3.3 Klassifikation quadratischer Formen auf R n
|
|
- Ewald Holst
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 3.3. Klassifikation quadratischer Formen auf R n Klassifikation quadratischer Formen auf R n Wir können den Hauptsatz über symmetrische Matrizen verwenden, um uns einen Überblick über die Lösungsmengen quadratischer Gleichungen in n Variablen zu verschaffen. Eine homogene quadratische Gleichung in zwei Variablen x, y sieht so aus: c 1 x 2 +c 2 xy +c 3 y 2 = c 4, (c 1,c 2,c 3,c 4 R vorgegeben). Zum Beispiel ist die Lösungsmenge der Gleichung x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 eine Ellipse, die die x-achse bei x = ±a und die y-achse bei y = ±b schneidet. Die Lösungsmenge der Gleichung x 2 a y2 2 b = 1 2 ist eine Hyperbel mit Asymptoten, gegeben durch y = ± b x. Die Hyperbeläste a schneiden die x-achse bei +a bzw. a. Denn wir könnten die Gleichung umschreiben in die Form b 2 x 2 a 2 y 2 = (bx+ay)(bx ay) = (ab) 2. In den neuen Variablen x = bx+ay und ỹ = bx ay gilt also die üblicherweise als Hyperbelgleichung bezeichnete Beziehung ỹ = c x, wobei c = (ab)2. Weiter erhalten wir aus der definierenden Gleichung, wenn wir x gegen unendlich gehen lassen: y 2 lim x x = lim 2 x (b2 a b2 b2 2 x2) = a. 2 Daraus ergibt sich sofort die Behauptung über die Asymptoten. Wir wollen nun folgende Fragen beantworten: Kann man durch Wahl eines neuen Koordinatensystems jede quadratische Gleichung in eine möglichst einfache Form bringen? Wie lassen sich die möglichen Typen klassifizieren? Die linke Seite der quadratischen Gleichung fasst man zusammen zu einer sogenannten quadratischen Form Definition Unter einer quadratischen Form auf R n versteht man eine Abbildung nach R, die durch einen quadratischen Ausdruck in den Koordinaten gegeben ist, also: q:r n R, q(x 1,...,x n ) = α ij x i x j. i j Aus den Koeffizienten α ij können wir eine symmetrische Matrix A = (a ij ) i,j bilden, indem wir setzen: a ii = α ii für alle i und a ij = a ji = 1 2 α ij für alle i < j. Dann lässt sich die quadratische Form q so schreiben: q(v) = v T Av = v,av für v R n. Umgekehrt liefert jede symmetrische n n-matrix A (das heisst also eine Matrix mit a ij = a ji für alle i j) auf diese Art eine quadratische Form q A auf R n.
2 62 Kapitel 3. Quadratische Formen und symmetrische Matrizen Für n = 2 heisst das konkreter: Die quadratische Form auf R 2, definiert durch q(x,y) = ax 2 +bxy +cy 2, (a,b,c R), gehört zu der symmetrischen Matrix ( a 1 A := b ) 2 1 b c, 2 denn q A (x,y) = (xy)a ( ) x = ax 2 +bxy +cy 2. y Sei jetzt A eine reelle, symmetrische n n-matrix. Die zugehörige quadratische Form auf R n lautet dann q A :R n R, q A (v) := v T Av. Weil A symmetrisch ist, können wir zu einer Orthonormalbasis aus Eigenvektoren (v 1,...,v n ) übergehen. Bezeichnet T die entsprechende Transformationsmatrix, so ist λ T 1 AT = , 0... λ n wobei λ 1,...,λ n die Eigenwerte von A sind. Da T orthogonal ist, erhalten wir q A (Tv) = (Tv) T ATv = v T (T T AT)v = v T (T 1 AT)v. x 1 Setzen wir für v =. ein, erhalten wir, weil die Matrix T aus den Spalten x n v 1,...,v n besteht, folgendes Resultat: 3.17 Satz Sei q = q A :R n R die quadratische Form zur symmetrischen Matrix A. Sei weiter (v 1,...,v n ) eine Orthonormalbasis von R n aus Eigenvektoren von A zu den Eigenwerten λ 1... λ n. Dann gilt q(x 1 v 1 + +x n v n ) = λ 1 x λ nx 2 n. WirkönnenalsojedequadratischeFormaufR n beigeeigneterwahldeskoordinatensystems als Summe von gewichteten Quadraten schreiben. Kommen wir nun zu den Lösungsmengen quadratischer Gleichungen zurück. Schauen wir uns zunächst den Fall n = 2 genauer an Satz Sei A eine invertierbare symmetrische 2 2-Matrix mit Eigenwerten λ 1 λ 2. Dann gibt es für die Lösungsmenge der quadratischen Gleichung q A (v) = 1 in R 2 drei Möglichkeiten. Ist λ 1,λ 2 < 0, so ist die Lösungsmenge leer. Sind beide Eigenwerte positiv, handelt es sich um eine Ellipse. Ist λ 1 > 0 und λ 2 < 0, so ist die Lösungsmenge eine Hyperbel.
