entspricht der Länge des Vektorpfeils. Im R 2 : x =

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1 Norm (oder Betrag) eines Vektors im R n entspricht der Länge des Vektorpfeils. ( ) Im R : x = x = x + x nach Pythagoras. Allgemein im R n : x x = x + x x n. Beispiele ( ) =, ( 4 ) = 5, =, 4 = 0. Anwendung Den Abstand zweier Punkte A und B erhält man als Norm des Verbindungsvektors B A. skvprod.pdf, Seite

2 Eigenschaften der Norm Für x, y R n und a R gilt 0 = 0 und x > 0, falls x 0 (Positivität), a x = a x (Homogenität), x + y x + y (Dreiecksungleichung) Einheitsvektor = Vektor mit Norm Ist x 0 beliebig, so ist Beispiele für Einheitsvektoren 0, 0 / = /, / x = x ein Einheitsvektor. x x ( ) Spezielle Einheitsvektoren im R sind: und e = (; 0; 0), e = (0; ; 0), e = (0; 0; ), analog im R n. skvprod.pdf, Seite

3 Das Skalarprodukt im R n ordnet zwei Vektoren x, y R n einen Skalar x, y R zu: x, y = x y = n i= x iy i = x y + x y x n y n R Beispiele ( ), ( 4 4 ( ) = + 4 = + 8 = 4 ) ) (, 4 4, = 4 ( 4) = + 4 = 5 = 4 + ( ) ( ) 4 = 0. skvprod.pdf, Seite

4 Eigenschaften des Skalarprodukts x, x = x x n = x 0 bzw. x = x, x, y, x = x, y (Symmetrie), a x, y = a x, y für Skalare a R und x + z, y = x, y + z, y sowie x, y + z = x, y + x, z für x, y, z R n (Bilinearität), x, y = x y cos (x, y), wobei (x, y) für den Winkel zwischen x und y und cos für die Cosinusfunktion steht, insbesondere x y (x senkrecht y) x, y = 0 und x, y x y (CauchySchwarzUngleichung) skvprod.pdf, Seite 4

5 Beispiel x =, y = 0, z = Es ist x = 6, y = 5, z = 4 und x, y = ( ) =, x, z = sowie y, z = 0. Aus der Bilinearität folgt z. B. x, y + z =, = x, y + x, z = =. Da y, z = 0, stehen y und z senkrecht aufeinander. Für den Winkel α zwischen x und y gilt cos α = x, y x y = 6 5 = 0, 0, 5477 α = arccos 0, 5477 = 56, 8 o = 0, 99 rad, wobei arccos (Arcuscosinus) die Umkehrfunktion des Cosinus bezeichnet. skvprod.pdf, Seite 5

6 Geometrische Anwendungen Beispiel: Gegeben sei das Dreieck im R mit den Eckpunkten A = ( ; ), B = (; ) und C = (; 0). Die Seite AB wird durch den Vektor x = B A = (; ) beschrieben und hat die Länge x =. AC wird durch y = (; ) beschrieben und hat die Länge y = 0. Der Winkel α zwischen diesen beiden Seiten kann berechnet werden durch x, y = x y cos α cos α = x, y x y = 7 0 0, 64 α 5, o = 0, 9 rad Analog erhält man für die Seite BC die Länge und die Winkel β 56, o und γ 7, 6 o. skvprod.pdf, Seite 6

7 Parameterdarstellung von Geraden im R und R Zu Vektoren x und v ist die Menge aller Punkte x + t v mit t R eine Gerade. Jede Gerade g lässt sich so darstellen, wobei x der Ortsvektor eines beliebigen Punktes auf g ist und der Richtungsvektor v zwei Punkte auf g verbindet. Diese Parameterdarstellung ist nicht eindeutig. skvprod.pdf, Seite 7

8 Beispiel Gesucht ist eine ) Parameterdarstellung ) der Geraden g durch die Punkte A = und B = im R. ( ( Als Ortsvektor kann (zum Beispiel) x = B = werden, als Richtungsvektor ( ) ( ) ( ) v = A B = =. Somit ist g = { ( ) + t ( ) } : t R = ( ) gewählt ( ) + R ( ). eine (von vielen möglichen) Parameterdarstellung der Geraden. skvprod.pdf, Seite 8

