Schreibweise : Der lineare Unterraum D(A) = L heißt Definitionsbereich. Für häufige Situationen L = X schreiben wir A : X Y.

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1 Kpitel 3 Linere Opertoren 3.1 Grundlegene Definitionen Wir betrchten in diesem Kpitel eine geringfügige Verllgemeinerung der m Ende von Abschnitt 2.1 eingeführten Begriffe des lineren Opertors bzw. der Stetigkeit und Beschränktheit eines solchen uf den Fll, dss der Opertor nur uf einem lineren Unterrum L von X definiert ist. Definition 3.1. Es seinen X, Y linere normierte Räume über dem Zhlkörper K und L sei linerer Unterrum von X. Eine dditive und homogene Abbildung A : D(A) = L X Y, d.h. für die gilt A(x + y) = Ax + Ay, A(λx) = λax ( x, y D(A), λ K), heißt linerer Opertor. Schreibweise : Der linere Unterrum D(A) = L heißt Definitionsbereich. Für häufige Situtionen L = X schreiben wir A : X Y. Beispiel 3.2. () X = R n, Y = R m A : X Y Mtrix vom Typ m n. (b) Kern k = k(s, t) stetig uf [, 1] [, 1], k reellwertig, X = Y = C[, 1] [A x](s) := k(s, t) x(t) dt Fredholmscher Integrlopertor D(A) = X. (c) Bsp. eines nicht uf gnz X definierten lineren Opertors: X = Y = C[, 1], (A x)(t) := x (t), t [, 1], D(A) := L = {x C[, 1] : x stetig differenzierbr }. 38

2 Begriff der Stetigkeit : Linrer Opertor A ist stetig in x D(A), wenn die Impliktion x n x = A x n A x für beliebige Folgen x n D(A) gilt. Wir sgen llgemeiner, dss A stetig ist, wenn dies für lle x us dem Definitionsbereich gilt. Stz 3.3. Ist ein linerer Opertor A : D(A) X Y stetig in einem Punkt x D(A), so ist er uf gnz D(A) stetig. Beweis. A sei stetig in x, d.h. x n x, x n D(A) A x n A x für n. Sei nun x D(A) beliebig gegeben und gelte x n x, x n D(A). Dnn knn mn schließen: x n x + x x A(x n x + x ) A x A x n A x + A x A x A x n A x, lso ist A stetig in x. Bemerkung. Mn überlegt sich leicht: (i) Ein uf gnz X definierter dditiver und stetiger Opertor A ist homogen, d.h. der Opertor ist dnn liner. (ii) Zur Untersuchung der Stetigkeit reicht die Betrchtung des Nullpunktes us. 3.2 Die Norm eines stetigen lineren Opertors Definition 3.4. Seien X, Y linere, normierte Räume und A : L = D(A) X Y ein linerer Opertor. Dnn heißt A beschränkt, wenn eine Konstnte c existiert, so dss A x Y c x X x D(A). Stz 3.5. Ein linerer Opertor A ist stetig genu dnn, wenn er beschränkt ist. Beweis. () Sei A beschränkt: A x Y c x X x D(A) A ist stetig im Punkt Null. Dnn ist nch Stz 3.3 der Opertor A überll stetig uf dem Definitionsbereich. (b) Sei A stetig: Wir nehmen n, dss A unbeschränkt ist. {x n } D(A) mit A x n > n x n ( ) 1 A x n 1 x n > 1 n N, ber es gilt n x n n x n Dies ist ein Widerspruch zur Stetigkeit. für n. 39

3 Beispiel 3.6. X = Y = C[, 1] Fredholmschen Integrlopertor mit stetigem Kern k: [A x](s) := k(s, t) x(t) dt, s 1 k C([, 1] 2 ), K := mx k(s, t) (s,t) [,1] 2 A x C[,1] = mx s 1 k(s, t) x(t) dt mx s 1 mx s 1 A ist beschränkt und dmit stetig. dt K x C[,1] = K x C[,1]. k(s, t) x(t) dt Bemerkung. Dieses Bsp. ist uch uf Volterrsche Integrlgleichung mit stetigem Kern (uf dem Dreieck sttt uf dem Qudrt) verllgemeinerbr: mit [A x](s) := s k(s, t) x(t) dt = k(s, t) := { k(s, t), t s, s t 1 ist stetiger Opertor von C[, 1] nch C[, 1]. k(s, t) x(t) dt, s 1, Beispiel 3.7. X = Y = C[, 1], L = D(A) = {x C[, 1] : x stetig differenzierbr }, [A x](s) := d ds x(s) = x (s), s 1. Wir betrchten die spezielle Folge x n (s) = sin ns, s 1 mit x n = 1. Dnn gilt ber [A x n ](s) = n cos ns, A x n = n, A x n x n = n c : A x n c x n. A ist folglich unbeschränkt, wenn mn die knonische Mximumnorm in C[, 1] verwendet. Ds Ergebnis ist ber gebunden n konkret gewählte Norm. Achtung : Die Stetigkeit von A ist immer n konkrete Räume X, Y mit konkreten Normen gebunden. Beispiel 3.8. X = C 1 [, 1], Y = C[, 1], [A x](s) := x (s) A stetig und beschränkt mit c = 1. A x C[,1] = x C[,1] x C 1 [,1], x C 1 [,1] = x C[,1] + x C[,1] Alterntive : x C 1 [,1] = mx ( x C[,1], x C[,1] ) 4

