2. VEKTORANALYSIS 2.1 Kurven Definition: Ein Weg ist eine stetige Abbildung aus einem Intervall I = [a; b] R in den R n : f : I R n

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1 2. VEKTORANALYSIS 2.1 Kurven Definition: Ein Weg ist eine stetige Abbildung aus einem Intervall I = [a; b] R in den R n : f : I R n f ist in dem Fall ein Weg in R n. Das Bild f(t) des Weges wird als Kurve in R n bezeichnet. f(a) ist Anfangspunkt und f(b) der Endpunkt der Kurve. Eine geschlossene Kurve liegt vor für f(a) = f(b). Anmerkung: Wir beschränken uns, wenn nicht anders gekennzeichnet, auf Wege innerhalb des R n, nicht C n.) 1

2 Parameterdarstellung der Kurve: Eine stetige Funktion x(t) = x 1 (t) x 2 (t) x n (t) des Parameters t I und I R wird als Parameterdarstellung der Kurve f(t) bezeichnet. Beispiele: a) Parabel: x R t R 2 ( t, at 2 ) Dieser Parametergleichung entspricht den beiden Gleichungen: x = t y = at² 2

3 Beispiele: b) Ellipse: x [ 0, 2π ] t R 2 (a cos (t), b sin (t) ) x = a cos (t) y = b sin (t) x2 a 2 + y2 b 2 = 1(Ellipsengleichung) Für a = b erhält man die Parameterdarstellung eines Kreises mit dem Radius r = a. 3

4 Ein und dieselbe Kurve kann verschiedene Parameterdarstellungen (Wege) haben: Zwei Parameterdarstellungen x 1 : I 1 R n und x 2 : I 2 R n beschreiben dieselbe Kurve, wenn es eine stetige, monoton steigende Funktion g gibt mit x 1 (t) = x 2 (g(t)) Beispiel: x 1 (t) = R t R 2 (t, at 2 ) x 2 (t) = R t 3 R 2 (t 3, at 6 ) g(t) = t³ 4

5 Die Parameterdarstellung einer Kurve wird auch als Vektordarstellung bezeichnet: x 1 (t) x (t) = x 1 (t) e x + x 2 (t) e y + x 3 (t) e z = x 2 (t) x 3 (t) Hierbei sind e x, e y und e z die Einheitsvektoren eines kartesischen Koordinatensystems:. e x = 1 0 0, e y = 0 1 0, e z =

6 Eigenschaften einer Kurve: Es sei I R ein Intervall und x (t) = Parameterdarstellung einer Kurve. x 1 (t) x 2 (t) x n (t) für alle t I eine 1. Die Kurve x (t) ist genau dann stetig, wenn alle x i (t) stetig sind. 2. Die Kurve x (t) ist auf dem Intervall I differenzierbar, wenn alle x i (t) auf I differenzierbar sind. 3. Die erste Ableitung x (t) ist gegeben zu x (t) = x 1 t) x 2 (t) x n (t). 6

7 4. Analog heißt eine Kurve n-fach differenzierbar, wenn alle x i (t) auf I n-fach differenzierbar sind. 5. Die n-te Ableitung ist gegeben zu x (n) (t) = x 1 n x 2 n x n n t t t. 7

8 2.2 Vektorielle Darstellung einer Kurve Die Parameterdarstellung einer ebenen Kurve C in einem kartesischen Koordinatensystem laute: C: x = x(t) und y = y(t) mit t [ t 1 ; t 2 ] Der zum Parameterwert t gehörige Kurvenpunkt P( x(t),y(t) ) ist dann eindeutig durch seinen Ortsvektor r(p) = x(t) e x + y(t) e y = x(t) = r(t) gegeben. y(t) 8

9 2.2 Vektorielle Darstellung einer Kurve Allgemein wird ein von einem reellen Parameter t abhängiger Vektor a = a(t) mit a x (t) a = a(t) = a x (t) e x + a y (t) e y + a z (t) e z = a y (t) ; t [ t 1 ; t 2 ] a z (t) als Vektorfunktion des Parameters t bezeichnet. Die Vektorkoordinaten sind dabei reelle Funktionen des Parameters t: a x = a x (t); a y = a y (t); a z = a z (t). 9