9 Gerade g = x + R v skvprod.pdf, Seite 9

10 Anwendung der Parameterdarstellung Berechnung von Schnittpunkten, Schnittwinkeln, Projektionen etc. Im Beispiel muss für den Schnittpunkt von g mit der x Achse gelten: ( ) ( ) ( ) ( ) x 0 = + t Aus der Gleichung für die x Koordinate folgt = 0 = + t t =. + t + t Eingesetzt in die Gleichung für die x Koordinate ergibt sich nun x = + ( ) =, ( ) d. h. g schneidet die. Koordinatenachse im Punkt. 0 skvprod.pdf, Seite 0

11 Beispiel: Schnittwinkel zweier Geraden Seien A = (; ; ), B = (; ; ) und C = (0; ; ) R. Die Gerade g durch A und B hat die Parameterdarstellung g = {(; ; )+t (; ; ) : t R} = (; ; )+R (; ; ), h = (; ; ) + R ( ; ; 0) stellt die Gerade durch A und C dar. Der Schnittwinkel α der beiden Geraden ist der Winkel zwischen den Richtungsvektoren und wird bestimmt durch: cos α = (; ; ), ( ; ; 0) (; ; ) ( ; ; 0) = 5 60 α = 49, 8 o skvprod.pdf, Seite

12 Bemerkung Beim Schnitt zweier Geraden tritt neben dem Winkel α auch immer der Supplementwinkel β = 80 o α auf, wobei gilt cos β = cos α. Der Winkel zwischen zwei Richtungsvektoren ist je nach Wahl der Richtungsvektoren entweder α oder β. Standardmäÿig wird der kleinere der beiden Winkel als Schnittwinkel der Geraden deniert. Diesen erhält man für beliebige Richtungsvektoren v und w durch cos α = v,w v w. skvprod.pdf, Seite

13 Orthogonale Projektion Zu Vektoren x, v R n mit v 0 deniert man die orthogonale Projektion von x in Richtung von v durch Beispiel Mit x = ( 4 ) und v = π v (x) = x = ( ) ist x, v = 4 = und v, v = + = und somit ) π v (x) = v = = ( (, 5, 5 x, v v, v v ) Spezialfall Ist e ein Einheitsvektor (d. h. e = ), so ist π e (x) = x, e e skvprod.pdf, Seite

14 Eigenschaften der orthogonalen Projektion Ist x, v > 0, so zeigt der Vektor x = π v (x) in Richtung von v, seine Länge ist π v (x) = x,v v = x cos α, wobei α der Winkel zwischen x und v ist. Ist x, v < 0, so zeigt π v (x) in die entgegengesetzte Richtung von v, die Länge ist ebenfalls x cos α. Ist x, v = 0, d. h. x und v stehen senkrecht aufeinander, so ist π v (x) = 0 der Nullvektor. Insbesondere hängt π v (x) nur von der Richtung, nicht jedoch von der Länge von v ab. skvprod.pdf, Seite 4

15 Orthogonale Zerlegung Ist x = π v (x), so steht der Vektor x = x x senkrecht auf v und damit auch auf x, d. h. man hat eine Zerlegung x = x + x, wobei x ein skalares Vielfaches von v ist und x senkrecht auf v steht. Beispiel x = ( 4 Mit x = ( ), 5, 5 ) und v = ( ) folgt x = x x = ( ), 5., 5 skvprod.pdf, Seite 5

16 Anwendung: Abstand PunktGerade Die kürzeste Verbindung zwischen einem Punkt A R n und einer Gerade g = x + R v ist ist durch einen Vektor y gegeben, der A mit g verbindet und der senkrecht auf g steht. Man erhält y, indem man zu einem beliebigen Verbindungsvektor y, z. B. y = x A, den auf dem Richtungsvektor v der Geraden senkrechten Anteil y = y π v (y) bestimmt. skvprod.pdf, Seite 6

