5.4 Vektorgeometrie. 1 Repetition der Vektorgeometrie I Freie Vektoren, Ortsvektoren Die skalare Multiplikation eines Vektors...

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1 5.4 Vektorgeometrie Inhaltsverzeichnis Repetition der Vektorgeometrie I. Freie Vektoren, Ortsvektoren Die skalare Multiplikation eines Vektors Die Addition von zwei Vektoren Die Subtraktion von zwei Vektoren Die Gerade. Die Darstellung der Gerade mit Hilfe von Vektoren Die Bestimmung der Parameterdarstellung aus zwei gegebenen Punkten Die Ebene 7 3. Die Parametergleichung der Ebene Die Bestimmung der Parametergleichung aus drei gegebenen Punkten Die Koordinatengleichung der Ebene Operationen mit Vektoren 4. Das Skalarprodukt Die Definition des Skalarprodukts Wie kann das Skalarprodukt grafisch interpretiert werden? Welchen Winkel schliessen zwei Vektoren ein? Das Skalarprodukt in der Physik

2 4. Das Vektorprodukt

3 Vektorgeometrie 3.5. Theorie und Übungen 3 Repetition der Vektorgeometrie I. Freie Vektoren, Ortsvektoren. Die skalare Multiplikation eines Vektors.3 Die Addition von zwei Vektoren.4 Die Subtraktion von zwei Vektoren Die Gerade Einführende Aufgabe: Gegeben sei die folgende Gerade: Wir betrachten folgenden Ausdruck: ( ) ( ) 4 5 r(t) = +t 3 a) Trage die folgenden 3 Ortsvektoren ins obige Koordinatensystem ein. ( ) ( ) ( ) r =, r 3 = und r 4 3 = 4.5

4 Vektorgeometrie 3.5. Theorie und Übungen 4 ( ) 5 für t einsetzen, um die 3 obenste- ( 4 b) Welche Zahl musst Du beim Ausdruck r(t) = 3 henden Ortsvektoren ( r, r und r 3 ) zu erhalten? ) + t c) Welche Vektoren erhälst Du, wenn Du für t die Werte t =.5,t =.5 und t 3 = 5/3 einsetzt? Trage diese Vektoren ins Koordinatensystem ein, wobei der Anfangspunkt jeweils im Ursprung liegen soll.

5 Vektorgeometrie 3.5. Theorie und Übungen 5. Die Darstellung der Gerade mit Hilfe von Vektoren Definition Die folgendegleichung nennen wir Parameterdarstellung der Geraden g, die durch den Punkt A=(a,a,a 3 ) geht. r = a a ist der Ortsvektor der Geraden, a ist der zu g parallele Richtungsvektor a 3 der Geraden: g : r(t)= r +t a(t R) r(t) ist ein Ortvektor (wenn für t ein Wert eingesetzt wird), der hier ohne den Index notiert wird.. Die Bestimmung der Parameterdarstellung aus zwei gegebenen Punkten Durch zwei Punkte ist eine Gerade eindeutig festgelegt, durch die Parameterdarstellung ebenfalls. Es ergibt sich folgende Frage: Frage: Wie lautet die Parameterdarstellung der Geraden g, die durch A(a a a 3 ) und B(b b b 3 ) geht? Überlegung: Zuerst brauchen wir den Richtungvektor a der Geraden. Diesen können wir einfach bestimmen, wir nehmen einfach den Vektor von A nach B, genau gleich wie oben beschrieben. Dann brauchen wir noch den zweiten Vektor, der den Standort der Geraden festlegen soll. Dieser Vektor muss auf einen Punkt zeigen, der auf der Geraden liegt. Es ist naheliegend, gleich den gegebenen Punkt A zu nehmen, durch den die Gerade sicher geht. Somit sind die beiden Vektoren und damit auch die Parameterdarstellung bestimmt. Antwort: r = a a, a= b a b a a 3 b 3 a 3 Die Gleichung lautet damit: r(t)= r +t a r= a a +t b a b a a 3 b 3 a 3 Übungen. Gegeben sind die Punkte P( 4 ), Q(7 3 8), R( 7 5 8) und T(3 8) a) Berechne die Parameterdarstellung der Geraden g, die durch P und Q bestimmt wird. b) Liegen die Punkte R und T auf der Geraden PQ? c) Welches sind die Schittpunkte der Geraden PQ mit der xy,xz und yz-ebene (Spurpunkte)?

