lim Der Zwischenwertsatz besagt folgendes:

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1 2.3. Grenzwerte von Funktionen und Stetigkeit 35 Wir stellen nun die wichtigsten Sätze über stetige Funktionen auf abgeschlossenen Intervallen zusammen. Wenn man sagt, eine Funktion f:[a,b] R, definiert auf einem abgeschlossenen Intervall, sei stetig, meint man damit, dass f auf (a, b) stetig ist und ausserdem in den Randpunkten gilt: xցa Der Zwischenwertsatz besagt folgendes: f(x) = f(a) und f(x) = f(b). xրb Satz Sei I R ein abgeschlossenes Intervall und sei f:i R stetig. Sind x 1 x 2 in I und y R mit f(x 1 ) < y 0 < f(x 2 ), so gibt es ein x 0 zwischen x 1 und x 2 mit f(x 0 ) = y 0. Beweis. Hinter dieser Aussage steht das Supremumsaxiom. Für Funktionen, die nur für rationale Zahlen definiert sind, ist die Aussage nicht richtig. Für den Beweis können wir annehmen, dass x 1 < x 2 ist. Weiter können wir durch Verschiebung der Funktion f um den Wert y 0 die Frage darauf reduzieren, eine Nullstelle von f zu finden. Nehmen wir also an: f(x 1 ) < 0 < f(x 2 ). Eine Strategie zur Konstruktion einer Nullstelle x 0 besteht darin, das Intervall [x 1,x 2 ] fortgesetzt zu halbieren und nur jeweils die Hälfte zu behalten, über der f das Vorzeichen wechselt. Man erhält eine Intervallschachtelung, und die Grenzen der Intervalle bilden je eine aufsteigende und eine fallende Folge, die gegen denselben Grenzwert x 0 konvergieren. Wegen der Stetigkeit muss f(x 0 ) = 0 gelten. q.e.d Beispiel Das Polynom p(x) = x 5 3x+1 besitzt eine Nullstelle zwischen x 1 = 2 und x 2 = 1, denn p( 2) = 25 < 0 und p( 1) = 3 > 0. Wenden wir nun das Intervallhalbierungsverfahren an, um eine solche Nullstelle genauer zu bestimmen. Das Startintervall ist das Intervall I 1 = [ 2; 1]. Der Mittelpunkt des Intervalls liegt bei x = 1.5 und p( 1.5) = < 0. Also wechselt das Polynom zwischen 1.5 und 1 das Vorzeichen, in der rechten Intervallhälfte gibt es also eine Nullstelle. Darum ersetzen wir das Ausgangsintervall nun durch I 2 = [ 1.5; 1]. Weil p( 1.25) = > 0 ist, findet der Vorzeichenwechsel von p in linken Intervallhälfte von I 2 statt, und wir setzen I 3 = [ 1.5; 1.25]. Im nächsten Schritt finden wir p( 1.375) > 0 und daher I 4 = [ 1.5; 1.375]. Weiter ist p( ) < 0 und daher I 5 = [ ; 1.375]. Nochmaliges Halbieren liefert p( ) > 0 und I 6 = [ ; ]. Es gibt also eine Nullstelle zwischen und Die Stelle ist damit bis auf etwa 3 Hundertstel genau bestimmt. Man kann das Verfahren entsprechend weiter fortsetzen, bis die gewünschte Genauigkeit erreicht ist. Das hier angegebene Polynom p besitzt noch zwei weitere Nullstellen, und zwar eine im Intervall [0;1] und eine im Intervall [1;2]. Auch diese Nullstellen kann man natürlich mit dem Intervallhalbierungsverfahren beliebig genau berechnen. Der folgende Satz ist weniger leicht zu beweisen, und wir verzichten hier auf den Beweis:

2 36 Kapitel 2. Differentialrechnung in einer Variablen Satz Auf einem abgeschlossenen Intervall [a,b] ist jede stetige Funktion beschränkt und nimmt ihr Minimum und Maximum an. Aus beiden Sätzen zusammen ergibt sich: Folgerung: Eine stetige Funktion bildet ein abgeschlossenes Intervall wieder auf ein abgeschlossenes Intervall ab. Beweis. Ist nämlich m das Minimum und M das Maximum von f auf dem Intervall [a, b], so nimmt f nach dem Zwischenwertsatz alle Werte zwischen m und M an. Also folgt f([a,b]) = {f(x) a x b} = [m,m]. q.e.d. Aus dem Zwischenwertsatz folgt auch, dass Umkehrfunktionen von stetigen Funktionen wieder stetig sind Satz Die stetige Funktion f bilde das Intervall [a, b] auf das Intervall [c, d] ab. Dann gilt: 1. f ist genau dann injektiv, wenn f streng monoton ist. 2. Ist f streng monoton wachsend (bzw. fallend), so ist auch die Umkehrfunktion f 1 :[c,d] [a,b] von f streng monoton wachsend (bzw. fallend). 3. Besitzt f eine Umkehrfunktion, so ist diese ebenfalls stetig. Man kann diese Aussage auch auf Umkehrfunktionen von Funktionen mit offenen oder halboffenen Definitionsbereichen anwenden. Denn Stetigkeit ist eine lokale Eigenschaft, das heisst, um die Stetigkeit an einer bestimmten Stelle x 0 zu überprüfen, reicht es die Einschränkung der Funktion auf ein passendes abgeschlossenes Intervall um x 0 zu untersuchen Folgerung Die Wurzelfunktionen n (n N) und die Arcusfunktionen arcsin, arccos und arctan sind stetig. Dabei versteht man üblicherweise unter arcsin die Umkehrung der Sinusfunktion auf dem Abschnitt [ π, π ] und unter arccos die Umkehrung der Cosinusfunktion auf 2 2 dem Abschnitt [0, π].

3 2.4. Wichtige elementare Funktionen Wichtige elementare Funktionen Aus dem Vorrat der rationalen Funktionen, der trigonometrischen Funktionen, sowie der Exponentialfunktionen kann man durch Verknüpfung mithilfe der Grundrechenarten, durch Umkehrung, sowie durch Zusammensetzung neue Funktionen bilden. Dabei ist der Definitionsbereich eventuell geeignet zu verkleinern. Die so gebildeten Funktionen sind, die wie im vorigen Kapitel schon erwähnt, alle stetig. Man bezeichnet sie als elementare Funktionen. Einige wichtige elementare Funktionen werden wir uns jetzt genauer anschauen. Eine harmonische Schwingung wird durch eine Funktion der Form f(t) = Asin(ωt+ϕ) (t R) beschrieben. Dabei ist A > 0 die Amplitude, ω > 0 die Frequenz und ϕ die Phasenverschiebung der Schwingung. Zum Beispiel könnte f(t) die vertikale Auslenkung einer schwingenden Saite zum Zeitpunkt t angeben. Auch die Auslenkung einer Feder durch eine daran befestigte Masse wird durch eine solche Funktion beschrieben. Das exponentielle Wachstum oder auch der radioaktive Zerfall werden durch eine Exponentialfunktion beschrieben. Dazu müssen wir erst etwas ausholen. Ist a R,a > 1 vorgegeben, so definiert man die Exponentialfunktion a x zur Basis a zunächst rekursiv für natürliche Exponenten: a 0 := 1, a 1 := a, a n+1 = a a n für n N. Dann dehnt man die Definition auf negative ganze Zahlen aus: a n := 1 a n für n N. Durch vollständige Induktion ergibt sich das bekannte Potenzgesetz: a n+m = a n a m für alle n,m Z. Und schliesslich setzt man für rationale Exponenten fest: a p/q := ( q a) p für p Z,q N. Diese Festlegung hängt nicht davon ab, wie der rationale Exponent dargestellt ist. Dennangenommen p = p,so ist ( q a) p = ( q q q a) p,wie manmithilfe der Potenzgesetze für ganze Exponenten und der Eindeutigkeit der Wurzeln zeigen kann. Ausserdem gilt a p/q > 1 für alle p,q N. Denn da die Funktion f p :x x p und die Funktion g q :x q x (für positive x) beide streng monoton wachsend sind, folgt aus a > 1 zunächst q a > q 1 = 1 und dann a p/q = ( q a) p > 1, wie behauptet. Die Potenzgesetze gelten auch für beliebige rationale Exponenten. Die Exponentialfunktion lässt sich sogar auf beliebige reelle Exponenten fortsetzen. Dazu halten wir zunächst fest, dass die Exponentialfunktion zur Basis a als