10 2.2.1 Tangentenvektor Die Differentiation eines parameterabhängigen Ortsvektors a(t) nach dem Parameter t erfolgt komponentenweise und führt wiederum zu einem Vektor, der als Tangentenvektor bezeichnet wird: z.b. Tangentenvektor einer Raumkurve d dt a = a (t) = a x(t) e x + a y(t) e y + a z(t) e z = a x(t) a y(t) a z(t) ; t [ t 1 ; t 2 ] Der Tangentenvektor a (t) liegt in der Kurventangente (daher stammt auch die Bezeichnung) und zeigt in die Richtung, in die sich der Kurvenpunkt P mit wachsendem Parameterwert t bewegen würde. 10

11 Ableitungsregeln für Summen und Produkte von Vektoren Seien a(t), b(t) differenzierbare Vektorfunktionen und φ(t) eine differenzierbare Skalarfunktion, dann gelten folgende Regeln der Differentiation: d { a + b} = a + b dt d { a b} = a b + a b dt d { a b} = a b + a b dt d dt { φ b} = φ b + φ b Summenregel Produktregel für Skalarprodukt Produktregel für Vektorprodukt Produktregel für skalare Multiplikation 11

12 2.2.2 Bogenlänge einer Kurve Liegt die Kurvengleichung in der expliziten Form y = f(x) vor, so gilt für die Länge des Bogens vom Kurvenpunkt P1 bis zum Kurvenpunkt P2 die Formel b a 2 s = 1 + (y ) 2 dx. Die Kurve kann man auch durch einen Ortsvektor beschreiben: r(t) = x(t) e x + y(t) e y = x(t) y(t) mit t [ t 1, t 2 ] r(t) 12

13 Bogenlänge einer Kurve Zwischen der Tangentensteigung y und den Ableitungen x und y von r(t) besteht der Zusammenhang y = y x. b a 2 s = 1 + (y ) 2 dx = b a 2 t 2 2 x ²+y ² x ² dx = t 2 b a 2 = 1 + ( y x ) 2 dx 2 x ²+y ² dx dt = t 1 x ² dt = x ² + y ² dt = r dt t 1 t 2 t 1. 2 t 2 t 1 x ²+y ² x x dt Das Differential der Bogenlänge s lautet daher 2 ds = x ² + y ² dt = r dt und wird als Bogen- oder Linienelement, auch Bogendifferential bezeichnet. 13

14 Bogenlänge einer Raumkurve Bei einer Raumkurve erweitert sich die Integralform entsprechend um die 3.Dimension ( hier z ) t 2 2 s = x ² + y ² + z ² dt = r dt t 1 t 2 t 1. Das Differential der Bogenlänge s lautet daher 2 ds = x ² + y ² + z ² dt = r dt 14

15 2.3 Parameterdarstellung von Geraden und Ebenen Parameterdarstellung einer Geraden g(t) durch den Punkt x 0 P 0 (x 0, y 0, z 0 ) : g (t) = y 0 + t a ( = r 0 + t a = r(t) ) z 0 a ist Vektor, der parallel zu g (t) ist. Beispiel: Die Parameterdarstellung der Tangente g (s) an die Kurve x(t) für t = t 0 lautet: g (s) = x(t 0 ) + s x 0 (t 0 ) 15

16 2.3 Parameterdarstellung von Geraden und Ebenen Parameterdarstellung einer Ebene: Für die Parameterdarstellung einer Fläche im R³ werden 2 Parameter benötigt. Das einfachstes Beispiel hierfür ist eine Ebene. Eine Ebene im R³ wird von zwei linear unabhängigen Vektoren a und b aufgespannt. Parameterdarstellung einer Ebene h (r,s), die den Punkt P 0 (x 0, y 0, z 0 ) enthält, x 0 h(r,s) = y 0 z 0 + r a + s b P 0 (x 0, y 0, z 0 ) enthält, h(r,s) = r 0 + r a + s b 16

17 Tangentialebene: Eine Fläche im R³, die durch die Funktion f(x,y) = z beschrieben wird, kann am Punkt P 0 (x 0, y 0, z 0 ) durch die Tangentialebene approximiert werden (vgl. Mathe I). Parameterdarstellung der Tangentialebene durch P 0 (x 0, y 0, z 0 ) h(r,s) = x 0 y 0 z 0 + r 1 0 f x + s 0 1 f y Herleitung: Das totale Differential dz lautet: dz = f x dx + f y dy f x dx beschreibt die Änderung von z in x-richtung, f y dy beschreibt die Änderung von z in y-richtung. 17

