Vorlesungsmanuskript zu. Topologie. Werner Balser Institut für Angewandte Analysis. Wintersemester 2008/09

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1 Vorlesungsmanuskript zu Topologie Werner Balser Institut für Angewandte Analysis Wintersemester 2008/09

2 Inhaltsverzeichnis 1 Topologische Räume Normierte und metrische Räume Topologien Basen einer Topologie Ordnungstopologien Unterräume Umgebungen Abgeschlossene Mengen und Berührungspunkte Innere Punkte, abgeschlossene Hülle und offener Kern Häufungspunkte, isolierte Punkte und Rand Stetige Abbildungen und Konvergenz Definition der Stetigkeit Stetigkeit und Basen Erzeugen von Topologien zu vorgegebenen Abbildungen Die Produkttopologie Quotiententopologie Konvergente Folgen und Folgenstetigkeit Trennungsaxiome Hausdorff-Räume Reguläre Räume Normale Räume Reellwertige Funktionen und der Satz von Urysohn

3 3.5 Der Fortsetzungssatz von Tietze Die Topologie metrischer Räume Normalität metrischer Räume Folgenstetigkeit und gleichmäßige Konvergenz Äquivalente Metriken Die Abzählbarkeitsaxiome Das erste Abzählbarkeitsaxiom Das zweite Abzählbarkeitsaxiom Der Urysohnsche Metrisationssatz Kompakte Räume Definition der Kompaktheit Kompaktheit von Unterräumen und Normalität Stetige Abbildungen auf kompakten Räumen Kompaktheit kartesischer Produkte Lokalkompaktheit Ein-Punkt-Kompaktifizierung lokalkompakter Räume Zusammenhang Topologischer Zusammenhang Stetige Abbildungen auf zusammenhängenden Räumen Weitere Eigenschaften des Zusammenhangs Zusammenhangskomponenten Lokaler Zusammenhang Kurvenzusammenhang Vollständigkeit metrischer Räume Cauchyfolgen Vervollständigung metrischer Räume Gleichmäßige Stetigkeit und Fortsetzung stetiger Abbildungen Der Banachsche Fixpunktsatz

4 8.5 Der Bairesche Kategoriensatz Kompakte metrische Räume Äquivalente Formulierungen der Kompaktheit Funktionenräume Gleichgradige Stetigkeit Der Satz von Arzela-Ascoli Der Satz von Stone-Weierstraß Die Fundamentalgruppe Homotopie Gruppen Invarianz der Fundamentalgruppe Überlagerungsräume und Liftungen Die Fundamentalgruppe des Einheitskreises Anwendungen und Zugaben Peano-Kurven Nirgends differenzierbare stetige Funktionen Das Zornsche Lemma und seine Anwendungen Topologische Vektorräume und Gruppen

5 Kapitel 1 Topologische Räume Topologische Räume sind grob gesprochen nicht-leere Mengen, für welche geregelt ist, welche ihrer Teilmengen offen heißen sollen. Allein mit Hilfe dieser offenen Mengen kann man dann Konvergenz von Folgen sowie Stetigkeit von Funktionen definieren. Bevor wir dies tun, wollen wir aber als wichtigste Beispiele metrische Räume kennenlernen, die dann auch später noch genauer untersucht werden sollen. 1.1 Normierte und metrische Räume Definition (Normierte Räume) Sei X ein beliebiger Vektorraum über K, wobei K immer R oder C bedeuten soll. Eine Abbildung heißt eine Norm auf X, wenn folgendes gilt: : X R, x x (N1) x X : x 0 ; x = 0 x = 0 (Positive Definitheit) (N2) x X α K : α x = α x (Homogenität) (N3) x 1, x 2 X : x 1 + x 2 x 1 + x 2 (Dreiecksungleichung) Das Paar (X, ) heißt dann ein normierter Raum. Beispiel Für x = (x 1,..., x n ) T K n und 1 p sei x p = ( x 1 p x n p ) 1/p (1 p < ), sup { x 1,..., x n } (p = ). Dadurch ist für jedes feste p eine Norm auf K n definiert; für p < ist die Dreiecksungleichung äquivalent zur Minkowskischen Ungleichung. Wir nennen p die p-norm auf K n, und sprechen für p = 2 auch von der euklidischen Norm. Beispiel Sei [a, b] ein abgeschlossenes Intervall, wobei a < b sei, und sei C[a, b] die Menge aller 5

6 dort stetigen Funktionen mit Werten in K. Für f C[a, b] sei f p = ( b ) 1/p f(x) p dx (1 p < ), a sup { f(x) : a x b} (p = ). Dies sind Normen auf C[a, b], für jedes solche p. Warum erhält man aber keine Norm, wenn man statt der stetigen Funktionen die Menge aller auf [a, b] Riemann- oder auch aller Lebesgue-integrierbaren Funktionen betrachtet? Definition (Metrischer Raum) Sei X eine nicht-leere Menge. Als Metrik auf X bezeichnen wir eine Abbildung d : X X R, für die folgende Axiome gelten: (M1) x, y X : d(x, y) 0, d(x, y) = 0 x = y (Positive Definitheit) (M2) x, y X : d(x, y) = d(y, x) (Symmetrie) (M3) x, y, z X : d(x, z) d(x, y) + d(y, z) (Dreiecksungleichung) Das Paar (X, d) heißt dann auch ein metrischer Raum. Beispiel Wenn (X, ) ein beliebiger normierter Raum ist, dann ist durch d(x, y) = x y für alle x, y X eine Metrik auf X gegeben; wir sprechen dann von der zur Norm gehörigen Metrik. Für X = K n, 1 p < und x = (x 1,..., x n ) T, y = (y 1,..., y n ) T K n ist also d p (x, y) = n x j y j p eine Metrik. Für p = 2 spricht man auch von der euklidischen Metrik. Für p = erhält man durch j=1 1/p d (x, y) = sup 1 j n x j y j ebenfalls eine Metrik auf K n. Dabei gilt lim p d p (x, y) = d (x, y) für alle x, y K n. Jeder normierte Raum ist also auch ein metrischer Raum, aber nicht umgekehrt, denn ein metrischer Raum ist im Allgemeinen kein Vektorraum, und wenn doch, dann braucht die Metrik nicht zu einer Norm zu gehören. Beispiel Für beliebiges nicht-leeres X und x, y X ist durch die Festsetzung d(x, y) = { 0 falls x = y, 1 falls x y, eine Metrik auf X gegeben, die als die diskrete Metrik bezeichnet wird. Beispiel Eine beliebige nicht-leere Teilmenge U eines metrischen Raumes (X, d) ist offenbar selber wieder metrischer Raum, wenn man die Abbildung d auf U U einschränkt. Beachte, dass dies nicht für normierte Räume (X, ) gilt, da eine Teilmenge U X im Allgemeinen kein Vektorraum ist. Aufgabe (Dreiecksungleichung nach unten) Sei (X, d) ein metrischer Raum. Zeige: x, y, z X : d(x, y) d(y, z) d(x, z). 6