4 Definition 3.9. Sei A : L = D(A) X Y ein linerer beschränkter Opertor. Dnn heißt die Zhl A x Y A := sup x x X x D(A) Opertornorm von A. Bemerkung. 1. A existiert, weil c existiert mit A x Y c x X. A ist die kleinste Konstnte dieser Art. 2. Normen von Elementen und Opertoren sind verträglich, d.h. A x Y A x X. 3. Alterntive Schreibweisen zur Definition der Opertornorm: A = sup x X =1 x D(A) A x Y = sup x X 1 x D(A) A x Y. 3.3 Räume stetiger linerer Opertoren Seien X, Y linere normierte Räume und A : X Y, B : X Y stetige linere Opertoren. Dnn sind Summe und Vielfches A+B und λ A definiert über die Vorschrift ebenflls stetige linere Opertionen. (A + B)(x) = A x + B x, (λ A)(x) = λ A x Definition 3.1. Unter der Menge L(X, Y ) versteht mn die Menge ller stetigen lineren Opertoren zwischen X und Y. Mit der Opertornorm A L(X,Y ) := A x Y sup x X, x x X wird L(X, Y ) zu einem lineren normierten Rum. Schreibweise : X = Y = L(X) - Rum der stetigen lineren Opertoren in X. Frge: Wnn ist L(X, Y ) sogr ein Bnchrum? 41

5 Stz Flls X ein linerer normierter Rum und Y Bnchrum ist, so bildet L(X, Y ) einen Bnchrum. Beweis. ) Wir zeigen zuerst, dss A eine Norm ist. Wir weisen hier nur die Dreiecksungleichung nch: A+B = sup (A+B)x sup A x +B x sup A x + sup B x = A + B. x =1 x =1 x =1 x =1 b) Wir zeigen nun noch die Vollständigkeit: Betrchten dzu Cuchyfolge {A n } L(X, Y ), A n A m < ε 1 n, m > n 1 (ε 1 ) Wählen ein beliebiges x X und betrchten {A n x} A n x A m x A n A m x < ε 2 m, n > n 2 (ε 2 ). Dmit ist {A n x} Cuchyfolge in Y. Weil Y ein Bnchrum ist, existiert ein Grenzelement. y = lim A n x =: A x A : X Y, d.h. A wird durch diesen Grenzwert definiert. Offensichtlich ist A liner. Wir zeigen noch, dss A beschränkt ist und lim A n A = gilt: Jede Cuchyfolge ist beschränkt, d.h. A n c n ( ) A x = lim A n x = lim A n x lim sup A n x c x = A beschränkt. {A n } Cuchyfolge = A n+p A n < ε 3 n > n 3 (ε 3 ), p >. Wählen x X mit x 1, sonst beliebig A n+p x A n x A n+p A n x A n+p A n < ε Für p = A x A n x < ε = A n A L(X,Y ), n, weil sup Ax A n x = A A n L(X,Y ) < ε. x 1 Bemerkung. Der Rum L(X) = L(X, X) ist ein Ring von lineren Opertoren, denn mit A L(X), B L(X) ist wegen uch A B L(X). A B x A B x A B x Mit A L(X) ist uch A n L(X) (n N), wobei mn für A definiert: A := I. 42

6 3.4 Der Biresche Ktegorienstz für metrische Räume Wir wiederholen: Eine Menge M eines metrischen Rumes X heißt nirgends dicht in X, wenn jede Kugel us X eine weitere Kugel enthält, die mit M durchschnittsfremd ist. M nirgends dicht : B r X : B ε B r mit B ε M = ˆM nicht nirgends dicht : B r X : B ε B r gilt B ε ˆM. Um jeden Punkt x B r knn mn konzentrische Kugeln mit Rdius ε > wählen, die gnz in B r liegen und einen Punkt us ˆM enthlten. Betrchtet mn ε, so häufen sich diese Punkte in x, worus x ˆM folgt. Dmit gilt B r ˆM (d.h. ˆM besitzt innere Punkte) und uch B r ˆM. Definition Eine Menge M eines metrischen Rumes X heißt von 1. Ktegorie, wenn sie sich ls höchstens bzählbre Vereinigung von nirgends dichten bgeschlossenen Mengen schreiben läßt, d.h. M = M n, M n = M n, M n nirgends dicht. Eine Mengen heißt von 2. Ktegorie, wenn sie nicht von 1. Ktegorie ist. Stz 3.13 (Birescher Ktegorienstz). Es sei X ein vollständiger metrischer Rum. Dnn ist X immer von 2. Ktegorie, d.h. X knn nicht ls (höchstens) bzählbre Vereinigung bgeschlossener nirgends dichter Mengen geschrieben werden. Stz 3.14 (Cntorscher Durchschnittsstz). Es sei F 1 F 2 F 3... F n... eine geschchtelte Folge bgeschlossener Mengen in einem vollständigen metrischen Rum X. Wenn gilt lim dim (F n) =, dnn existiert ein x X mit {x} = Menge. F i, d.h. der Durchschnitt ist eine einelementige i=1 Beweis. Beweisidee : x n F n beliebig uswählen, {x n } X ist Cuchyfolge, denn ϱ(x n, x m ) dim (F n ) für n. Also x n x X weil X vollständig. Weil F n bgeschlossen, so gilt x F n n und x F i. i=1 Wir zeigen noch die Eindeutigkeit des Elements: Angenommen es gäbe x, ˆx X mit x F i und ˆx F i. Für beliebige n gilt dnn ϱ( x, ˆx) dim (F n ). Dies liefert für i=1 i=1 n die Aussge x = ˆx. 43