3 3.3. Klassifikation quadratischer Formen auf R n 63 Beweis. Wie eben gezeigt, lässt sich die Gleichung vereinfachen, indem man zu einer Orthonormalbasis v 1,v 2 von R 2 aus Eigenvektoren von A zu den Eigenwerten λ 1 λ 2 übergeht.dabeihabenwirdasstandardkoordinatensystemlediglichgedreht oder gespiegelt. Bezogen auf die neuen Koordinaten x 1,x 2 nimmt die quadratische Gleichung folgende Gestalt an: ( ) q(x 1 v 1 +x 2 v 2 ) = λ 1 x 2 1 +λ 2x 2 2 = 1. Wenn λ 1,λ 2 < 0, ist λ 1 x λ 2 x für alle x 1,x 2. Also hat die Gleichung ( ) in diesem Fall keine reellen Lösungen. Sind beide Eigenwerte λ 1 und λ 2 positiv, handelt es sich bei ( ) um eine Ellipsengleichung. Die Lösungsmenge in R 2 ist eine Ellipse mit Hauptachsen in Richtung von v 1 bzw. v 2, die die v 1 -Achse bei x 1 = ± 1 λ1 und die v 2 -Achse bei x 2 = ± 1 λ2 schneidet. Ist λ 1 > 0 und λ 2 < 0, so handelt es sich um eine Hyperbelgleichung. Die Lösungsmenge dieser Gleichung ist eine Hyperbel mit Asymptoten, gegeben λ durch die Gleichungen x 2 = ± 1 x λ 2 1. Die Hyperbel schneidet die v 1 -Achse bei x 1 = ± 1 λ1. q.e.d Beispiele Die Gleichung 2x 2 + 4xy + 5y 2 = ( 1 ) beschreibt eine( Ellipse ) mit Hauptachsen inrichtung der Vektoren v 1 = und v 2 2 = Die Ellipse schneidet die v 1 -Achse bei ± 1 6 und die v 2 -Achse bei ±1. Die Gleichung 4x 2 y 2 = (2x y)(2x + y) = 1 beschreibt eine Hyperbel mit Asymptoten y = ±2x. Das Verhältnis λ 1 λ2 = 2 gibt die Steigung der Asymptoten an. Die Hyperbeläste schneiden die x-achse bei ± Satz Sei jetzt A eine symmetrische 3 3-Matrix mit deta 0. Dann gibt es für die Lösungsmenge der quadratischen Gleichung q A (v) = 1 in R 3 insgesamt vier Möglichkeiten. 1. Sind alle Eigenwerte von A negativ, hat die Gleichung keine Lösungen in R Sind alle Eigenwerte von A positiv, handelt es sich um ein Ellipsoid. Die Eigenrichtungen geben die Hauptachsen und die Zahlen 1 λj jeweils den Halbachsenabschnitt an. 3. Sind zwei Eigenwerte positiv und einer negativ, so ist die Lösungsmenge ein einschaliges Hyperboloid. 4. Ist ein Eigenwert positiv und sind die zwei anderen negativ, so ist die Lösungsmenge ein zweischaliges Hyperboloid.
4 64 Kapitel 3. Quadratische Formen und symmetrische Matrizen Hierzu wiederum ein Beispiel Beispiel Sei q(x,y,z) = 2x 2 +4xy y 2 2xz+4yz+2z 2 = 1 für x,y,z R. Die quadratische Form q ist gegeben durch die symmetrische Matrix A = Bestimmen wir nun die Eigenwerte von A, um den Typ der Lösungsmenge der Gleichung q(x, y, z) = 1 herauszufinden. Das charakteristische Polynom von A lautet: λ p A (λ) = det(λe A) = 2 λ λ 2 = (λ 2)2 (λ+1)+8 (λ+1) 8(λ 2). Durch Umformen erhält man p A (λ) = λ 3 3λ 2 9λ+27 = (λ 3)(λ 2 9) = (λ 3) 2 (λ+3). Die Eigenwerte der Matrix A sind also 3 (doppelt) und 3 (einfach). Deshalb ist die Lösungsmenge der Gleichung q A (x,y,z) = 1 ein einschaliges Hyperboloid Definition Eine quadratische Form q auf einem Vektorraum V heisst positiv (bzw. negativ) definit, falls q(v) > 0 (bzw. q(v) < 0) für alle v 0. Die Form q heisst indefinit, falls q auf V sowohl positive als auch negative Werte (sowie den Wert 0) annimmt. Weil wir jede quadratische Form auf R n als Summe von gewichteten Quadraten schreiben können, gilt folgendes: 3.23 Bemerkung Sei A eine symmetrische n n-matrix. Die zugehörige quadratischeformq A aufr n istgenaudannpositiv(bzw.negativ)definit,wennalleeigenwerte von Apositiv (bzw. negativ) sind. q A ist genaudann indefinit, wenn A mindestens einen positiven und einen negativen Eigenwert besitzt. Eine weitere Anwendung des Hauptsatzes über symmetrische Matrizen findet man in der Mechanik bei der Beschreibung der Drehbewegungen eines starren Körpers. Nehmen wir an, ein starrer Körper rotiere um eine (bewegliche) freie Achse, die durch den Schwerpunkt des Körpers geht. Der Vektor ω R 3 gebe mit seiner Richtung die momentane Richtung der Drehachse und mit seinem Betrag die Winkelgeschwindigkeit an. Die kinetische Energie der Bewegung erweist sich als quadratische Form der Winkelgeschwindigkeit. Deshalb gibt es eine symmetrische Matrix J M 3 3 (R), den sogenannten Trägheitstensor des starren Körpers, so dass: E = 1 2 wt Jw.
