3. Lineare Algebra (Teil 2)

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1 Mathematk I und II für Ingeneure (FB 8) Verson / Lneare Algebra (Tel ) Parameterdarstellung ener Geraden Im folgenden betrachten wr Geraden m eukldschen Raum n, wobe uns hauptsächlch de Fälle n bzw n nteresseren werden Defnton : Mt n bezechnen wr de Menge aller geeordneten n-tupel (x,x,,x n ) mt x,,,,n In der Mengenschrebwese: n {(x,x,,x n ): x,,,,n } Nun gbt es verschedene Möglchketketen ene Gerade g m n durch ene mathematsche Glechung zu beschreben Betrachten wr zunächst de Punkt-Rchtungs-Glechung und Zwe-Punkte-Glechung ener Geraden, de man auch bede als Parameterdarstellung bezechnet We man sch lecht vorstellen kann, st ene Gerade g m Raum bestmmt entweder durch enen sog Anheftungsvektor a und enen Rchtungsvektor c oder zwe Punkte (Vektoren) a und b (s Abb ) Abb Punkt-Rchtungs-Form und Zwe-Punkte-Form ener Geraden g We wr der Abb entnehmen können, st de Zwe-Punkte-Form ener Geraden g auf de Punkt-Rchtungs-Form zurückzuführen, wobe für den Anheftungsvektor c glt: c b - a -

2 Mathematk I und II für Ingeneure (FB 8) Verson / Defnton : En Punkt x legt genau dann auf der Geraden g mt dem Anheftungsvektor a und dem Rchtungsvektor c, wenn es ene Zahl t gbt, so dass de Punkt- Rchtungs-Glechung () x a t c, t erfüllt st Bemerkung : De n () auftretenden Varable t nennt man enen Parameter; zu jedem Parameter t t 0 gehört genau en Punkt x 0 auf der Geraden g mt a t c x 0 0 Umgekehrt gehört natürlch zu jedem Punkt x 0 auf der Geraden g en Parameter t 0, so dass de obge Glechung erfüllt st Defnton : En Punkt x legt genau dann auf der Geraden g durch de Punkte a und b, wenn es ene Zahl t gbt, so dass de Zwe-Punkte-Glechung () x a t (b a) erfüllt st Da (,x ) x x,,x n, a (a,a,,a n ), b (b,b,,b n ) und c (c,c,,c n ) erhalten wr jewels de n Glechungen () x a tc, t (,,,n) Punkt-Rchtungs-Glechung (4) x a t(b a ), t (,,,n) Zwe-Punkte-Glechung Bemerkung : Jede der Formeln () - (4) nennt man ene Parameterdarstellung von g Bespel : De Gerade g mt dem Anheftungsvektor a (,0,-) und dem Rchtungsvektor c (,,) hat ene Parameterdarstellung (Punkt-Rchtungs-Form): -

3 Mathematk I und II für Ingeneure (FB 8) Verson / In Komponenten lautet se: ( x,x,x ) (, 0, ) t(, ) x, t, x t, x t, x t Zu den Parameterwerten t, t -, t 5 gehören de Geradenpunkte x (,,), x (0,, ) und x (6,5,9) Demnach bestzt g ebenfalls de Parameterdarstellung (Zwe-Punkte-Form): In Komponenten: ( x,x,x) (,, ) t[ ( 6, 5, 9) (,, )] (,, ) t( 4, 4, 8) x, t x 4t, x 4t, x 8t -

4 Mathematk I und II für Ingeneure (FB 8) Verson / De Koordnatenglechungen ener Geraden m IR Lösen wr jede der Glechungen aus (4) für n nach t auf, so erhalten wr: x b a a t, b a Durch Glechsetzen der Ausdrücke für,, erhalten wr ene parameterfree Darstellung ener Geraden m IR : Koordnatenglechungen der Geraden g durch de Punkte a und b x a x a x a (), falls a b (,,) b a b a b a x a x a (), x a, falls b a, a b (,) b a b a, analog m Fall b a,b a,b a bzw b a,b a,b a x a () x a, x a,, falls b a,b a,b a, b a analog m Fall b a,b a,b a bzw b a,b a,b a Bemerkung : Analoge Koordnatenglechungen können auch für de Raumdmensonen n bzw n > aufgestellt werden Aus der parameterfreen Zwe-Punkte-Form für g fndet man über t x b a a mt enem Index für den b a glt, zur Parameterform () zurück Bespel : () De Gerade x 4 9t, x, x t, t hat de Koordnatenglechungen - 4