6 Vektorgeometrie 3.5. Theorie und Übungen 6 [g : r= 4 +t 6 ;R:nein,T:ja;S xy (. 3.8 ),S xz (5 38),S yz ( )] 3. Bestimme die gegenseitige Lage der Geraden g und g, d.h. entscheide ob sie einen Schnittpunkt haben, parallel, identisch oder windschief (nicht parallel und kein Schnittpunkt) zueinander sind. a) g : r = 6 3 +t 5 8 ;g : r = 3 8 +t 3 b) c) g : r = g : r = 5 +t ;g : r = 5 +t ;g : r = t 4 4 +t.4 [windschief,identisch,parallel] 4. Gegeben sind die Geraden g und g, wobei g : r = 5 +t 5 3 und g : r = 4 +t 3 a) Zeige, dass sich die Geraden schneiden. b) Bestimme die Koordinaten des Schnittpunktes S. [S(3 )] 5. Die Gerade g wird auf die xy xz und yz-ebene projeziert. Wie lauten die jeweiligen Parametergleichungen dieser Geraden, wenn g : r= 3 +t [g xy : r= 3 +t 4 6,g xz : r= +t 4,g yz : r= 3 +t 6 ] Wir betrachten noch einmal die beiden Geraden aus der Aufgabe 3(b). a) Bestimme eine Parametergleichung der Mittelparallelen m von g und g.

7 Vektorgeometrie 3.5. Theorie und Übungen 7 b) Wie kannst Du aus (a) nun schnell eine zweite Parametergleichung der Mittelparallelen bestimmen? [m : r= 7 5 +t 4 4,m : r= 7 5 +t 8 8 ] 7. Wie lang ist der Abschnitt auf der Geraden g durch A = (6 3 ) und B = (9 7 3) welcher zwischen den beiden horizontalen Ebenen auf der Höhe z= und z=5 liegt? [.4] 8. Welche Punkte der Geraden (AB) haben vom Punkt (3 7 ) den Abstand 7, wenn A(4 9 8) und B(5 6 8)? [P ( ),P ( )] 9. Berechne die Parametergleichungen der beiden Winkelhalbierenden zwischen den Geraden (AB) und (CD), wobei A( 3 3 ), B( 3 7)C( 6 ) und D(3 7 4)!. Wird der Würfel mit den Ecken ( ),(4 ),( 4 ),( 4),(4 4 ),(4 4),( 4 4) und (4 4 4) von der Geraden g, die durch A( 7) und B(3 9 ) geht, getroffen?

8 Vektorgeometrie 3.5. Theorie und Übungen 8 3 Die Ebene 3. Die Parametergleichung der Ebene Frage: Wie viele Vektoren brauchen wir, um eine gegebene Ebene festzulegen? Überlegung: Für die Richtung (Lage) der Ebene braucht es Vektoren. Reicht das? Nein, weil es unendlich viele Ebenen mit dieser Richtung gibt (Alle diese Ebenen sind parallel zueinander). Wir brauchen noch einen dritten Vektor, der den Standort der Ebene festlegt. Danach ist die Ebene eindeutig fixiert. Antwort: Wir brauchen 3 Vektoren, um eine gegebene Ebene zu beschreiben. Wir sehen, dass die Parametergleichung der Ebene im Prinzip mit derjenigen der Geraden übereinstimmt, es kommt einfach ein Vektor mehr dazu. Die Definition: Definition (Parametergleichung der Ebene) Die folgende Darstellung der Ebene nennen wir Parametergleichung der Ebene r(u,v)= r + u a + v b (u,v R) Prüfen wir am folgenden Beispiel, ob wir tatsächlich eine Ebene erhalten. Ich habe ein -dim. Beispiel gewählt (die z-komponente ist jeweils ), damit wir die Vektoren auf dem Blatt einfach eintragen können. Gegegeben ist folgende Parametergleichung: r(u,v)= +u +v