5 3.3. Klassifikation quadratischer Formen auf R n 65 Der Drehimpuls L R 3 der Bewegung ist gegeben durch L(t) = J ω(t). Ist ω ein Eigenvektor von J, so zeigen Drehimpuls und Rotationsachse in dieselbe Richtung. Das bedeutet, dass es dann keine Unwucht gibt. Weil der Trägheitstensor eine symmetrische Matrix ist, gibt es eine Basis des Raumes aus Eigenvektoren für J. Die Eigenrichtungen sind die sogenannten Hauptträgheitsachsen des starren Körpers. Wählt man Eigenvektoren als Basis, so wird aus dem Trägheitstensor eine Diagonalmatrix. In der Diagonalen stehen die Eigenwerte J 1,J 2,J 3, die jeweils die Trägheitsmomente bezüglich der gewählten Hauptträgheitsachsen angeben (und daher positive Zahlen sind). Denn in diesem Koordinatensystem nehmen die Gleichungen folgende Form an: L = J 1ω 1 J 2 ω 2 und E = 1 2 (J 1ω1 2 +J 2ω2 2 +J 3ω3 2 ). J 3 ω 3 Für eine Kugel ist J 1 = J 2 = J 3, in diesem Fall ist jede beliebige Achse durch den Schwerpunkt eine Hauptträgheitsachse. Es gibt auch starre Körper, für die zwei der drei Eigenwerte zusammenfallen (zum Beispiel ein Bleistift). In diesem Fall ist die Hauptträgheitsachse zu dem einfachen Eigenwert eindeutig bestimmt, und alle dazu senkrechten Achsen durch den Schwerpunkt des Körpers sind Hauptträgheitsachsen für den doppelten Eigenwert. Ist der starre Körper zum Beispiel ein homogener Quader mit drei verschiedenen Seitenlängen, so sind alle Eigenwerte verschieden. Hier sind die Hauptträgheitsachsen gerade die drei Symmetrieachsen des Quaders. Stabil sind die Bewegungen um die Achse mit dem grössten und die Achse mit dem kleinsten Trägheitsmoment.
Kapitel 3 Quadratische Formen und symmetrische Matrizen
Kapitel 3 Quadratische Formen und symmetrische Matrizen 3.1 Skalarprodukte und Normen Das übliche Skalarprodukt für Vektoren aus dem R ist folgendermassen erklärt: ( ) ( ) x1 x v,w =, := x 1 x +y 1 y.
MehrKapitel 3 Quadratische Formen und symmetrische Matrizen
Kapitel 3 Quadratische Formen und symmetrische Matrizen 3.1 Skalarprodukte und Normen Das übliche Skalarprodukt für Vektoren aus dem R ist folgendermassen erklärt: ( ) ( ) x1 x v w = := x 1 x +y 1 y. y
MehrEigenwerte (Teschl/Teschl 14.2)
Eigenwerte Teschl/Teschl 4. Ein Eigenvektor einer quadratischen n nmatrix A ist ein Vektor x R n mit x 0, für den Ax ein skalares Vielfaches von x ist, es also einen Skalar λ gibt mit Ax = λ x Ax λ x =
MehrLineare Algebra II 11. Übungsblatt
Lineare Algebra II Übungsblatt Fachbereich Mathematik SS Prof Dr Kollross 9 / Juni Susanne Kürsten Tristan Alex Gruppenübung Aufgabe G (Minitest (Bearbeitung innerhalb von Minuten und ohne Benutzung des
Mehr6 Symmetrische Matrizen und quadratische Formen
Mathematik für Ingenieure II, SS 9 Freitag 9.6 $Id: quadrat.tex,v. 9/6/9 4:6:48 hk Exp $ 6 Symmetrische Matrizen und quadratische Formen 6. Symmetrische Matrizen Eine n n Matrix heißt symmetrisch wenn
MehrLösungen zu Prüfung Lineare Algebra I/II für D-MAVT
Prof. N. Hungerbühler ETH Zürich, Sommer 4 Lösungen zu Prüfung Lineare Algebra I/II für D-MAVT. [ Punkte] Hinweise zur Bewertung: Jede Aussage ist entweder wahr oder falsch; machen Sie ein Kreuzchen in
Mehr6 Metrische Klassifikation der Quadriken
6 Metrische Klassifikation der Quadriken A Wiederholung von Kap V, 5 Sei A = (a ij ) eine symmetrische n n Matrix. n x 1 q(x) := x t Ax = a ij x i x j, x =. i,j=1 ist dann ein quadratisches Polynom in
Mehr6 Eigenwerte und Eigenvektoren
6.1 Eigenwert, Eigenraum, Eigenvektor Definition 6.1. Es sei V ein Vektorraum und f : V V eine lineare Abbildung. Ist λ K und v V mit v 0 und f(v) = λv gegeben, so heißt die Zahl λ Eigenwert (EW) von f,
MehrMusterlösungen zur Linearen Algebra II Übungsklausur
Musterlösungen zur Linearen Algebra II Übungsklausur Aufgabe. Sei A R 3 3. Welche der folgenden Aussagen sind richtig? a Ist det(a =, dann ist A eine orthogonale Matrix. b Ist A eine orthogonale Matrix,
Mehr9 Eigenwerte und Eigenvektoren
92 9 Eigenwerte und Eigenvektoren Wir haben im vorhergehenden Kapitel gesehen, dass eine lineare Abbildung von R n nach R n durch verschiedene Darstellungsmatrizen beschrieben werden kann (je nach Wahl
Mehr9 Eigenwerte und Eigenvektoren
92 9 Eigenwerte und Eigenvektoren Wir haben im vorhergehenden Kapitel gesehen, dass eine lineare Abbildung von R n nach R n durch verschiedene Darstellungsmatrizen beschrieben werden kann (je nach Wahl
MehrKapitel 5 : Eigenwerte und Eigenvektoren
Kapitel 5 : Eigenwerte und Eigenvektoren 5.1 Definition und allgemeine Eigenschaften Definition 5.1 Sei A eine quadratische (n n)-matrix. λ C heißt Eigenwert von A, wenn ein Vektor x C n mit x 0 existiert,
Mehr6 Eigenwerte und Eigenvektoren
6.1 Eigenwert, Eigenraum, Eigenvektor Definition 6.1. Es sei V ein Vektorraum und f : V V eine lineare Abbildung. Ist λ K und v V mit v 0 und f(v) = λv gegeben, so heißt die Zahl λ Eigenwert (EW) von f,
MehrTutorium Mathematik II, M Lösungen
Tutorium Mathematik II, M Lösungen März 03 *Aufgabe Bestimmen Sie durch Hauptachsentransformation Lage und Typ der Kegelschnitte (a) 3x + 4x x + 3x 4x = 0, (b) 3x + 4x x + 3x 4x 6 = 0, (c) 3x + 4x x +
MehrLineare Algebra II (SS 13)
Lineare Algebra II (SS 13) Bernhard Hanke Universität Augsburg 03.07.2013 Bernhard Hanke 1 / 16 Selbstadjungierte Endomorphismen und der Spektralsatz Definition Es sei (V,, ) ein euklidischer oder unitärer
Mehr1. Übungsblatt: Lineare Algebra II Abgabe: 8./ in den Übungsgruppen
Hannover, den 7. Februar 2002 Aufgabe. Übungsblatt: Lineare Algebra II Abgabe: 8./9.4.2002 in den Übungsgruppen (2, 2, 3 Punkte) Der Vektorraum V = C[, ] sei mit dem üblichen Skalarprodukt f, g = f(t)g(t)
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2015): Lineare Algebra und analytische Geometrie 2
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 25): Lineare Algebra und analytische Geometrie 2 2. (Frühjahr 29, Thema 3, Aufgabe 3) Gegeben sei die reelle 3 3 Matrix 4 2 A = 2 7 2 R 3 3. 2 2 a)
MehrKapitel 5. Eigenwerte. Ein Leontief-Modell für eine Volkswirtschaft heißt geschlossen, wenn der Konsum gleich der Produktion ist, d.h. wenn.