7 Aufgabe (Vierecksungleichung) Zeige: In jedem metrischen Raum (X, d) gilt für beliebige vier Punkte x 1, x 2, x 3, x 4 immer d(x 1, x 2 ) d(x 3, x 4 ) d(x 1, x 3 ) + d(x 2, x 4 ). Aufgabe Sei X R 2 sternförmig bezüglich des Nullpunktes, und sei d(x, y) für x, y R 2 gleich dem normalen euklidischen Abstand, falls x und y linear abhängig sind, und im anderen Fall gleich der Summe der euklidischen Abstände zwischen x und 0 sowie y und 0. Zeige: Dies ist eine Metrik auf X. Begründe, warum dieser metrische Raum im englischen Sprachraum auch french railroad space genannt wird. Aufgabe Sei (X, d) ein metrischer Raum, wobei die Menge X gleichzeitig ein Vektorraum über K ist. Wir nennen die Metrik d translationsinvariant, falls für alle x, y, z X gilt d(x+z, y+z) = d(x, y), und homogen, falls für alle x, y X und λ K gilt d(λ x, λ y) = λ d(x, y). Zeige: Genau dann gibt es eine Norm auf X, für welche d die zugehörige Metrik ist, wenn d translationsinvariant und homogen ist. Finde für jedes n N eine Metrik auf R n, bei der dies nicht der Fall ist. Aufgabe Sei M eine endliche Menge, und sei X = P M die Potenzmenge von M, also die Menge aller Teilmengen von M. Für ein E X bezeichne #E die Anzahl der Elemente von E. Zeige: d(e, F ) = #(E \ F ) + #(F \ E) E, F X ist eine Metrik auf X. Ist dies auch richtig, falls M = ist? Definition (Offene Mengen, Umgebungen in metrischen Räumen) Sei (X, d) ein metrischer Raum. Für x 0 X und ε > 0 heißt die Menge U ε (x 0 ) = {x X : d(x, x 0 ) < ε} die ε-umgebung von x 0, oder auch die Kugel um x 0 mit Radius ε. Eine Teilmenge O X heißt offen, wenn folgendes gilt: x 0 O ε > 0 : U ε (x 0 ) O. Eine Menge U heißt Umgebung eines Punktes x X, falls eine offene Menge O X existiert, für die x O U gilt. Falls U sogar selber offen ist, sprechen wir auch von einer offenen Umgebung von x. In der folgenden Aufgabe wird gezeigt, dass alle Kugeln offen sind; dies liegt an der Dreiecksungleichung für die Metrik. Jede ε-umgebung von x ist also auch offene Umgebung von x. Aufgabe Sei (X, d) ein metrischer Raum. Zeige: (a) X und die leere Menge sind offen. (b) Für jedes x X und jedes ε > 0 ist U ε (x) offen. (c) Genau dann ist U eine Umgebung von x, wenn es ein ε > 0 gibt, für welches U ε (x) U ist. (d) Eine Menge O X ist genau dann offen, wenn sie Umgebung aller ihrer Punkte ist. Aufgabe Skizziere in R 2 die Menge U 1 (0) für die p-metriken mit p = 1, p = 3/2, p = 2 und p = 4. Lösung: Eine elegante Lösung der Aufgabe mit MAPLE geschieht mit dem Kommando 7

8 > plot([signum(cos(t))*(abs(cos(t)))ˆ(2/p), signum(sin(t))*(abs(sin(t)))ˆ(2/p),t=0..2*pi], scaling=constrained,tickmarks=[1,1]); und vorherige Zuweisung der einzelnen Werte für p. Tut man dies, ergeben sich die folgenden vier Bilder: p = 1 p = 3/2 p = 2 p = 4 Man kann erkennen, dass die Kontur der Kugel für wachsendes p gegen die entsprechende Figur für den Wert p = strebt, und diese ist ein achsenparalleles Quadrat der Seitenlänge 2 mit dem Ursprung als Mittelpunkt. Aufgabe Untersuche, welche Teilmengen bezüglich der diskreten Metrik bzw. der Metrik im french railroad space offen sind. Definition (Stetigkeit in metrischen Räumen) Seien (X, d X ) und (Y, d Y ) metrische Räume. Eine Abbildung f : X Y heißt stetig in einem Punkt x 0 X, falls folgendes gilt: ε > 0 δ > 0 x X : d X (x, x 0 ) < δ = d Y (f(x), f(x 0 )) < ε. (1.1.1) Dies ist die in Analysis übliche Definition der Stetigkeit, manchmal auch ε-δ-definition genannt. Sie kann auch mit Hilfe sogenannter offener Mengen formuliert werden: Satz Seien (X, d X ) und (Y, d Y ) metrische Räume, und sei f : X Y. (a) Genau dann ist f stetig in x 0 Umgebung von x 0 ist. X, falls für jede Umgebung U von f(x 0 ) die Menge f 1 (U) (b) Genau dann ist f in jedem Punkt x X stetig, wenn für jede offene Teilmenge O Y die Menge f 1 (O) in X offen ist. Beweis: Zu (a): Sei f in x 0 X stetig, und sei U eine Umgebung von f(x 0 ). Dann gibt es ein ε > 0 mit U ε (f(x 0 )) U. Nach Definition der Stetigkeit gibt es dann ein δ > 0, für welches x U δ (x 0 ) : f(x) U ε (f(x 0 )). Daraus folgt U δ (x 0 ) f 1 (U), und daher ist f 1 (U) eine Umgebung von x 0. Für den Beweis der Umkehrung sei ε > 0 gegeben. Da U ε (f(x 0 )) eine Umgebung von f(x 0 ) ist, folgt dass U = f 1 (U ε (f(x 0 )) eine Umgebung von x 0 ist. Also gibt es ein δ > 0, für welches U δ (x 0 ) U ist. Daraus folgt dass f im Punkt x 0 stetig ist. Zu (b): Sei f in jedem Punkt von X stetig, und sei O Y offen. Dann ist O Umgebung jedes Punktes x O. Falls O 1 = f 1 (O) leer ist, ist nichts zu zeigen. Falls ein x 0 O 1 existiert, dann ist f(x 0 ) O, und dann ist nach Teil (a) O 1 eine Umgebung von x 0. Nach Aufgabe (d) ist dann also O 1 offen. Für die Umkehrung sei x 0 X und ε > 0. Da U ε (f(x 0 )) offen ist, folgt dass O = f 1 (U ε (f(x 0 ))) ebenfalls 8

9 offen ist. Offenbar ist x 0 O, und deshalb muss ein δ > 0 existieren, für welches U δ (x 0 ) O ist. Daraus folgt die Stetigkeit von f im Punkt x 0. Da man offenbar Stetigkeit allein mit Hilfe offener Mengen formulieren kann, werden wir jetzt ein Axiomensystem für solche offenen Mengen kennenlernen und allein mit Hilfe dieser Axiome die Begriffe der Stetigkeit, aber auch der Konvergenz etc. einführen. Beachte dabei, dass es für die Definition der Stetigkeit überhaupt keine Rolle spielt, welche Teilmengen wir offen oder Umgebung nennen; um aber eine sinnvolle Theorie aufbauen zu können, braucht man entsprechende Axiome für offene Mengen. 1.2 Topologien Wenn nichts anderes gesagt wird, soll X im Folgenden immer eine feste nicht-leere Menge bezeichnen. Als Mengensystem bezeichnen wir eine beliebige Menge von Teilmengen von X, oder anders gesagt, eine Teilmenge der Potenzmenge P X von X. Definition (Topologie, offene Mengen) Ein Mengensystem T von Teilmengen von X heißt eine Topologie auf X, wenn folgende Axiome gelten: (O1), X T. (O2) Die Vereinigung beliebig vieler Mengen aus T gehört wieder zu T. (O3) Der Durchschnitt endlich vieler Mengen aus T gehört wieder zu T. Jede Menge aus T heißt dann offene Teilmenge von X, oder offen in X, oder einfach offen. Wenn auf X eine Topologie T gegeben ist, heißt (X, T ) auch topologischer Raum. Wie man gleich erkennt, gibt es viele interessante, aber auch etliche triviale Beispiele von topologischen Räumen: Beispiel Auf X = {a, b, c} bildet T = {, {a}, {a, b}, X } eine Topologie. Das System T = {, {a}, {b}, X } ist dagegen keine Topologie auf X. Aufgabe Bestimme alle Topologien auf einer dreielementigen Menge X = {a, b, c}. Beispiel Die Potenzmenge P X, also die Menge aller Teilmengen von X, ist eine Topologie auf X, die man als diskrete Topologie bezeichnet. Diese ist in einem klaren Sinn die größte Topologie auf X, und in diesem Sinn ist dann jede Teilmenge von X offen. Sozusagen entgegengesetzt ist {, X} die kleinste Topologie auf X und wird die indiskrete Topologie genannt. Statt von der größten bzw. kleinsten Topologie spricht man üblicherweise von der feinsten bzw. gröbsten Topologie auf einer Menge X; siehe dazu die Definition Aufgabe Zeige dass folgende Mengensysteme Topologien auf X sind: (a) T = {O X : X \ O ist endlich} { }. (b) T = {O X : X \ O ist abzählbar} { }. Welche über die Axiome (O1) (O3) hinausreichende Eigenschaft gilt im Fall (b)? Für welche Mengen X braucht man die leere Menge nicht zusätzlich zu T hinzuzufügen?. 9