5 Mathematk I und II für Ingeneure (FB 8) Verson / x 9 x, 4 x und de geschlossene Parameterdarstelllung x ( 4,, ) t( 9, 0, ) x x () De Gerade, x bestzt de Parameterdarstellung x 5t, x 7t, x 4, also: x (,, 4) t( 5, 7, 0) - 5

6 Mathematk I und II für Ingeneure (FB 8) Verson / De Momentenglechung ener Geraden m IR De Momentenglechung st nsbesondere dann zweckmäßg, wenn g de Wrkungslne der Kraft c st, de bezüglch enes Punktes a das Moment m a c bestzt Da wr das Vektorprodukt m benutzen, glt das folgende nur für de Raumdmenson n Defnton : De Momentenglechung der Geraden g durch a n Rchtung c (s Abb ) lautet: () x c m mt m a c Abb Gerade g durch a längs c mt Lotvektor s Satz : Der Vektor ( c ( a c) ) ( c m) s st der Lotvektor vom Ursprung des Ko- c c ordnatensystems auf de Gerade g und demnach st c x ( c m) tc ene Parameterdarstellung der durch de Momentenglechung () dargestellten Gerade g Bespel : De Gerade g se gegeben durch de Momentenglechung ( x,x,x ) (,, ) (, ), - 6

7 Mathematk I und II für Ingeneure (FB 8) Verson / Dann st s 4 4 ((,, ) (,, )) ( 5, 4, ) der Lotvektor vom Ursprung O des Koordnatensystems auf de Gerade g Demnach lautet de Parameterdarstellung von g: 5 x,, t (,, ) - 7

8 Mathematk I und II für Ingeneure (FB 8) Verson / Abstand Punkt-Gerade Wr defneren zunächst allgemen den Abstand enes Punktes u n zu ener Geraden g bevor für den Fall n ene enfache Formel mt Hlfe des Vektor-produktes angegeben wrd Defnton 4: Se g : x a tv n ene Gerade und u n, so st für jeden Punkt x der Geraden g der Abstand d(u, x ) x - u erklärt, und wr defneren: d(u,g) : mn { d(u, x ) x g } Bemerkung 4: Mt dem Satz des Pythagoras zegt man, dass der senkrechte Abstand, dh das Lot von u auf de Gerade g, der kürzeste st En Lotvektor s steht dann senkrecht auf der Geraden g, wenn der Wnkel η zwschen dem Rchtungsvektor v und dem Lotvektor s 90 beträgt; dh wenn glt cos( η ) 0 Wegen v s v s cosη muss also für den Lotvektor und den Anheftungsvektor gelten: v s 0 We fnden wr nun den Lotvektor s? Dazu betrachten wr enen belebgen Vektor w, der von der Geraden g zum Punkt u zegt (s Abb 4) Deser Vektor läßt sch darstellen als w u (a tv) Um den Lotvektor zu konstrueren, müssen wr somt en t s fnden mt t ( u ( a v) ) v 0 s Lösen wr dese Glechung nach t s auf, so erhalten wr: u v a v t s v Der Lotvektor st demnach gegeben durch: Abb 4 Lotvektor - Abstand Punkt-Gerade - 8

9 Mathematk I und II für Ingeneure (FB 8) Verson / ( ) u v a v s u a t v u a v s v Also glt de allgemene Formel: Abstand Punkt u Gerade g : x a tv m n d g (, ) u v a v s u a v v u Bespel 4: Wr berechnen den Abstand des Punktes u (5,-,6) von der Geraden g: x (,,) t(,-,0) d u,g ( ) u v a v u a v v ( 5,,6) (,,) ( 5,,6) ( 9/, 5/,) ( 5,,6) (,,0) (,,) (,,0) (,,0 ) ,746 Satz 4: Se g : x a tv ene Gerade und u, dann glt: ( a - u) v d ( u,g) v Merke! Dese Formel glt nur für den dredmensonalen Raum; also n - 9

10 Mathematk I und II für Ingeneure (FB 8) Verson / Bespel 4: Der Abstand des Punktes u (5,-,6) von der Geraden g: x (,,) t(,-,0) beträgt: d u,g ( ) ((,,) ( 5,,6) ) (,,0) ( 4,, 4) (,,0) 5 8,746 Das gleche Ergebns leferte auch de allgemene Formel n Bespel 4-0