9 Vektorgeometrie 3.5. Theorie und Übungen 9 3. Die Bestimmung der Parametergleichung aus drei gegebenen Punkten Durch drei Punkte ist eine Gerade eindeutig festgelegt. Durch die Parametergleichung ebenfalls. Dadurch ergibt sich die Frage: Wie kommt man auf die Parametergleichung, wenn man drei Punkte kennt? Gegeben: Drei Punkte A=(a a a 3 ) und B=(b b b 3 ) und C=(c c c 3 ). Frage: Wie lautet die Parametergleichung der Ebene, auf der die drei Punkte A,B und C liegen? Überlegung: Zuerst brauchen wir die zwei Richtungvektoren a und b der Ebene. Dies kann man einfach machen, man nimmt einfach die Vektoren von A nach B und von A nach C (genau gleich wie im Skript vorher). Dann brauchen wir noch den dritten Vektor, der den Standort der Ebene festlegen soll. Dieser Vektor muss auf einen Punkt zeigen, der auf der Ebene liegt. Es ist naheliegend, gleich den gegebenen Punkt A zu nehmen, durch den die Ebene sicher geht. Somit sind die drei Vektoren und damit auch die Parametergleichung der Ebene bestimmt. Antwort: r = a a, a= b a b a, b= c a c a a 3 b 3 a 3 c 3 a 3 Die Parametergleichung lautet somit: r= r + u a+v b= a a +u b a b a +v c a c a a 3 b 3 a 3 c 3 a 3 Übungen. Stelle die Parametergleichung der Ebene auf, die durch die Punkte A,B und C geht, wobei a) A=( ),B=( 3) und C=(3 ). b) A=(5 ),B=( 6 3 ) und C=( 5 ).. Liegen die Punkte A=( 7 8) und B=(4 4 3) auf der Ebene E : r(u,v)= 3 +u +v 4? Bestimme den Schnittpunkt der Ebene E und der Geraden g, wenn E : r(u,v)= 5 +u +v und g : r(t)= 5 +t

10 Vektorgeometrie 3.5. Theorie und Übungen 4. Wie lautet die Schnittgerade zwischen den Ebenen E und F, wenn E : r(u,v)= 3 +u +v und F : r(u,v)= 4 +u +v? 3.3 Die Koordinatengleichung der Ebene Wir haben gesehen, dass man eine Gerade mit Hilfe einer linearen Gleichung der Form ax+by+c = darstellen kann. Bei der Ebene ist dies genau gleich, mit dem einzigen Unterschied, dass noch eine Unbekannte mehr dazukommt. Definition 3 Die Koordinatengleichung der Ebene hat die Form ax+by+cz+d=, wobei a,b,c R\{} und d R Frage: Gegeben sei die Parametergleichung einer Ebene E. Wie lautet die Koordinatengleichung dieser Ebene? Antwort: Schreibe die Komponentengleichungen auf und eliminiere u und v. Beispiel Gegeben sei die Ebene E mit der Parametergleichung r(u,v)= 3 +u 3 6 +v Gesucht ist die Koordinatengleichung der Ebene E. Lösung: Die Lösungsstrategie: Wir notieren die Komponentengleichungen und erhalten ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen. Die Gleichungen werden so multipliziert, dass bei allen drei Gleichungen vor einer Variable (u oder v) die gleiche Zahl steht. Die zweite Gleichung von der ersten Gleichung subtrahieren und die dritte Gleichung von der ersten Gleichung subtrahieren. Wir erhalten zwei neue Gleichungen. Die zwei neuen Gleichungen so multiplizieren, dass vor der verbliebenen Variable die gleiche Zahl steht, dann subtrahieren. Wir lösen die Aufgabe nach obiger Stategie: x = 3+3u 5v y = 6u 4v z = 6 u v