10 Der folgende Satz stellt klar, dass metrische Räume spezielle topologische Räume sind: Satz (Topologie metrischer Räume) Sei (X, d) ein metrischer Raum. Dann ist das System aller offenen Mengen im Sinne von Definition eine Topologie auf X. Beweis: (O1) ist klar. Seien O j, j J, 1 alle offen, und sei O deren Vereinigung. Für ein x O gilt dann x O j0 für (wenigstens) ein j 0 J. Nach Definition gibt es dann ein ε > 0 mit U ε (x) O j0 O, und deshalb ist O offen. Also gilt (O2). Wenn O 1,..., O n offen sind und O jetzt deren Durchschnitt bezeichnet, so gibt es zu x O und j = 1,..., n jeweils ein ε j > 0 mit U εj (x) O j. Für ε = min{ε 1,..., ε n } ist dann U ε (x) O j für alle j = 1,..., n, und somit ist U ε (x) O. Also gilt auch das Axiom (O3). Jede Metrik definiert also eine Topologie. Dass verschiedene Metriken durchaus dieselbe Topologie erzeugen können, wird in Abschnitt 4.3 klar werden. Definition In R n, n N, wird durch die euklidische Metrik eine Topologie festgelegt, die wir die euklidische nennen wollen. In ihr sind genau diejenigen Mengen offen, welche sich als Vereinigung beliebiger Kugeln ergeben. Es gibt natürlich viele andere mögliche Topologien auf R n ; wenn nichts gegenteiliges gesagt wird, soll in Zukunft aber in R n immer die euklidische Topologie betrachtet werden. Aufgabe Zeige dass die diskrete Metrik die diskrete Topologie auf X definiert. Gibt es eine Metrik, welche die indiskrete Topologie auf X definiert? Definition (Vergleich von Topologien) Seien T 1, T 2 Topologien auf X. Wir nennen T 1 gröber als T 2 bzw. T 2 feiner als T 1, falls T 1 T 2 ist. Wenn zusätzlich T 1 T 2 ist, nennen wir T 1 echt gröber als T 2 bzw. T 2 echt feiner als T 1. Im Fall von T 1 T 2 und T 2 T 1 heißen die Topologien auch nicht vergleichbar. Beispiel Die diskrete Topologie ist feiner, die indiskrete Topologie gröber als jede andere Topologie auf X. Auf X = {a, b, c} sind T 1 = {, {a}, {a, b}, X } und T 2 = {, {b}, {a, b}, X } nicht vergleichbare Topologien. Aufgabe Seien T j, für j J, Topologien auf X. Zeige dass dann auch der Durchschnitt aller T j eine Topologie auf X ist. Dies impliziert: Sei {T j : j J} die Menge aller Topologien, welche irgendeine Eigenschaft A haben. Wenn auch der Durchschnitt von Topologien mit Eigenschaft A die Eigenschaft A besitzt, so gibt es eine gröbste Topologie mit Eigenschaft A, nämlich den Durchschnitt aller dieser T j. Aufgabe Sei X eine nicht-leere Menge, und sei K : P X P X eine Abbildung mit folgenden Eigenschaften: (a) K(X) = X. (b) E X : K(E) E. (c) E X : K(K(E)) = K(E). (d) E, F X : K(E F ) = K(E) K(F ). Zeige, dass aus E F ( X) immer K(E) K(F ) folgt, und schließe hieraus dass T = {O X : K(O) = O} eine Topologie auf X ist. 1 Hier wie im Folgenden bezeichnet J eine sogenannnte Indexmenge, die einerseits meist als nicht leer angenommen werden kann, aber rein formal durchaus auch leer sein darf, wobei im Falle J = aus der Definition von Vereinigung und Durchschnitt folgt dass j O j =, j O j = X. 10

11 1.3 Basen einer Topologie In einem metrischen Raum legen die ε-umgebungen, also sehr einfache offene Mengen, bereits die Topologie fest. Diese Tatsache wird allgemein durch den Begriff der Basis einer Topologie beschrieben: Definition (Basis) Ein Mengensystem B von Teilmengen von X heißt eine Basis (für eine Topologie auf X), wenn folgende Axiome erfüllt sind: (B1) x X B B : x B. (B2) B 1, B 2 B x B 1 B 2 B B : x B B 1 B 2. Anders ausgedrückt: Der gesamte Raum X sowie der Durchschnitt zweier Basismengen sind vielleicht selber keine Basismengen, sind aber stets Vereinigung von Basismengen; vergleiche auch Aufgabe Für eine Basis B bezeichne immer T B das System aller Teilmengen O X mit der Eigenschaft x O B B : x B O. (1.3.1) Das heißt, T B besteht aus allen Vereinigungen von Basismengen. Der unten folgende Satz sagt, dass T B eine Topologie auf X ist; wir nennen sie die von der Basis B erzeugte Topologie. Aufgabe Sei (X, d) ein metrischer Raum. Überprüfe, dass das Mengensystem aller ε-umgebungen, mit beliebigem ε > 0, die Eigenschaften (B1), (B2) hat, und dass die von dieser Basis erzeugte Topologie aus allen offenen Mengen im Sinn von Definition besteht. Aufgabe Zeige: Genau dann hat ein Mengensystem B von Teilmengen von X die Eigenschaften (B1), (B2), wenn sowohl X als auch der Durchschnitt von zwei beliebigen Mengen aus B immer als Vereinigung von Mengen aus B darstellbar sind. Aufgabe Sei B eine Basis. Zeige durch Induktion über n N: Sind B 1,..., B n x B 1... B n, so gibt es ein B B mit x B B 1... B n. B, und ist Satz Für jede Basis B ist das zugehörige Mengensystem T B B T B. eine Topologie auf X, und es gilt Beweis: Offenbar erfüllen und X die Bedingung (1.3.1) und gehören deshalb zu T B. Seien jetzt O j T B für j J, und sei O ihre Vereinigung. Für x O gilt x O j0 für mindestens ein j 0 J. Wegen (1.3.1) gibt es ein B B mit x B O j0 O, und deshalb ist O T B. Seien jetzt O 1,..., O n T B, und sei O ihr Durchschnitt. Wenn dann x O ist, gibt es wegen (1.3.1) Mengen B 1,..., B n B mit x B j O j für j = 1,..., n. Mit Hilfe von Aufgabe folgt die Existenz von B B mit x B B 1... B n O 1... O n = O, und deshalb ist O T B. Beispiel In R 2 mit der von der euklidischen Metrik erzeugten Topologie bildet die Menge aller offenen Kreisscheiben mit beliebigen Mittelpunkten und Radien eine Basis. Eine andere, kleinere Basis besteht aus allen Kreisscheiben mit beliebigen Mittelpunkten und Radien 1. Wieder eine andere Basis besteht aus allen achsenparallelen Quadraten. Man sieht also, dass eine Topologie sehr unterschiedliche Basen haben kann. Lemma Sei (X, T ) ein topologischer Raum, und sei B eine Basis der Topologie T, also T = T B. Dann gilt: 11