Kapitel 5 Eigenwerte Josef Leydold Mathematik für VW WS 2016/17 5 Eigenwerte 1 / 42 Geschlossenes Leontief-Modell Ein Leontief-Modell für eine Volkswirtschaft heißt geschlossen, wenn der Konsum gleich
MehrKlassische Theoretische Physik II (Theorie B) Sommersemester 2016
Karlsruher Institut für Technologie Institut für Theorie der Kondensierten Materie Klassische Theoretische Physik II (Theorie B Sommersemester 6 Prof. Dr. Alexander Mirlin Musterlösung: Blatt. PD Dr. Igor
MehrLineare Algebra und analytische Geometrie II
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2016 Lineare Algebra und analytische Geometrie II Vorlesung 43 Polynome in mehreren Variablen und Nullstellenmengen Als eine Anwendung der Diagonalisierbarkeit von symmetrischen
Mehr6 Hauptachsentransformation
6 Hauptachsentransformation A Diagonalisierung symmetrischer Matrizen (6.1) Satz: Sei A M(n n, R) symmetrisch. Dann gibt es eine orthogonale n n-matrix U mit U t AU = D Diagonalmatrix Es folgt: Die Spalten
MehrKapitel 5. Eigenwerte. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 5 Eigenwerte 1 / 42
Kapitel 5 Eigenwerte Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 5 Eigenwerte 1 / 42 Geschlossenes Leontief-Modell Ein Leontief-Modell für eine Volkswirtschaft heißt geschlossen, wenn der Konsum gleich
MehrProbeprüfung Lineare Algebra I/II für D-MAVT
Prof. N. Hungerbühler ETH Zürich, Frühling 018 Probeprüfung Lineare Algebra I/II für D-MAVT Die Prüfung dauert 10 Minuten. Sie dient der Selbstevaluation. Die Musterlösungen folgen. Die Multiple Choice
MehrKapitel V. Räumliche Geometrie. 1. Drehungen
Kapitel V Räumliche Geometrie 1. Drehungen Punkte in R 3 sind durch 3 Koordinaten (x 1,x 2,x 3 ) bestimmt. Wir benützen die Matrix-Schreibweise x 1 x = x 2 x 3 Eine Drehung um die Koordinatenachse x 3
Mehr47 Singulärwertzerlegung
47 Singulärwertzerlegung 47.1 Motivation Wir haben gesehen, dass symmetrische Matrizen vollständig mithilfe ihrer Eigenwerte und Eigenvektoren beschrieben werden können. Diese Darstellung kann unmittelbar
MehrMischungsverhältnisse: Nehmen wir an, es stehen zwei Substanzen (zum Beispiel Flüssigkeiten) mit spezifischen Gewicht a = 2 kg/l bzw.