7 Nun können wir den Bireschen Ktegorienstz beweisen: Beweis. (Birescher Ktegorienstz) Beweis indirekt: Sei X ein vollständiger metrischer Rum und X = M n (M n nirgends dicht). Sei B X Kugel vom Rdius 1, M 1 nirgends dicht, lso B 1 B mit Rdius r 1 < 1, 2 so dss B 1 M 1 =. M 2 nirgends dicht, lso B 2 B 1 mit Rdius r 2 < 1, so dss B 3 2 M 2 =... = Wir erhlten Folge von Kugeln mit Rdien r n < 1 und B n+1 n M n = sowie B n B n 1... B 1 B Auf den Durchschnitt ller Kugeln knn der Cntorsche Durchschnittsstz ngewendet werden : = x : x = und x / M n n Andererseits gilt x X = i=1 B i M n. Dies führt zum Widerspruch. Folgerung X sei vollständiger metrischer Rum. Wenn gilt X = M n mit bgeschlossenen Teilmengen M n von X, so muß in mindestens einer der Mengen M n eine bgeschlossene Kugel mit positiven Rdius r > liegen. Beweis. Ktegorienstz = M k in der Folge {M n }, welche nicht nirgends dicht in X ist. Die Menge M k besitzt dnn ber einen inneren Punkt und dmit eine Kugel ls Teilmenge. Weil M k selbst bgeschlossen ist, bildet dnn uch die zugehörige bgeschlossene Kugel eine Teilmenge von M k. 3.5 Ds Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit Stz 3.16 (Stz von Osgood). Seien I eine beliebige Indexmenge und {f τ : τ I} eine beliebige Fmilie stetiger Abbildungen eines vollständigen metrischen Rumes in R. Gilt dnn für lle x X sup f τ (x) <, τ I so existiert eine bgeschlossene Kugel B X und eine Konstnte c > mit f τ (x) c für lle τ I und lle x B. Beweis. Setzen M n := {x X : f τ (x) n τ I}, n = 1, 2,... M n ist wegen der Stetigkeit von f τ bgeschlossen. Wegen sup f τ (x) < gehört jedes x X einem M n n, wenn mn n > sup f τ (x) τ I τ I 44

8 wählt. Drus folgt sofort X = M n und bei Anwendung der Folgerung 3.15 us dem Ktegorienstz gilt: n : B M n = f τ (x) n τ I, x B. Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit Plusibilitätsbetrchtung : Sei { n } Folge reeller Zhlen, sup n x < x R n N x = 1 = c 1 : n c 1 n N x = 1 = c 2 : n c 2 n N = n c n N. Stz 3.17 (Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit). Sei X ein Bnchrum und Y normierter Rum und {A τ, τ I} eine beliebige Fmilie linerer Opertoren us L(X, Y ). Gilt sup A τ x < x X, τ I dnn gilt uch sup A τ <. τ I Beweis. Wenden Stz von Osgood n mit f τ (x) := A τ x (sind stetige Abbildungen) = r >, x X und c > mit A τ x c x X : x x r τ I, B = B r (x ) Sei y 1 = x := x + r y B r (x ), y = 1 r (x x ) A τ y 1 r ( A τ x + A τ x ) 2 c r y 1 = A τ = sup A τ y 2 c y 1 r. Definition Seien X, Y linere normierte Räume {A n } eine Folge von Opertoren us L(X, Y ). Dnn heißt {A n } punktweise konvergent gegen einen Opertor A, wenn lim A n x = A x x X, normkonvergent (oder gleichmäßig konvergent) gegen einen Opertor A L(X, Y ), wenn lim A n A L(X,Y ) =. Bemerkung. Die Normkonvergenz von {A n } gegen A impliziert die punktweise Konvergenz, denn A n x A x A n A x x X. Stz Sei X Bnchrum, Y linerer normierter Rum, {A n } punktweise konvergent gegen einen Opertor A : X Y. Dnn ist A liner und stetig, d.h. A L(X, Y ). Weiterhin gilt: { A n } ist beschränkt und A lim inf A n. 45

9 Beweis. A n x A x x X = { A n x } beschränkt x X. Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit: = c R : A n c n A x := lim A n x ist offenbr liner. Außerdem: Mit A n x c x x X gilt eine solche Abschätzung uch für Grenzübergng n = A x c x x X = A L(X, Y ). Es gilt A x A n x + (A A n ) x }{{} für n n N und somit A x lim inf A n x lim inf A n x = A lim inf A n. Stz 3.2 (Bnch - Steinhus). Seien X und Y Bnchräume, {A n } Folge von Opertoren us L(X, Y ). Dnn ist {A n } punktweise konvergent gegen einen Opertor A L(X, Y ) genu dnn wenn die folgenden zwei Bedingungen erfüllt sind: (i) A n x A x für lle x us einer in X überll dichten Teilmenge M X und (ii) sup A n <. n N Beweis.,, Wenn {A n } punktweise gegen A konvergiert, so folgt (i) sofort und (ii) us dem letzten Stz.,, Die Bedingungen (i) und (ii) seien erfüllt, lso uch sup A n c. Es ist zu zeigen, n N dss A n x A x x X gilt. Wir wählen dzu x X fest und ε >. Dnn existiert y M : x y < ε, weil M überll dicht in X. {A n y} konvergiert gegen A y = {A n y} ist Cuchyfolge, d.h. n (ε) : Dnn gilt A n y A m y < ε für n, m n (ε) A n x A m x A n x A n y + A n y A m y + A m y A m x A n x y + A n y A m y + A m x y 2 c ε + ε = (2 c + 1)ε {A n x} ist lso Cuchyfolge in Y = A n x konvergiert gegen ein A x. 3.6 Die Neumnnsche Reihe Sei X ein Bnchrum, A L(X), d.h. A : X X, A, liner, stetig. Wir betrchten die linere Opertorgleichung A x = y, wobei x X die gesuchte Lösung und y X die gegebene rechte Seite beschreiben. 46