12 (a) T besteht aus allen Teilmengen von X, welche sich als Vereinigung von Mengen aus B darstellen lassen. 2 (b) T ist die gröbste Topologie auf X, welche B umfasst; d. h. genauer: Ist T eine Topologie auf X, und gilt B T, so folgt T T. (c) T ist der Durchschnitt aller Topologien auf X, welche B umfassen. Beweis: Zu (a): Da B T B = T ist, und da eine Topologie gegenüber Vereinigung abgeschlossen ist, folgt dass beliebige Vereinigungen von Mengen aus B zu T gehören. Ist umgekehrt O T, so gilt (1.3.1), und deshalb ist O Vereinigung von Mengen aus B. Zu (b): Wenn O T ist, so ist O nach (a) Vereinigung von Mengen aus B, also Vereinigung von Mengen aus T. Da T eine Topologie auf X ist, ist jede Vereinigung von Mengen aus T selber wieder in T, und daraus folgt die Behauptung. Zu (c): Der Durchschnitt von Topologien auf X ist nach Aufgabe selber wieder eine Topologie, und daraus fogt die Behauptung unter Benutzung von (b). Lemma Seien T 1 und T 2 Topologien auf X, und seien B 1 Basis von T 1 sowie B 2 Basis von T 2. Genau dann ist T 1 feiner als T 2, wenn für alle B 2 B 2 und alle x B 2 ein B 1 B 1 existiert mit x B 1 B 2. Beweis: Sei T 1 feiner als T 2, also T 2 T 1. Wegen B 2 T 2 folgt für B 2 B 2 auch B 2 T 1. Also gibt es wegen (1.3.1) zu jedem x B 2 ein B 1 B 1 mit x B 1 B 2. Für die Umkehrung sei O T 2. Ist x O, so gibt es wegen (1.3.1) ein B 2 B 2 mit x B 2 O, und nach Voraussetzung gibt es dann ein B 1 B 1 mit x B 1 B 2. Daraus folgt aber O T 1. Bei der Aufgabe, zu einer gegebenen Topologie eine Basis zu finden, kann folgendes Lemma helfen: Lemma Sei (X, T ) ein toplogischer Raum. Sei weiter B T so, dass für alle O T die Bedingung (1.3.1) gilt. Dann ist B bereits eine Basis von T. Beweis: Zu zeigen sind nur die Eigenschaften (B1), (B2) einer Basis. Da X T ist, folgt aber (B1), und da mit B 1, B 2 B T auch B 1 B 2 T ist, folgt auch (B2). Beispiel Sei X = R mit der euklidischen Topologie. Offene Mengen in R sind Vereinigung von höchstens abzählbar vielen offenen Intervallen, und die offenen Intervalle haben die Eigenschaften (B1), (B2), sind also eine Basis der üblichen euklidischen Topologie. Auch die Menge der rechts halboffenen Intervalle, also B = { [a, b) : a, b R, a < b} bilden eine Basis. Die zu dieser Basis gehörige Topologie wird die lower limit topology genannt und ist echt feiner als die euklidische Topologie; dies folgt mit Hilfe von Lemma und der Tatsache, dass ein halboffenes Intervall in der euklidischen Topologie nicht offen ist. Aufgabe Finde eine abzählbare Basis der euklidischen Topologie in R n, für alle n 1. 2 Beachte hierbei, dass die leere Menge gleich der leeren Vereinigung ist, also in jedem Fall als Vereinigung von Mengen aus B geschrieben werden kann. 12

13 1.4 Ordnungstopologien Definition (Ordnungsrelationen) Eine Relation < auf X heißt (vollständige) Ordnung, falls folgende Axiome gelten: (O1) Für alle x 1, x 2 X gilt genau eine der drei Aussagen x 1 < x 2, x 2 < x 1, x 1 = x 2. (O2) x 1, x 2, x 3 X : (x 1 < x 2 und x 2 < x 3 ) = x 1 < x 3. (Transitivität) Wir schreiben dann auch x 1 x 2 anstatt (x 1 < x 2 oder x 1 = x 2 ) und definieren offene, halboffene und abgeschlossene Intervalle wie in der Analysis. Beispiel (Lexikographische Ordnung) In R n, n N, sei für x 1 = (x 11,..., x n1 ) T und x 2 = (x 12,..., x n2 ) T eine Relation < durch folgende Festlegung definiert: x 1 < x 2 k {1,..., n} : x j1 = x j2 j = 1,..., k 1, x k1 < x k2. Diese Relation erfüllt (O1), (O2) und heißt die lexikographische Ordnung auf R n. Aufgabe Bestimme die offenen Intervalle bezüglich der lexikographischen Ordnung in R 2. Aufgabe Wie kann man auf der Menge aller reellen Zahlenfolgen eine Ordnung definieren? Definition (Ordnungstopologie) Sei auf X eine Ordnung gegeben. Sei B die Menge aller offenen Intervalle in X, wobei evtl. noch folgende Intervalle hinzukommen: (a) Falls X nur ein Element enthält, gelte X B. (b) Falls es ein größtes Element in X gibt, d. h., falls es ein x 0 X gibt, für welches x x 0 gilt für alle x X, dann sei (x, x 0 ] B für alle x X. (c) Falls es ein kleinstes Element in X gibt, d. h., falls es ein x 0 X gibt, für welches x 0 x gilt für alle x X, dann sei [x 0, x) B für alle x X. Man zeigt leicht, dass dann B eine Basis bildet. Die zugehörige Topologie heißt die Ordnungstopologie auf X. Aufgabe Überprüfe, dass die oben eingeführte Menge B die Eigenschaften (B1), (B2) hat. 1.5 Unterräume Satz Sei (X, T ) topologischer Raum. Sei U X nicht leer, und sei Dann ist T U eine Topologie auf U. T U = {O U : O T }. (1.5.1) 13