Kapitel 5 Lineare Algebra 51 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen Man begegnet Systemen von linearen Gleichungen in sehr vielen verschiedenen Zusammenhängen, etwa bei Mischungsverhältnissen von Substanzen
MehrP AP 1 = D. A k = P 1 D k P. = D k. mit P 0 3
Matrixpotenzen In Anwendungen müssen oft hohe Potenzen einer quadratischen Matrix berechnet werden Ist die Matrix diagonalisierbar, dann kann diese Berechnung wie folgt vereinfacht werden Sei A eine diagonalisierbare
MehrLösungen der Aufgaben zu Kapitel 11
Lösungen der Aufgaben zu Kapitel Vorbemerkung: Zur Bestimmung der Eigenwerte (bzw. des charakteristischen Polynoms) einer (, )-Matrix verwenden wir stets die Regel von Sarrus (Satz..) und zur Bestimmung
MehrKlausur zur Vorlesung Lineare Algebra B im SS 2002 an der Universität Hannover
Dozent: Prof. Dr. Wolfgang Ebeling Übungsleiter: Dr. Detlef Wille Klausur zur Vorlesung Lineare Algebra B im SS an der Universität Hannover Joachim Selke 9. Februar Lineare Algebra B SS Klausur zur Vorlesung
MehrMathematik I für MB/ME
Mathematik I für MB/ME Fachbereich Grundlagenwissenschaften Prof Dr Viola Weiÿ Wintersemester 25/26 Übungsaufgaben Serie 4: Lineare Unabhängigkeit, Matrizen, Determinanten, LGS Prüfen Sie, ob die folgenden
MehrEigenwerte (Teschl/Teschl 14.2)
Eigenwerte (Teschl/Teschl 4.2 Ein Eigenvektor einer quadratischen n nmatrix A ist ein Vektor x R n mit x, für den Ax ein skalares Vielfaches von x ist, es also einen Skalar λ gibt mit Ax = λ x Ax λ x =
MehrVorlesung Mathematik für Ingenieure 3 (Wintersemester 2009/10)
Vorlesung Mathematik für Ingenieure 3 (Wintersemester 2009/10) Kapitel 15: Eigenwerte und -vektoren Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 5. November 2009) Diagonalisierbarkeit
Mehr20. und 21. Vorlesung Sommersemester
2. und 21. Vorlesung Sommersemester 1 Der Spezialfall fester Drehachse Aus dem Trägheitstensor sollte der früher behandelte Spezialfall fester Drehachse wieder hervorgehen. Wenn man ω = ω n mit einem Einheitsvektor
MehrStroppel Musterlösung , 180min
Stroppel Musterlösung 040907, 80min Aufgabe (8 Punkte) (a) Seien A, D, T R d d für ein d N Weiter sei T invertierbar und es gelte T AT D Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass A n T D n T gilt für
Mehr6.3 Hauptachsentransformation
Im Wintersemester 6/7 wurde in der Vorlesung Höhere Mathematik für Ingenieurstudiengänge der folgende Algorithmus zur Hauptachsentransformation besprochen: 63 Hauptachsentransformation Die Matrizen, die
MehrLineare Algebra II. Prof. Dr. M. Rost. Übungen Blatt 7 (SS 2011) Abgabetermin: Donnerstag, 2. Juni.
Lineare Algebra II Prof. Dr. M. Rost Übungen Blatt 7 (SS 2011) Abgabetermin: Donnerstag, 2. Juni http://www.math.uni-bielefeld.de/~rost/la2 Erinnerungen, Ergänzungen und Vorgriffe zur Vorlesung: Eigenvektoren
MehrMusterlösung Serie 21
D-MATH Lineare Algebra II FS 09 Prof. Richard Pink Musterlösung Serie Positiv-Definitheit und Singulärwertzerlegung. Welche der folgenden drei reellen symmetrischen Matrizen sind positiv definit? A : 6
Mehr2.2 Kern und Bild; Basiswechsel
22 Kern und Bild; Basiswechsel 22 Kern und Bild; Basiswechsel 35 Jede lineare Abbildung definiert charakteristische Unterräume, sowohl im Ausgangsraum als auch im Bildraum 22 Satz Sei L: V W eine lineare
Mehr6 Symmetrische und hermitesche Matrizen
Mathematik für Physiker II, SS Freitag 4.6 $Id: quadrat.tex,v.8 /6/4 4:44:39 hk Exp hk $ 6 Symmetrische und hermitesche Matrizen 6. Prä-Hilberträume Wir sind gerade mit der Diskussion der sogenannten Ausgleichsgerade
MehrAussagenlogik. Lehrstuhl für BWL, insb. Mathematik und Statistik Prof. Dr. Michael Merz Mathematik für Betriebswirte I Wintersemester 2012/2013
Aussagenlogik 1. Gegeben seien folgende Aussagen: A: 7 ist eine ungerade Zahl B: a + b < a + b, a, b R C: 2 ist eine Primzahl D: 7 7 E: a + 1 b, a, b R F: 3 ist Teiler von 9 Bestimmen Sie den Wahrheitswert
MehrAussagenlogik. Lehrstuhl für BWL, insb. Mathematik und Statistik Prof. Dr. Michael Merz Mathematik für Betriebswirte I Wintersemester 2015/2016
Aussagenlogik 1. Gegeben seien folgende Aussagen: A: 7 ist eine ungerade Zahl B: a + b < a + b, a, b R C: 2 ist eine Primzahl D: 7 7 E: a + 1 b, a, b R F: 3 ist Teiler von 9 Bestimmen Sie den Wahrheitswert
MehrAussagenlogik. 1. Gegeben seien folgende Aussagen: A: 7 ist eine ungerade Zahl. C: 2 ist eine Primzahl D: 7 7. F: 3 ist Teiler von 9
Aussagenlogik 1. Gegeben seien folgende Aussagen: A: 7 ist eine ungerade Zahl B: a + b < a + b, a, b R C: 2 ist eine Primzahl D: 7 7 E: a + 1 b, a, b R F: 3 ist Teiler von 9 Bestimmen Sie den Wahrheitswert
Mehr6 Symmetrische Matrizen und quadratische Formen
Mathematik für Ingenieure II, SS 009 Dienstag 3.6 $Id: quadrat.tex,v.4 009/06/3 4:55:47 hk Exp $ 6 Symmetrische Matrizen und quadratische Formen 6.3 Quadratische Funktionen und die Hauptachsentransformation
MehrÜbungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15
Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15 Matrizen und Vektoren, LGS, Gruppen, Vektorräume 1.1 Multiplikation von Matrizen Gegeben seien die Matrizen A := 1 1 2 0 5 1 8 7 Berechnen Sie alle möglichen
MehrComputer Vision I. Nikos Canterakis. Lehrstuhl für Mustererkennung, Universität Freiburg
Nikos Canterakis Lehrstuhl für Mustererkennung, Universität Freiburg Gliederung 3 Der Axiator Eigenschaften des Axiators Bestimmung des Kegelschnitts Geometrische Betrachtungen Dualer Kegelschnitt Pol-Polare
MehrAussagenlogik. Lehrstuhl für BWL, insb. Mathematik und Statistik Prof. Dr. Michael Merz Mathematik für Betriebswirte I Wintersemester 2018/2019
Aussagenlogik 1. Gegeben seien folgende Aussagen: A: 7 ist eine ungerade Zahl B: a + b < a + b, a, b R C: 2 ist eine Primzahl D: 7 7 E: a + 1 b, a, b R F: 3 ist Teiler von 9 Bestimmen Sie den Wahrheitswert
MehrT := {σ S 4 σ 3 = Id}. a) Es seien V ein Vektorraum und Φ ein Endomorphismus von V, sodass
I. a) Es sei (G, ) eine abelsche Gruppe mit neutralem Element e G. Zeigen Sie, dass U := {g G g 3 = e G } eine Untergruppe von G ist. b) In der symmetrischen Gruppe S 4 definieren wir analog zu a) die
Mehr6 Symmetrische und hermitesche Matrizen
Mathematik für Physiker II, SS 7 Freitag 3.6 $Id: quadrat.tex,v.3 7/6/3 :8:3 hk Exp $ 6 Symmetrische und hermitesche Matrizen 6. Symmetrische und hermitesche Matrizen Wir kommen jetzt zu den symmetrischen
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2014): Lineare Algebra und analytische Geometrie 8
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 204): Lineare Algebra und analytische Geometrie 8 8. (Herbst 202, Thema 3, Aufgabe 4) Bestimmen Sie die euklidische Normalform der Quadrik Q, gegeben
MehrLösung 8: Quadratische Formen, Sylvesters Trägheitssatz
D-MATH Lineare Algebra II FS 207 Dr. Meike Akveld Lösung 8: Quadratische Formen, Sylvesters Trägheitssatz. Wir erinnern an den Hauptachsensatz: Jede von 0 verschiedene quadratische Form Q auf R 3 ist bis
Mehr5 Quadriken. K = { R 2 ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0} wobei a, b, c, d, e, f reelle Zahlen sind mit (a, b, c) (0, 0, 0).
