DIE MATHEMATIK VON MUSIK

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1 DIE MATHEMATIK VON MUSIK Was ist Musik? Im Grunde ist Musik nur Luft, die in bestimmten Druckmustern vibriert. Jedes Objekt, das in der Luft vibriert, wird Druckimpulse abgeben. Die Impulse werden von unseren menschlichen Ohren festgestellt, und von den Nerven in elektrische Zeichen umgewandelt, die werden zu dem Gehirn zur Auslegung geschickt Wenn die Bewegung zwischen 15 und 20,000 Vibrationen pro Sekunde ist, werden wir die vibrierende Luftbewegungen als einen musikalischen Ton hören. In einem Blasinstrument, wie einer Flöte oder einer Trompete oder einer Orgel, blasen wir Luft in ein Rohr, was 'ständige Wellen' von vibrierender Luft gründet, die wir noch einmal als einen musikalischen Ton hören. Der Ausdruck 'Hertz' (Hz) wird gebraucht, Frequenz als Vibrationen pro Sekunde auszudrücken. In wissenschaftlicher Notation hat der Ton 'mittleres C' eine Frequenz von 256 Hz. Mit anderen Worten, ein Instrument, das diesen Ton spielt, macht die Luft 256 mal pro Sekunde vibrieren. Je höher die Frequenz, desto höher wird die Tonhöhe des Tones. So kommen wir zu der ersten Verbindung zwischen Musik und Mathematik. Wenn wir die Frequenz zu 512 Hz verdoppeln mit anderen Worten, wenn wir die Luft zweimal so schnell vibrieren machen werden wir einen C Ton genau eine Oktave über mittlerem C hören. Hören wir diese Töne Die Wellenlänge einer Klangwelle ist die Entfernung zwischen aufeinander-folgenden Spitzen oder Tiefen in den Druckimpulsen Wenn ein Ton gespielt wird, können wir den unterschiedlichen Luftdruck von einem Welleformdiagramm verkörpern Aber erinnere, dass die Luftmolekule nur vibrieren, nicht vorankommen. Nur die Druckwellen vorankommen. Die Frequenz (Tonhöhe) jedes Tones ist im umgekehrten Verhältnis zu der Wellenlänge. So, wenn wir die Wellenlänge halbieren, verdoppeln wir die Frequenz. Wie wir schon wissen, macht Verdoppeln der Frequenz den Ton eine Oktave höher klingen v8 05 mr 12 jse 1

2 Was passiert, wenn wir diese Töne zusammen spielen? Die Welleformen verbinden sich, ein komplizierteres Muster zu geben, aber das menschliche Gehirn ist klug genug, das Muster in seine getrennte Teile zu lösen. Wir können die getrennten Töne hören In einer normalen 8-Ton (12-Halbton) Oktave sind die 'perfekten' Verhältnisse zwischen den Frequenzen der Tönen wie hier gezeigt. In diesem Beispiel werden wir die C-dur Tonleiter gebrauchen Wenn wir diese Frequenzen in anderen Tonarten zu gebrauchen versuchen, ergeben sich Probleme. Wir haben oben gesehen, zum Beispiel, dass der D Ton über mittleren C eine 'perfekte' Frequenz von 288 Hz hat, und der A Ton über mittlerem C 427 Hz. Aber, wie C zu G, D zu A ist auch auf einer normalen Tonleiter ein 'fünftes' Intervall, so dass das Frequenzverhältnis zwischen A und D auch 1 zu 1.5 sein soll. Aber die Frequenzen, die wir oben berechnet haben, geben ein anderes Verhältnis: 427/288 kommt gleich 1.48, nicht 1.5, das es sein soll. Wenn ein Instrument, das auf die 'perfekten' C-Tonartfrequenzen abgestimmt wird, einen A Ton spielt, wird es also ein sehr wenig tiefer klingen, verglichen mit einem Instrument, das auf die 'perfekte' D-Tonart abgestimmt wird. Wenn diese zwei Töne zusammen gespielt werden, wird ein unharmonisches 'Schlagen' gehört werden Die Lösung von dem Problem von Frequenzfehlanpassung ist einen Kompromiss zu finden. Wir müssen annehmen, dass die idealen Verhältnisse nicht erreicht werden können. Als Bach seine WTK Stücke komponierte, war seine Absicht, dass Spieler Stücke in jeder möglichen Tonart in der 12-Halbton Oktave spielen können sollen. So, alle die Fünftel sind nahe 1.5 über 1 im Frequenzverhältnis, aber nicht genau. Zu den meisten menschlichen Ohren, ist die zierliche Diskrepanz zwischen den Kompromissen und idealen Verhältnissen nicht wahrnehmbar. v8 05 mr 12 jse 2

