerte von Funktionen Für Funktionen f und Punkte x soll in diesem Abschnitt die Bedeutung des Grenzwertes lim y x f(x) erklärt werden. Dabei wird nicht verlangt, dass x zum Definitonsbereich von f gehört. Sollte dies doch der Fall sein, so ist der Funktionswert f(x) völlig irrelevant für den fraglichen Grenzwert. Vielmehr sind nur die Werte f(y) für y in der Nähe von x ausschlaggebend. Dazu muss es solche Punkte natürlich geben, also x zumindest ein Häufungspunkt des Definitionsbereichs von f sein. Die formale Definition für den Grenzwert einer Funktion lautet daher wie folgt. Definition 4.30 Seien X 1 und X 2 metrische Räume, D X 1, f : D X 2 und x X 1 ein Häufungspunkt von D. Dann schreiben wir lim f(y) = b y x oder f(y) b für y x und nennen b den Grenzwert von f für y x, wenn es zu jedem ε > 0 ein δ > 0 gibt mit d 2 ( f(y), b ) < ε für alle y D mit y x und d1 (x, y) < δ. Eine Charakterisierung des gerade eingeführten Begriffs ist in dem folgenden Resultat enthalten. Satz 4.31 ( Charakterisierung von Grenzwerten ) Seien X 1 und X 2 metrische Räume, D X 1, f : D X 2 und x X 1 ein Häufungspunkt von D. Dann gilt lim y x f(y) = b genau dann, wenn lim n f(x n ) = b für alle Folgen {x n } X 1 mit lim n x n = x und x n x für alle n N ist. Beweis: Der Beweis ist völlig analog zu dem des Satzes 4.23, mit dem die Stetigkeit einer Funktion definiert wurde. Unsere Definition des Grenzwertes lim y x f(y) entspricht dabei der ε δ Definition der Stetigkeit, während die hier angegebene Charakterisierung letztlich dem Folgen Kriterium der Stetigkeit entspricht. Wir betrachten als Nächstes einige Beispiele.

25 4.5. GRENZWERTE VON FUNKTIONEN 123 Beispiel 4.32 (a) Betrachte die Funktion f : [ 1, +1] R mit f(x) := { 0, falls x 0, 1, falls x = 0 und hier speziell den Punkt x = 0, der offenbar zum Definitionsbereich D := [ 1, +1] von f gehört. Dann ist lim y 0 f(y) = 0, insbesondere ist dieser Grenzwert verschieden von dem Funktionswert f(0) = 1. (b) Betrachte die Funktion f : D R mit f(x) := x2 1 x 1 und dem Definitionsbereich D := {x R x 1}. Wegen x 2 1 = (x + 1)(x 1) ist dann lim y 1 f(y) = lim y 1 (y + 1) = 2. Der Punkt x = 1 liegt in diesem Beispiel zwar nicht in dem Definitionsbereich von f, jedoch lässt sich f durch die Festsetzung f(1) := 2 stetig in x = 1 ergänzen. (c) Betrachte die Signum Funktion f : R R mit +1, falls x > 0, f(x) := sgn(x) := 0, falls x = 0, 1, falls x < 0. In x = 0 existiert der Grenzwert lim y 0 f(y) nicht, denn für eine beliebige Nullfolge {x n } (0, + ) gilt lim n f(x n ) = 1, während wir für jede Nullfolge {x n } (, 0) den hiervon verschiedenen Grenzwert lim n f(x n ) = 1 erhalten. Der Zusammenhang zwischen dem Grenzwert einer Funktion und der Stetigkeit dieser Funktion wird durch das nächste Resultat geklärt. Da dieses völlig offensichtlich ist, verzichten wir an dieser Stelle auf einen formalen Beweis. Satz 4.33 Seien X 1 und X 2 metrische Räume, D X 1, f : D X 2 und x D ein Häufungspunkt von D. Dann ist f genau dann stetig in x, wenn lim y x f(y) = f(x) gilt. Man beachte, dass wir im Satz 4.33 (im Gegensatz zur Definition 4.30 und dem Satz 4.31) voraussetzen, dass der betrachtete Punkt x zum Definitionsbereich D von f gehört. Dies ist natürlich nötig, da wir anderenfalls nicht von der Stetigkeit der Funktion f in diesem Punkt sprechen könnten. Für reelle Funktionen geben wir als Nächstes noch die Definition von einseitigen (links oder rechtsseitigen) Grenzwerten. Definition 4.34 Seien X ein metrischer Raum, D R, f : D X und x D ein Häufungspunkt von D. Dann schreiben wir lim f(y) = b oder f(y) b für y x+ y x+