11 Vektorgeometrie 3.5. Theorie und Übungen Wir multiplizieren die erste Gleichung mit, die zweite Gleichung mit -5 und die dritte Gleichung mit -3. Wir erhalten: x = 3+3u 5v 5y = 3u+v 3z = 8+3u+6v Gleichungen subtrahieren: x+5y = 3 7v x+3z = 48 56v Die erste Gleichung mit 8, die zweite mit multiplizieren (um 56v zu erhalten). 8x+4y = 4 56v x+3z = 48 56v Die Subtraktion der beiden Gleichungen ergibt: x+4y 3z= 4 Wir können noch auf beiden Seiten mit dividieren. Die Koordinatengleichung lautet somit: x+4y 3z+4= Übungen 5. Stelle jeweils die Koordinatengleichung der folgenden Ebenen auf: a) E : r(u,v)= 6 +u 8 3 +v 4 4 b) E : r(u,v)= 5 +u 4 +v 3 6 [E : x+8y 4y 34=,E : x+3y+z 36=] 6. Liegen die Punkte A( ) und B( ) auf der Ebene x + 3y 3z + =? [nein,ja] 7. Wie lautet die Koordinatengleichung der Ebene E, wenn die Gerade g und der Punkt P(4 ) auf E liegen, wobei g : r(t)= +t 3 3 [5x+4y+7z 35=]

12 Vektorgeometrie 3.5. Theorie und Übungen 8. Stelle die Koordinatengleichung der Ebene F auf, wenn der Punkt P( 5 3) auf E liegt und sie zur Ebene E parallel ist, wobei E : r(u,v)= +u +v 3 4 [3x 5y 4z 9=] 9. Gegeben ist die Ebene E mit der Koordinatengleichung 3x y+4z =. Bestimme die Spurpunkte von E und die Parametergleichungen der Spurgeraden von E! [S x (4 ),S y ( 6 ),S z ( 3);g xy = 4 +u 4 6,g xz = 4 +u 4,g yz = 6 +u 6 ] 3 3. Bestimme den Schnittpunkt S der Ebene E und der Geraden g, wenn E : x y+3z+= und g : r= 3 4 +t [S( 3 )]. Stelle eine Parametergleichung und die Koordinatengleichung der Ebene E auf, wobei die Spurgeraden g (xy-ebene) und g (yz-ebene) gegeben sind: g : r= +t und g : r= +t [g : r= +u +v,e : x y+z+=] 4 Operationen mit Vektoren Bei Zahlen verstehen wir unter Operationen die Addition, Subtraktion, Multiplikation,.... Es wird etwas gemacht mit den Zahlen. Auch Vektoren können miteinander verrechnet werden, auf unterschiedliche Art und Weise. Wir werden in diesem Abschnitt zwei Operationen kennenlernen, das Skalar- und das Vektorprodukt. 4. Das Skalarprodukt 4.. Die Definition des Skalarprodukts Frage: Wie sollen Vektoren multipliziert werden?

13 Vektorgeometrie 3.5. Theorie und Übungen 3 Bei den Vektoren definieren wir eine Art Multiplikation, das sogenannte Skalarprodukt. Wir ordnen dabei zwei Vektoren eine Zahl zu. Diese Operation wird für uns hilfreich werden bei im Zusammenhang mit Winkeln. Wir definieren: Definition 4 Gegeben sind zwei Vektoren a = a a und b = b b. Das Skalarprodukt a b definieren wir a 3 b 3 folgendermassen: a b = a b + a b + a 3 b 3 Bemerkung Das Skalarprodukt wird für n-dimensionale Vektoren analog definiert: Übungen a b=a b + a b +...+a n b n. Berechne die Skalarprokukte a b, a c und b c, wenn a = 3, b = 4 und c = Beweise, dass beim Skalarprodukt das Kommutativgesetz, d.h. a b = b a gilt. 4. Beweise, dass beim Skalarprodukt das Distributivgesetz, d.h. a ( b + c )= a b + a c gilt. 5. Kannst Du a a mit etwas Bekanntem in Beziehung setzen? [8,,6] 4.. Wie kann das Skalarprodukt grafisch interpretiert werden? Wir nehmen als besonders einfaches Beispiel die Vektoren #» a = 5 und #» b = 3 3 Das Skalarprodukt liefert: a b= =