14 Beweis: Wegen = U und U = X U gilt, U T U. Sind O ju T U für j J, und ist O U ihre Vereinigung, so gibt es nach Definition von T U Mengen O j T mit O ju = O j U für alle j J. Dann folgt aber, dass O gleich dem Durchschnitt von U mit der Vereinigung aller O j ist, und deshalb ist O T U. Genauso schließt man auch für den Durchschnitt von endlich vielen Mengen aus T U. Definition Sei (X, T ) topologischer Raum. Sei U X nicht leer, und sei T U durch (1.5.1) gegeben. Dann nennt man T U die Unterraumtopologie oder Spurtopologie auf U, und (U, T U ) heißt topologischer Unterraum von (X, T ). Aufgabe Sei (X, d) ein metrischer Raum, also insbesondere ein topologischer Raum mit der durch die Metrik gegebenen Topologie. Eine nicht-leere Teilmenge U X kann dann als metrischer Raum mit der auf U U restringierten Metrik, aber auch als topologischer Unterraum aufgefasst werden. Zeige, dass dies zur gleichen Topologie auf U führt. Aufgabe Sei (X, T ) topologischer Raum. Sei U T \ { }. Zeige: Eine Teilmenge von U ist genau dann offen in der Spurtopologie auf U, wenn sie als Teilmenge von X offen ist. 1.6 Umgebungen Definition Sei (X, T ) topologischer Raum, und sei x X. Jedes O T, welches x enthält, heißt offene Umgebung von x. Jede Obermenge einer offenen Umgebung von x heißt Umgebung von x. Mit U(x) bzw. U 0 (x) wird das System aller Umgebungen bzw. aller offenen Umgebungen von x bezeichnet. Beachte, dass manche Bücher, z. B. das von J. R. Munkres [14], nur offene Mengen als Umgebungen zulassen. Wir nennen eine Teilmenge B(x) U 0 (x) eine Umgebungsbasis im Punkt x, wenn zu jedem U U(x) ein B B(x) existiert mit B U. Aufgabe Untersuche, welche Mengen Umgebungen eines Punktes x X sind, wenn T gleich der diskreten bzw. der indiskreten Topologie ist. Satz Sei (X, T ) topologischer Raum, und sei x X. Dann gilt immer: (a) U(x). (b) U U(x) : x U. (c) U U(x) V X : U V = V U(x). (d) U 1,..., U n U(x) = U 1... U n U(x). (e) U U(x) V U(x) x V : U U( x). Beweis: Da X T und x X ist, folgt X U(x), und daher gilt (a). Nach Definition enthält jede Umgebung von x eine offene Umgebung von x, und diese enthält x, und somit gilt (b). Auf Grund der Definition der Umgebungen ist (c) klar. Da der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen wieder offen ist, folgt (d), und (e) gilt, wenn wir V als offene Teilmenge von U wählen, welche x enthält; die Existenz eines solchen V folgt aus der Definition von Umgebungen. Man kann die Aussagen (a) (e) des obigen Satzes zu Axiomen des Umgebungssystems eines Punktes x X erheben und dann offene Mengen als solche definieren, die Umgebungen jedes ihrer Punkte sind. Dies führt zu einer äquivalenten Definition eines topologischen Raumes, was hier aber nicht genauer untersucht werden soll. Jedenfalls gilt aber folgendes Lemma: 14

15 Lemma Sei (X, T ) topologischer Raum. Eine Teilmenge O X ist genau dann offen, also in T, wenn für alle x O gilt O U(x). Beweis: Wenn O offen ist, dann folgt mit der Definition von Umgebungen O U 0 (x) U(x) für jedes x O. Wenn umgekehrt gilt O U(x) für alle x O, dann gibt es zu jedem solchen x eine offene Menge O x mit x O x O. Also ist offenbar O die Vereinigung dieser Mengen O x und deshalb selber offen. Aufgabe Sei (X, T ) topologischer Raum, und sei B eine Basis für T. Zeige: Genau dann ist U U(x) für ein x X, wenn es eine Menge B B gibt mit x B U. 1.7 Abgeschlossene Mengen und Berührungspunkte Definition Sei (X, T ) topologischer Raum. Eine Menge A X heißt abgeschlossen, wenn X \ A offen ist, also in T liegt. Ein x X heißt Berührungspunkt einer Teilmenge E X, wenn gilt U U(x) : U E. (1.7.1) Satz (Rechenregeln für abgeschlossene Mengen) In jedem topologischen Raum (X, T ) gilt: (A1) und X sind abgeschlossen. (A2) Die Vereinigung endlich vieler abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen. (A3) Der Durchschnitt beliebig vieler abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen. Beweis: Folgt aus den de Morganschen Regeln und der Definition abgeschlossener Mengen. Aufgabe Sei (X, T ) topologischer Raum. Sei U eine abgeschlossene Teilmenge von X. Zeige: Eine Teilmenge von U ist genau dann abgeschlossen in der Spurtopologie auf U, wenn sie als Teilmenge von X abgeschlossen ist. Satz Sei (X, T ) topologischer Raum, und sei E X. Dann ist die Menge aller Berührungspunkte von E eine abgeschlossene Obermenge von E. Beweis: Jedes x E ist per Definition ein Berührungspunkt von E. Sei jetzt O das Komplement der Berührungspunktmenge von E, und sei x O. Dann gibt es nach Definition der Berührungspunkte mindestens eine Umgebung U U(x) mit U E =. Wir können dann o. B. d. A. annehmen dass U offen ist, denn sonst kann man in U eine kleinere offene Umgebung von x finden. Da U dann Umgebung aller seiner Punkte ist, kann es in U keinen Berührungspunkt von E geben. Daher ist also U O, und deshalb ist O U(x). Da dies für jedes x O gilt, ist O offen, also die Menge der Berührungspunkte abgeschlossen. 15

16 1.8 Innere Punkte, abgeschlossene Hülle und offener Kern Definition Sei (X, T ) topologischer Raum, und sei E X. Ein x E heißt innerer Punkt (von E), falls E U(x) ist. Die Menge aller inneren Punkte von E wird offener Kern von E genannt und mit E bezeichnet. Die Menge aller Berührungspunkte von E heißt die abgeschlossene Hülle von E und wird mit E bezeichnet. Satz Sei (X, T ) topologischer Raum, sei B eine Basis für T, und sei E X. Dann gilt: (a) Der offene Kern von E ist die größte offene Teilmenge von E, oder in anderen Worten: Vereinigung aller offenen Teilmengen von E. E ist die (b) Die abgeschlossene Hülle von E ist die kleinste abgeschlossene Obermenge von E, oder in anderen Worten: E ist der Durchschnitt aller abgeschlossenen Obermengen von E. (c) x E B B : x B E. (d) x E B B : x B = B E. Beweis: Zu (a): Sei O eine offene Teilmenge von E, und sei x O. Dann ist E U(x), und deshalb ist x E. Also folgt O E. Umgekehrt: Ist x E, so ist E U(x), und deshalb gibt es eine offene Teilmenge von E, die x enthält. Zu (b): Nach Satz ist E eine abgeschlossene Obermenge von E. Ist jetzt A eine beliebige abgeschlossene Obermenge von E, und ist x O = X \ A, dann kann x kein Berührungspunkt von E sein. Also ist x E, und daher ist E A. Zu (c): Nach Definition einer Basis folgt für x E die Existenz eines B B mit x B E. Ist umgekehrt x B E für ein B B, so ist x ein innerer Punkt von E und liegt deshalb in E. Zu (d): Ist x E, und ist B B mit x B, so ist B U 0 (x), und deshalb folgt B E nach Definition von Berührungspunkten. Die Umkehrung gilt aber ebenfalls, da nach Aufgabe in jeder Umgebung von x eine Basismenge B liegen muss, die selber x enthält. Satz Sei (X, T ) topologischer Raum, und sei E X. Dann gilt: (a) E ist genau dann offen, wenn E = E ist. (b) E ist genau dann abgeschlossen, wenn E = E ist. (c) Für F = X \ E gilt F = X \ E, F = X \ E. Beweis: Folgt leicht aus dem vorherigen Satz. Aufgabe Sei (X, T ) topologischer Raum. (a) Zeige dass die Abbildung K : P X P X mit K(E) = E die in Aufgabe aufgelisteten Eigenschaften hat. (b) Finde selber entsprechende Eigenschaften für die Abbildung H : P X P X mit H(E) = E. 16