10 Definition Eine linere Opertorgleichung heißt korrekt (gut gestellt) nch Hdmrd, wenn die folgenden drei Hdmrdschen Bedingungen erfüllt sind: (i) y X x X : A x = y (Existenzbedingung); (ii) A x 1 = A x 2 = y, x 1, x 2 X = x 1 = x 2 (Eindeutigkeitsbedingung); (iii) A 1 L(X) (Stbilitätsbedingung). Flls wenigstens einer der drei Bedingungen verletzt ist, so heißt die Opertorgleichung inkorrekt (schlecht gestellt) nch Hdmrd. Bei korrekten Opertorgleichungen ziehen kleine Störungen in den Dten kleine (höchstens beschränkte) Störungen in der Lösung nch sich: x 1 x 2 A 1 y 1 y 2 mit A x 1 = y 1, A x 2 = y 2. Wir betrchten in diesem Abschnitt einen speziellen Typ solcher Gleichungen, nämlich mit A = I K und K L(X) (I K) x = y. ($) Ziel: Wir suchen Bedingungen und Situtionen, so dss ($) korrekt nch Hdmrd ist. Hinreichende Bedingung: A = I K ist injektiv und surjektiv mit A 1 L(X). Flls diese Bedingung erfüllt ist, so ist x = (I K) 1 y eindeutige Lsg. von ($) für lle y X, wegen (I K) 1 L(X) ist uch Stbilitätsbedingung erfüllt. Wir suchen ein Anlogon zur geometrischen Reihe: X = R, (1 q) 1 = 1 1 q = q n, q < 1. Frge: Gilt nlog (I K) 1 = n= K n? n= Die Betrchtungen zu solchen Reihen von Opertorpotenzen gehen nicht (wie irrtümlich von einigen Autoren vermutet) uf John von Neumnn zurück, der uch zur Opertortheorie gerbeitet ht, sondern uf Crl Gottfried Neumnn ( ), welcher sich viel mit physiklischen Problemen und prtiellen Differentilgleichungen beschäftigt ht und nch dem uch die dort wichtigen Neumnn-Rndbedingungen bennnt sind. Es folgen einige Bemerkungen zu Konvergenzkriterien für Reihen in Bnchräumen: Lemm Sei X ein Bnchrum {x n } eine Folge von Elementen us X. Konvergiert die Zhlenreihe x n, so konvergiert uch die Reihe x n von Elementen im Bnchrum X. Beweis. Wir nehmen n, dss n x k ist eine Cuchyfolge in R. Dmit ist uch v n := x n konvergiert = s n := k=1 n x k eine Cuchyfolge in X, denn k=1 47

11 v n+p v n = n+p k=n+1 x k n+p k=n+1 X vollständig = {v n } ist konvergent in X. Folgerung 3.23 (Wurzelkriterium). Sei x n eine unendliche Reihe in einem Bnchrum X. Gilt dnn konvergiert diese Reihe in X. x p = s n+p s n < ε für n > n (ε) lim sup x n 1 n < 1, Stz 3.24 (Neumnnsche Reihe). Sei X ein Bnchrum, K L(X). Konvergiert die Neumnnsche Reihe K n in L(X), dnn existiert (I K) 1 L(X) und es gilt n= (I K) 1 = K n. Die Neumnnsche Reihe konvergiert, wenn lim K n 1 n < 1, insbesondere wenn K < 1 gilt. Im Flle K < 1 ist (I K) K gültig. Beweis. (Skizze) ) Sei S := K n L(X) = K S = n= n= K n = S K = K S = S I = S K = I = S K S = (I K) S = I = S S K = S (I K) = (I K) = S 1 S = (I K) 1 L(X) b) Konvergenz der Reihe: Wurzelkriterium im Rum L(X) = Existenz von Grenzwert lim Kn 1 n (siehe Heuser, S.19, Stz 12.3). c) Abschätzung für K < 1: (I K) 1 = K n n= K n n= K n = n= 1 1 K. Folgerung Für (I K) x = y folgt bei Konvergenz der Neumnnschen Reihe x = (I K) 1 y = K n y, lso n= x = y + K y + K 2 y + K 3 y

12 Anwendungsbeispiele 1. Fredholmsche Integrlgleichung 2. Art (i.. der gut gestellte Problemtyp) x(s) b k(s, t) x(t) dt = y(s), s b. Rumwhl: X = C[, b]; k stetige Kernfunktion uf [, b] 2. Wir betrchten in diesem Punkt zuerst die Sitution X = C[, 1] mit einer speziellen Kernfunktion x(s) k(s, t) = s, (K x)(s) := s x(t) dt = y(s), ($$) s x(τ) dτ, s 1. Dnn können wir die Normen der Potenzen des Integrlopertors explizit verifizieren: K : K x = mx s x(t) dt s 1 x = mx x(t), K 1 t 1 x 1 : K x = mx s = 1 = x = K = 1 s 1 ( ) ( ) ( K 2 : (K 2 x)(t) = t s x(τ) dτ ds = t s ds = t 2 x(τ) dτ = 1 (K x)(t) 2 = K 2 = 1 2 = K n : (K n 1 x)(t) = 2 (K x)(t) = n 1 Kn = 1 2 n 1 ( ) 1 lim ( Kn 1 2 n 1 n ) = lim = 2 n 2 lim n 2 = 1 2 < 1 ) x(τ) dτ = Die Neumnsche Reihe konvergiert. = Die Gleichung ($$) ht für jedes y C[, 1] genu eine Lösung in C[, 1]. Lösung: x = y + K n 1 y = y + Ky, 2n 1 x(t) = y(t) n 1 }{{} =2 t y(τ) dτ = y(t) + 2 t y(τ) dτ t 1 (&). 49