18 Normalenvektor Ebenen werden gerne durch einen Normalenvektor n beschrieben. n steht senkrecht zu allen Vektoren innerhalb der Ebene. Vorteil: Die Orientierung der Ebene im Raum kann durch einen einzigen Vektor beschrieben werden. Für eine Tangentialebene gilt: 1 n = 0 f x x 0 1 f y => n = f y f x 1. 18

19 2.4 Skalar- und Vektorfelder Ein Skalarfeld ist eine Abbildung, die jedem Punkt im Raum einen Skalar zuordnet. Definition Es sei m 2 und A R m. Eine Abbildung U : A R wird als Skalarfeld bzw. skalares Feld bezeichnet. Beispiele: Temperatur Potential einer Ladung Dichte Luftdruck Mathematisch gesehen entspricht ein Skalarfeld einer Funktion von m Variablen: U = U(x 1, x 2,, x m ). 19

20 Wichtige Skalarfelder: 1. Ebenes Feld: U(x, y, z) = U 0 = constant 2. Zentralsymmetrisches Feld: U(x,y,z) = V( x² + y² + z²) =V(r) Beispiel: Potential einer Punktladung mit U(x,y,z) = 3. Axialsymmetrisches Feld: q 1 4πε 0 r U(x,y,z) = V( x² + y²) =V(r) 20

21 2.4 Skalar- und Vektorfelder Niveauflächen: Als Niveauflächen eines Skalarfeldes U(x,y,z) bezeichnet man die Flächen, auf denen der Wert von U konstant ist. Entsprechend spricht man von Niveaulinien für U(x,y). Stationäre Skalarfelder: In der Realität ist es durchaus nicht selten, dass U von der Zeit abhängt: U(t) = U( x(t), y(t), z(t) ). Beispiel 1: Änderung der Temperatur in der Umgebung einer Herdplatte, die gerade eingeschaltet worden ist. Beispiel 2: Meerestemperatur Bei einem Skalarfeld beschränkt man sich auf zeitunabhängige (stationäre) Phänomene. 21

22 2.4 Skalar- und Vektorfelder Ein Vektorfeld ist eine Abbildung, die jeden Punkt eines Raumes einen Vektor zuordnet. Definition: Es sei m 2 und A R m. Eine Abbildung V: A R m wird als Vektorfeld bezeichnet. Beispiel: allgemeines Vektorfeld im R³ V 1 (x,y,z) V (x,y,z) = V 2 (x,y,z) V 3 (x,y,z) 22

23 Beispiele: Elektrische Feld Geschwindigkeit der Teilchen einer strömenden Flüssigkeit Darstellungen eines Vektorfeldes: Feldlinien Vektorschar 23

24 Elektrische Feld In der Chemie befasst man sich mit Elektronen im Feld von Atomkernen. Im weiteren werden wir daher das elektrische Feld näher betrachten: Eine positive Punktladung q 1 = Z e führt in ihrer Umgebung zu einem elektrischen Feld. q 1 sei im Ursprung des Koordinatensystems ( Protonen im Atomkern ). Auf eine negative Punktladung q 2 = 1 (-e) ( Hüllelektron ) wirkt eine zum Ursprung gerichtete Kraft F. Nach dem Coulomb-Gesetz gilt: ( F ~ - q i F = - 1 q 1 q 2 4πε 0 r² e r r ) ε 0 (Material-) Konstante, r Abstand zwischen q 1 und q 2 e r = r r Einheitsvektor, der von q 1 nach q 2 zeigt 24

25 Wenn q 2 die Koordinaten x, y, z hat, gilt: F hängt vom Ort x, y, z (Abstand r) und der Ladung q 2 ab. Die Ladung q 2 ist in der Regel konstant. Wir betrachten den Fall q 2 = -1 (z.b. für ein Elektron). Über das Coulomb-Gesetz wird jedem Punkt im Raum ein Vektor F zugeordnet. Es liegt ein Vektorfeld E vor. Elektrische Feld E = - q 1 4πε 0 1 r 2 e r. Die Niveauflächen von dem elektrische Feld E sind Kugelschalen mit dem Radius r 0 = r. Bild Uni Graz 25