17 1.9 Häufungspunkte, isolierte Punkte und Rand Definition Sei (X, T ) topologischer Raum, und sei E X. Ein x X heißt Häufungspunkt von E, falls gilt ( ) U U(x) : U \ {x} E. Die Menge aller Häufungspunkte von E wird mit E bezeichnet. Ein x X heißt Randpunkt von E, falls gilt ( ) U U(x) : U E, U X \ E. In Worten bedeutet dies, dass Randpunkte genau diejenigen Punkte sind, welche Berührungspunkte sowohl von E als auch vom Komplement von E sind. Die Menge aller Randpunkte von E heißt der Rand von E, in Zeichen rd (E). Ein Punkt x E heißt isolierter Punkt von E, falls ein U U(x) existiert mit U E = {x}. Satz Sei (X, T ) topologischer Raum, und sei E X. Dann gilt: (a) E = E E. (b) rd (E) = rd (X \ E) = E \ E. Beweis: Da Häufungspunkte immer Berührungspunkte sind folgt E E. Wenn umgekehrt x E ist, und x E gilt, dann muss nach Definition von Häufungs- und Berührungspunkten x E sein. Also gilt (a). Sei jetzt x rd E. Dann ist x ein Berührungspunkt, aber kein innerer Punkt von E, und somit ist x E \ E. Die Umkehrung ist aber ebenfalls richtig. Durch Vertauschen von E und x \ E folgt der Rest von (b). Aufgabe Sei (X, T ) topologischer Raum, und sei E X. Zeige dass E genau dann abgeschlossen ist, wenn alle Häufungspunkte von E zu E gehören. Zeige weiter, dass für ein x X genau eine der folgenden drei Aussagen richtig ist: (a) x ist innerer Punkt von E, (b) x ist innerer Punkt von X \ E, (c) x ist Randpunkt von E. Aufgabe Sei (X, T ) topologischer Raum. Charakterisiere diejenigen Teilmengen von X, welche keine Randpunkte besitzen. Aufgabe Sei (X, T ) topologischer Raum, und seien K und H wie in Aufgabe (a) Zeige K(X \ E) = X \ H(E) und H(X \ E) = X \ K(E) für alle E X. (b) Zeige: E F ( X) = K(E) K(F ) und H(E) H(F ). (c) Zeige (in dieser Reihenfolge) für alle E X K(E) E H(E), K(E) K(H(K(E))) H(K(E)) H(E), K(E) K(H(E)) H(K(H(E))) H(E). (d) Sei E X gegeben. Zeige dass unter allen Mengen, welche durch wiederholtes Anwenden der Abbildungen H und K auf die Menge E entstehen, höchstens folgende sieben Mengen verschieden sein können: E, H(E), K(E), H(K(E)), K(H(E)), K(H(K(E))), H(K(H(E))). (1.9.1) (e) Finde (in R mit der euklidischen Topologie) ein Beispiel einer Menge E, für welche die Mengen in (1.9.1) alle verschieden sind. 17

18 Kapitel 2 Stetige Abbildungen und Konvergenz Wenn nichts anderes gesagt wird, bezeichnen (X, T X ), (Y, T Y ) und (Z, T Z ) im Folgenden immer feste, aber beliebige topologische Räume. 2.1 Definition der Stetigkeit Definition Eine Abbildung f : X Y heißt stetig in einem Punkt x 0 X, falls für jedes U U(f(x 0 )) gilt f 1 (U) U(x 0 ). Wir nennen f auch stetig auf X, wenn es in jedem Punkt x 0 X stetig ist. Aufgabe Zeige: Konstante Abbildungen f : X Y sind stetig auf X. Zeige weiter: Ist f : X Y stetig in x 0 X, und ist x 0 E X, so ist die Restriktion f : E Y stetig in x 0. Aufgabe Untersuche, welche Abbildungen f : X Y stetig sind, wenn die Topologie auf X und/oder Y gleich der diskreten bzw. indiskreten Topolgie ist. Satz Eine Abbildung f : X Y ist genau dann stetig auf X, wenn für alle O T Y f 1 (O) T X. gilt Beweis: Sei f stetig auf X, und sei O T Y. Falls f 1 (O) ist, sei x 0 f 1 (O). Dann ist O U(f(x 0 )), und deshalb ist f 1 (O) U(x 0 ) nach Definition der Stetigkeit im Punkt x 0. Da x 0 ein beliebiger Punkt von f 1 (O) sein kann, ist f 1 (O) offen. Für die Umkehrung seien x 0 X und U U(f(x 0 ) gegeben. Dann gibt es ein O T Y mit f(x 0 ) O U, und nach Voraussetzung ist f 1 (O) T X. Wegen x 0 f 1 (O) f 1 (U) folgt hieraus f 1 (U) U(x 0 ). Also ist f stetig im Punkt x 0. Da x 0 ein beliebiger Punkt von X war, folgt die Stetigkeit von f auf X. Aufgabe Zeige: Eine Abbildung f : X Y ist genau dann stetig auf X, wenn für alle (bezüglich der Topologie auf Y ) abgeschlossenen Teilmengen A Y auch f 1 (A) abgeschlossen (in der Topologie auf X) ist. Satz (Hintereinanderausführung stetiger Abbildungen) Seien f : X Y und g : Y Z gegeben. Falls f in einem Punkt x 0 X und g im Punkt f(x 0 ) stetig sind, dann ist h = g f stetig im Punkt x 0. 18

19 Beweis: Sei U U(h(x 0 )). Nach Voraussetzung und der Definition der Stetigkeit ist dann g 1 (U) U(f(x 0 )) und f 1 (g 1 (U)) = h 1 (U) U(x 0 ). Das ist die Behauptung. Aufgabe Zeige folgendes Klebelemma Sei X = A 1 A 2, mit abgeschlossenen Mengen A 1, A 1 X, und seien f j : A j Y stetig auf A j, für 1 j 2. Falls f 1 (x) = f 2 (x) für alle x A 1 A 2 gilt, dann existiert genau eine auf X stetige Abbildung f : X Y mit f(x) = f j (x) für x A j, 1 j Stetigkeit und Basen Der ε-δ-definition der Stetigkeit aus der Analysis entspricht allgemein die folgende Charakterisierung von Stetigkeit mit Basen der beiden Topologien T X und T Y : Satz Seien B X und B Y Basen für die Topologien T X bzw. T Y. Genau dann ist eine Abbildung f : X Y stetig in einem Punkt x 0 X, wenn gilt B 1 B Y mit f(x 0 ) B 1 B 2 B X mit x 0 B 2 : f(b 2 ) B 1. Beweis: Sei f stetig im Punkt x 0, und sei B 1 B Y mit f(x 0 ) B 1 gegeben. Da B 1 offen und deshalb Umgebung von f(x 0 ) ist, folgt dass f 1 (B 1 ) U(x 0 ) ist, und nach Definition von Umgebungen bzw. Basen existiert deshalb ein B 2 B X mit x 0 B 2 f 1 (B 1 ). Daher gilt eine Richtung der Behauptung. Zur Umkehrung sei U U(f(x 0 )). Dann gibt es ein B 1 B Y mit f(x 0 ) B 1 U, und nach Voraussetzung existiert dazu wiederum ein B 2 B X mit x 0 B 2 f 1 (B 1 ) f 1 (U). Also ist f 1 (U) U(x 0 ), und daher ist f stetig im Punkt x 0. Aufgabe Im Falle von zwei metrischen Räumen können wir als Basen B X und B Y bekanntlich die Menge aller Kugeln mit beliebigen Mittelpunkten und Radien wählen. Zeige für diesen Fall, dass obiger Satz genau der ε-δ-definition der Stetigkeit in metrischen Räumen entspricht. 2.3 Erzeugen von Topologien zu vorgegebenen Abbildungen Lemma Seien X eine beliebige nicht-leere Menge und (Y, T Y ) ein topologischer Raum, sowie f : X Y eine Abbildung. Dann ist T X,f = {f 1 (O) : O T Y } (2.3.1) eine Topologie auf X, und zwar die gröbste Topologie, bezüglich der f stetig auf X ist. Beweis: Wegen = f 1 ( ) und X = f 1 (Y ) folgt, X T X,f. Sind O j T X,f für j J, so gibt es Õ j T Y mit O j = f 1 (Õj) für alle j J. Wegen j O j = f 1 ( j Õ j ) folgt dann j O j T X,f. Analog schließt man für den Durchschnitt endlich vieler O j T X,f. Ist T X irgendeine Topologie auf X, bezüglich der f stetig ist, so folgt aus Satz dass T X,f T X, also T X feiner als T X,f sein muss. Beispiel Sei (X, T ) ein topologischer Raum, sei U X, und sei i : U X die Injektion, also i(x) = x für alle x U. Es folgt aus obigem Lemma, dass die Unterraumtopologie auf U gleich T U,i ist, also gleich der gröbsten Topologie, bezüglich der die Injektion stetig ist, denn für O T X ist i 1 (O) = O U. 19