5 Quadriken Kegelschnitte Ein Kegelschnitt ist eine Teilmenge K R 2, welche durch eine quadratische Gleichung in zwei Unbestimmten beschrieben werden kann: x K = { R 2 ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f =
Mehr40 Lokale Extrema und Taylor-Formel
198 VI. Differentialrechnung in mehreren Veränderlichen 40 Lokale Extrema und Taylor-Formel Lernziele: Resultate: Satz von Taylor und Kriterien für lokale Extrema Methoden aus der linearen Algebra Kompetenzen:
MehrFerienkurs Theoretische Mechanik 2009 Starre Körper und Rotation - Lösungen
Physik Department Technische Universität München Matthias Eibl Blatt 4 Ferienkurs Theoretische Mechanik 9 Starre Körper und Rotation - en Aufgaben für Donnerstag 1 Kinetische Energie eines rollenden Zylinders
MehrLineare Algebra: Determinanten und Eigenwerte
: und Eigenwerte 16. Dezember 2011 der Ordnung 2 I Im Folgenden: quadratische Matrizen Sei ( a b A = c d eine 2 2-Matrix. Die Determinante D(A (bzw. det(a oder Det(A von A ist gleich ad bc. Det(A = a b
MehrInhaltsverzeichnis INHALTSVERZEICHNIS 1
INHALTSVERZEICHNIS 1 Inhaltsverzeichnis 1 Die Parabel 2 1.1 Definition................................ 2 1.2 Bemerkung............................... 3 1.3 Tangenten................................ 3 1.4
Mehreine vom Nullvektor verschiedene Lösung hat. r heisst in diesem Fall Eigenvektor der Matrix A zum Eigenwert λ.
Eigenwert, Eigenvektor In der Regel hat bei einer linearen Abbildung das Bild eines Vektors eine andere Richtung als das Original r. Bei der Untersuchung der geometrischen Eigenschaften von linearen Abbildungen
MehrHauptachsentransformation: Eigenwerte und Eigenvektoren
Hauptachsentransformation: Eigenwerte und Eigenvektoren die bisherigen Betrachtungen beziehen sich im Wesentlichen auf die Standardbasis des R n Nun soll aufgezeigt werden, wie man sich von dieser Einschränkung
MehrAnwendung v. symmetrischen Matrizen: Hauptachsentransformation
Anwendung v. symmetrischen Matrizen: Hauptachsentransformation Einleitende Bemerkungen: Gl. für Kreis: Gl. für Elllipse: (gestauchter Kreis) Gl. für Kugel: Gl. für Elllipsoid: (gestauchter Kugel) Diese
MehrMathematik I für MB und ME
Mathematik I für MB und ME Fachbereich Grundlagenwissenschaften Prof Dr Viola Weiÿ Wintersemester 28/29 Übungsaufgaben Serie 4: Lineare Unabhängigkeit, Matrizen, Determinanten, LGS Prüfen Sie, ob die folgenden
Mehr45 Eigenwerte und Eigenvektoren
45 Eigenwerte und Eigenvektoren 45.1 Motivation Eigenvektor- bzw. Eigenwertprobleme sind wichtig in vielen Gebieten wie Physik, Elektrotechnik, Maschinenbau, Statik, Biologie, Informatik, Wirtschaftswissenschaften.
MehrLösung zu Serie [Aufgabe] Faktorisieren Sie die folgenden Polynome so weit wie möglich:
Lineare Algebra D-MATH, HS 04 Prof. Richard Pink Lösung zu Serie. [Aufgabe] Faktorisieren Sie die folgenden Polynome so weit wie möglich: a) F (X) := X 5 X in R[X] und C[X]. b) F (X) := X 4 +X 3 +X in
Mehr7 Lineare Abbildungen und Skalarprodukt
Mathematik II für inf/swt, Sommersemester 22, Seite 121 7 Lineare Abbildungen und Skalarprodukt 71 Vorbemerkungen Standard Skalarprodukt siehe Kap 21, Skalarprodukt abstrakt siehe Kap 34 Norm u 2 u, u
MehrMischungsverhältnisse: Nehmen wir an, es stehen zwei Substanzen (zum Beispiel Flüssigkeiten) mit spezifischen Gewicht a = 2 kg/l bzw.