13 Zustzfrge : Gibt es ußer der eindeutig bestimmten Lsg. (&) eventuell noch weitere Lösungen x L 1 (, 1) von ($$) zur gegebenen stetigen Funktion y? x L 1 (, 1) : x(t) dt R, x(t) dt < x(t) dt =: c ($$) = x(s) = s c + y(s) s 1 = Stetigkeit von x, lso keine weitere Lösung. 2. Volterrsche Integrlgleichungen 2.Art (uch hier ist dies der gut gestellte Typ) x(s) s k(s, t) x(t) dt = y(s), s b, { stetig uf D := {(s, t) [, b] k(s, t) := 2 : t s b} sonst X = C[, b], K : C[, b] C[, b], (K x)(s) := Setzen µ := mx k(s, t). Sei x = 1 (s,t) D s s (K x)(s) k(s, t) x(t) dt (K 2 x)(s)... s (K n n (s )n x)(s) µ n! µ (Kx)(t) dt K n (s )n mx µn s b n! n Kn µ (b ) lim s k(s, t) x(t) dt. s = µn (b )n n! µ dt = µ (s ) µ 2 2 (s )2 (t ) dt = µ 2 lim n = wegen n! > nn n! e n n n n! > für n, e d.h. die Neumnnsche Reihe konvergiert immer. (Stirlingsche Formel) Folgerung Die Volterrsche Integrlgleichung 2.Art besitzt für jedes y C[, b] genu eine Lösung x C[, b]. 3. Inverse Monotonie Betrchten Fredholm-Integrlopertor (K x)(s) := Vorussetzung: k(s, t) (s, t) [, 1] 2. k(s, t) x(t) dt, k stetig = K stetig in C[, 1]. 5

14 Lemm Die Neumnnsche Reihe K n konvergiere für den gegebenen Opertor K. Erfüllt x C[, 1] für lle s [, 1] die Integrlungleichung x(s) y(s) + n= mit y C[, 1], dnn gilt für lle s [, 1] sogr x(s) z(s), k(s, t) x(t) dt wobei z die Lösung der zugehörigen Integrlgleichung ist. z(s) = y(s) + k(s, t) z(t) dt Beweis. x K x y = x K x = y d, x, y C[, 1], d C[, 1], d(s), s 1 = x = (I K) 1 (y d) = K n (y d) = k= K n y k= } {{ } =z (d + Kd + K 2 d +...) z }{{} 4. Nun betrchten wir einen Spezilfll von 3.: Lemm 3.28 (Lemm von Bellmn-Gronwll). Wenn x(s) c + s für Konstnten c R und k gilt, dnn ist Beweis. z(s) s k x(t) dt, s 1, x(s) c exp(k s), s 1. k(s, t) z(t) dt = y(s), s 1, Voltersche Integrlgleichung 2.Art. Neumnnsche Reihe ist wegen 2. konvergent. { k t < s y(s) = c, k(s, t) = t > s z(s) = c + k s z(t) dt oder nders geschrieben z (s) = k z(s), z() = c. Dieses AWP zu einer gewöhnlichen Dgl. 1.Ordnung ht die beknnte Lösung Also gilt x(s) z(s). z(s) = c exp(k s), s 1. 51,

15 5. Fredholmsche Integrlgleichung 2.Art mit beliebigem Kern Integrlopertor in C[, b] (K x)(s) := b k(s, t) x(t) dt, k : [, b] [, b] R stetig. Lemm Es gilt K = mx s b b k(s, t) dt =: µ. Beweis. K µ ist offensichtlich, zu zeigen K µ. Wir definieren φ n : R R 1, t < 1, n φ n (t) := n t, t [ 1, 1 n n], 1, t > 1. n Wählen s [, b] beliebig, ber fest { k(s, t) x n,s (t) = (K x n,s )(s) = x n,s (t) := φ n (k(s, t)) = x n,s C[,b] 1 b k(s, t), k(s, t) 1 n, n k 2 (s, t) k(s, t) 1 n, k(s, t) < 1 n k(s, t) x n,s (t) dt b k(s, t) dt 1 (b ) n b = K = sup K x sup (K x n,s )(s) mx k(s, t) dt = µ. x 1 s [,b],n N s [,b] Folgerung 3.3. Flls K = µ < 1 gilt (Kern ist betrgsmäßig klein), dnn besitzt die Fredholmsche Integrlgleichung 2.Art x(s) b k(s, t) x(t) dt = y(s), s b für jedes gegebene y C[, b] genu eine Lösung x C[, b]. Ausflug in die Störungstheorie Stz 3.31 (Kleine Störung). Seien X und Y Bnchräume. Weiter besitze der linere Opertor A : X Y einen stetigen inversen Opertor A 1 : Y X. Für D L(X, Y ) gelte D < 1 A 1. Dnn existiert (A + D) 1 L(Y, X). 52