3 Die häufigste Abstimmung von Klavierinstrumenten ist heute in Übereinstimmung mit dem gleichen Temperamentformat, in dem das Frequenzverhältnis jedes Tones zum Ton ein Halbton unterhalb oder oben identisch ist. Schon wissen wir, dass es 12 Halbtöne in einer Oktave gibt, und eine Oktave eine Verdopplung von Frequenz symbolisieret. Daher folgt es, dass das Frequenzverhältnis zwischen jeden zwei Halbtönen mathematisch gleich zu der zwölften Wurzel von zwei sein muss, d.h In diesem System ist das Frequenzverhältnis zwischen jeden zwei Tönen ein Fünftel entfernt , anstelle von dem 'perfekten' Wie wir vorher sagten, bemerken die meisten menschlichen Ohren die Diskrepanz nicht. Hören wir einige Fünftel mit gleichen Temperamentabstimmungen Und einen C-dur Akkord Und eine Folge von Tönen, die du später hören wirst Um den Vortrag zu vollenden, fragen wir JSB selbst über der Wichtigkeit von Mathematik in Musik Fragen 1 Was war das Zweck 'Des Wohltemperierten Klaviers'? 2 Welcher Ton hat eine Frequenz von 128 Hz? (Tip: erinnere dich an das Verhältnis zwischen Oktaven) 3 'Konzerttonhöhe' (die die Musiker gebrauchen) basiert auf dem A Ton = 440 Hz. Ist diese Tonhöhe höher oder niederer als 'wissenschaftliche' Tonhöhe? 4 Wieviele Stücke gibt es im WTK? (Tip: erinnere dich, dass jeder Ton der Oktave zwei Tonarten hat: Dur und Moll) 5 Wieviele Methoden gibt es, ein Klavier zu stimmen? 6 Was ist die Frequenz des G Tones unterhalb mittleren C? 7 Eine Biene flattert tipisch ihre Flügel 200 mal pro Sekunde. Welchen Ton wirst du hören, als sie vorbei fliegt? 8 Welcher Ton hat eine Frequenz von 1 Hz? Kannst du ihn hören? v8 05 mr 12 jse 3

4 INTERVIEW ZWISCHEN TV MODERATOR UND J S BACH TVM: Guten Tag, Herr Bach. JSB: Guten Tag. Bitte, ich heisse Johann. TVM: Danke, Johann. Was dachtest du über den vorhergehenden Vortrag über die Mathematik von Musik? JSB: Mit Respekt, er war unwesentlich. TVM: In welcher Weise? JSB: Nun, ich komponierte 'Das Wohltemperierte Klavier', so dass Musiker Stücke in jeder Tonart spielen üben konnten. Die Abstimmung des Klaviers wurde gewählt, so dass bei diesem Üben richtig tönende Intervalle zwischen den Tönen in jedem Akkord erhalten werden können. Es gab keine damit verbundene Mathematik. Die Abstimmung des Instruments ist nach dem Gehör. Ausgewählte Töne werden zu perfekter Tonhöhe abgestimmt, und andere so weit wie möglich zu perfekter Tonhöhe. TVM: Wer wählt, welche Töne in dieser Weise abgestimmt werden? JSB: Wer auch immer das Instrument abstimmt. Wir alle haben unsere eigenen Vorlieben. TVM: Bedeute es, dass einige Stücke besser klingen, wenn sie in angebenen Tonarten gespielt werden? JSB: Richtig. Aber Wohltemperieren ist ein Kompromiss, der es möglich machen will, in jeder Tonart zu spielen. Einige Intervalle werden nicht perfekt sein, aber sie sind genau genug, Missklang zu vermeiden. TVM: So, Johann, die Mathematik ist unwichtig? JSB: Ich würde sagen: Ja. Musik hat einige Zwecke. Einer ist, so dass der Komponist seine Fähigkeiten vorführen kann. Noch einer ist, dass der Virtuose dasselbe tun kann. Aber der Hauptzweck von Musik ist künstlerisch emotional, wenn du willst. Sie sollte Freude, oder Trauer, oder Selbstbeobachtung inspirieren können. TVM: Wie wird sich Musik in der Zukunft entwickeln? JSB: Sie wird phantastisch sein! Einige Jahrzehnte von heute, werden Wolfgang Amadeus Mozart und Franz Joseph Haydn Musik revolutionieren. Sie wird kultivierter werden, experimenteller. Bald danach wird Ludwig van Beethoven eine neue Epoche erröffnen. Er wird komplizierte, äusserst emotionale Stücke komponieren. TVM: So, die Zukunft liegt mit deutschen und österreichischen Komponisten? v8 05 mr 12 jse 4

5 JSB: Nein, es wird Genies von anderen Ländern geben. Zum Beispiel, Frédéric Chopin aus Polen wird schöne, komplizierte Klaviermusik komponieren. In Italien werden Verdi und Rossini strahlende Opern komponieren. Anderhalb Jahrhunderte von heute werden die bedeutenden russischen Komponisten sich profilieren, mit Tchaikovsky anfangen. TVM: Wird es keinen Platz für einfache Volksmusik in dieser komlpizierten Zukunft geben? JSB: Oh, ja. In der Mitte des zwanzigstes Jahrhunderts wird ein neuer Typ von beliebter Musik die Welt fegen. Die Stücke werden kurz sein, gewöhnlich nur ein paar Minuten lang. Das Tempo wird vier-vier sein, mit schwerem Schlagzeug, um die zweiten und vierten Takte jedes Taktstrichs zu betonen. TVM: Einfache Musik, also? JSB: Gewöhnlich, ja. Viele Stücke werden nur zu den subdominanten und dominanten Tonarten modulieren, wie heute im Status quo in Volksmusik. TVM: So, du könntest Musik, die nur drei Akkordmodulationen hat, das Etikett 'Status Quo' Musik geben? JSB: Ja, es würde ein guter Name für eine Musikgruppe sein, die diese Stücke spielt! Aber 'einfach' bedeutet nicht unbedingt 'langweilig' oder 'schlechte Qualität'. Wenn die Musik in Leuten grosse Gefühle erregt, dann hat sie ihren Zweck erreicht. TVM: Zurück in die Gegenwart, Johann. 'Das Wohltemperierte Klavier' kommt in der Hitliste gut voran. Können wir ein Stück davon hören? JSB: Selbstverständlich. Werden wir das erste Stück in Buch 1 hören. Es ist ein Präludium in C-dur. Weil es ein einfaches Stück ist, vertun sich viele Leute, es zu schnell zu spielen. Hier hören wir es elegant gespielt. TVM: Danke, Johann. [Zu Kamera] Um unser Programm zu vollenden, hören wir nun Präludium Nummer 1. Danke fürs Zuschauen. Auf Wiedersehen. v8 05 mr 12 jse 5