Kapitel 5 Lineare Algebra 5 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen Man begegnet Systemen von linearen Gleichungen in sehr vielen verschiedenen Zusammenhängen, etwa bei Mischungsverhältnissen von Substanzen
MehrLineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG
R Käppeli L Herrmann W Wu Herbstsemester Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG ETH Zürich D-MATH Beispiellösung für Serie Aufgabe Beispiel einer Koordinatentransformation Gegeben seien zwei
Mehr5 Lineare Algebra (Teil 3): Skalarprodukt
5 Lineare Algebra (Teil 3): Skalarprodukt Der Begriff der linearen Abhängigkeit ermöglicht die Definition, wann zwei Vektoren parallel sind und wann drei Vektoren in einer Ebene liegen. Daß aber reale
Mehr7. Wie lautet die Inverse der Verkettung zweier linearer Abbildungen? 9. Wie kann die Matrixdarstellung einer linearen Abbildung aufgestellt werden?
Kapitel Lineare Abbildungen Verständnisfragen Sachfragen Was ist eine lineare Abbildung? Erläutern Sie den Zusammenhang zwischen Unterräumen, linearer Unabhängigkeit und linearen Abbildungen! 3 Was ist
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2015): Lineare Algebra und analytische Geometrie 3
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 205): Lineare Algebra und analytische Geometrie 3 3. (Herbst 997, Thema 3, Aufgabe ) Berechnen Sie die Determinante der reellen Matrix 0 2 0 2 2 2
MehrHenning Krause Lineare Algebra Julia Sauter SS 2017 Klausur mit Lösungsvorschlag Jan Geuenich
Henning Krause Lineare Algebra Julia Sauter SS 27 Klausur 2.9.27 mit Lösungsvorschlag Jan Geuenich Aufgabe (4 Punkte: Sei n N und seien A und B zwei (n n-matrizen über einem Körper K. Wahr Falsch (a Es
MehrLineare Abbildungen (Teschl/Teschl 10.3, 11.2)
Lineare Abbildungen (Teschl/Teschl.3,.2 Eine lineare Abbildung ist eine Abbildung zwischen zwei Vektorräumen, die mit den Vektoroperationen Addition und Multiplikation mit Skalaren verträglich ist. Formal:
MehrUntersuchen Sie, ob die folgenden Abbildungen linear oder nicht linear sind. x y
Aufgabe 1 Untersuchen Sie, ob die folgenden Abbildungen linear oder nicht linear sind. (( )) 3x x (a) Sei f : R 2 R 3 mit f = 2y + x y x y ( ) 4 (b) Sei f : R R 2 mit f(x) = x + 1 (( )) ( ) x x y (c) Sei
Mehr3.6 Eigenwerte und Eigenvektoren
3.6 Eigenwerte und Eigenvektoren 3.6. Einleitung Eine quadratische n n Matrix A definiert eine Abbildung eines n dimensionalen Vektors auf einen n dimensionalen Vektor. c A x c A x Von besonderem Interesse
Mehr2. Dezember Lineare Algebra II. Christian Ebert & Fritz Hamm. Skalarprodukt, Norm, Metrik. Matrizen. Lineare Abbildungen
Algebra und Algebra 2. Dezember 2011 Übersicht Algebra und Algebra I Gruppen & Körper Vektorräume, Basis & Dimension Algebra Norm & Metrik Abbildung & Algebra I Eigenwerte, Eigenwertzerlegung Singulärwertzerlegung
Mehr1 Analytische Geometrie und Grundlagen
$Id: vektor.tex,v 1.44 2018/05/17 14:11:13 hk Exp $ 1 Analytische Geometrie und Grundlagen 1.6 Bewegungen und Kongruenzbegriffe Wir untersuchen gerade die Spiegelung an einer Hyperebene h R d. Ist ein
MehrMusterlösung zur Serie 10
D-MATH, D-PHYS, D-CHAB Lineare Algebra II FS 1 Prof. Giovanni Felder, Thomas Willwacher Musterlösung zur Serie 1 1. a) Zur Erinnerung: Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge M ist eine Relation, die die
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2015/16): Lineare Algebra und analytische Geometrie 3
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 205/6): Lineare Algebra und analytische Geometrie 3 3. (Herbst 997, Thema 3, Aufgabe ) Berechnen Sie die Determinante der reellen Matrix 0 2 0 2 2
Mehr18 λ 18 + λ 0 A 18I 3 = / Z 2 Z 2 Z Z Z 1
UNIVERSITÄT KARLSRUHE Institut für Analysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmann Dipl.-Math. M. Uhl Sommersemester 9 Höhere Mathematik II für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie inklusive
Mehr(a), für i = 1,..., n.