16 Beweis. (A + D) x = y = A x + D x = y = x + A} 1 {{ D x} = A 1 y = K x (I K) x = A 1 y (I K) 1 existiert in L(X), flls K < 1. Dnn gilt x = (I K) 1 A 1, lso (A+D) 1 = (I K) 1 A 1. Es gilt K = A 1 D A 1 D < 1 d D < 1 A Fktorräume und knonische Injektionen Definition Sei X ein linerer normierter Rum, L X ein linerer Unterrum und X/L der entsprechende Fktorrum von X nch dem Unterrum L. Sei ˆx X/L eine beliebige Restklsse (x, y ˆx x y L). Die Zhl ˆx := inf x heißt Fktornorm von ˆx. Die Abb. h : X X/L mit h(x) := ˆx x ˆx heißt knonischer Homomorphismus. Lemm Wenn L ein bgeschlossener Unterrum von X ist, so ist die Fktornorm eine Norm in X/L. Ist X vollständig, so ist uch der Fktorrum X/L versehen mit der Fktornorm vollständig. Beweis. ) Nchweis der Normeigenschften zeigen nur ˆx = ˆx = ( ˆ=L, d.h. L ist Nullelement) Sei ˆx = = ˆx = inf y =, d L. y L Sei ˆx =. zu zeigen ˆx =. Nch Definition: {y n } ˆx (y n X) mit y n. Sei x ˆx ein Repräsentnt dieser Restklsse, d.h. ˆx = x+l, lso y n = x+z n, z n L. {z n } konvergiert, weil y n. Sei z := lim z n. D L bgeschlossen = z L. in der Grenze: = x + z = x L = ˆx =. b) Nchweis der Vollständigkeit Sei {ˆx n } eine Cuchyfolge in X/L. Dnn existieren Indizes n 1 < n 2 < n 3 <... mit ˆx n ˆx nk < 2 k für n > n k. Speziell: ˆx nk+1 ˆx nk < 2 k k = 1, 2,..., d.h. y k ˆx nk+1 ˆx nk mit y k < 2 k, 2 k < = y k = y konvergent in X. (ŷ 1 + ŷ ŷ k ) ŷ y 1 + y y k y für k = ŷ k = ŷ = ˆx n2 ˆx n1 + ˆx n3 ˆx n = lim ˆx nk+1 ˆx n1 k k=1 k=1 = lim k ˆx nk+1 = ˆx n1 + ŷ Wenn bei einer Cuchyfolge eine Teilfoge konvergiert, so konvergiert gesmte Folge, d.h. Grenzwert lim ˆx n = ˆx n1 + ŷ existiert. k=1 53

17 Bemerkung. Der knonische Homomorphismus h : X X/L ist stetig, denn es gilt Also ist h beschränkt und dmit stetig. h(x) = inf y x. y ˆx Betrchten lineren Opertor A : X Y zwischen normierten Räumen X und Y. Definition N(A) := {x X : A x = } Nullrum (uch Kern) von A. R(A) := {y Y : x X : A x = y} Bildrum (uch Bildbereich oder Rnge) von A. Betrchten Opertorgleichung A x = y, y R(A): Die Opertorgleichung besitzt eine Lösung für lle y R(A), die ber nur dnn eindeutig ist, wenn ds A injektiv ist. A injektiv N(A) = {} trivil Ws tun, wenn A einen nichttrivilen Nullrum ht, lso N(A) {}? Ziel : Eindeutigkeit der Lösung! Wir definieren  durch D(Â) := X/N(A),  ˆx := A x, x ˆx beliebig gewählt. Folgerung  : X/N(A) Y ist liner. Außerdem: N(Â) = {}, d.h.  ist injektiv. Dnn ht die Gleichung  ˆx = y R(A) ( ˆ=R(Â)) genu eine Lösung ˆx. y Definition  heißt die zu A gehörige knonische Injektion. Bemerkung. Ist A stetig (A L(X, Y )), so ist N(A) bgeschlossen und die Fktornorm wirklich eine Norm in X/N(A) (siehe Lemm). Stz Ist A stetig, so uch Â. Ist umgekehrt N(A) bgeschlossen und  stetig, so ist uch A stetig. Im Flle der Stetigkeit gilt A = Â. Beweis. Sei A stetig.  ˆx Y = A x Y A x X x ˆx,  ˆx Y A inf x =  A. x ˆx }{{} = ˆx Sei nun  stetig. A x =  ˆx  ˆx  x = A  = A = Â. Definition Eine Abbildung f : X Y zwischen metrischen Räumen X und Y heißt offen, wenn jede Bildmenge f(m) einer offene Menge M X wieder offen ist im Bildrum f(x) = {y Y : y = f(x), x X} ls einem Unterrum von Y, d.h. M offene Menge in X = ỹ f(m) r > : B r (ỹ) f(x) f(m). 54