4 38 Kapitel 2. Differentialrechnung in einer Variablen Funktion auf der Menge der rationalen Zahlen Q Q >0, x a x, streng monoton steigend ist. Denn da a r > 1 für alle r Q >0, folgt mit dem Potenzgesetz für rationale Exponenten: x < y a x < a x a y x = a x+y x = a y für alle x,y Q. Deshalb ist es sinnvoll, für x R \ Q zu definieren: a x := sup{a t t Q,t < x}. Das Supremum existiert, weil die Potenzfunktion streng monoton wachsend ist, und daher die Menge {a t t Q,t < x} zum Beispiel durch a n nach oben beschränkt ist, wenn n eine natürliche Zahl ist, die grösser als x ist. Für jede reelle Zahl a > 1 erhalten wir eine streng monoton wachsende Funktion exp a :R R >0,x a x,dieaufganzrdefiniert istundnurpositivewerteannimmt. Für beliebige Exponenten gilt das bekannte Potenzgesetz: a 0 = 1 und a x+y = a x a y für alle x,y R. Ausserdem ist (a x ) y = a x y x,y R. Man kann beweisen, dass die so definierte Exponentialfunktion stetig ist und es gilt x ax = und x ax = 0. Eine besonders wichtige Rolle spielt die Exponentialfunktion zur Basis e, der sogenannten Eulerschen Zahl. Man verwendet hier die Notation exp(x) := e x. Wie bereits erwähnt, können wir e definieren durch e := n (1+ 1 n )n und e x = n (1+ x n )n für x R. Ausserdem gilt: e = k=0 1 k! und e x = Mithilfe der Exponentialfunktion können wir, wie schon erwähnt exponentielles Wachstum, aber auch Abklingvorgänge beschreiben. Zum Beispiel wird der Zerfall einer radioaktiven Substanz durch k=0 f(t) = K 0 e λt (t 0) beschrieben. Dabei ist t die Zeit, K 0 bezeichnet die zum Zeitpunkt t = 0 vorliegende Menge und λ > 0 ist die Zerfallsrate. Ein Wachstumsprozess, bei dem eine Sättigung eintritt, lässt sich durch eine Funktion der folgenden Form modellieren: x k k!. f(t) = a(1 e λt )+b (t 0). Hier handelt es sich um eine monoton steigende Funktion, die zum Zeitpunkt t = 0 mit dem Wert b startet und für t gegen den Grenzwert a+b hat.

5 2.4. Wichtige elementare Funktionen 39 Eine Kombination von Sinus und Exponentialfunktion wird verwendet, um gedämpfte Schwingungen darzustellen: f(t) = Ae λt sin(ωt+ϕ) (t 0). Hier ist λ > 0 eine Dämpfungsrate, und der Faktor e λt sorgt für eine allmähliche Abnahme der Amplitude der Schwingung, während die Frequenz unverändert bleibt. Die Exponentialfunktion exp a :R R >0 für eine Basis a > 1 ist bijektiv und daher umkehrbar. Die Umkehrfunktion nennt man den Logarithmus log a zur Basis a. Die Funktion log a :R >0 R ist nur definiert für positive Zahlen und es gilt: a log a (y) = y und log a (a x ) = x für alle x R, y R >0. Die Logarithmusfunktion ist als Umkehrfunktion einer stetigen Funktion auch wieder stetig. Der Logarithmus zur Basis e ist der sogenannte natürliche Logarithmus, den wir mit log e = ln bezeichnen. Durch Umkehrung der Potenzgesetze ergibt sich für Logarithmen folgendes Gesetz: log a (1) = 0 und log a (x y) = log a (x)+log a (y) für alle x,y R >0. Ausserdem ist log a (a) = 1 und log a (x y ) = y log a (x) x,y > 0. Die Logarithmusfunktion ist streng monoton wachsend und es gilt: log a(x) = und log a (x) =. x x Bemerkung Der Zusammenhang zwischen den verschiedenen Exponentialfunktionen ist folgender: Für jede Basis a > 1 gilt: a x = e xlna für alle x R. Beweis. Dies folgt aus den Rechenregeln für Potenzen, denn für x R gilt e xln(a) = e ln(a)x = (e ln(a) ) x = a x wie behauptet. q.e.d.