20 Definition Seien X eine beliebige nicht-leere Menge und (Y j, T j ), für j J, topologische Räume, sowie f j : X Y j, für j J, beliebige Abildungen. Die gröbste Topologie auf X, bezüglich der alle f j stetig auf X sind, heißt dann die von den f j auf X (rückwärts) induzierte Topologie. Da die Menge der Topologien auf X, für die alle f j stetig sind, die diskrete Topologie enthält und somit nicht leer ist, gibt es diese gröbste Topologie, denn sie ist einfach der Durchschnitt aller Topologien auf X mit dieser Eigenschaft. Beispiel (Schwache Topologie) Sei (X, ) ein normierter Raum über K, und sei X die Menge aller stetigen und linearen Funktionale auf X, also die Menge aller stetigen linearen Abbildungen f von X nach K. Die von diesen f auf X rückwärts induzierte Topologie heißt die schwache Topologie auf X. Beim Berechnen der rückwärts induzierten Topologie kann folgendes Resultat helfen: Proposition Seien X eine beliebige nicht-leere Menge und (Y j, T j ), für j J, topologische Räume, sowie f j : X Y j, für j J, beliebige Abildungen. Sind B j, für j J, Basen der Topologien T j, so bilden die Mengen n B (n) j 1,...,j n = k=1 eine Basis für die rückwärts induzierte Topologie auf X. f 1 j k (B k ) n N, j 1,..., j n J, B k B jk Beweis: Wie man direkt überprüfen kann, sind die Eigenschaften einer Basis erfüllt. Seien T die rückwärts induzierte und T die zu dieser Basis gehörige Topologie. Da alle f j bezüglich T stetig sind, folgt f 1 j k (B k ) T für alle k = 1,..., n, und deshalb sind auch alle B (n) j 1,...,j n Umkehrung seien j J und B B j. Dann folgt B (1) j = f 1 j in T. Also gilt T T. Für die (B) T, und daher ist f j bezüglich der Topologie T stetig auf X. Da dies für alle j J gilt, folgt nach Definition der rückwärts induzierten Topologie T T. Aufgabe Seien X eine beliebige nicht-leere Menge und (Y j, T j ), für j J, topologische Räume, sowie f j : X Y j, für j J, beliebige Abildungen, und T X bezeichne die durch die f j auf X rückwärts induzierte Topologie. Sei (Z, T Z ) ein weiterer topologischer Raum, und f : Z X eine Abbildung. Zeige: Genau dann ist f auf Z stetig, wenn alle Abbildungen f j f auf Z stetig sind. 2.4 Die Produkttopologie Definition Seien X j, für j J, beliebige nicht-leere Mengen. Als kartesisches Produkt dieser Mengen bezeichnen wir die Menge aller Abbildungen f : J j X j mit f(j) X j für alle j J. Wir schreiben für diese Menge auch j J X j, und für ihre Elemente schreiben wir auch (x j, j J) oder einfach (x j ) und nennen jedes solche Element ein J-Tupel. Das sogenannte Auswahlaxiom der Mengenlehre besagt gerade, dass das kartesische Produkt nicht-leerer Mengen nicht leer ist. Wenn J eine endliche Menge ist, also o. B. d. A. J = {1,..., n}, so schreiben wir oft auch Für j 0 J heißt die Abbildung π j0 : n j=1 X j = X 1... X n. X j X j0, π j0 ((x j, j J)) x j0 j J 20

21 die j 0 -te Projektion auf X j0. Offenbar ist diese Abbildung surjektiv. Für topologische Räume (X j, T j ), j J, heißt die von den Projektionen rückwärts induzierte Topologie auf dem kartesischen Produkt der X j die Produkttopologie auf j J X j. Wenn nichts anderes gesagt wird, soll in Zukunft ein kartesisches Produkt immer mit der Produkttopologie versehen sein. Aufgabe Überprüfe, dass die Produkttopologie in R n, aufgefasst als kartesisches Produkt von n Kopien der Menge der reellen Zahlen, gleich der euklidischen Topologie ist. Aufgabe Für topologische Räume (X j, T j ), j J sei das kartesische Produkt mit der Produkttopologie versehen. Zeige: Genau dann ist U eine Umgebung eines Punktes (x j ) des kartesischen Produktes, wenn es Mengen O j T j gibt, von denen höchstens endlich viele von X j verschieden sind, so dass (x j ) j J O j U. Aufgabe Gegeben seien topologische Räume (X j, T j ), j J und (Y, T Y ), sowie eine Abbildung f : Y j J X j. Folgere aus Aufgabe 2.3.6: f ist genau dann stetig auf Y, wenn für alle j J die Abbildungen π j f auf Y stetig sind. Aufgabe Es seien (X 1, T 1 ) und (X 2, T 2 ) topologische Räume, und f : X 1 X 2 sei eine beliebige Abbildung. Mit G f = {(x, f(x)) : x X 1 } X 1 X 2 sei der Graph von f bezeichnet. Zeige: (a) Die Projektion π 1, eingeschränkt auf G f, ist bijektiv und stetig. (b) Die Umkehrabbildung π 1 1 : X 1 G f ist genau dann stetig auf X 1, wenn f auf X 1 stetig ist. 2.5 Quotiententopologie Lemma Seien (X, T ) ein topologischer Raum und Y eine nicht-leere Menge, sowie f : X Y eine Abbildung. Dann ist T Y,f = {O Y : f 1 (O) T } eine Topologie auf Y, und zwar die feinste Topologie, für die f stetig auf X ist. Beweis: Wegen f 1 ( ) = und f 1 (Y ) = X folgt, X T Y,f. Sind O j T Y,f für j J, so folgt wegen j f 1 (O j ) = f 1 ( j O j ) dass j O j T Y,f ist, und genauso schließt man für den Durchschnitt endlich vieler O j T Y,f. In jeder Topologie T 1 auf Y, für die f auf X stetig ist, folgt mit der Definition der Stetigkeit, dass für O T 1 immer f 1 (O) T sein muss, und deshalb folgt T 1 T Y,f. Definition Unter den Voraussetzungen von Lemma heißt T Y,f induzierte Topologie. die von f auf Y (vorwärts) Aufgabe Unter den Voraussetzungen von Lemma sei U = f(x) eine echte Teilmenge von Y, d. h. mit anderen Worten, f ist nicht surjektiv. Zeige dass die von f auf Y vorwärts induzierte Topologie auf Y \ U gleich der diskreten Topologie ist. Aus diesem Grund wird in Büchern oft bei der Einführung der vorwärts induzierten Topologie vorausgesetzt, dass f surjektiv ist. Definition (Äquivalenzrelationen und Zerlegungen) Sei eine nicht-leere Menge X gegeben. Eine Teilmenge R X X heißt eine Relation auf X. Wir sagen dass ein x 1 X zu einem x 2 X in Relation steht, wenn das Paar (x 1, x 2 ) zu R gehört. Eine solche Relation auf X heißt eine Äquivalenzrelation, falls für beliebige x, x 1, x 2, x 3 X gilt: 21