11 Mathematk I und II für Ingeneure (FB 8) Verson / Abstand Gerade-Gerade Betrachten wr zunächst we Geraden m Raum zuenander legen können Dabe müssen wr de Fälle n und n > unterscheden In zwe Raumdmensonen können zwe Geraden entweder parallel zuenander legen oder sch schneden Ist de Raumdmenson größer oder glech dre, dann kommt noch de Möglchket hnzu, dass zwe Geraden weder parallel zuenander legen noch sch schneden Dese möglch Lage zweer Geraden zuenander nennen wr wndschef Es gbt nun ene enfache Möglchket herauszufnden, ob zwe Geraden parallel snd Dazu führen wr de folgenden Begrffe en Defnton 5: () Zwe Vektoren a, b IR n heßen lnear abhängg, wenn es en λ gbt, mt a λb () Zwe Vektoren a, b n heßen lnear unabhängg, wenn es ken solch en λ gbt Anders ausgedrückt heßt das, dass de enzge Möglchket, den Nullvektor als Summe 0 λ a µ b zu schreben, de "trvale" Möglchket mt λ µ 0 st Bemerkung 5: Snd zwe Vektoren a und b lnear abhängg, so legen se parallel zuenander Satz 5: Seen g : x a tv und g : x a tv Geraden m n, dann glt: n : v,v lnear abhängg g und g snd parallel v,v lnear unabhängg g und g schneden sch n > : v,v lnear abhängg g und g snd parallel v,v lnear unabhängg g und g schneden sch oder legen wndschef zuenander Defnton 5: Seen g : x a tv und g : x a tv Geraden m IR n, so st für jeden Punkt x g und jeden Punkt x g der Abstand d( x, x ) x - x erklärt und wr defneren: -

12 Mathematk I und II für Ingeneure (FB 8) Verson / d(g,g ) : mn{d( x, x ) x g, x g } Bemerkung 5: () Wenn sch zwe Geraden schneden, so glt natürlch d(g,g ) 0 () Klar st, dass das Lot von g : x a λv auf g : x a µ v der kürzeste Abstand st Wr müssen also enen Lotvektor (5) (a λ v ) (a µ v ) s fnden, der senkrecht auf beden Geraden steht Das führt zu dem Glechungssystem v 0 v 0 (a a ) v (a a ) v ((a λv ) (a µ v )) ( (a λv ) (a µ v )) µ v v λ v µ v λv v Mt desem Glechungssystem werden λ und µ ermttelt und n der Glechung (5) engesetzt Der Abstand der beden Geraden st dann gegeben durch d(g,g ) s We bem Abstand Punkt-Gerade m erhalten wr auch her ene enfachere Formel, de auf dem Vektorprodukt dredmensonaler Vektoren basert Satz 5: Seen g : x a tv und g : x a tv Geraden m IR, dann st der Abstand deser Geraden gegeben durch () ( g, ) () ( g, ) ( a a ) v d g, falls de Geraden parallel snd v ( a a ) ( v v ) d g v v, falls v v 0 -

13 Mathematk I und II für Ingeneure (FB 8) Verson / Parameterdarstellung ener Ebene Im Folgenden werden wr gewsse Telmengen des n Ebenen nennen Für ene präzse Defnton benötgen wr den Begrff der lnearen Unabhänggket, den wr berets m Kaptel 5 engeführt haben Defnton 6: Ene Telmenge E n heßt Ebene, wenn es Vektoren a, v, v n gbt, v, v lnear unabhängg, so dass jeder Punkt x E dargestellt werden kann als (6) x a λ v µ v, λ, µ De Darstellung E : x a λ v µ v nennt man Parameterdarstellung von E (s Abb 6) Abb 6 De Ebene E Werden de Rchtungsvektoren v, v n durch dre verschedene Punkte bestmmt; dh Glechung a (a,a,a ) b (b,b,b ) und c (c,c,c ) v b a und c a, dann geht de Glechung (6) über n de (6) x a ( b a) µ ( c a) v λ, λ, µ -

14 Mathematk I und II für Ingeneure (FB 8) Verson / Aus den Glechungen (6) und (6) erhalten wr de n Komponentenglechungen ener Ebene E m IR n x,, a λ v µ v,,,,n; λ, µ IR Punkt-Rchtungs-Form ( b a ) µ ( c a ),,,,n; λ, IR x a λ µ Dre-Punkte-Form Bespel 6: De Ebene E 4 mt dem Anheftungsvektor a (,0,0,0) und den Rchtungsvektoren v (0,,,), v (,0,4,) hat ene Parameterdarstellung n der Punkt- Rchtungs-Form: E: x (,0,0,0) λ(0,,,) µ(,0,4,) Klar st, v (0,,,) und v (,0,4,) snd lnear unabhängg, da es z B ken k gbt mt k 0 De zugehörgen Komponentenglechungen lauten: x x x 0 λ µ 0 λ 0 µ 0 λ 4µ x 0 λ µ 4-4