17 Beispiel Abstand des Punktes A = ( ) ( Punkte und g = ( ) π (;) (y) = y = + R ( ( ( ( ) ( ) zur Geraden g durch die ). Man erhält ), y = ), ), ( ) ) ( ( ), =, 6 ( ) A = ( ) = 8 5 ( ) 0,. 0, 4 Der Abstand zwischen Punkt und Gerade ist y = 0, 0, 45. ( ), ( ) = ( ),, 6 skvprod.pdf, Seite 7

18 Skalarprodukte in allgemeinen Vektorräumen Sei V Vektorraum über R. Ein Skalarprodukt auf V ist eine Abbildung V V R, (x, y) x, y mit den Eigenschaften () x, y = y, x (symmetrisch), () ax, y = a x, y und x + z, y = x, y + z, y für x, y, z V und a R (bilinear) und () x, x > 0 für alle x 0 (positiv denit). skvprod.pdf, Seite 8

19 Beispiele Das schon bekannte Skalarprodukt x, y = x T y im R n Durch x, y = x y x y x y + x y ist ein alternatives Skalarprodukt auf dem R deniert. f, g = b f (x) g(x)dx deniert ein Skalarprodukt auf a dem Vektorraum aller stetigen Funktionen [a, b] R. Bemerkungen Aus () und () folgt x, ay = a x, y und x, y + z = x, y + x, z. Die Verallgemeinerung der Denition auf Vektorräume über einem beliebigen Körper K ist nicht sinnvoll. Im Fall K = C gibt es eine geringfügig modizierte Denition eines Skalarprodukts. Wir werden uns im Folgenden auf den Fall K = R beschränken. skvprod.pdf, Seite 9

20 Denition Ein euklidischer Vektorraum ist ein Vektorraum V über R versehen mit einem Skalarprodukt,. Die Norm des Vektors x V ist x = x, x. Die Vektoren x und y sind orthogonal (senkrecht), wenn x, y = 0, Notation x y. x und y sind parallel, wenn sie linear anhängig sind, d. h. einer ein skalares Vielfaches des anderen ist, Notation x y. Der Winkel α = (x, y) zwischen zwei Vektoren x und y 0 ist gegeben durch cos α = x, y x y. skvprod.pdf, Seite 0

21 Beispiel Gesucht ist ein Vektor x = ( ) ( ) x x, der auf y = senkrecht steht. Es muss gelten 0 = x, y = ( x x ), ( ) = x + x x = x. Somit kann x = t R beliebig ( vorgegeben ) ( werden, ) Lösungen t haben dann die Form x = = t. t Allgemeiner ( ) y Die zu einem gegebenen Vektor y = R senkrechten y ( ) t y Vektoren haben die Form, sind also die skalaren t y ( ) y Vielfachen des Vektors. y skvprod.pdf, Seite

22 Beispiel Gesucht ist eine Konstante a R, so dass der Vektor a senkrecht auf steht. a Dazu betrachtet man das Skalarprodukt: a, = + a + 6a = 8a = 0 a 8a = a =. 4 Beispiel Gesucht ist v = senkrecht steht. v v v R, der auf x = und auf y = Die Bedingung v, x = v, y = 0 führt zu einem linearen Gleichungssystem mit drei Unbekannten skvprod.pdf, Seite

23 Vektorprodukt Eine bequeme Möglichkeit, zu zwei linear unabhängigen Vektoren x, y im R einen dritten auf x und y senkrechten Vektor zu bestimmen, bietet das Kreuz- oder Vektorprodukt x y, deniert durch ( ) ( ) ( ) x y x y x y Beispiel: ( Bemerkung x x ) ( y y ) = = ( 6 x y x y x y x y ) Das Vektorprodukt ist nur für dreidimensionale Vektoren deniert. Im Gegensatz zum Skalarprodukt ist das Ergebnis wieder ein Vektor. skvprod.pdf, Seite