26 Elektrisches Feld und Skalarfeld: Dem elektrische Feld E(r) kann ein Skalarfeld W(r) zugeordnet werden, wenn man die Arbeit W betrachtet, die benötigt wird um eine Ladung q 2 im Raum zu bewegen. Da lim r E(r) = 0, wird r = als Bezugspunkt (Nullpunkt) gewählt. Betrachtet wird per Definition eine positive Elementarladung: q 2 = 1. Zentralsymmetrische Potential: Es wird nur der Abstand r betrachtet. W(r) ist die Arbeit, die erforderlich ist, um die Punktladung q 2 von r 1 = nach r zu bringen. W(r) ist unabhängig vom Weg. Jedem Punkt r im Raum wird ein Skalar W(r) zugeordnet. 26

27 2.5 Gradient Gradient Am Beispiel des elektrischen Feldes haben wir gesehen, dass ein enger Zusammenhang zwischen Skalarfelder und Vektorfeldern besteht. In diesem Abschnitt wird eine Funktion vorgestellt, die einem partiell differenzierbaren Skalarfeld U(x, y, z) ein Vektorfeld V (x, y, z) zuordnet. Das Vektorfeld soll die Änderung von U bei einer Bewegung vom Ort r = (x, y, z) zum Ort r + d r beschreiben. Voraussetzung hierzu ist, dass U(x, y, z) partiell differenzierbar ist. 27

28 1. Wie ändert sich der U(x, y, z) bei einer kleinen Bewegung im Raum? x Betrachtet wird zunächst eine kleine Bewegung um r = y z Es gilt: U(x + x, y + y, z + z) = U(x, y, z) + U U = U(x+ x, y+ y, z+ z) - U(x, y, z) 2. U(x+ x,y+ y,z+ z) kann durch eine Taylorentwicklung approximiert werden U(x + x, y + y, z + z) U(x, y, z) + U U U x + y + x y z U(x + x, y + y, z + z) - U(x, y, z) = U U U x x + U y y + U z z z + 28

29 3. Beim Übergang von einer kleinen Änderung r zu einer dx beliebig kleinen (infinitesimalen) Änderung dr = dy dz gilt: U du U U U dx + dy + x y z du U x dx +U y dy + U z dz Die gleichen Überlegungen führten in Mathematik 1 bei der Herleitung des totalen Differentials zum selben Ergebnis. du ist das totale Differential der Funktion U(x,y,z). An dieser Stelle soll das totale Differential im Rahmen der Vektoranalysis behandelt werden. 29

30 3. Beim Übergang von einer kleinen Änderung r zu einer dx beliebig kleinen (infinitesimalen) Änderung dr = dy dz gilt: U du du U x dx + U y dy + U z dz U x dx +U y dy + U z dz Skalarprodukt 30

31 dr = dx dy sei der Vektor, der eine beliebig kleine Änderung im dz R³ beschreibt. Für die Änderung du eines partiell differenzierbaren Skalarfeldes U(x,y,z) bei einer Bewegung in Richtung dr gilt: U du = x U y U z dx dy dz. Das totale Differential du entspricht dem Skalarprodukt von dr mit einem Vektor, der die 1.partiellen Ableitungen von U nach x, y bzw. z enthält. 31

32 du = U x U y U z dx dy dz Dieser Vektor wird als Gradient von U bezeichnet. Schreibweise: grad U. U grad U = x U y U = U x U y U z. z 32

33 Verallgemeinerung auf den R n Gegeben sei ein skalares Feld U(x 1, x 2,, x n ), dessen partielle Ableitungen U xi für alle x i existieren. Der Gradient von U, grad U, ist ein Vektor des R n, der gegeben ist zu: U x1 grad U = U x2 U xn = U x1 e x1 +U x2 e x U xn e xn Das totale Differential du ist das Skalarprodukt von grad U mit dr: U x1 dx 1 U du = x2 dx 2 = grad U dr U xn dx n Bem.: Die Menge der Gradienten von U bilden ein Vektorfeld. 33

34 Nabla-Operator: Für die Beschreibung des Gradienten wird gerne der sogenannten Nabla-Operator verwendet. Der Nabla-Operator ist ein vektorartiger Operator des R n. Komponenten sind die partiellen Ableitungsoperatoren x i. Als Symbol verwendet man oder = x y z im R 3 bzw. = x 1 x 2 x n im R n 34

