Lösung zur Klausur. Grundlagen der Theoretischen Informatik. 1. Zeigen Sie, dass die folgende Sprache regulär ist: w {a, b} w a w b 0 (mod 3) }.

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1 Lösung zur Klusur Grundlgen der Theoretischen Informtik 1. Zeigen Sie, dss die folgende Sprche regulär ist: { w {, } w w 0 (mod 3) }. Lösung: Wir nennen die Sprche L. Eine Sprche ist genu dnn regulär, wenn ein DEA existiert, der die Sprche erkennt. Wir geen deshl einen DEA M n, der L kzeptiert: M := ({z 0, z 1, z 2 }, {, }, δ, z 0, {z 0 }), woei die Üerführungsfunktion δ durch folgendes Zustndsüergngsdigrmm gegeen ist: z 0 z 1 z 2 M zählt die Differenz der Anzhlen der isher gelesenen s und s modulo 3. Dei edeutet Zustnd z i, dss die Differenz für ds isher gelesene Wort i (mod 3) ist. Liest der Automt ein, so steigt die Differenz um 1, woei sie von 2 wieder uf 0 springt, denn 3 0 (mod 3). Liest der Automt ein, so sinkt die Differenz um 1, woei sie von 0 uf 2 springt, d 1 2 (mod 3).

2 Lösung zur Klusur Grundlgen der Theoretischen Informtik 2. Wir etrchten die Sprche L = { i j j i i, j 0 }. () Geen Sie eine kontextfreie Grmmtik G n, sodss L = L(G). Lösung: Folgende kontextfreie Grmmtik erzeugt L: G := ({S, X, Y }, {, }, P, S), woei die Menge der Produktionen wie folgt ist: P := {S ε, S X, X X, X, X Y, Y Y, Y }. L L(G), d.h. lle Wörter us L werden von G erzeugt: Mit Hilfe der Regeln S X und X X können lle Wörter der Form i X i, für i 0, erzeugt werden. Mit der Regel X Y wird drus i Y i und mit den Regeln Y Y und Y können drus lle Wörter der Form i j j i, woei i 0 und j 1, erzeugt werden. Nun muss nur noch der Spezilfll j = 0 gehndelt werden. D.h. es müssen noch die Wörter der Form i i, mit i 1, und ds leere Wort erzeugt werden. Die Wörter der Form i i können durch Anwenden der Regeln S X, X X und X erzeugt werden und ds leere Wort wird durch die Regel S ε erzeugt. D die gerde drgestellten Anwendungen von Regeln die einzig möglichen sind, gilt uch: L(G) L, d.h. lle von G erzeugten Wörter liegen in L. () Ist L regulär? Lösung: Nein! Beweis durch Pumping-Lemm: Wir nehmen n, dss L regulär wäre. Dnn sgt uns ds Pumping-Lemm, dss es ein n git, so dss für lle Wörter x L mit x n gilt: es git Wörter u, v, w Σ mit x = uvw, uv n, v 1 und uv i w L für lle i N. Wir etrchten nun ds Wort x = n n. Es gilt x = i j j i mit i = n und j = 0, d.h. x L, und ußerdem x n. Demnch git es eine Aufteilung von x in x = uvw gemäß dem Pumping-Lemm. Es gilt lso uv n, d.h. es ist u = k und v = l für k + l n und l 1. Weiterhin ergit sich us dem Pumping-Lemm, dss uv 2 w L gelten muss. Es ist er uv 2 w = n+l n. Ds edeutet uv 2 w = n + l n = uv 2 w. Für lle Wörter i j j i L gilt er i j j i = i+j = i j j i. Dmit ist uv 2 w / L. Dies ist ein Widerspruch. Demnch wr die Annhme flsch.

3 Lösung zur Klusur Grundlgen der Theoretischen Informtik 3. Geen Sie einen deterministischen endlichen Automten n, der die gleiche Sprche kzeptiert wie der folgende nichtdeterministische endliche Automt: z 0 z 1 z 2,, Lösung: Wir nennen den NEA M. Es gilt M = ({z 0, z 1, z 2 }, {, }, δ, z 0, {z 2 }), woei δ wie oen gegeen ist. Wir verwenden die Potenzmengenkonstruktion, um einen zu M äquivlenten DEA M zu erstellen. Wir erhlten M = (P({z 0, z 1, z 2 }), {, }, δ, {z 0 }, {{z 2 }, {z 0, z 2 }, {z 1, z 2 }, {z 0, z 1, z 2 }}) woei δ durch folgendes Zustndsüergngsdigrmm gegeen ist (dei werden Zustände, die vom Strtzustnd us nicht erreichr sind, nicht eingezeichnet): q 0 q 1 q 2 q 3 q 0 := {z 0 } q 1 := {z 0, z 1 } q 2 := {z 0, z 1, z 2 } q 3 := {z 0, z 2 }

4 Lösung zur Klusur Grundlgen der Theoretischen Informtik 4. Zeigen Sie, dss die Sprche { w Mw hält ei keiner Einge } nicht entscheidr ist. Lösung: Wir nennen die Sprche L. Wir etrchten die üerll undefinierte Funktion Ω. Lut Vorlesung ist Ω erechenr. Dei gilt: Eine TM M erechnet Ω genu dnn, wenn M ei keiner Einge hält. Also gilt L = { w Mw erechnet Ω }. Die Funktionenmenge S = {Ω} (die lso nur Ω enthält) ist eine nicht leere echte Teilmenge der Klsse ller erechenren Funktionen. Nch dem Stz von Rice ist dnn er die Sprche C(S) = { w Die von M w erechnete Funktion liegt in S } nicht entscheidr. Es gilt er C(S) = { w M w erechnet Ω } = L. Also ist L nicht entscheidr.

5 Lösung zur Klusur Grundlgen der Theoretischen Informtik 5. Wir etrchten die Sprche L = { n n c n n 0 }. Welche der folgenden Aussgen sind korrekt? Bitte kreuzen Sie die korrekten Aussgen in dem dfür vorgesehenen Kästchen n. L ist regulär. L ist kontextfrei. L ist kontextsensitiv. L ist vom Typ 0. L ist entscheidr. L ist rekursiv-ufzählr. Begründung: In der Vorlesung wurde gezeigt, dss L kontextsensitiv ist. Außerdem ist jede kontextsensitive Sprche entscheidr, rekursiv ufzählr und vom Typ 0. In der Vorlesung wurde uch gezeigt, dss L nicht kontextfrei ist. D jede reguläre Sprche uch kontextfrei ist, knn L nicht regulär sein.