15 Mathematk I und II für Ingeneure (FB 8) Verson / Parameterfree Darstellungen ener Ebene m Wr betrachten zwe lnear unabhängge Rchtungsvektoren v und v ener Ebenen E Das Vektorprodukt deser beden Vektoren st en Vektor, der senkrecht auf beden Rchtungsvektoren und damt senkrecht zur Ebene E steht (sabb 7) "Senkrecht zur Ebene E" bedeutet dabe, dass für jeden Punkt x E glt: Der Vektor ( x a ) steht senkrecht zum Vektorprodukt der beden Rchtungsvektoren; also x a) (v v ) ( 0 Wr haben somt ene parameterfree Darstellungsform ener Ebene m dredmensonalen Raum gefunden Defnton 7: Den Vektor n v v nennt man Normalenvektor von E Abb 7 Normalenvektor der Ebene E Defnton 7: De Normalform ener Ebene E m st gegeben durch: (7) wobe E : x n c, c a n und n der Normalenvektor der Ebene st In der Koordnatendarstellung lautet de Glechung (7): (7) n x nx nx c mt c a n Bemerkung 7: Es gbt auch de Normalform (7) ener Ebene E n mehr als dre Raumdmensonen; se st aber wesentlch schwerer zu ermttlen Man muss enen Vektor n suchen, der senkrecht auf allen Rchtungsvektoren der Ebene E steht Das macht man durch Lösen enes Glechungssystems - 5

16 Mathematk I und II für Ingeneure (FB 8) Verson / Satz 7: Gegeben se ene Punkt u und de Ebene E durch de Normalform E : x n c, c Dann glt für den Lotvektor s von u auf de Ebene E: Insbesondere glt dann für den u n s c n n Abstand des Punktes u von der Ebene E: c u n d ( u,e ) s n De Sachlage wrd noch enfacher, wenn n glt Denn dann st berets d ( u,e) c u n der Abstand von u zu E Defnton 7: De Darstellung ener Ebene E durch de Glechung (7) E : x n c, mt n und c 0 heßt Hesse-Normalform der Ebene E Bemerkung 7: () Man gelangt von der Normalform zur Hesse-Normalform (7), ndem man bede Seten der Glechung (7) mt n multplzert Das Gleche glt natürlch auch für de Koordnatendarstellung (7) Bespel 7: De Ebene E se gegeben durch de Glechung x 5x x 5-6

17 Mathematk I und II für Ingeneure (FB 8) Verson / De Hesse-Normalform der Ebene lautet: Der Punkt ( 4, 5, 6) u 5 5 x x x hat von E den Abstand d( u,e) ( 4, 5, 6),, 0, Bemerkung 7: Ist ene Ebene E n der Hesse-Normalform (7) gegeben, so beträgt der Abstand d 0,E Das folgt sofort aus Satz 7 von E zum Nullpunkt ( ) c Umrechnung Normalform Parameterform: Gegeben se ene Ebene E n der Normalform (74) n x n x n x c Fall: n 0: De Glechung (74) wrd nach x aufgelöst, x und x werden als Parameter λ, µ gewählt Also: x c n n λ µ, x λ, x µ n n n Parameterdarstellung: c n n x, 0, 0 λ,, 0 µ, 0, n n n Fall: n 0: De Glechung (74) wrd nach x aufgelöst, x und x werden als Parameter λ, µ gewählt Also: x c n n λ µ, x λ, x µ n n n Parameterdarstellung: c n n x 0,, 0 λ,, 0 µ 0,, n n n Fall n 0 : De Glechung (74) wrd nach x aufgelöst, x und x werden als Parameter λ, µ gewählt (genauso we oben) - 7

18 Mathematk I und II für Ingeneure (FB 8) Verson / Bespel 7: () Gegeben se de Ebene E durch de Glechung x x 5 Dann erhalten wr als Parameterform: x (5,0,0) λ (,,0) µ (0,0,) () Gegeben se de Ebene E durch de Glechung x x x Dann erhalten wr als Parameterform: x (0,,0) λ (,-,0) µ (0,-,) - 8