14 Vektorgeometrie 3.5. Theorie und Übungen 4 Zuerst wird ein Vektor auf den anderen projeziert. Dann werden die Längen der beiden Vektoren multipliziert: 3 5=5 Wir erhalten das gleiche Ergebnis wie beim Skalarprodukt der beiden Vektoren. Vielleicht ist das nur ein Zufall, deshalb noch ein zweites Beispiel: Das Skalarprodukt liefert 4. Zuerst wird wieder ein Vektor auf den anderen projeziert. Die Länge des kürzeren Vektors beträgt = 8, = 3. Multiplikation der Längen: 8 3=4, wir erhalten also noch einmal das gleiche. Übungen 6. Berechne #» a #» b graphisch und überprüfe nachher mit algebraischer Berechnung. a) #» a = 3, #» b = 4 b) #» a = 4, #» b = 4 c) #» a = 4, #» b = 4 d) #» a = 4, #» b = Welchen Winkel schliessen zwei Vektoren ein? Gegeben sind zwei Vektoren #» a und #» b, die den Winkel γ einschliessen (wobei wir den kleineren der beiden Winkel mit γ bezeichnen).

15 Vektorgeometrie 3.5. Theorie und Übungen 5 Wir erhalten also den folgenden Satz: Satz Gegeben sind die Vektoren a = a a und b = b b mit gleichem Anfangspunkt. Es gilt folgende a 3 b 3 Beziehung: a b = a b cos(γ) wobei γ der kleinere der beiden Zwischenwinkel ist. Bemerkung Das Skalarprodukt kann auch definiert werden mit a b = a b cos(γ). Diese Definition kann allerdings nur für den - und 3-dimensionalen Fall gegeben werden, während unsere Definition sich auf beliebige Dimensionen erweitern lässt.in der Physik können Arbeit und Leistung mit dem Skalarprodukt ausgedrückt werden. Der Satz liefert uns folgende hilfreiche Erkenntnis: γ = 9 a b = Das bedeutet, dass das Skalarprodukt ist, wenn die Vektoren a und b senkrecht (normal) aufeinander stehen. Übungen 7. Berechne die Zwischenwinkel (beide) zwischen den folgenden Vektoren: a) a = 3 und b = 4 b) e = und e = 4 [a) 43.9, 36. ;b) 9, 7 ] 8. Kontrolliere die Formel a b = a b cos(γ) zeichnerisch, wenn a = und b = [45 ] 9. Wähle x so, dass a senkrecht auf b steht, wenn a = 7 x und b = [x= 5/3]

16 Vektorgeometrie 3.5. Theorie und Übungen 6 3. Der Vektor a steht senkrecht auf den Vektoren b und c. Berechne x und y, wenn a = 7 x, b = 4 3 und c = 5 y 8 9 [x=4,y= 5] 3. Spiegle den Punkt P=( 4 ) an der Geraden g und bestimme die Koordinaten des Spiegelpunktes P, wobei g : r = 7 +t 3 [P =( 6 8 )] 3. Berechne die zwei Punkte P und Q auf der Geraden g, die den Abstand von der Geraden g haben, wobei g : r = 3 4 +t 3,g : r = +t 3 5 [P =( ), Q =( )] 4..4 Das Skalarprodukt in der Physik Die Arbeit ist folgendermassen definiert: Die Arbeit, die an einem Massenpunkt verrichtet wird, ist der Betrag der Kraft entlang des Weges multipliziert mit dem zurückgelegten Weg. Formal: W = #» F s #» s Der Kraftvektor wird also auf den Weg projeziert, dann werden die Beträge multipliziert. Mit der Berechnung des Skalarprodukts erhalten wir dasselbe Ergebnis, weil graphisch gesehen genau das passiert. Wir können also notieren:

17 Vektorgeometrie 3.5. Theorie und Übungen 7 W = #» F #» s Nebst der Arbeit lässt sich z.b. auch die Leistung mit dem Skalarprodukt ausdrücken: P= #» F #» v

18 Vektorgeometrie 3.5. Theorie und Übungen 8 4. Das Vektorprodukt Die zweite Operation, die wir betrachten, ist das Vektorprodukt. Es geht darum, zwei gegebenen Vektoren einen Vektor zuzuordnen, der senkrecht auf ihnen steht. Diese Fragestellung taucht z.b. bei einer Ebene auf, wo man mit Normalenvektor auch die Richtung der Ebene kennt. Die Frage stellt sich auch in physikalischen Situationen: (linke Abbildung) Gegeben ist ein homogenes Magnetfeld und ein stromdurchflossender Leiter. Wird der Leiter ins Magnetfeld gehalten, dann wird er abgelenkt, es wirkt also eine Kraft auf ihn. Diese Kraft heisst Lorenzkraft und wirkt rechtwinklig zur Strom und zur Magnetfeldrichtung. Wie gross ist die Lorenzkraft? (rechte Abbildung) Dem radialen Vektor und dem Kraftvektor soll der Drehmomentvektor #» M zugeordnet werden, der senkrecht auf diesen beiden steht. Gesucht ist eine Operation, die zwei gegebenen Vektoren einen Vektor zuordnet, der senkrecht auf ihnen steht. Mit folgenden Überlegungen finden wir einen solchen Vektor:

19 Vektorgeometrie 3.5. Theorie und Übungen 9 Definition 5 Gegeben sind zwei Vektoren a = a a und b = b b. Das Vektorprodukt a b definieren wir folgendermassen: a 3 b 3 a b = a b 3 a 3 b a 3 b a b 3 a b a b Graphisch können wir das Vektorprodukt damit folgendermassen darstellen: Übung 33. Prüfe, ob #» a #» b senkrecht auf #» a und #» b steht. [ 5,ja] #» a = und #» b = Prüfe die Behauptung, dass #» a #» b senkrecht auf den Vektoren #» a und #» b steht! Von Hand ist das Vektorprodukt sehr mühsam auszurechnen. Der TI-89 nimmt uns in dieser Hinsicht die Arbeit ab. Die Bedienung geht folgendermassen: MATH ansteuern mit nd + 5 4:Matrix anwählen alpha + L wählen oder blättern zu L:VektorOp :KreuzP( anwählen

20 Vektorgeometrie 3.5. Theorie und Übungen Komponenten des Vektors folgendermassen eintippen: KreuzP([,,],[,,]) Als Ergebnis solltest Du [,,] erhalten.

21 Vektorgeometrie 3.5. Theorie und Übungen Übungen 35. Gesucht ist der Normalenvektor n (der Vektor, der senkrecht auf der Ebene steht) der Ebene E : r = 4 +u +v 3 [ 4 5 ] Gesucht ist der Schnittwinkel zwischen den Ebenen E und E. Berechne diesen Winkel, indem Du den Winkel zwischen den zwei Vektoren berechnest, die normal auf E und E stehen, wenn E : r = 4 +u +v 3 4 und E : r = 3 +u 3 +v 3 [94.99 ] 37. Bestimme die Punkte P und P im Raum, welche zum Punkt Q(5 6) auf der Ebene E, den Abstand 3 haben, wenn E : r = 5 +t 3 +s [P ( ),P ( )] 38. Berechne die zwei Punkte P und Q auf der Geraden g, welche den Abstand 7 von der EbeneEhaben, wobei E : r = +u 7/3 +v 7,g : r = 3 4 +t [P( ), Q( )] 39. Gib den Punkt P an, der durch Spiegelung des Punktes P(7 ) an der Ebene E entsteht, wenn E : r = +u 3 +v 3 3 [P ( 4)]