35 In Kugelkoordinaten lautet der Nabla-Operator: = e r r + 1 r e θ θ + 1 r sinθ e φ Die Vektoren e r, e θ und e φ sind die Einheitsvektoren in Kugelkoordinaten. Die Anwendung des Nabla-Operator auf ein Skalarfeld ergibt das Vektorfeld der Gradienten: φ U = grad U ( = grad U ) 35

36 Eigenschaften des Gradienten: Für das totale Differential du gilt: du = grad U dr = < grad U, dr > = grad U dr cos (φ) Hierbei ist φ der Winkel zwischen gradu und dr. du wird maximal, wenn cos (φ) = 1 mit φ = 0, d.h. wenn dr parallel zu grad U ist. Der Vektor grad U zeigt daher in Richtung des größten Anstieges von U. Bei einer Bewegung entlang einer Niveaufläche gilt: du = 0 => grad U dr = 0 grad U dr d.h. der Gradient steht in jedem Punkt P senkrecht zu der Niveauflächen durch P. 36

37 Beispiel: Das Skalarfeld U(x,y,z) ist gegeben zu U = x² + y² + z². gradu = 2x 2y 2z Speziell: grad U(1,2,3) = = 2 r mit r = = x y z Die Niveauflächen von U stellen Kugelschalen um den Ursprung mit dem Radius r = x² + y² + z² dar. 37

38 Beispiel 2: Elektrisches Potential einer Punktladung q 2 = -1 im Abstand r von der positiven Punktladung q 1 = 1. (q 1 liege im Ursprung, d.h. x 0 = 0, y 0 = 0, z 0 = 0): Das Skalarfeld U(r) lautet U(r)= - q 1 4πε 0 1 r = - q 1 4πε 0 1 r = U(r) = - q 1 4πε 0 1 (x x 0 )² + (y y 0 )² + (z z 0 )² = - q 1 4πε 0 1 x² + y² + z² 38

39 Beispiel 2: Elektrisches Potential einer Punktladung U(r)= - q 1 1 4πε 0 r U(r) = - q 1 4πε 0 1 x² + y² + z² mit r = x² + y² + z² Die Berechnung des Gradienten grad U(r) liefert U = U = q 1 4πε 0 x y z (- q 1 4πε 0 1 x² + y² + z² x x² + y² + z² y x² + y² + z² z x² + y² + z² = q 1 4πε 0 ) x r³ y r³ z r³ 39

40 Beispiel 2: Elektrisches Potential einer Punktladung U(r)= - q 1 1 4πε 0 r U(r) = - q 1 4πε 0 1 x² + y² + z² U = U = q 1 4πε x x² + y² + z² y x² + y² + z² z x² + y² + z² q 1 4πε 0 1 r² e r mit e r = = q 1 4πε 0 x r y r z r mit r = x² + y² + z² = 1 r x r³ y r³ z r³ x y z =. q 1 1 4πε 0 r² x r y r z r 40

41 Beispiel 2: Vergleich : Elektrische Feld E = - q 1 4πε 0 1 r 2 e r mit U = q 1 4πε 0 1 r² e r Bis auf einen Faktor von -1 ist dies das elektrische Feld. => Das Elektrisches Feld kann als der negativer Gradient des elektrischen Potentials beschrieben werden: E = - U = grad U. Bitte beachten: Bei einem zentralsymmetrischen Problem wird auch in kartesischen Koordinaten sehr gerne die Abkürzung r = x² + y² + z² verwendet. Wenn partielle Ableitungen berechnet werden, muss man in dem Fall daran denken, dass r von x, y und z abhängt. 41

42 Richtungsableitung: Der Gradient grad U zeigt in die Richtung der maximalen Änderung von U. Die Richtungsableitung U a Richtung des Vektor a: U a Beispiel: U(x,y) = x² + y² gradu = 2 x y beschreibt die Änderung von U in a = (grad U ). a Die Richtungsableitung in Richtung a = 2 0 : U a = grad U = 2x. 42

43 Rechenregeln: grad c = 0, wenn c eine Konstante ist. grad c U = c grad U grad ( U + V ) = grad U + grad V grad (U+c) = grad U grad ( U V ) = U grad V + V grad U Rechenregeln: c = 0, wenn c eine Konstante ist. c U = c U ( U + V ) = U + V (U+c) = U ( U V ) = U V + V U 43