.4 Extremwerte Definition Sei M R n eine Teilmenge, f : M R stetig, a M ein Punkt. f hat in a auf M ein relatives (oder lokales) Maximum bzw. ein relatives (oder lokales) Minimum, wenn es eine offene Umgebung
MehrQuadratische Formen. und. Symmetrische Matrizen
Quadratische Formen und Symmetrische Matrizen 1 Ouverture: Lineare Funktionen von R n nach R 1 2 Beispiel: n = 2 l : (x 1, x 2 ) T 0.8x 1 + 0.6x 2 = < x, g > mit g := (0.8, 0.6) T. Wo liegen alle x = (x
MehrFerienkurs Theoretische Mechanik. Mechanik des starren Körpers
Ferienkurs Theoretische Mechanik Mechanik des starren Körpers Sebastian Wild Freitag, 16.09.011 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung und Definitionen Kinetische Energie und Trägheitstensor 4.1 Definition des
MehrKlausur HM I F 2004 HM I : 1
Klausur HM I F 004 HM I : Aufgabe (5 Punkte): Für welche n gilt die folgende Aussage? ( n ) det n! n 0 (n )! () Führen Sie den Beweis mit Hilfe der vollständigen Induktion. Lösung: Beweis per Induktion
Mehr1. Übungsblatt: Lineare Algebra II Abgabe: 24./ in den Übungsgruppen
Hannover, den 0. April 2006. Übungsblatt: Lineare Algebra II Abgabe: 24./25.4.2006 in den Übungsgruppen ( ) 2 5 a) Zeigen Sie, dass A = und B = 2 ( 7 6 invertierbare Matrix T an mit T AT = B. b) Zeigen
MehrAufgaben zu Kapitel 18
Aufgaben zu Kapitel 8 Aufgaben zu Kapitel 8 Verständnisfragen Aufgabe 8. Gegeben ist ein Eigenvektor v zum Eigenwert λ einer Matrix A. (a) Ist v auch Eigenvektor von A? Zu welchem Eigenwert? (b) Wenn A
MehrVariante A. Hinweise
Lehrstuhl C für Mathematik (Analysis Prof Dr Holger Rauhut Aachen, den 373 Wiederholungsklausur zur Höheren Mathematik I SoSe 3 Variante A Hinweise Zugelassene Hilfsmittel: Als Hilfsmittel zugelassen sind
MehrEin Produkt ist Null, wenn einer der Faktoren gleich Null ist. Die beiden Eigenwerte sind demnach. λ 1 = 0, λ 2 = 2i. 1 i
TU Dresden Fakultät Mathematik Institut für Numerische Mathematik Lösung zur Aufgabe (b des Übungsblattes Ermitteln Sie on der folgenden Matrix alle (komplexen Eigenwerte und zu jedem Eigenwert einen zugehörigen
MehrQuadriken. Quadriken und Hauptachsentransformation. Lineare Algebra I, WS 10/11 Ingo Blechschmidt 13. März 2011
Hier eine kurze Erklärung zu der. Als Grundlage diente teilweise eine Beschreibung von Markus Göhl vom Sommersemester 00. Quadriken Definition. Eine Quadrik ist die Nullstellenmenge eines quadratischen
MehrLina II - Aufgaben zur Vorbereitung für die Klausur (Teil 1) - Lösungen
Lina II - Aufgaben zur Vorbereitung für die Klausur (Teil 1) - en Kommentare an HannesKlarner@FU-Berlinde FU Berlin SS 1 Dia- und Trigonalisierbarkeit Aufgabe (1) Gegeben seien A = i i C 3 3 und B = 1
Mehr5.2 Drehimpuls, Drehmoment und Trägheitstensor
186 KAPITEL 5. STARRE KÖRPER 5. Drehimpuls, Drehmoment und Trägheitstensor Wie wir im vorhergehenden Abschnitt gesehen haben, besitzt ein starrer Körper 3 Freiheitsgrade zur Beschreibung seiner Position
Mehr2.2 Eigenwerte und Eigenvektoren
2.2. Eigenwerte und Eigenvektoren 39 2.2 Eigenwerte und Eigenvektoren Lineare Abbildungen werden je nach Basiswahl durch unterschiedliche Matrizen beschrieben. Besonders einfach ist die Diagonalform. Wir
MehrKapitel 14. Geometrie Eine kurze Einführung in die affine Geometrie
Kapitel 14 Geometrie Sei V ein Vektorraum, z.b. V = R 3. Wenn wir uns für geometrische Eigenschaften vonr 3 interessieren, so stört manchmal dieausnahmerolle des Nullvektors, die es ja in V gibt. Beispielsweise
Mehr11 Eigenwerte und Eigenvektoren
11 Eigenwerte und Eigenvektoren Wir wissen bereits, dass man jede lineare Abbildung ϕ : K n K n durch eine n n-matri A beschreiben kann, d.h. es ist ϕ() = A für alle K n. Die Matri A hängt dabei von der
MehrLineare Algebra II 8. Übungsblatt
Lineare Algebra II 8. Übungsblatt Fachbereich Mathematik SS 11 Prof. Dr. Kollross 1./9. Juni 11 Susanne Kürsten Tristan Alex Gruppenübung Aufgabe G1 (Minitest) Sei V ein euklidischer oder unitärer Vektorraum.
MehrHöhere Mathematik I. Variante B
Lehrstuhl II für Mathematik Prof. Dr. E. Triesch Höhere Mathematik I SoSe Variante B Zugelassene Hilfsmittel: Als Hilfsmittel zugelassen sind zehn handbeschriebene DinA-Blätter (Vorder- und Rückseite beschriftet,
Mehr++ + = 0 so erhält man eine quadratische Gleichung mit zwei Variablen dx+ey+f = 0 1.1
Hauptachsentransformation. Einleitung Schneidet man den geraden Kreiskegel mit der Gleichung = + und die Ebene ++ + = 0 so erhält man eine quadratische Gleichung mit zwei Variablen +2 + +dx+ey+f = 0. Die
MehrProbeklausur zu Mathematik 2 für Informatik
Gunter Ochs Wintersemester 4/5 Probeklausur zu Mathematik für Informatik Lösungshinweise wie immer ohne Garantie auf Fehlefreiheit. Gegeben sei das Dreieck im R mit den Eckpunkten A a Berechnen Sie die
MehrZusammenfassung. 1. Starre Körper: Zwei Koordinatensysteme (L und K). Die Bewegung im K-system ist eine Rotation.
Zusammenfassung 1. Starre Körper: Zwei Koordinatensysteme (L und K). Die Bewegung im K-system ist eine Rotation. Z P r x 3 K-System x 2 R O R c x 1 L-System Y 2. Die kinetische Energie des Körpers und
Mehr