22 (R) (x, x) R (Reflexivität) (S) (x 1, x 2 ) R = (x 2, x 1 ) R (Symmetrie) (T) (x 1, x 2 ) R und (x 2, x 3 ) R = (x 1, x 3 ) R (Transitivität) Statt (x 1, x 2 ) R schreiben wir dann auch x 1 x 2 und sagen in Worten, dass x 1 äquivalent zu x 2 ist. Für x X nennen wir A x = { x X : x x } eine Äquivalenzklasse. Ein beliebiges Element von A x heißt auch ein Repräsentant dieser Äquivalenzklasse. Für eine nicht-leere Menge X heißen nicht-leere Teilmengen X j mit j J eine Zerlegung von X, falls X j = X, X j X k = j, k J mit j k. j J Ist (X, T ) ein topologischer Raum, und ist eine solche Zerlegung von X gegeben, so sei X = {X j : j J}, und f : X X mit f(x) = X j für die eindeutig bestimmte Menge X j mit x X j gesetzt. Die von diesem f auf X vorwärts induzierte Topologie heißt die Quotiententopologie auf X. Aufgabe Wiederhole, dass eine Äquivalenzrelation auf X immer zu einer Zerlegung von X in Äquivalenzklassen führt. Zeige, dass umgekehrt eine Zerlegung von X auch eine Äquivalenzrelation auf X definiert, für die die Mengen X j gerade die Äquivalenzklassen sind. Beispiel (Torus) Sei X = [0, 1] [0, 1] R 2. Wir zerlegen dieses Quadrat in folgende Teilmengen: Alle einelementigen Teilmengen von X, die einen inneren Punkt enthalten, sowie alle zweielementigen Mengen der Form {(x, 0), (x, 1)} und {(0, y), (1, y)} mit 0 < x, y < 1 und eine vierelementige Menge {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)}. Der zu dieser Zerlegung gehörige, mit der Quotiententopologie versehene topologische Raum ist ein mögliches Modell des Torus. 2.6 Konvergente Folgen und Folgenstetigkeit Definition Sei (X, T ) ein topologischer Raum, und sei (x n, n N) eine Folge in X. Wir sagen, dass die Folge konvergiert, falls für ein x X folgendes gilt: U U(x) N N n N : x n U. (2.6.1) Jedes x X, für welches diese Bedingung erfüllt ist, heißt Grenzwert der Folge, und wir schreiben dann x n x (n ) oder lim n x n = x, und sagen dann auch, dass (x n ) gegen x konvergiert. Sind (X, T X ) und (Y, T Y ) zwei topologische Räume, so heißt eine Abbildung f : X Y im Punkt x X folgenstetig, wenn für alle Folgen (x n ) gilt lim x n = x = lim f(x n) = f(x). n n Beispiel Eine Folge (x n, n N) mit x n = x für alle genügend großen n soll im Folgenden schließlich konstant genannt werden. Jede solche Folge erfüllt sicher (2.6.1) und ist also immer konvergent gegen x. Wenn auf X die diskrete Topologie betrachtet wird, dann ist U = {x} offen, also eine Umgebung von x, und dann folgt dass (2.6.1) für dieses U nur dann gilt, wenn (x n, n N) schließlich konstant ist. Also sind die schließlich konstanten Folgen die einzigen, welche in der diskreten Topologie konvergieren. Wenn dagegen X mit der indiskreten Topologie versehen ist, dann ist U = X die einzige Umgebung von x, und daher ist jetzt jede Folge gegen jedes x X konvergent. Man sieht also insbesondere, dass in einem allgemeinen topologischen Raum ein Grenzwert nicht eindeutig bestimmt sein muss. 22

23 Proposition Seien (X, T X ) und (Y, T Y ) zwei topologische Räume, und sei die Abbildung f : X Y stetig in einem Punkt x X. Dann ist f dort auch folgenstetig. Beweis: Sei U U(f(x)). Dann ist auf Grund der Stetigkeitsvoraussetzung f 1 (U) U(x), und deshalb gibt es ein N N mit x n f 1 (U) für alle n N. Das bedeutet aber f(x n ) U für alle diese n, woraus die Behauptung folgt. Bemerkung In der Analysis zeigt man, dass die Umkehrung von obiger Aussage in den dort betrachteten Fällen auch gilt. Dies ist in allgemeinen topologischen Räumen nicht der Fall und führt dann zur Einführung von Netzen an Stelle von Folgen. Dies soll hier ausgelassen werden. Wir werden aber sehen, dass die Umkehrung jedenfalls in metrischen Räumen richtig ist. Aufgabe Sei E X, und sei (x n ) n=1 eine Folge, deren Glieder alle zu E gehören. Zeige: Wenn (x n, n N) gegen ein x X konvergiert, dann ist dieses x ein Berührungspunkt von E, und sogar ein Häufungspunkt, wenn x n x für unendlich viele n gilt. Auch hier gilt im Allgemeinen nicht die Umkehrung! 23

24 Kapitel 3 Trennungsaxiome Die Tatsache, dass eine konvergente Folge im Allgemeinen mehrere Grenzwerte haben kann, ist ein Anlass dafür, zu den Axiomen für eine Topologie noch ein weiteres Axiom hinzuzufügen, welches dann zum Beispiel die Eindeutigkeit des Grenzwertes garantiert. Es gibt dabei verschiedene solche Trennungsaxiome. Wir wollen uns hier auf das nach Hausdorff benannte Axiom beschränken und dann als Verschärfung normale und reguläre Räume untersuchen. 3.1 Hausdorff-Räume Definition Ein topologischer Raum (X, T ) heißt Hausdorff-Raum, wenn folgendes gilt: (H) x 1, x 2 X mit x 1 x 2 U 1 U(x 1 ), U 2 U(x 2 ) : U 1 U 2 =. Die Bedingung (H) heißt auch Hausdorffsches Trennungsaxiom oder Hausdorff-Axiom. In Worten ausgedückt bedeutet (H) dass man zu zwei verschiedenen Punkten von X zwei Umgebungen finden kann, welche diese Punkte trennen. Aufgabe Zeige dass jeder metrische Raum ein Hausdorff-Raum ist. Zeige weiter, dass in einem Hausdorff-Raum eine Folge höchstens eine Grenzwert haben kann. Aufgabe Sei (X, T ) ein Hausdorff-Raum, und seien x 0, x 1,..., x n X alle verschieden, für ein n N. Zeige: Dann gibt es U j U(x j ), für j = 0,..., n, welche paarweise disjunkt sind, für welche also U j U k = ist für j k. Aufgabe Gib ein Beispiel eines topologischen Raumes, für den endliche Teilmengen nicht immer abgeschlossen sind. Vergleiche dies mit Teil (a) des folgenden Satzes. Wenn nichts anderes gesagt ist, sei im Folgenden (X, T ) immer ein Hausdorff-Raum. Satz In einem Hausdorff-Raum (X, T ) gelten folgende Aussagen: (a) Jede endliche Teilmenge E X ist abgeschlossen. (b) Für E X ist x E genau dann, wenn in jeder Umgebung von x unendlich viele Elemente von X liegen. 24