18 Bemerkung. Ist A : X Y liner, dnn gilt für lle x X: A(B r (x)) = A(x + B r ()) = Ax + A(B r ()). Eine linere Abbildung ist lso genu dnn offen, wenn ds Bild jeder offenen Kugel um den Nullpunkt eine Kugel um den Nullpunkt des Bildrumes enthält, d.h. A offen A(B r ()) B ε (). Lemm Es seien X ein linerer normierter Rum und L X ein bgeschlossener linerer Unterrum. Dnn ist der knonische Homomorphismus h : X X/L eine offene Abbildung. Beweis. ) Wir zeigen zuerst B r (ˆ) h(b r ()). Sei ˆx B r (ˆ), d.h. ˆx < r = x ˆx mit x < r = ˆx = h(x) mit x < r, d.h. ˆx h(b r ()). b) Sei M X offene Menge, ŷ h(m), zeigen: r > mit B r (ŷ) h(m). ŷ = h(x ) mit einem x M. M offen = r > : B r (x ) M, d.h. x + B r () M = B r (ŷ) = ŷ + B r (ˆ) h(x ) + h(b r ()) = h(x + B r ()) = h(b r (x )) h(m). Bemerkung. h(b r ()) B r (ˆ), denn: ˆx h(b r ()) = x B r () mit h(x) = ˆx, x < r = inf y x < r = ˆx < r für ˆx B r(ˆ). y ˆx Stz 3.4. Sei A : X Y ein linerer Opertor mit bgeschlossenem Nullrum N(A). Dnn ist A eine offene Abbildung genu dnn, wenn  eine offene Abbildung ist. Beweis. ) Sei A offen. Sei G X/N(A) offen, zu zeigen:  offen, d.h.  G offen. h stetig = h 1 (G) offen, denn bei einer stetigen Abbildung ist ds Urbild jeder offenen Menge offen. Nun gilt: A offen = A(h 1 (G)) offen, lso A(h 1 (G)) =  G offen. b) Sei nun  offen und M X offen, uch gilt A(M) = Â(h(M)). D h offen ist, bildet h(m) eine offene Menge und us der Offenheit von  folgt dmit, dss A(M) offen ist = A ist eine offene Abbildung. 3.8 Inverse Opertoren, Sätze über die offene Abbildung und Stetigkeit der Inversen Sei A : X Y liner und injektiv. Dnn existiert A 1 : R(A) Y X. Bemerkung. Die Stetigkeit von A sichert nicht die Stetigkeit von A 1. 55

19 Beispiel X = Y = C[, 1], [A x](t) := t x(τ) dτ. A ist injektiv, weil die Ableitung einer differenzierbren Funktion eindeutig bestimmt ist. Weiter hben wir ls Bildrum R(A) = {y C[, 1] : y() =, y stetig differenzierbr } und ls inversen Opertor A 1 : R(A) Y X, [A 1 y](t) = y (t), t 1. Wir htten ber früher in Beispiel 3.7 gezeigt, dss dieser Opertor in C[, 1] unbeschränkt und dmit nicht stetig ist. Dbei ist eine wichtige Vorussetzung, dss in X und Y die Mximumnorm gilt. Stz Seien X, Y linere normierte Räume, A : X Y sei liner und R(A) = Y. Es existiere ein c >, so dss A x c x x X. Dnn existiert A 1 L(Y, X). Beweis. N(A) = {}, denn A x = = x =. Wegen R(A) = Y existiert A 1 : Y X und A 1 y 1 c y y Y = A 1 ist stetig. Stz Seien X, Y metrische Räume und f : X Y eine injektive Abbildung. Dnn ist f 1 : f(x) Y X genu dnn stetig, wenn f eine offene Abbildung ist. Beweis. Eine Abbildung ist stetig genu dnn, wenn ds Urbild offener Mengen offen ist. Also gilt: f 1 stetig (f 1 ) 1 (M) = f(m) offen für jede offene Menge M. Stz 3.44 (Open Mpping Theorem Stz über die offene Abbildung). Jeder stetige linere Opertor A L(X, Y ) zwischen den Bnchräumen X und Y mit R(A) = Y ist eine offene Abbildung. Beweis. Der Beweis ist sehr technisch und wir verweisen zu den Detils z.b. uf ds Buch von Heuser Funktionlnlysis - Theorie und Anwendung (4. Auflge, S. 242), wo uch erwähnt wird, dss dieser Stz uch mnchml ls Stz von Bnch-Schuder bezeichnet wird. Jule P. Schuder ( ) wr wie Stefn Bnch ein polnischer Mthemtiker. Stz Seien X und Y Bnchräume, A L(X, Y ). Dnn ist A offen genu dnn, wenn R(A) bgeschlossen ist. Beweis. R(A) sei ein bgeschlossener Unterrum von Y. Dnn ist Ỹ := R(A) selbst ein Bnchrum, wenn in Ỹ die Norm von Y eingeführt wird. A L(X, Ỹ ) ist dnn ber surjektiv und ds Open Mpping Theorem knn ngewendet werden und liefert die Offenheit von A. Sei nun A offen und wir zeigen, dss R(A) bgeschlossen ist. Wenn A offen ist, so ist uch  : X/N(A) R(A) offen und stetig (vgl. Stz 3.4), weiter ist  immer injektiv =  1 : R(A) X/N(A) existiert und ist stetig. Auch ist X/N(A) ein Bnchrum und dmit eine bgeschlossene Menge. Somit knn R(A) ls ds Urbild einer bgeschlossenen Menge X/N(A) bezüglich einer stetigen Abbildung betrchtet werden und ist dmit selbst eine bgeschlossene Menge. 56