24 Eigenschaften x y, x = x y, y = 0, d. h. x y steht senkrecht sowohl auf x als auch auf y. x y = x y sin ϕ, wobei ϕ der Winkel zwischen beiden Vektoren ist. Somit ist x y die Fläche des von x und y aufgespannten Parallelogramms. Die Vektoren x, y und x y bilden ein Rechtssystem. x y = y x. (ax) y = a(x y) = x (ay) für x, y R und a R. (x + z) y = x y + z y und x (y + z) = x y + x z für x, y, z R. Im Allgemeinen ist x (y z) (x y) z. (Fehler im Teschl/Teschl auf Seite 6!) x, y z = y, z x = z, x y (Spatprodukt, mehr dazu später). skvprod.pdf, Seite 4

25 Geometrische Anwendung : Beispiel Parallelogramm Das von den Vektoren x = und y = aufgespannte Parallelogramm im R hat die Fläche x y = = = 4 Die Winkel α und β lassen sich mit Hilfe des Skalarprodukts berechnen: x, y cos α = cos (x, y) = x y = = 6 α = arccos 6, 9o und β = 80 o α 8, o. skvprod.pdf, Seite 5

26 Geometrische Anwendung : Dreiecke Das Vektorprodukt kann auch zur Berechnung von Dreiecksächen im R benutzt werden. Da ein Dreieck ein halbes Parallelogramm ist, gilt für die Fläche F des Dreiecks mit den Eckpunkten A, B und C und den durch die Vektoren x = B A, y = C A und z = C B beschriebenen Seiten: F = x y = x z = y z Beispiel 0 Das Dreieck mit den Ecken A = B = und C = hat die Fläche 6 F = (B A) (C A) = 0 0 = = 49 =, 5 skvprod.pdf, Seite 6

27 Geometrische Anwendung : Ebenen im R Eine Ebene hat eine Parameterdarstellung der Form E = { x + s v + t w : s, t R }, wobei x ein Punkt auf der Ebene ist und v, w zwei linear unabhängige Vektoren, die die Ebene aufspannen. Eine Paramterdarstellung der Ebene durch die drei Punkte P, Q, R (die nicht auf einer Geraden liegen dürfen) erhält man z. B., indem man x = P und v = Q P sowie w = R P setzt. Der Normalenvektor r = v w steht senkrecht auf E, ebenso der normierte Normalenvektor n = r r. skvprod.pdf, Seite 7

28 Beispiel Sei P = 0, Q = 0 0 und R = Die Ebene durch P, Q und R hat die Parameterdarstellung. E = {P + s (Q P) + t (R P) : s, t R} = { 0 + s + t 0 : s, t R ein Normalenvektor ist r = =. 0 Ein normierter Normalenvektor ist n = r r = } 6,. skvprod.pdf, Seite 8

29 Beschreibung von Ebenen durch Normalenvektoren Sei E = { x + s v + t w : s, t R } und r = v w ein Normalenvektor. Da r auf v und w senkrecht steht, gilt für jeden Punkt y = x + s v + t w E x + s v + t w, r = x, r + s v, r + t w, r = x, r, d. h. Punkte y E sind gerade dadurch charkterisiert, dass y, r = x, r. Es folgt y E y, r = x, r y, n = x, n, wobei n den normierten Normalenvektor bezeichnet. Im Beispiel gilt y y = y E y y y + y = y y y, 0 =, = skvprod.pdf, Seite 9

30 Die Hessesche Normalform ist eine Ebenengleichung durch den normierten Normalenvektor n = r. Dieser wird (ggf. durch Multiplikation mit ) so r gewählt, dass a = x, n 0. Damit erhält man E = { y R : y, n a = 0 } (Hessesche Normalform) Im Beispiel war n = r r = x, n = 6 E = 0 6 mit, = 6 = a > 0. Es folgt { y R : y, n 6 = 0 6 (y y + y ) = 0 }. skvprod.pdf, Seite 0

31 Anwendung: Abstand PunktEbene Der Abstand eines Punktes y zu Ebene E = {y R : y, n a = 0} mit dem normierten Normalenvektor n ist gegeben durch d(y, E) = y, n a Ist y, n a < 0, so benden sich y und der Nullpunkt auf der gleichen Seite der Ebene, bei y, n a > 0 auf verschiedenen Seiten. skvprod.pdf, Seite