26 124 KAPITEL 4. METRISCHE RÄUME UND STETIGKEIT und nennen b den rechtsseitigen Grenzwert von f für y x+, wenn es zu jedem ε > 0 ein δ > 0 gibt mit d ( f(y), b ) < ε für alle y D mit y (x, x + δ) (insbesondere sollen solche y existieren). Entsprechend schreiben wir lim f(y) = b y x oder f(y) b für y x und nennen b den linksseitigen Grenzwert von f für y x, wenn es zu jedem ε > 0 ein δ > 0 gibt mit d ( f(y), b ) < ε für alle y D mit y (x δ, x) (insbesondere sollen solche y wieder existieren). Die beiden gerade eingeführten einseitigen Grenzwerte lassen sich wieder durch geeignete Folgen Kriteria charakterisieren. Beispielsweise gilt lim f(y) = b y x+ genau dann, wenn lim n f(x n ) = b für alle Folgen {x n } D mit lim n x n = x und x n > x für alle n N ist (insbesondere sollen derartige Folgen existieren). Wir betrachten wieder einige Beispiele. Beispiel 4.35 (a) Existiert der Grenzwert lim y x f(y), so existieren auch die beiden einseitigen Grenzwerte lim y x+ f(y) und lim y x f(y), und es gilt die Beziehung lim y x+ f(y) = lim y x f(y) = lim y x f(y). (b) Die Umkehrung von (a) gilt ebenfalls: Existieren die beiden einseitigen Grenzwerte lim y x+ f(y) und lim y x f(y) und gilt dabei lim y x+ f(y) = lim y x f(y), so existiert auch der Grenzwert lim y x f(y), und für diesen gelten die Gleichheiten lim y x f(y) = lim y x+ f(y) = lim y x f(y). (c) Die Aussage (b) wird falsch, wenn zwar die beiden einseitigen Grenzwerte lim y x+ f(y) und lim y x f(y) existieren, ihre Werte jedoch verschieden sind. Betrachte hierzu die Signum Funktion aus dem Beispiel 4.32 (c). Hier gilt lim y 0+ f(y) = 1 und lim y 0 f(y) = 1, der Grenzwert lim y x f(y) existierte jedoch nicht. (d) Man bestätigt sehr leicht die Gültigkeit der einseitigen Grenzwerte lim x 0+ lim x 0 1 x n = + für ungerade n N, 1 x n = für ungerade n N, wobei hier unendliche Grenzwerte auftreten, die wir formal erst gleich einführen werden. In Verallgemeinerung des letzten Beispiels und der bisherigen Definitionen lassen sich auch die uneigentlichen Grenzwerte lim f(y) und lim y + f(y) y

27 4.5. GRENZWERTE VON FUNKTIONEN 125 einführen. Wir tun dies im Folgenden nur für den Fall y +, denn für y kann alles analog erfolgen. Definition 4.36 Seien X ein metrischer Raum und f : [a, + ) X eine gegebene Funktion. Dann schreiben wir lim f(y) = b oder f(y) b für y + y + und nennen b den (uneigentlichen) Grenzwert von f für y +, wenn es zu jedem ε > 0 ein ξ [a, + ) gibt mit d ( f(y), b ) < ε für alle y ξ. Anschaulich besagt die obige Definition, dass lim y + f(y) = b genau dann gilt, wenn der Funktionswert f(y) für alle hinreichend großen y sich um nicht mehr als ε von dem Grenzwert b unterscheidet. Unter Verwendung von Folgen lässt sich die Definition 4.36 auch wie folgt formulieren: Es gilt lim y + f(y) = b genau dann, wenn lim n + f(x n ) = b für alle Folgen {x n } [a, + ) mit lim n x n = + erfüllt ist. Daher ist auch nicht verwunderlich, dass das folgende Cauchy Kriterium gilt, dessen Beweis dem Leser als Übung überlassen bleibt. Satz 4.37 ( Cauchy Kriterium für uneigentliche Grenzwerte ) Sei f : [a, + ) R eine gegebene Funktion. Dann existiert lim y + f(y) genau dann, wenn es zu jedem ε > 0 ein ξ [a, + ) gibt mit f(x) f(y) < ε für alle x, y ξ. Die Verallgemeinerung der Definition 4.36 auf Ausdrücke der Gestalt lim f(y) = b, lim y f(y) = ± und lim f(y) = ± y + y sollte klar sein. Als kleine Anwendung hiervon betrachten wir das folgende Beispiel. Beispiel 4.38 Sei p : R R ein Polynom p(x) = a n x n a 1 x + a 0 ungeraden Grades mit a n > 0. Für x ± dominiert die höchste Potenz offenbar das Grenzwertverhalten von p. Wegen n ungerade haben wir somit lim p(x) = + und lim p(x) =. x + x Also existieren a, b R mit a < b und p(a) < 0 < p(b). Da p stetig ist, besitzt das Polynom p aufgrund des Zwischenwertsatzes 4.29 daher eine Nullstelle ξ (a, b). Analog verifiziert man diese Aussage auch im Fall a n < 0. Wir haben also gezeigt, dass jedes reelle Polynom (also a k R) ungeraden Grades mindestens eine Nullstelle in R besitzt.