20 Stz 3.46 (Stz von Bnch über den stetigen inversen Opertor). Seien X, Y Bnchräume und sei der stetige linere Opertor A L(X, Y ) sowohl injektiv ls uch surjektiv, d.h. es gilt R(A) = Y und A 1 : Y X existiert. Dnn ist der inverse Opertor A 1 utomtisch stetig. Beweis. Mit R(A) = Y ist ds Open Mpping Theorem direkt nwendbr und liefert, dss A eine offene Abbildung ist. Der wegen der Injektivität von A stets existierende inverse Opertor A 1 : Y X ist dnn ber nch Stz 3.43 stetig. Bemerkung. X, Y seien Bnchräume, A L(X, Y ) und bijektiv = A 1 L(Y, X). In diesem Fll ist die Opertorgleichung A x = y korrekt nch Hdmrd. 3.9 Abgeschlossene Opertoren, Stz über den bgeschlossenen Grphen Definition Seien X, Y metrische Räume. Dnn heißt eine Abbildung f : D(f) X Y bgeschlossen, wenn us x n X x, x n D(f) und f(x n ) Y y folgt, dss x D(f) und f(x) = y gelten. Bemerkung. Stetige Abbildungen uf bgeschlossenen Mengen sind bgeschlossen. Dies schlussfolgert mn wie folgt: Aus der Abgeschlossenheit von D(f) in X folgt mit x X n x, Y x n D(f) sofort x D(f). Die Stetigkeit von f liefert weiter f(x n ) f(x). Die Eindeutigkeit des Grenzwerts einer Folge in Y ergibt dmit die gewünschten Eigenschften einer bgeschlossenen Abbildung. Beispiel Wir betrchten nochmls den Ableitungsopertor in X = Y = C[, 1]: [A x](t) := x (t), t [, 1], D(A) := {x C[, 1] : x stetig differenzierbr }. Der Opertor A : D(A) C[, 1] C[, 1] ist nicht beschränkt und dmit nicht stetig. Aber: A ist ein bgeschlossener Opertor. Dzu sei {x n } eine Folge us D(A) mit x n x, d.h. x n (t) x(t) (gleichmäßige Konvergenz). Außerdem gelte y n (t) = x n(t) y(t) (d.h. A x n y). Wir hben dnn (vgl. Lemm 1.12) x n (t) = x n () + t x(t) = x() + t x n (τ) dτ y(τ) dτ = x ist stetig differenzierbr und x (t) = y(t), d.h. A x = y. Definition Sei A : D(A) X Y. Die Menge n G(A) := {(x, y) X Y : x D(A) und y = A x} 57

21 heißt Grph des Opertors A. Sind X und Y linere normierte Räume, so knn mn in G(A) durch (x, y) := x X + y Y eine Norm einführen. Bemerkung. Ein linerer Opertor A : X Y zwischen lineren normierten Räumen X und Y ist genu dnn bgeschlossen, wenn der Grph G(A) eine bgeschlossene Menge im Rum X Y ist. Stz 3.5 (Closed Grph Theorem Stz über den bgeschlossenen Grphen). Ein bgeschlossener und uf dem gesmten Bnchrum X definierter linerer Opertor A in einen Bnchrum Y ist stetig. Beweis. Wir können wegen der Abgeschlossenheit von A die bgeschlossene Teilmenge G(A) des Rumes X Y ls Bnchrum betrchten. Nun definieren wir druf die Abbildung P : G(A) X mittels der Vorschrift P (x, A x) := x. Dnn ist offenbr P liner, injektiv, surjektiv und dmit bijektiv sowie stetig. Nch dem Stz von Bnch über den stetigen inversen Opertor ist der wohlbestimmte inverse Opertor P 1 : X G(A) stetig und folglich gilt: x n x = P 1 x n = (x n, A x n ) X Y (x, A x) = P 1 x. Drus ergibt sich für n, dss x n x + A x n A x gilt und dher uch A x n A x. Dies impliziert die Stetigkeit von A. Bemerkung. Die Abgeschlossenheit des Definitionsbereichs D(A) ist, wie mn sieht, für bgschlossene Opertoren A offenbr eine Erstzeigenschft für die Stetigkeit von A: Sei A : D(A) X Y ein bgeschlossener Opertor und D(A) eine bgeschlossene Menge im Bnchrum X, so ist D(A) selbst Bnchrum und dmit A stetig. Flls A bgeschlossen, D(A) jedoch nicht notwendigerweise eine bgeschlossene Menge ist, dnn knn D(A) mit der im Folgenden eingeführten Norm zum Bnchrum gemcht werden und dmit A zum stetigen Opertor: Definition Grph-Norm für x D(A): x A := x X + A x Y. Lemm Seien X, Y Bnchräume und A : D(A) X Y ein linerer bgeschlossener Opertor. Dnn ist {D(A), A } ein Bnchrum und folglich A stetig. Beweis. Für eine Cuchyfolge {x n } in {D(A), A } gilt, dss (x n, A x n ) eine Cuchyfolge im Rum X Y ist. D X Y selbst Bnchrum ist, existiert (x, y) X Y mit (x n, A x n ) (x, y). Wegen der Abgeschlossenheit von G(A) gilt nun ber x D(A) und y = Ax. Somit hben wir (x n, A x n ) (x, A x) = A x n x und {D(A), A } ist Bnchrum. Definition Sei H ein Hilbertrum. Der linere Opertor A : D(A) H H heißt symmetrisch, wenn gilt: (A x, y) H = (x, A y) H x, y D(A). 58

22 Stz 3.54 (von Hellinger und Toeplitz). Ein symmetrischer linerer Opertor A : H H uf dem Hilbertrum H ist immer stetig. Beweis. Weil hier D(A) = H gilt und H ein Bnchrum ist, müssen wir nur zeigen, dss A bgeschlossen ist. Dnn folgt die Behuptung sofort us dem Closed Grph Theorem. Sei nun x n x und A x n y, zu zeigen ist A x = y: Sicherlich hben wir mit A x n y uch (A x n, z) (y, z) z H. Ebenso ergibt sich mit x n x uch (A x n, z) = (x n, A z) (x, A z) = (A x, z) z H. Dies impliziert wegen der Eindeutigkeit des Grenzwerts (A x, z) = (y, z) und somit (A x y, z) = z H. Mit z := Ax y folgt A x = y dnn sofort us dem ersten Normxiom. Bemerkung. Die Symmetrie eines uf dem gnzen Hilbertrum H definierten lineren Opertors A : H H ist, wie mn sieht, ebenflls eine Erstzeigenschft für die Stetigkeit von A. 59