32 Im Beispiel { } E = y R : 6 (y y + y ) = 0 soll der Abstand der Vektoren y =, v = bestimmt werden. Man erhält ( y, n a = 6, und w = ) = 6 ( ) = 6 < 0. Es folgt, dass y zu E den Abstand 6 = 5 auf der gleichen Seite von E liegt wie der Nullpunkt. zu E 0, 86 hat und Analog ist v, n a = 4 6, 6 > 0. Somit hat v zu E den Abstand 4 6 und liegt auf der anderen Seite wie y und 0. Schlieÿlich ist w, n a = 0, woraus folgt, dass w in E liegt. skvprod.pdf, Seite

33 Anwendung : Schnittpunkt GeradeEbene Die Hessesche Normalform bzw. eine Ebenengleichung mit einem beliebigen (nicht notwendig) normierten Normalenvektor kann auch benutzt werden, um den Schnittpunkt zwischen einer Gerade und einer Ebene zu berechnen. Dazu wird die Parameterdarstellung der Geraden in die Ebenengleichung eingesetzt: Ist E = {y R : y, r a = 0} und g = {u + t v : t R}, so erhält man durch Einsetzen die Gleichung 0 = u + t v, r a = u, r + t v, r a, die nach t aufgelöst werden kann. Der zugehörige Punkt u + t v auf der Geraden ist dann der gesuchte Schnittpunkt. skvprod.pdf, Seite

34 Im Beispiel { } E = y R : y y + y = 0 mit r = a = ist der Schnittpunkt der Gerade { } g = + t : t R 0 mit E gesucht. Dazu muss gelten 0 =, +t, 0 und = 5 t = 4 t t =. Es folgt, dass der Schnittpunkt + = 0 4 ist. skvprod.pdf, Seite 4

35 Schnittwinkel Der Schnittwinkel von g und E ist die Dierenz zwischen 90 o und dem Winkel zwischen g und dem Normalenvektor zu E. Für den Winkel α zwischen g und dem Normalenvektor r = cos α = gilt, 0 0 = = α 5, o Es folgt, dass sich g und E in einem Winkel von 5, o schneiden. skvprod.pdf, Seite 5

36 Der Durchschnitt zweier Ebenen im R ist eine Gerade, wenn die beiden Ebenen nicht parallel sind. Dies ist genau dann der Fall, wenn die Normalenvektoren linear unabhängig sind. Der Richtungsvektor der Schnittgeraden steht dabei senkrecht auf beiden Normalenvektoren. Der Schnittwinkel der beiden Ebenen ist gleich dem Winkel zwischen der Richtungsvektoren. Sind die beiden Ebenen parallel, so sind sie entweder gleich (und der Durchschnitt damit wieder eine Ebene) oder ihr Durchschnitt ist leer. Beispiel: siehe Tafel skvprod.pdf, Seite 6

37 Das Spatprodukt oder gemischte Produkt dreier Vektoren x, y, z R ist deniert als x y, z. Eigenschaften Das Spatprodukt ist eine reelle Zahl, deren Betrag das Volumen des von den Vektoren x, y und z aufgespannten Parallelepipeds oder Spats ist. Das Spatprodukt ist 0, wenn die drei Vektoren in einer Ebene liegen (linear abhängig sind). Ansonsten ist das Spatprodukt > 0, wenn die Vektoren ein Rechtssystem bilden und < 0, wenn sie ein Linkssystem bilden. x y, z = y z, x = z x, y x z, y = z y, x = y x, z = x y, z skvprod.pdf, Seite 7

38 Beispiel Die Vektoren x =, y = und z = spannen 0 ein Spat auf. Das Spatprodukt ist x y, z = 6, = 5 Also bilden x, y und z ein Linkssystem und das Volumen des Spats ist 5. Zwei der 6 Oberächen haben die Fläche x y = 54 = 6, zwei die Fläche x z = 5 und zwei die Fläche y z =. Die Gesamtoberäche ist damit ( x y + x z + y z ) 4, skvprod.pdf, Seite 8

39 Beispiel Mit x = 0, y = 4 und z = 5 ist x y = 4 = 0 und somit x y, z = ( 5) + 9 = = 0. Es folgt, dass die Vektoren in einer Ebene liegen und somit linear abhängig sind. skvprod.pdf, Seite 9